Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les équations paramétriques d'une droite à partir d'un point appartenant à la droite et du vecteur directeur de la droite.
Rappelons que l’équation vectorielle d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
De plus, rappelons que le vecteur position d’un point est le vecteur qui part de l’origine et dont l’extrémité se situe à la position de ce point. L’équation vectorielle d’une droite décrit chaque point appartenant à la droite comme étant son vecteur position . Chaque valeur du paramètre donne le vecteur position d’un point appartenant à la droite.
Dans la représentation paramétrique d’une droite, chaque coordonnée d’un point appartenant à la droite est donnée par une fonction de , appelée équations paramétriques. Voyons comment la représentation paramétrique d’une droite peut être dérivée à partir d’une équation vectorielle donnée d’une droite.
On considère une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur . Alors, l’équation vectorielle de la droite est donnée par
On peut réduire le membre de droite de l’équation vectorielle en un seul vecteur :
Les coordonnées et des points appartenant à la droite sont données par son vecteur position , qui est le point . En d’autres termes, l’abscisse du point est donnée par , tandis que l'ordonnée est donnée par pour des valeurs de . Ainsi, la représentation paramétrique de la droite est obtenue comme indiqué ci-dessous.
Définition : La représentation paramétrique d’une droite
La représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
Voyons comment la représentation paramétrique d’une droite peut être obtenue à partir de l’équation vectorielle dans notre premier exemple.
Exemple 1: Déterminer les équations paramétriques d’une droite étant donnés un point appartenant à la droite et son vecteur directeur
Complète : si la droite passe par le point et a pour vecteur directeur ; alors, les équations paramétriques de la droite sont .
Réponse
La représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
On nous dit que la droite est de vecteur directeur et qu’elle passe par le point , donc on a
En utilisant ces valeurs, on peut écrire la représentation paramétrique
Étudions un autre exemple pour nous familiariser avec le processus de conversion de l’équation vectorielle d’une droite en représentation paramétrique.
Exemple 2: Identifier les équations paramétriques d’une droite donnée sous forme vectorielle
L’équation vectorielle d’une droite est donnée par . Laquelle des paires d’équations paramétriques suivantes représente cette droite ?
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
Rappelons que l’équation vectorielle d’une droite est , où est le vecteur position du point appartenant à la droite, et est un vecteur directeur de la droite. En effectuant une comparaison avec l’équation donnée, on constate qu’un vecteur directeur de notre droite est . De même, en remplaçant , on obtient le vecteur , ce qui nous indique que le point appartient à cette ligne. Ainsi, notre droite passe par le point et elle est parallèle au vecteur directeur .
On rappelle aussi que la représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
En substituant le point et le vecteur directeur dans la représentation paramétrique de la droite, on obtient
Donc, la réponse correcte est B.
Dans notre prochain exemple, nous appliquerons la définition de la représentation paramétrique de la droite pour obtenir le vecteur directeur à partir de la représentation paramétrique.
Exemple 3: Déterminer le vecteur directeur d’une droite à partir des équations paramétriques de la droite
Le vecteur directeur de la droite dont les équations paramétriques sont et est .
Réponse
La représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
On nous donne les équations paramétriques : et ; donc, en comparant les termes, nous obtenons les valeurs suivantes :
Ainsi, notre droite passe par le point et est parallèle au vecteur directeur .
Par conséquent, le vecteur directeur est .
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons déterminé le vecteur directeur à partir de la représentation paramétrique de la droite. Cela montre que nous pouvons également associer une représentation paramétrique donnée à l’équation vectorielle.
On considère les équations paramétriques et . En appliquant notre définition de la représentation paramétrique d’une droite, nous savons que cette droite passe par le point et qu’elle est parallèle au vecteur directeur . Par conséquent, l’équation vectorielle de cette droite est
À l’aide de cette méthode, l’équation vectorielle de la droite de notre exemple précédent est
Comme nous l’avons vu, au lieu de nous donner directement le vecteur directeur d’une droite, un problème peut fournir cette information indirectement. En effet, le vecteur directeur d’une droite peut être donné indirectement :
- en fournissant deux points appartenant à la droite ;
- en fournissant l’angle entre la droite et l’axe des positifs ; ou
- en fournissant le coefficient directeur de la droite.
L’exemple suivant indique indirectement le vecteur directeur de la droite en fournissant un angle.
Exemple 4: Déterminer les équations paramétriques des droites
Déterminez les équations paramétriques de la droite qui forme un angle de avec l’axe des abscisses positifs, et qui passe par le point .
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne l’angle que forme la droite avec l’axe des abscisses positifs. Afin d’obtenir les équations paramétriques d’une droite, nous devons déterminer le vecteur directeur de la droite.
Méthode 1
Rappelons que le coefficient directeur de la droite qui forme un angle avec l’axe des abscisses positifs est donné par . Comme , le coefficient directeur de la droite est
Ainsi, le coefficient directeur de la droite est . On sait que le coefficient directeur d’une droite est aussi donné par , alors
Cela conduit au vecteur directeur de la droite . On sait également que cette droite passe par le point . On rappelle que la représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
Cela conduit aux équations paramétriques
Ce résultat correspond au choix A.
