Question Video: Mesure de la norme d’un vecteur résultant Physique • First Year of Secondary School

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Des vecteurs sont dessinés à l’échelle de la règle sur le diagramme. Les carrés de la grille ont des côtés d’un centimètre de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant mesurée au centimètre près ?

D’accord. Donc, dans cette question, on nous donne un schéma vectoriel qui contient trois vecteurs. Et on nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. On nous dit également que les carrés de la grille ont des côtés d’un centimètre de long, et on nous demande de trouver la longueur du vecteur résultant. Rappelons que la résultante de deux vecteurs est le vecteur trouvé en additionnant ces deux vecteurs et que nous pouvons additionner deux vecteurs avec la méthode du bout à bout.

Rappelez-vous que la queue d’un vecteur est son point de départ et que la tête d’un vecteur est où il pointe. Donc, la méthode du bout à bout consiste à dessiner le deuxième vecteur avec sa queue commençant à la tête du premier vecteur, comme ceci. Ensuite, nous pouvons trouver la somme de ces deux vecteurs ou la résultante en traçant une flèche de la queue du premier vecteur à la tête du deuxième vecteur. Donc, dans cet exemple, la flèche bleue que nous venons d’ajouter au diagramme est notre vecteur résultant.

Maintenant que nous avons vu la signification du vecteur résultant, revenons à la question. La question nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Si nous regardons la figure, nous verrons que les vecteurs bleu et vert sont dessinés avec la méthode du bout à bout. Notez que le vecteur vert est dessiné avec sa queue commençant à la tête du vecteur bleu. Si nous regardons maintenant le vecteur rouge, nous voyons qu’il est dessiné avec sa queue à la queue du premier vecteur, le vecteur bleu, et que sa tête est à la pointe du deuxième vecteur, le vecteur vert. Nous voyons donc que ce vecteur rouge est bien la résultante des vecteurs bleu et vert.

Nous pouvons voir dans ce cas que notre vecteur bleu est entièrement horizontal et notre vecteur vert est entièrement vertical. Cela signifie que nous savons que l’angle entre ces deux vecteurs est égal à 90 degrés. Et nous pouvons donc voir que les trois vecteurs forment un triangle rectangle. La question nous demande de trouver la longueur de ce vecteur résultant, ce qui signifie trouver la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle.

Pour trouver cette hypoténuse, rappelons le théorème de Pythagore. Si nous étiquetons les longueurs des côtés de ce triangle 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, le théorème de Pythagore nous dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Puisque dans cette question, nous essayons de trouver la valeur de 𝑐, prenons la racine carrée des deux côtés de cette équation pour obtenir une équation où 𝑐 est le sujet. Nous avons alors que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Cette équation nous dit que si nous voulons trouver la valeur de 𝑐, alors nous devons connaître les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Rappelez-vous que 𝑎 est la longueur du vecteur bleu sur notre diagramme et 𝑏 est la longueur du vecteur vert. Heureusement pour nous, nous avons une échelle sur notre diagramme et les vecteurs 𝑎 et 𝑏 pointent tous les deux sur les lignes de la grille, ce qui facilite la lecture de leurs longueurs. On nous dit que les carrés de la grille ont des côtés d’un centimètre de long. Sur la figure elle-même, nous avons une règle montrant ces incréments d’un centimètre dans la direction verticale. Et bien sûr, comme on nous dit que la grille est constituée de carrés, si ces carrés sont d’un centimètre dans la direction verticale, ils doivent également être d’un centimètre dans la direction horizontale.

Donc, la distance d’un carré dans la direction horizontale ou verticale correspond à un centimètre. Ce que cela signifie pour nous, c’est que pour trouver les longueurs de chacun des vecteurs bleu et vert, il suffit de commencer à la queue du vecteur et de compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe du vecteur. Ce nombre de carrés donne alors la longueur de ce vecteur mesurée en centimètres.

Commençons par le vecteur bleu. Nous commençons à la queue du vecteur, et nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe de ce vecteur. Et dans ce cas, nous constatons que ce nombre de carrés est égal à 10. Cela signifie donc que la longueur du vecteur bleu et la valeur de 𝑎 sont égales à 10 centimètres.

Voyons maintenant le vecteur vert. Nous commençons par la queue de ce vecteur, qui est placé à la pointe du vecteur bleu. Et nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe. Nous trouvons que ce nombre de carrés est également 10. Et donc la longueur de notre vecteur vert et la valeur de 𝑏 sont également égales à 10 centimètres. Nous avons maintenant des valeurs pour 𝑎 et 𝑏, nous pouvons donc remplacer ces valeurs dans notre équation pour 𝑐.

Si nous remplaçons avec 𝑎 est égal à 10 centimètres et 𝑏 est égal à 10 centimètres, alors nous obtenons que 𝑐 est égal à la racine carrée de 10 centimètres carrés plus 10 centimètres carrés. Lors de ce calcul, nous devons faire attention avec nos unités car si nous prenons le carré d’une grandeur avec des unités de centimètres, nous obtiendrons une grandeur avec des unités de centimètres au carré. Dans ce cas, prendre le carré de 10 centimètres nous donne 100 centimètres carrés. Et si nous additionnons 100 centimètres carrés et 100 centimètres carrés, nous obtenons 200 centimètres carrés.

La dernière étape qui reste à faire est calculer la racine carrée. Si nous prenons la racine carrée d’une grandeur avec des unités de centimètres carrés, nous obtenons un résultat avec des unités de centimètres. Une vérification simple, nous savons que 𝑐 est censé être une longueur ; c’est la longueur de ce vecteur rouge dans notre diagramme. Donc, avoir des unités de centimètres a du sens. Et si nous prenons la racine carrée de 200, nous obtenons un résultat de 14,142 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires.

Et ce résultat que nous avons trouvé ici pour la valeur de 𝑐 nous donne la longueur du vecteur résultant – ce qu’on nous demandait dans la question. Mais si nous revenons à la question, nous voyons qu’on nous demande de donner notre résultat au centimètre près. Arrondir 14,142 au centimètre près nous donne 14 centimètres. Et donc notre réponse à la question est que la longueur du vecteur résultant mesurée au centimètre près est de 14 centimètres.