Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des limites telles que les limites des sommes, des différences, des produits et des quotients des fonctions, et les limites de fonctions composées.
Les notions de limites et de convergence sont deux des principales idées de base de l’analyse, qui représente l’une des idées les plus importantes en mathématiques et que l’on retrouve dans tous les cours de mathématiques au niveau universitaire. Souvent, cela commence par la définition de la convergence à l’aide du fameux epsilon, qui transforme des approches vagues et intuitives en des concepts mathématiques solides qui peuvent être rigoureusement définies.
Comprendre la définition avec epsilon est fondamental pour développer des théorèmes en rapport ainsi que d’autres résultats, en termes pratiques, la compréhension de la notion de limite ne nécessite généralement pas le même niveau de détail. Fort heureusement, l’utilisation de limites peut souvent être organisée en une suite de résultats utiles, dont beaucoup se retrouvent dans les règles habituelles de l’algèbre que nous connaissons déjà. En particulier, nous travaillerons avec les théorèmes des limites, ce qui réduira considérablement la quantité de connaissances nécessaires pour comprendre les exemples considérés. Dans la définition suivante, nous donnerons une suite de résultats qui seront immédiatement utilisés dans les exemples de cette fiche explicative.
Il est utile, à ce stade, d’introduire un modèle pour rappeler les principaux résultats sur les théorèmes des limites. Dans ce cas, écrire s’avère utile. Comme nous le verrons bientôt, il est utile de se rappeler des expressions telles que « la limite de la somme est la somme des limites » ou des expressions plus compliquées telles que « la composée des limites est la limite des composées ». Cela n’a pas nécessairement de sens, mais peut permettre de traiter des expressions impliquant plusieurs limites.
Définition : Propriétés des limites
Supposons que et que ces fonctions sont continues en . Alors, les résultats suivants sont vrais pour l’addition et la soustraction :
De même pour la multiplication on a :
En outre, si l’on suppose que , alors nous avons le résultat suivant :
De plus, si est une constante réelle, alors nous avons les deux résultats suivants : et
Le dernier résultat que nous utiliserons se rapporte à la composition de fonctions et s’écrit comme suit :
Pour que ce dernier résultat soit vrai, la fonction doit être continue en .
On notera qu’on peut appeler ces résultats : les théorèmes de l’« algèbre des limites », et c’est ainsi que nous les désignerons dans le reste de la fiche.
Ceci est un ensemble complet de résultats permettant d’introduire une définition tout-en-un, mais leur interprétation et leur utilisation sont plus simples que cela semble initialement. Avec de la pratique, on a tendance à utiliser les résultats ci-dessus sans y prêter beaucoup d’attention. Ces résultats sont loin d’être aussi intimidants qu’ils le semblent, et en réalité, nous pouvons plus ou moins nous souvenir des règles de l’algèbre, puis les appliquer directement aux limites. Prouver chacun des résultats est évidemment plus difficile et demande une solide compréhension de la définition avec epsilon, qui sort du cadre de cette fiche explicative.
Nous allons démontrer les résultats ci-dessus en s’appuyant sur les exemples contenus dans cette fiche explicative. Avant de faire cela, notons comment plusieurs des résultats ci-dessus se généralisent à plus de deux fonctions. Par exemple, supposons que trois fonctions , et sont toutes continues en et que
Ensuite, il est toujours vrai que la limite de la somme est la somme des limites, et que la limite de la différence est la différence des limites. En termes mathématiques, cela signifie que
De même, nous constatons également que la limite du produit est le produit des limites. En d’autres termes, nous avons le résultat suivant :
Ce résultat se généralise pour un nombre quelconque de limites particulières. Nous allons maintenant appliquer tous ces résultats aux exemples suivants.
Exemple 1: Calculer des limites impliquant des sommes et des différences de fonctions
Sachant que , et , trouvez .
