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Fiche explicative de la leçon : Arrangements Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des arrangements pour résoudre des problèmes et pour compter les issues satisfaisant un événement donné.

Le nombre d’arrangements, noté 𝐴, représente le nombre de façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total. Pour les arrangements, l’ordre de chaque élément est important. Par exemple, si on souhaite trouver le nombre de triplets ordonnés parmi les nombres de 1 à 5, qui est donné par 𝐴 , alors les arrangements 1, 2, 3 et 3, 2, 1 sont comptés comme deux arrangements différents. Pour que cette définition existe, il faut que les paramètres 𝑛 et 𝑘 soient des entiers positifs satisfaisant 𝑛𝑘.

En particulier, considérons la permutation 𝐴 qui compte les différentes façons d’ordonner 𝑛 objets distincts. Rappelons le principe fondamental du dénombrement.

Théorème : Principe fondamental du dénombrement

Pour deux évènements indépendants 𝐴 et 𝐵 tels que le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐴 est 𝑥 et le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐵 est 𝑦, le nombre total d’issues possibles distinctes de ces deux évènements simultanément est le produit 𝑥×𝑦.

Deux évènements sont indépendants si l’issue d’un évènement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre évènement. En outre, le principe fondamental du dénombrement fonctionne lorsqu’il y a plus de deux évènements. En résumé, on peut multiplier le nombre d’issues possibles pour chaque évènement, à condition qu’ils soient indépendants.

La tâche d’ordonner 𝑛 objets distincts peut être décomposée en 𝑛 étapes distinctes, en commençant par sélectionner le premier objet. Il y a 𝑛 différentes façons de sélectionner le premier objet. Après avoir sélectionné le premier objet, il reste 𝑛1 objets. Donc, il y a 𝑛1 différentes façons de sélectionner le deuxième objet. Ce schéma continue jusqu’à ce que l’on sélectionne le dernier objet, où il n’y a qu’une seule possibilité. En utilisant le principe fondamental du dénombrement, on obtient nombredefaçonsdordonnernombredefaçonsdesélectionnerlepremiernombredefaçonsdesélectionner𝑛=××=𝑛×(𝑛1)×(𝑛2)××2×1=𝑛!.

Il y a 𝑛! différentes façons d’ordonner 𝑛 objets distincts. On a donc 𝐴=𝑛!.

Considérons maintenant le cas général 𝐴, 𝑛>𝑘. Le nombre d’arrangements 𝐴 représente le nombre de façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total. La tâche d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total peut être envisagée dans le contexte d’une course. On suppose que 𝑛 élèves participent à une course, où les 𝑘 premiers gagnent des médailles avec leur classement imprimé dessus. Par exemple, l’étudiant en première place va gagner une médaille avec « n°1 » imprimé dessus, l’étudiant en deuxième place en recevra une avec « n°2 » imprimé dessus, etc. Les étudiants qui finissent après l’étudiant numéro 𝑘 ne recevront pas de médaille.

Si on compte le nombre de façons différentes d’attribuer des médailles à la fin de cette course, on compte les différentes façons d’ordonner 𝑘 étudiants parmi 𝑛 étudiants au total. Par définition, ce nombre est donné par le nombre d’arrangements 𝐴.

On applique le principe fondamental du dénombrement à cet exemple. Soient 𝐴 l’événement d’attribution des médailles aux 𝑘 premiers et 𝐵 l’événement du classement des 𝑛𝑘 coureurs restants. On remarque que l’attribution de médailles aux 𝑘 premiers n’affecte pas l’ordre des 𝑛𝑘 coureurs restant, les événements 𝐴 et 𝐵 sont donc indépendants. Si on réalise simultanément les événements 𝐴 et 𝐵, on obtient un événement dans lequel on ordonne tous les 𝑛 coureurs. D’après le principe fondamental du dénombrement, on a nombredefaçonsdattribuermédaillesparminombredefaçonsdordonnercoureursnombredefaçonsdordonnercoureurs𝑘𝑛×𝑛𝑘=𝑛.

Sur la base des réflexions précédentes, il y a 𝐴 différentes façons d’attribuer des médailles aux 𝑘 premiers. Comme vu ci-dessus, il y a (𝑛𝑘)! différentes façons d’ordonner 𝑛𝑘 coureurs et 𝑛! différentes façons d’ordonner tous les 𝑛 coureurs. Donc, 𝐴×(𝑛𝑘)!=𝑛!.

En divisant chaque membre par (𝑛𝑘)!, on peut calculer 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!.

Cela conduit à la formule générale du nombre d’arrangements.

Définition : Arrangements

Soient les entiers positifs 𝑛 et 𝑘 satisfaisant 𝑛𝑘, le nombre d’arrangements 𝐴 représente le nombre de façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total. Sa formule est donnée par 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!.