Méthode 2
On nous dit que la droite passe par le point et que l’angle qu’elle forme avec l’axe des abscisses positifs est . En se basant sur cet angle, nous devons déterminer un vecteur directeur de la droite. On rappelle les rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique : les coordonnées et du point appartenant au cercle trigonométrique correspondant à l’angle sont
On considère la figure suivante du cercle trigonométrique décrivant un vecteur directeur formant un angle de .
Les composantes de ce vecteur directeur sont
Par conséquent, un vecteur directeur est donné par . En substituant le vecteur directeur et le point dans la représentation paramétrique, nous obtenons
Nous pouvons voir, cependant, qu’aucun des choix indiqués ne contient de vecteurs directeurs ayant pour composantes . Ainsi, nous savons que cette expression vectorielle ne correspond à aucun des choix donnés.
Pour déterminer les équations paramétriques, nous devons donc rechercher d’autres vecteurs directeurs qui sont colinéaires à mais qui ont des composantes entières comme dans les choix proposés. En factorisant ou à partir de chaque composante de ce vecteur, on peut écrire
En rappelant également que deux vecteurs sont colinéaires si un vecteur est un multiple constant de l’autre vecteur, on voit que les vecteurs et sont colinéaires au vecteur directeur d’origine. Ainsi, on constate que et sont tous les deux des vecteurs directeurs de la droite.
Écrivons d’abord la représentation paramétrique de notre droite en utilisant le vecteur directeur et le point donné . En substituant ces valeurs dans la représentation paramétrique, on va obtenir
Comme ce résultat ne figure pas parmi les choix donnés, on essaie de prendre l’autre vecteur comme vecteur directeur. Alors, la représentation paramétrique est donnée par
Ce résultat correspond au choix A.
Notre exemple suivant indique indirectement le vecteur directeur de la droite en fournissant le coefficient directeur de la droite.
Exemple 5: Identifier les équations paramétriques d’une droite étant donnés un point et le coefficient directeur
Une droite passe par le point et a pour coefficient directeur . Laquelle des paires d’équations paramétriques suivantes représente cette droite ?
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
Rappelons que la représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
On nous dit que la droite passe par le point et qu’elle a pour coefficient directeur . Nous devons d’abord déterminer un vecteur directeur de la droite à partir du coefficient directeur. Après avoir déterminé un vecteur directeur, nous pouvons l’utiliser avec le point donné pour écrire l’équation vectorielle de la droite. Ainsi, nous pouvons déterminer les équations paramétriques pour et .
Nous savons que le coefficient directeur d’une droite est aussi donné par . Sachant que le coefficient directeur de cette droite est , nous avons
Cela conduit au vecteur directeur de la droite : .
En utilisant le vecteur directeur et le point donné , nous pouvons écrire la représentation paramétrique :
Nous notons que cette représentation paramétrique ne correspond à aucun des choix donnés. Nous devons donc choisir un vecteur directeur alternatif qui est colinéaire au vecteur .
En observant les choix donnés, nous pouvons identifier le vecteur directeur utilisé dans chaque choix en rappelant que les composantes et du vecteur directeur peuvent être obtenues à partir des coefficients de dans les équations cartésiennes respectives. Par conséquent,
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
- , .
Parmi les vecteurs indiqués, seul est colinéaire à notre vecteur directeur puisque . Alors, utilisons comme vecteur directeur avec le point pour écrire la représentation paramétrique de notre droite :
Donc, la réponse correcte est C.
Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer les équations paramétriques d’une droite passant par un point donné et le milieu de deux autres points.
Exemple 6: Identifier les équations paramétriques d’une droite
Déterminez les équations paramétriques de la droite qui passe par le milieu de , où et , et par le point .
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
Rappelons que la représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
On nous dit que notre droite passe par le point , donc nous pouvons utiliser et . Cependant, nous remarquons qu’aucun des choix donnés n’utilise ces valeurs, alors il faut trouver un autre point à utiliser pour les équations paramétriques.
Nous savons que notre droite passe aussi par le milieu de , alors trouvons les coordonnées de ce point. Rappelons que les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités. En d’autres termes, étant donnés deux points et , les coordonnées et du milieu de sont données par
Par conséquent, la coordonnée du milieu est et la coordonnée du milieu est
Cela conduit aux coordonnées . On remarque que les choix A, C et E utilisent les valeurs et pour les équations paramétriques.
Identifions le vecteur de direction. On sait que la droite passe par les points et ; par conséquent, le vecteur directeur de la droite doit être colinéaire au vecteur reliant ces deux points. En soustrayant les vecteurs position de ces points, on obtient
Ainsi, un vecteur directeur possible de cette droite est . On sait également que ce vecteur peut être remplacé par tout multiple constant du vecteur. Voyons si ce vecteur directeur est utilisé dans un des choix donnés. En utilisant le point et le vecteur directeur , on obtient les équations paramétriques
C’est le choix C.
Terminons cette fiche explicative en récapitulant quelques points clés sur les équations paramétriques d’une droite.
Points clés
- La représentation paramétrique d’une droite donne les coordonnées et de chaque point appartenant à la droite en fonction du paramètre.
- La représentation paramétrique d’une droite passant par le point et parallèle au vecteur directeur est
- Tout point appartenant à une droite peut être utilisé pour obtenir les équations paramétriques de la droite. De même, le vecteur directeur peut être remplacé par un multiple constant du vecteur.
