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Déterminez la valeur de 𝑛 sachant que 𝑛 moins 10 𝐴 deux est égal à trois factorielles.
Tout d’abord, voyons ce que nous savons des arrangements. Pour l’arrangement 𝑛𝐴𝑟, il sera égal à 𝑛 factorielle sur 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Dans la position 𝑛 dans notre arrangement, nous avons cette expression 𝑛 moins 10. Lorsque nous avons une expression pour notre position 𝑛, il peut être judicieux de remplacer une variable 𝑛, ce qui simplifiera les calculs. Donc, nous dirons soit 𝑥 égal 𝑛 moins 10. Nous avons maintenant quelque chose qui dit que 𝑥P deux est égal à trois factorielles. Puis, nous pouvons écrire notre arrangement comme 𝑥 factorielle sur 𝑥 moins deux factorielles égale trois factorielles.
Nous voulons essayer de simplifier notre arrangement. Et nous pouvons le faire avec une propriété de factorielle, 𝑛 factorielle égale 𝑛 fois 𝑛 moins un factorielle, ce qui signifie que 𝑥 factorielle peut être réécrite comme 𝑥 fois 𝑥 moins un factorielle et 𝑥 moins un factorielle peut être réécrit comme 𝑥 moins un fois 𝑥 moins deux factorielles. En développant notre numérateur de cette manière, nous nous retrouvons avec le terme de 𝑥 moins deux factorielles au numérateur et au dénominateur, et ils s’annulent.
Donc, nous avons une affirmation qui dit que 𝑥 fois 𝑥 moins un égale trois factorielles. 𝑥 fois 𝑥 moins un égale 𝑥 au carré moins 𝑥. Trois factorielles est trois fois deux fois un, ce qui fait six. Il semble maintenant que nous ayons une sorte d’équation de second degré. Si nous soustrayons six des deux membres de notre équation, nous obtenons 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six. Et nous allons résoudre ce problème en factorisant. Nous avons besoin des facteurs qui se multiplient pour être égal à moins six et qui s’additionnent pour être égal à moins un. C’est plus deux et moins trois. Donc, nous avons deux termes pour 𝑥, 𝑥 plus deux et 𝑥 moins trois, ce qui signifie que 𝑥 devrait être moins deux ou plus trois.
Cependant, nous devons y penser attentivement. Lorsque nous traitons des arrangements, la position 𝑛 représente le nombre d’éléments dans un ensemble. Et nous ne dirions jamais que nous avons des éléments négatifs dans un ensemble. Et cela signifie que 𝑥 ne peut pas être égal à moins deux, mais 𝑥 est égal à trois. Maintenant, nous devrions être prudents ici. Ce n’est pas notre réponse. Nous cherchons 𝑛. Et 𝑥 est égal à 𝑛 moins 10. On peut donc dire que trois égale 𝑛 moins 10. En ajoutant 10 aux deux membres, nous voyons que 13 est égal à 𝑛 ou, plus communément, 𝑛 est égal à 13. Ce que nous avons ici est 13 moins 10P deux est égal à trois factorielles, ce qui serait trois 𝐴 deux est égal à trois factorielles. Et c’est une affirmation correcte, qui confirme que 𝑛 est égal à 13.
Avant de continuer, je veux revenir à cette étape. Lorsque nous avions 𝑥 fois 𝑥 moins un égale trois factorielles et que nous savons que trois factorielles égalent six, nous pourrions interpréter 𝑥 fois 𝑥 moins un pour dire que ce sont deux entiers consécutifs qui doivent se multiplier pour donner six. Et puisque trois et deux sont les facteurs de six et que trois et deux sont des entiers consécutifs, nous aurions pu utiliser cette information pour dire que trois fois trois moins un égale six. Par conséquent, 𝑥 est égal à six. Cette démarche utilise la logique et les connaissances sur les arrangements pour trouver la valeur de 𝑥, alors que la première méthode que nous avons utilisée était une méthode plus algébrique. L’une ou l’autre méthode nous aidera à obtenir la réponse finale, à savoir 𝑛 égale 13.
