Vidéo de la leçon: Les propriétés des limites Mathématiques

Transcription de la vidéo

Les propriétés des limites

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des limites telles que les limites des sommes, des différences, des produits et des quotients des fonctions, ainsi que les limites de certaines fonctions composées. Nous allons voir divers exemples expliquant comment utiliser ces propriétés. Commençons par définir certaines propriétés.

Supposons que 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 sont des fonctions et que 𝑎 est une certaine valeur telles que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 et que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existent. Nous avons alors la propriété pour la limites de la somme de fonctions, selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend à 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nous avons également une propriété pour la limite de la différence de fonctions. Et celle-là nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Et nous pouvons noter que ces deux propriétés peuvent être utilisées en combinaison l’une avec l’autre. Allons maintenant voir un exemple de comment utiliser ces propriétés.

Sachant que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 égale trois, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑔 de 𝑥 égale moins sept et la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de ℎ de 𝑥 égale moins un, déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥.

Afin de déterminer cette limite, nous pouvons commencer par la décomposer en utilisant les propriétés des limites. Nous avons la propriété pour la limite de la somme de fonctions qui nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nous avons également la propriété pour la limite de la différence de fonctions. Et celle-là nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons maintenant appliquer ces deux propriétés à la limite que nous essayons de déterminer.

Nous pouvons commencer par utiliser la propriété de la limite de la somme de fonctions. Dans notre cas, 𝑎 égale deux. Et nous pouvons décomposer la partie intérieure de notre limite de manière à additionner deux fonctions, ces fonctions étant 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥. Nous obtenons que notre limite égale la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥. Ensuite, nous pouvons utiliser la propriété pour la limite de la différence de fonctions. Encore une fois, 𝑎 égale deux. Et à l’intérieur de notre limite, nous avons une différence de deux fonctions qui sont 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. En appliquant la règle, nous obtenons que notre limite égale la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑔 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de ℎ de 𝑥.

Nous pouvons maintenant constater que nous connaissons la valeur de chacune de ces trois limites puisqu’elles nous ont été données dans la question. Donc en substituant avec trois, moins sept et moins un, nous obtenons que notre limite égale trois plus moins sept moins moins un. En simplifiant cela, nous obtenons une solution selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥 est égale à moins trois.

Voyons maintenant d’autres propriétés des limites.

De nouveau, nous considérons des fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 avec des valeurs constantes 𝑎 et 𝑐 telles que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existent toutes les deux. Cette fois, nous avons une constante en plus qui est 𝑐. Et nous verrons pourquoi elle est ici en découvrant notre première propriété. Cette première propriété concerne les constantes multiplicatives dans une limite. Elle nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑐 fois 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑐 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Cela nous dit essentiellement que si nous avons un diviseur constant dans notre limite, alors nous pouvons simplement factoriser en le sortant de la limite. La propriété suivante est la limite du produit de fonctions. Elle nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Notre troisième propriété ici est pour la limite du quotient de fonctions. Elle nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Et il est à nouveau important de noter que chacune de ces propriétés peut être utilisée en combinaison l’une avec l’autre, y compris les deux propriétés que nous avons abordées précédemment. Allons maintenant voir un exemple de comment utiliser ces propriétés.

Supposons que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 égale cinq, la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥 égale huit et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de ℎ de 𝑥 égale neuf. Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥.

Nous pouvons commencer par décomposer la limite donnée dans la question en utilisant les propriétés des limites. Premièrement, nous pouvons utiliser la propriété pour la limite de la différence de fonctions. Cela nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. En observant notre limite, nous pouvons voir que la valeur de 𝑎 est trois. Et nous pouvons voir que nous avons une différence de fonctions dans notre limite. Nous avons 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥. Nous pouvons donc appliquer notre propriété qui nous indique que la limite est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de ℎ de 𝑥.