Réponse
On résout ce problème à l’aide de l’algèbre des limites. On rappelle que la limite de la somme est la somme des limites. Dans cet exemple particulier, le résultat est que
On nous a déjà donné chacune de ces limites dans l’énoncé de la question, ainsi
L’algèbre des limites est si puissante qu’elle peut être facilement utiliser dans exemples qui semblent être très complexes. Comme nous pouvons travailler de manière aisée avec la majorité des expressions algébriques conventionnelles, il y a très peu de changements lorsque des limites sont introduites. Tant que nous n’essayons pas de diviser par zéro (ce qui est impossible), il est aisé de traiter les problèmes de cette manière. Il peut être intéressant d’inclure plus d’étapes que le strict nécessaire pour des expressions impliquant plusieurs limites, et dans l’exemple suivant, nous allons légèrement augmenter le nombre d’étapes nécessaires. Jusqu’à ce que ces techniques soient maîtrisées, il est plus sûr d’écrire plus d’étapes que nécessaire, comme nous le montrerons ci-après.
Exemple 2: Calculer des limites impliquant des produits et des différences de fonctions
Supposons que , et . Trouvez .
Réponse
L’algèbre des limites dit que la limite de la différence est la différence des limites. Par conséquent, nous pouvons écrire l’expression initiale de la manière suivante
La question indique que , ce qui implique que
Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer l’expression restante impliquant la limite d’un produit. Pour cela, on peut rappeler que la limite d’un produit est le produit des limites, ce qui nous permet d’écrire
On sait déjà que et que , ce qui signifie que
Jusqu’à présent dans cette fiche explicative, nous avons vu plusieurs exemples d’applications impliquant l’algèbre des limites. En fin de compte, ces problèmes peuvent être considérés comme le calcul d’une expression algébrique impliquant des limites. Cette façon de penser permet d’utiliser le cadre standard de l’algèbre sans trop de réflexion. Une fois ceci établi, il est possible de résoudre des équations afin de trouver des limites qui ne sont pas données. Comme exemple très simple, supposons que et que
Si on nous demande de calculer la limite de quand , alors nous pourrions utiliser le fait que la limite de la somme est la somme des limites. Cela nous permet de réécrire l’équation ci-dessus comme
Sachant qu’on nous a dit la limite de quand , on a soit
Ce principe de résolution d’équations comportant des termes limites est étendu de manière naturelle en utilisant les autres résultats de l’algèbre des limites. Nous allons le montrer dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Calculer des limites impliquant des quotients de fonctions et un multiple constant
Sachant que , déterminez .
Réponse
Nous allons commencer par poser , ce qui nous permet d’écrire l’expression initiale sous la forme suivante :
De plus, nous calculons la limite de quand , ce qui donne aussitôt
Nous pouvons maintenant utiliser l’algèbre des limites. En particulier, nous rappelons que la limite du quotient est le quotient de la limite. Cela signifie que, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas égale à zéro, nous pouvons réécrire l’équation (1) comme
Ainsi cette expression donne
D’après l’équation (2), on peut maintenant déduire :
L’astuce consistant à introduire une fonction auxiliaire n’est pas nécessaire pour répondre à de telles questions, mais elle permet de formuler la question en utilisant l’algèbre des limites. Étant donné l’ensemble des théorèmes à disposition, il est souvent possible de répondre à une question en utilisant plusieurs méthodes. Par exemple, dans la question précédente, nous aurions pu rappeler le résultat général suivant pour toute constante . Cela aurait permis d’écrire nous aurions ainsi pu résoudre le problème en utilisant des étapes similaires. En remarquant que on aurait également pu traiter ce terme comme une constante.
Exemple 4: Calculer des limites impliquant des différences et des racines de fonctions
Supposons que et . Trouvez .
Réponse
Commençons par réécrire la limite ci-dessus en changeant de notation
D’après l’algèbre des limites, on sait que
Nous pouvons maintenant rappeler que la limite de la différence est la différence des limites, ce qui signifie que nous pouvons écrire
On nous a dit dans l’énoncé de la question que et , ce qui signifie que l’expression ci-dessus peut se simplifier par :
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser les propriétés des limites pour étudier les limites impliquant des fonctions composées.
