Vidéo de la leçon: Équation d'une droite : Représentation paramétrique Mathématiques

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Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les équations paramétriques d'une droite à partir d'un point appartenant à la droite et du vecteur directeur de la droite. Commençons par rappeler la forme générale de l’équation vectorielle d’une droite. L’équation vectorielle de la droite passant par le point 𝐴 et de vecteur directeur 𝐝 est 𝐫 égale 𝐎𝐀 plus 𝑡 𝐝. Elle peut être représentée comme ceci sur le plan cartésien.

On rappelle que le vecteur position d’un point est le vecteur partant de l’origine et arrivant à ce point. L’équation vectorielle d’une droite décrit chaque point de la droite par son vecteur position 𝐫. Chaque valeur du paramètre 𝑡 donne le vecteur position d’un point de la droite.

Pour la droite passant par le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur 𝐝 de composantes 𝑎, 𝑏, son équation vectorielle est définie par 𝐫 égale 𝑥 zéro, 𝑦 zéro plus 𝑡 fois 𝑎, 𝑏. En simplifiant le membre droit de l’équation, on obtient les composantes 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. On peut alors écrire le vecteur position du membre gauche en fonction de ses composantes 𝑥 et 𝑦. Cela nous amène aux équations paramétriques de la droite. Les équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur 𝐝 sont x égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. Nous allons à présent mettre ces connaissances en pratique avec le premier exemple.

La droite 𝐿 passe par le point 𝑁 de coordonnées trois, quatre et a pour vecteur directeur 𝐮 égale à deux, moins cinq. Quelles sont les équations paramétriques de la droite 𝐿?

Commençons par rappeler que les équations paramétriques de la droite passant par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur 𝑎, 𝑏 sont 𝑥 égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. La question indique que la droite 𝐿 passe par le point de coordonnées trois, quatre. Cela signifie que la valeur de 𝑥 zéro est trois et que celle de 𝑦 zéro est quatre. Nous connaissons également un vecteur directeur 𝐮 tel que 𝑎 égale à deux et 𝑏 égale à moins cinq.

En substituant les valeurs de 𝑥 zéro et 𝑎, on obtient 𝑥 égale à trois plus deux 𝑡. Et en substituant les valeurs de 𝑦 zéro et 𝑏, on obtient 𝑦 égale à quatre moins cinq 𝑡. Il est important de noter que l’on peut remplacer le paramètre 𝑡 par n’importe quelle autre lettre. Par exemple, 𝑥 égale à trois plus deux 𝑘 et 𝑦 égale à quatre moins cinq 𝑘 est également une solution valide. Nous pouvons donc conclure que ce sont les équations paramétriques de la droite 𝐿.

Nous allons maintenant étudier un autre exemple où nous devons convertir une équation vectorielle en équations paramétriques.

L’équation vectorielle d’une droite est définie par 𝐫 de 𝑡 égale 𝑡 fois cinq, deux plus moins un, trois. Quelles sont les équations paramétriques qui représentent cette droite? S’agit-il de (A) 𝑥 égale à cinq 𝑡 plus deux, 𝑦 égale à moins 𝑡 plus trois? (B) 𝑥 égale à cinq 𝑡 moins un, 𝑦 égale à deux 𝑡 plus trois? (C) 𝑥 égale à trois 𝑡 plus deux, 𝑦 égale à moins 𝑡 plus cinq? (D) 𝑥 égale à moins 𝑡 plus cinq, 𝑦 égale à trois 𝑡 plus deux? Ou (E) 𝑥 égale à deux 𝑡 plus trois, 𝑦 égale à cinq 𝑡 moins un?

Commençons par rappeler que l’équation vectorielle d’une droite est 𝐫 égale à 𝑥 zéro, y zéro plus 𝑡 fois 𝑎, 𝑏, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro est le vecteur position d’un point sur la droite et 𝑎, 𝑏 est un vecteur directeur de la droite.

En comparant cela à l’équation donnée, ont voit que le vecteur directeur de la droite est cinq, deux. Le vecteur position lorsque 𝑡 égale à zéro est moins un, trois. Cela signifie que cette droite passe par le point un, trois et a comme vecteur directeur cinq, deux.