Pour décomposer davantage cette limite, nous devrons utiliser une autre propriété des limites. Et c’est la propriété des limites des produits de fonctions, qui nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers une constante 𝑎 d’un produit de fonctions — donc 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 — égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Encore une fois, la valeur de 𝑎 est trois. Et nous pouvons voir que nous avons un produit de fonctions dans notre limite. C’est donc 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. En appliquant cette propriété, nous trouvons que notre limite est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 multipliée par la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de ℎ de 𝑥.

Et nous remarquons que chacune de ces trois limites a été définie dans la question. Nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 égale cinq, la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥 égale huit et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de ℎ de 𝑥 égale neuf. Nous substituons donc par ces valeurs dans notre limite, ce qui nous donne que la limite est égale à cinq fois huit moins neuf. Ceci peut être simplifié pour obtenir une solution selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥 égale 31.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser la propriété du quotient de fonctions.

Sachant que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sur trois 𝑥 au carré est égale à moins trois, déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥.

Dans cette question, on nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 de trois 𝑥 au carré. Nous pouvons décomposer cette limite en utilisant les propriétés des limites. Nous avons la propriété de la limite du quotient de fonctions, d’après laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Pour notre limite, nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Ainsi, 𝑎 égale moins deux. Et nous avons un quotient de fonctions. Au numérateur, nous avons 𝑓 de 𝑥. Et au dénominateur, nous avons trois 𝑥 au carré. En appliquant cette propriété pour la limite du quotient de fonctions, nous obtenons que notre limite égale la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sur la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de trois 𝑥 au carré.

Regardons maintenant la limite au dénominateur de la fraction. C’est la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de trois 𝑥 au carré. Nous pouvons faire une substitution directe pour cette limite, ce qui nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de trois 𝑥 au carré est égale à trois fois moins deux au carré. Moins deux au carré équivaut à quatre. Nous simplifions ensuite et nous obtenons que cette limite égale 12. Nous pouvons remplacer par cette valeur de 12 au dénominateur de notre fraction, ce qui nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sur trois 𝑥 au carré est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 le tout sur 12.

Cependant, la question nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sur trois 𝑥 au carré est égale à moins trois. Et puisque cela se détermine au membre gauche de notre équation, nous pouvons poser notre équation égale moins trois. Nous avons donc maintenant que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sur 12 est égale à moins trois. Nous multiplions simplement les deux membres de l’équation par 12. Et ici nous arrivons à notre solution qui est que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 égale moins 36.

Il y a quelques autres propriétés des limites que nous allons voir dans cette vidéo, et elles sont comme suit.

Soit une fonction 𝑓 de 𝑥 avec une valeur 𝑎 et un entier relatif 𝑛 telle que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe.

Nous avons la propriété pour la limites des puissances des fonctions, qui nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout à la puissance 𝑛. Donc, essentiellement, si nous avons la puissance d’une fonction dans une limite, on peut faire sortir la puissance en dehors de la limite et simplement élever la limite entière à cette puissance. Remarquons rapidement que la valeur de l’entier relatif 𝑛 peut être positive ou négative. Et cette propriété sera toujours valable. Nous pouvons voir comment cette propriété de limite peut être dérivée des propriétés de la limite du produit de fonctions et de la limite du quotient de fonctions. Puisque si nous répétions l’une ou l’autre de ces propriétés 𝑛 fois avec une seule fonction 𝑓 de 𝑥, alors nous obtiendrions cette propriété.

Notre dernière propriété pour les limites est la propriété pour la limite des racines de fonctions. D’après laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la 𝑛ième racine de 𝑓 de 𝑥 est égale à la 𝑛ième racine de la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Alors essentiellement, si nous avons une 𝑛ième racine d’une fonction dans notre limite, nous pouvons sortir la 𝑛ième racine en dehors de la limite et prendre la 𝑛ième racine de la limite de la fonction. Ces deux propriétés peuvent à nouveau être combinées l’une avec l’autre et avec n’importe laquelle des propriétés précédentes. Voyons quelques exemples de la façon dont elles peuvent être utilisées.