On note que plusieurs notations équivalentes sont utilisées pour les arrangements. Les notations 𝐴, 𝐴, et 𝐴(𝑛;𝑘) sont équivalentes.

Étudions quelques exemples pour nous familiariser avec différents contextes.

Exemple 1: Utiliser la formule du nombre d’arrangements pour calculer des valeurs

Calculez 𝐴×2!.

Réponse

On rappelle que le nombre d’arrangements 𝐴 est défini par 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!.

Donc, 𝐴=5!(52)!=5!3!.

On rappelle que 5!=5×4×3×2×1 et 3!=3×2×1. On a donc l’identité 5!=5×4×3!. Ainsi, 5!3!=5×4×3!3!=5×4=20.

On a enfin 𝐴×2!=20×(2×1)=40.

Par conséquent, 𝐴×2! est égal à 40.

Étudions ensuite quelques exemples de problèmes à énoncé liés aux arrangements. Dans les problèmes à énoncé, il est important de reformuler le problème pour associer le contexte du problème à l’écriture des arrangements correspondant 𝐴.

Exemple 2: Utiliser les arrangements pour résoudre un problème de dénombrement

Combien de nombres à 4 chiffres peuvent être formés à partir des chiffres 5, 3, 2, 7 et 6?Supposez qu’aucun chiffre ne peut être utilisé plus d’une fois.

Réponse

On doit compter le nombre de nombres différents à 4 chiffres créés en utilisant 5 chiffres distincts sans répétition. En reformulant légèrement le problème, on doit compter le nombre de façons d’ordonner 4 chiffres parmi 5 chiffres distincts. Ce nombre est donné par le nombre d’arrangements 𝐴. On rappelle que 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!. Donc 𝐴=5!(54)!=5!1!=5!.

On calcule 5!=5×4×3×2×1=120, donc 𝐴=120.

Il y a 120 nombres à 4 chiffres différents qui peuvent être formés à partir des chiffres 5, 3, 2, 7 et 6 sans qu’aucun chiffre ne soit répété.

Exemple 3: Utiliser les arrangements pour résoudre un problème à énoncé

De combien de façons 2 personnes peuvent-elles s’asseoir sur 8 chaises?

Réponse

On doit compter le nombre de façons différentes dont 2 personnes peuvent s’asseoir sur 8 chaises. On va reformuler l’énoncé pour l’adapter à la définition des arrangements. On suppose que les deux personnes portent les mentions n°1 et n°2. On remarque que la tâche du choix de 2 chaises pour s’asseoir par n°1 et n°2 est équivalente à la tâche d’étiqueter deux chaises n°1 et n°2. On peut reformuler cette dernière tâche comme ordonner 2 chaises parmi 8 chaises au total.

On doit donc compter le nombre de façons d’ordonner 2 chaises parmi 8. Cela est donné par le nombre d’arrangements 𝐴. On rappelle que 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!. Donc, 𝐴=8!(82)!=8!6!.

On rappelle que 8!=8×7×6!. Donc, 8!6!=8×7×6!6!=8×7=56, ce qui mène à 𝐴=56.

Il y a donc 56 façons différentes que 2 personnes s’assoient sur 8 chaises.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème impliquant un paramètre inconnu dans le nombre d’arrangements 𝐴.

Exemple 4: Déterminer la valeur d’une inconnue en évaluant des nombres d’arrangements

Déterminez la valeur de 𝑛 tel que 𝐴=32736.

Réponse

Par définition, on peut écrire 𝐴=𝑛!(𝑛3)!.

Pour 𝑛3 , on peut écrire 𝑛!=𝑛(𝑛1)(𝑛2)(𝑛3)!, donc 𝑛!(𝑛3)!=𝑛(𝑛1)(𝑛2)(𝑛3)!(𝑛3)!=𝑛(𝑛1)(𝑛2).

On a 𝐴=𝑛(𝑛1)(𝑛2). On doit trouver 𝑛 satisfaisant 𝑛(𝑛1)(𝑛2)=32736.

En d’autres termes, on doit trouver trois entiers consécutifs ( 𝑛, 𝑛1 et 𝑛2 ) dont le produit est égal à 32‎ ‎736.

Comme 𝑛3, le produit 𝑛(𝑛1)(𝑛2) doit être entre (𝑛2) et 𝑛. Donc, (𝑛2)32736𝑛.

En prenant la racine cubique de l’inégalité, comme 3273631,99, on obtient 𝑛231,99𝑛.

Par conséquent, 𝑛 doit être supérieur ou égal à 32. Également, 𝑛2 est inférieur ou égal à 31, ce qui signifie que 𝑛 est inférieur ou égal à 33. On remarque donc que 𝑛 doit être égal à 32 ou 33.

On vérifie la formule du nombre d’arrangements pour ces deux valeurs. Si 𝑛=32, alors 𝐴=𝑛(𝑛1)(𝑛2)=323130=29760.