On rappelle ensuite que les équations paramétriques d’une droite sont 𝑥 égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. En substituant les valeurs que l’on vient de déterminer, on obtient 𝑥 égale à moins un plus cinq 𝑡 et 𝑦 égale à trois plus deux 𝑡. En échangeant les termes pour correspondre aux cinq options proposées, on obtient 𝑥 égale à cinq 𝑡 moins un et 𝑦 égale à deux 𝑡 plus trois. La bonne réponse est donc l’option (B).

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser les équations paramétriques d’une droite pour déterminer son vecteur directeur. Quel est le vecteur directeur de la droite dont les équations paramétriques sont 𝑥 égale à deux et 𝑦 égale à moins deux 𝑘 plus quatre?

Commençons par rappeler que les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur de composantes 𝑎, 𝑏 sont 𝑥 égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. La droite a ici pour équations paramétriques 𝑥 égale à deux et 𝑦 égale à moins deux 𝑘 plus quatre.

En notant que le paramètre est 𝑘, on peut réécrire les équations générales comme ceci. En comparant les termes, on voit que 𝑥 zéro est égal à deux. Et 𝑎 est égal à zéro, car il n’y a pas de terme en 𝑘 dans la première équation paramétrique. On trouve de plus 𝑦 zéro égale à quatre et 𝑏 égale à moins deux. Cela signifie que cette droite passe par le point deux, quatre. Et qu’elle a comme vecteur directeur zéro, moins deux. Nous pouvons donc conclure que la droite dont les équations paramétriques sont 𝑥 égale à deux et 𝑦 égale à moins deux 𝑘 plus quatre a pour vecteur directeur zéro, moins deux.

Bien que cela ne soit pas demandé dans cette question, nous pourrions utiliser ces informations pour écrire l’équation vectorielle de la droite. Le vecteur position 𝐫 est égal à deux, quatre plus 𝑘 fois zéro, moins deux. Comme nous l’avons vu dans cette question, le vecteur directeur est parfois fourni indirectement dans l’énoncé. En réalité, le vecteur directeur d’une droite peut être donné indirectement de trois manières : l’énoncé peut en effet fournir deux points appartenant à la droite, l’angle entre la droite et l’axe des abscisses positives ou encore le coefficient directeur de la droite. Nous allons maintenant étudier deux de de ces scénarios.

Déterminez les équations paramétriques de la droite qui forme un angle de 135 degrés avec l’axe des abscisses positives et qui passe par le point un, moins 15. S’agit-il de (A) 𝑥 égale à un plus 𝑘, 𝑦 égale moins 15 moins 𝑘? (B) 𝑥 égale à un plus 𝑘, 𝑦 égale à un moins 15𝑘? (C) 𝑥 égale à moins 15 moins 𝑘, 𝑦 égale à un plus 𝑘? Ou (D) 𝑥 égale à un, 𝑦 égale à moins 15 moins 𝑘?

Commençons par tracer la droite, en rappelant qu’elle forme un angle de 135 degrés avec l’axe des abscisses. La question indique qu’elle passe par le point de coordonnées un, moins 15. On rappelle que le coefficient directeur de la droite qui forme un angle 𝜃 avec l’axe des abscisses positives est défini par tangente de 𝜃. Comme déjà mentionné, cet angle 𝜃 est égal à 135 degrés. Et tangente de 135 degrés égale à moins un. Cela signifie que le coefficient directeur de notre droite est égal à moins un.

Ce coefficient directeur est égal au déplacement vertical sur le déplacement horizontal, ce qui conduit à un déplacement vertical de moins un et un déplacement horizontal de un. Comme le déplacement horizontal est la variation des abscisses et que le déplacement vertical est la variation des ordonnées, on obtient le vecteur directeur un, moins un. Les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur 𝑎, 𝑏 sont 𝑥 égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑘 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑘. Comme nous avons maintenant toutes les informations nécessaires, nous pouvons substituer les valeurs.