Exemple 5: Étudier des limites impliquant des fonctions composées
Supposons que . Si , trouvez .
Réponse
L’algèbre des limites énonce ce qui suit. Si deux fonctions et sont telles que et que la fonction est continue lorsque . Alors, on a
En appliquant cela à la question ci-dessus, on trouve
Nous avons vu au cours de cette fiche explicative que l’algèbre des résultats des limites peut être utilisée de manière assez cavalière une fois que leur utilisation est correctement comprise. A condition d’être à l’aise avec les règles classique de l’algèbre, introduire des limites dans les équations n’entraîne souvent pas beaucoup de complications. Cela dit, il est toujours conseillé de résoudre ces problèmes en précisant les résultats de l’algèbre des limites qui ont été utilisées pour trouver la solution. Dans notre dernier exemple, nous allons combiner plusieurs des techniques que nous avons déjà décrites dans cette fiche explicative, tout en les étendant à des fonctions définies graphiquement. Nous avons accordé peu d’attention aux conditions nécessaires sur les fonctions lors de l’application des résultats de l’algèbre des limites. En fait, nous exigeons que toutes les fonctions impliquées soient continues autour de la limite qui nous intéresse. Représenté graphiquement, nous avons besoin que le tracé d’une fonction soit lisse autour de cette limite, mais pas nécessairement sur d’autres régions du graphique.
Exemple 6: Calculer des limites impliquant un produit et des puissances des fonctions représentées graphiquement
On considère la courbe représentative de .
Déterminez .
Réponse
La courbe ci-dessus n’est pas lisse partout, ce qui signifie que la fonction n’est pas continue sur l’ensemble des nombres réels. En effet, il y a même un vide pour les valeurs de entre et . Néanmoins, la courbe est lisse autour de , ce qui signifie que nous pouvons supposer que la fonction est continue en ce point. Cela signifie que nous pouvons trouver en lisant l’image par la fonction de ce point.
On peut voir sur le graphique ci-dessus que
Nous allons maintenant commencer à calculer la limite demandée dans la question. En utilisant l’algèbre des limites, on a :
Maintenant, nous pouvons rappeler un autre résultat de l’algèbre des limites qui dit que la limite du produit est le produit des limites. En d’autres termes, on peut simplifier l’expression précédente comme suit
On peut remarquer que et nous avons le résultat de l’équation (3), ce qui nous permet de simplifier l’expression précédente comme suit :
L’algèbre des résultats des limites est l’un des outils les plus simples et les plus puissants dont nous disposons pour étudier les limites des fonctions composées ou non triviales. Une fois que la définition avec epsilon a été comprise, prouver les résultats d’algèbre des limites à partir de cette définition est un entrainement précieux pour tout étudiant débutant dans ce domaine. Une fois que ces résultats ont été prouvés (par exemple, dans le cadre d’un cours universitaire standard sur l’analyse), ils peuvent être appliqués de manière relativement immédiate, à condition de prendre des précautions (telles que s’assurer que nous ne divisons pas par une fonction qui tend vers de zéro au point considéré). En règle générale, nous travaillerons avec des fonctions qui sont continues pour chaque point de leur ensemble de définition, ce qui ne posera probablement pas de problème. Cependant, si on nous donne une fonction continue par morceaux (telle que celle de la question précédente), alors la question est plus délicate.
Points clés
Supposons que et sont deux fonctions qui sont continues en . Supposons également que est une constante réelle et que et , où . Alors, les résultats suivants s’appliquent à l’aide des théorèmes de l’algèbre des limites :
Il peut être utile d’appliquer les expressions suivantes à chacun de ces résultats lorsque cela est possible : « la limite de la somme est la somme des limites » et « la limite du produit est le produit des limites ».