Si 𝑛=33, alors 𝐴=333231=32736.

La deuxième valeur correspond à celle donnée, c’est donc la valeur correcte de 𝑛.

Par conséquent, 𝐴=32736 implique que 𝑛=33.

Les problèmes d’arrangements peuvent aussi impliquer des symétries de rotation, qui réduisent davantage le nombre car la rotation d’un arrangement circulaire donné conduit à un arrangement équivalent. Par exemple, on considère une bague qui contient 𝑘 pierres distinctes qui sont équidistantes, où il existe 𝑛 types distincts de pierres. On va compter le nombre de bagues différentes dans ce contexte.

D’après les réflexions précédentes, on sait qu’il y a 𝐴 façons d’ordonner 𝑘 pierres en ligne droite parmi 𝑛 pierres au total. On suppose que l’on crée une bague en rendant les extrémités gauche et droite adjacentes, en un arrangement circulaire. Par exemple, si on considère les arrangements linéaires et circulaires suivants pour 𝑘=3 illustrés ci-dessous.

On observe que les trois arrangements circulaires ci-dessus sont identiques, alors que les arrangements linéaires correspondants sont distincts. Les arrangements linéaires peuvent être obtenus à partir des arrangements circulaires en prenant la pierre du dessus et en procédant dans le sens des aiguilles d’une montre.

Ainsi, quand on compte le nombre d’arrangements linéaires, chaque modèle de bague distinct est répété 3 fois. En d’autres termes, il y a 3 arrangements linéaires différents provenant d’un seul modèle de bague circulaire comme ci-dessus. Si on a 𝑘 pierres distinctes sur une bague, alors chaque modèle de bague peut former 𝑘 arrangements linéaires distincts.

On utilise le principe fondamental du dénombrement pour exprimer le nombre de modèles de bagues distincts pour 𝑘 pierres parmi 𝑛 pierres distinctes au total. Soient 𝐴 l’évènement de création d’un modèle de bague et 𝐵 l’évènement de création d’un arrangement linéaire pour un modèle de bague donné. Le résultat de l’évènement 𝐴, qui est la conception d’une bague spécifique, n’affecte pas le nombre de façons différentes de réaliser l’événement 𝐵 (c.à.d. il y a toujours 𝑘 différentes façons de réaliser 𝐵). Ainsi, les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants. Donc, d’après le principe fondamental du dénombrement, nombredebaguesdiérentesavecpierresparminombredarrangementslinéairesdunebaguenombredarrangementslinéairesdepierresparmi𝑘𝑛×=𝑘𝑛.

Le membre à droite de l’équation est donné par 𝐴 et on a observé qu’il y a 𝑘 différentes façons de former des arrangements linéaires à partir d’une bague. Puis nombredarrangementscirculairesdiérents×𝑘=𝐴.

En divisant les deux membres par 𝑘, on obtient la formule suivante.

Théorème : Compter des arrangements circulaires

Le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑘 objets en un motif circulaire parmi 𝑛 objets distincts au total est 𝐴𝑘.

En particulier, le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑛 objets distincts au total en un motif circulaire est (𝑛1)!.

On remarque que la dernière identité est donnée en remplaçant par 𝑘=𝑛, ce qui donne 𝐴𝑛=𝑛!𝑛=𝑛×(𝑛1)!𝑛=(𝑛1)!.

Étudions un autre exemple d’arrangements circulaires pour nous familiariser avec ce concept.

Exemple 5: Utiliser les arrangements pour résoudre un problème en énoncé avec des symétries de rotation

Déterminez le nombre de façons dont 6 enfants peuvent s’asseoir en cercle.

Réponse

On souhaite compter le nombre de façons dont 6 enfants peuvent s’asseoir en cercle. On rappelle que le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑘 objets en un motif circulaire parmi 𝑛 objets distincts au total est 𝐴𝑘.

Dans notre exemple, on ordonne 6 élèves en cercle parmi 6 élèves au total. Donc, 𝑛=6 et 𝑘=6. On doit calculer 𝐴6.

On rappelle que 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!. Donc, 𝐴=6!(66)!=6!0!=6!.

Donc, 𝐴6=6!6=6×5!6=5!=120.

Il y a donc 120 façons différentes que six enfants s’assoient en cercle.

Points clés

  • Le nombre d’arrangements 𝐴 compte les différentes façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total.
  • Le nombre d’arrangements 𝐴 est aussi noté 𝐴 ou 𝐴(𝑛;𝑘).
  • Le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑛 objets distincts est donné par 𝐴=𝑛!.
  • Le nombre d’arrangements 𝐴 est donné par 𝑛!(𝑛𝑘)!.
  • Le nombre d’arrangements circulaires de 𝑘 éléments parmi 𝑛 éléments au total est donné par 𝐴𝑘. En particulier, le nombre d’arrangements circulaires de 𝑛 objets distincts au total est (𝑛1)!.

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