On a d’abord 𝑥 égale à un plus 𝑘. Et ensuite 𝑦 égale à moins 15 moins 𝑘. La bonne réponse est donc l’option (A). Les équations paramétriques de la droite qui forme un angle de 135 degrés avec l’axe des abscisses positives et qui passe par le point un, moins 15 sont 𝑥 égale à un plus 𝑘 et 𝑦 égale à moins 15 moins 𝑘.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer le vecteur directeur de la droite à partir de son coefficient directeur.

Une droite passe par le point un, six et a un coefficient directeur de un demi. Quelles équations paramétriques représentent cette droite? S’agit-il de (A) 𝑥 égale 𝑡 plus un, 𝑦 égale à deux 𝑡 plus six? (B) 𝑥 égale à 𝑡 plus deux, 𝑦 égale à six 𝑡 plus un? (C) 𝑥 égale à quatre 𝑡 plus un, 𝑦 égale à deux 𝑡 plus six. (D) 𝑥 égale à six 𝑡 plus un, 𝑦 égale à 𝑡 plus deux. Ou (E) 𝑥 égale à quatre 𝑡 plus un, 𝑦 égale à 𝑡 plus six.

Commençons par rappeler que les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur de composantes 𝑎, 𝑏 sont 𝑥 égale à 𝑎𝑡 plus 𝑥 zéro et y égale à 𝑏𝑡 plus 𝑦 zéro. On nous dit que la droite passe par le point un, six. Par conséquent, 𝑥 zéro égale à un et 𝑦 zéro égale à six. Il est également indiqué que son coefficient directeur est égal à un sur deux. On peut utiliser cette information pour déterminer le vecteur directeur de la droite. Une fois que nous l’aurons trouvé, nous pourrons utiliser les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour établir les équations paramétriques de 𝑥 et 𝑦.

On rappelle que le coefficient directeur est égal au déplacement vertical sur le déplacement horizontal ; donc comme le coefficient directeur de notre droite est un demi, le déplacement vertical est égal à un et le déplacement horizontal est égal à deux. Cela conduit au vecteur directeur deux, un. On peut le représenter sur le plan cartésien comme ceci. Comme le vecteur directeur est égal à deux, un, les valeurs de 𝑎 et 𝑏 dans nos équations paramétriques sont respectivement deux et un.

En utilisant le vecteur directeur deux, un et le point un, six, les équations paramétriques sont 𝑥 égale à deux 𝑡 plus un et 𝑦 égale à 𝑡 plus six. On remarque alors que ces équations ne correspondent à aucune des options proposées.

Faisons maintenant un peu de place et voyons comment nous pouvons résoudre ce problème. Nous devons choisir un autre vecteur directeur qui est colinéaire au vecteur deux, un, par exemple : quatre, deux ; six, trois ; huit, quatre ; etc. On peut identifier le vecteur directeur de chaque option en rappelant que les composantes en 𝑥 et 𝑦 du vecteur directeur peuvent être obtenues à partir des coefficients de 𝑡.

Dans l’option (A), le vecteur directeur est un, deux. L’option (B) a un vecteur directeur de un, six. Aucun d’entre eux n’est colinéaire au vecteur directeur deux, un. Le vecteur directeur de l’option (C) est quatre, deux. Il est colinéaire au vecteur directeur deux, un, car les deux composantes sont multipliées par deux. Les vecteurs directeurs des options (D) et (E) sont respectivement six, un et quatre, un, aucun d’entre eux n’étant colinéaire à deux, un. En utilisant le vecteur directeur quatre, deux avec le point un, six, on obtient les équations paramétriques 𝑥 égale à quatre 𝑡 plus un et 𝑦 égale à deux 𝑡 plus six. La bonne réponse parmi les options proposées est donc (C).

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Les équations paramétriques d’une droite donnent les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chaque point de la droite en fonction d’un paramètre. Les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur directeur 𝐝 égal à 𝑎, 𝑏, sont 𝑥 égale à 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡 et 𝑦 égale à 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡. Tout point appartenant à la droite peut être utilisé pour obtenir les équations paramétriques de la droite. Le vecteur directeur peut également être remplacé par tout multiple scalaire de lui-même. Cela signifie que les équations paramétriques d’une droite ne sont pas uniques.