Supposons que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 égale trois et que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑔 de 𝑥 égale huit. Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers six de la racine carrée de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥.

Il faut déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers six de la racine carrée de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥. On peut décomposer cette limite en utilisant les propriétés des limites. Nous avons la propriété pour la limites des racines de fonctions. Elle nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers une constante 𝑎 de la 𝑛ième racine d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la 𝑛ième racine de la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. La limite que nous essayons de déterminer est la limite lorsque 𝑥 tend vers six de la racine carrée de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥. Nous avons donc la limite d’une racine carrée d’une fonction. Nous pouvons donc appliquer notre propriété pour la limite des racines de fonctions. Elle nous dit que notre limite est égale à la racine carrée de la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥.

Maintenant, nous pouvons voir que nous avons la limite de la différence de fonctions puisque notre limite est de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons appliquer la règle pour la limite de la différence de fonctions, qui nous indique que la limite lorsque 𝑥 tend vers une constante 𝑎 de la différence de fonctions — soit 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 — est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons appliquer cette propriété à notre limite dans la racine carrée, ce qui nous donne que notre limite est égale à la racine carrée de la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑔 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥.

Nous constatons que les limites de notre racine carrée nous ont été données dans la question. Nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 égale trois, et la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑔 de 𝑥 égale huit, ce qui nous donne que notre limite est égale à la racine carrée de huit moins trois. En simplifiant cela, nous obtenons notre solution qui est que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de la racine carrée de 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de cinq.

Maintenant, passons à notre dernier exemple, où nous verrons comment les propriétés des limites peuvent être utilisées même lorsque la fonction est définie graphiquement.

On considère le graphique de 𝑓 de 𝑥. Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 le tout au carré.

Ici, on nous demande de déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 le tout au carré. Nous pouvons voir que nous avons la puissance d’une fonction. Et ainsi, on peut utiliser la propriété pour la limite des puissances de fonctions. D’après laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout à la puissance 𝑛. Dans le cas de notre limite, la valeur de 𝑎 est un, et la puissance à laquelle notre fonction est élevée est deux. Donc 𝑛 égale deux. Maintenant, nous pouvons appliquer cette propriété. Elle nous dit que notre limite est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 le tout au carré.

Ensuite, nous pouvons simplifier davantage la limite dans notre carré. Nous avons la propriété pour la limite du produit de fonctions. Elle nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multipliée par la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Maintenant notre produit de fonctions est 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥. Lorsque nous appliquons cette propriété à notre limite, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 le tout carré.

Maintenant, considérons la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥. Nous pouvons faire une substitution directe pour cette limite. Et nous trouvons qu’elle égale un. Nous pouvons donc substituer cela dans notre limite, et ça nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 au carré est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 le tout au carré. Il ne nous reste plus qu’à déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, nous devons utiliser notre graphique. On doit déterminer la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 égale un. Nous voyons que lorsque 𝑥 égale un, 𝑓 de 𝑥 égale trois. Et la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 dans le voisinage de la valeur de 𝑥 égale un est une droite. Ainsi, la limite droite de 𝑓 de 𝑥 concorde avec la limite gauche de 𝑓 de 𝑥 que cette limite est égale à trois. Nous pouvons donc substituer par trois pour la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥. Nous trouvons donc que notre limite égale trois au carré. Et nous pouvons élever le trois au carré pour obtenir notre solution que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 au carré égale neuf.

Maintenant que nous avons couvert une variété d’exemples, récapitulons quelques points clés de la vidéo.

Points clés

Pour les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 avec les valeurs 𝑎 et 𝑐 et l’entier relatif 𝑛 telles que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existent : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑐 fois 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑐 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout à la puissance 𝑛. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la 𝑛ième racine de 𝑓 de 𝑥 est égale à la 𝑛ième racine de la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Et toutes ces propriétés des limites peuvent être utilisées en combinaison les unes avec les autres.