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Déterminez quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴 moins huit ; huit dans la direction perpendiculaire au vecteur 𝐮 égale le vecteur moins six, sept. Est-ce l’option (A) 𝑥 est égal à moins huit moins six t et 𝑦 est égal à huit plus sept t ? L’option (B) 𝑥 est égale à moins huit plus huit t et 𝑦 est égale à moins six plus sept t. Est-ce l’option (C) 𝑥 est égal à moins huit plus sept t et 𝑦 est égal à huit moins six t ? Ou est-ce l’option (D) 𝑥 est égal à moins huit plus sept t et 𝑦 est égal à huit plus six t ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer laquelle des quatre options données correspond aux équations paramétriques d’une droite passant par un point donné et perpendiculaire à un vecteur donné. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par équations paramétriques d’une droite. Ce sont deux équations de la forme 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro plus 𝑎 fois t et 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro plus 𝑏 multiplié par t. t représente notre scalaire et peut prendre n’importe quelle valeur. Nous savons que puisque t peut être égal à zéro, nous pouvons le remplacer dans l’équation pour noter que 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro est un point qui se trouve sur la droite. En fait, nous pouvons choisir n’importe quel point qui se trouve sur la droite pour le point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro ; cela nous donnera différentes équations pour la droite.
De même, nous pouvons rappeler que le vecteur 𝑎, 𝑏 est un vecteur non nul qui est parallèle à la droite. Par conséquent, pour trouver les équations paramétriques d’une droite, nous avons besoin d’un point qui se trouve sur la droite. Nous avons également besoin d’un vecteur non nul parallèle à la droite. On nous donne dans la question que la droite passe par le point avec des coordonnées moins huit, huit. Ainsi, nous pouvons choisir 𝑥 indice zéro égal à moins huit et 𝑦 indice zéro égal à huit. Il s’agit d’un choix possible d’un point qui se trouve sur la droite.
Si nous regardons nos quatre options données, nous pouvons voir que trois de ces options ont choisi le même point. La valeur de 𝑥 indice zéro dans ces équations est moins huit et la valeur de 𝑦 indice zéro est huit. Cependant, dans l’équation (B), nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. La valeur de 𝑦 indice zéro est moins six. Il est possible d’utiliser cette information pour éliminer cette option puisque nous savons que la droite n’est pas verticale. En effet, pour que cette droite passe à la fois par 𝐴, qui a des coordonnées moins huit, huit, et ce point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro, qui est le point moins huit, moins six, la droite devrait être verticale et ainsi, elle ne serait pas perpendiculaire à notre vecteur 𝐮. Cependant, pour justifier pleinement cela, trouvons un vecteur directeur de cette droite.
Nous voulons le faire en utilisant le fait que notre droite est perpendiculaire au vecteur 𝐮. Il existe de nombreuses façons différentes d’utiliser cette information pour déterminer un vecteur directeur de la droite. Par exemple, pour tout vecteur bidimensionnel 𝐮, nous pouvons déterminer un vecteur perpendiculaire à ce vecteur en commutant ses coordonnées, puis en multipliant l’une des coordonnées non nulles par moins un. L’inversion des coordonnées du vecteur 𝐮 nous donne le vecteur sept, moins six. Puis, si nous changeons le signe de la coordonnée verticale de ce vecteur, nous obtenons le vecteur sept, six. Nous pouvons appeler ce vecteur 𝐝. Pour être sûr, vérifions que ce vecteur est bien orthogonal à 𝐮.
Nous pouvons le faire en rappelant que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est égal à zéro. Ainsi, nous voulons trouver le produit scalaire entre les vecteurs 𝐮 et 𝐝. Nous devons trouver le produit scalaire du vecteur moins six, sept et du vecteur sept, six. Nous le faisons en trouvant la somme des produits des coordonnées correspondantes. Nous obtenons moins six fois sept plus sept fois six, que nous pouvons évaluer comme égal à zéro. Par conséquent, nous avons confirmé que ces deux vecteurs sont orthogonaux, ce qui signifie que 𝐝 est un vecteur directeur de notre droite. En fait, tout multiple scalaire non nul de 𝐝 sera un vecteur directeur de cette droite.
Ainsi, un choix possible de notre vecteur directeur 𝑎, 𝑏 est de définir 𝑎 égal à sept et 𝑏 égal à six. Nous pouvons voir que cela correspond exactement ce qui est écrit dans l’option (D). Le coefficient de t dans notre équation 𝑥 est de sept et le coefficient de t dans l’équation 𝑦 est de six. Pour être sûr, il convient de noter que nous pouvons utiliser ce fait pour éliminer les trois autres options. Par exemple, le vecteur sept, moins six n’est pas colinéaire au vecteur 𝐝 et il n’est pas non plus orthogonal au vecteur 𝐮. Nous pouvons le montrer de différentes manières. Par exemple, nous pourrions montrer que ce n’est pas un multiple scalaire de 𝐝. Nous pourrions aussi calculer son produit scalaire avec 𝐮, qui serait différent de zéro. Nous pouvons également suivre le même processus pour éliminer les options (A) et (B).
Par conséquent, en substituant 𝑥 indice zéro est égal à moins huit, 𝑦 indice zéro est égal à huit, 𝑎 est égal à sept et 𝑏 est égal à six dans nos équations paramétriques, nous avons pu montrer que 𝑥 est égal à moins huit plus sept t et 𝑦 est égal à huit plus six t représente un système d’équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴 moins huit, huit avec un vecteur directeur perpendiculaire à 𝐮, le vecteur moins six, sept. Il s’agit de l’option (D).
