Vidéo de la leçon: Arrangements Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des arrangements pour résoudre des problèmes et pour compter les issues satisfaisant un évènement donné.

L’arrangement notée 𝑛A𝑘 représente le nombre de différentes façons d’arranger 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts. Pour les arrangements, l’ordre de chaque élément est important. Par exemple, si on veut trouver le nombre des arrangements de triplets possibles pour les nombres de un à cinq qui est noté cinq A trois, alors les arrangements un, deux, trois et trois, deux, un sont comptés comme deux arrangements différents. Il est important de noter que pour que cette définition tienne, 𝑛 et 𝑘 doivent être des entiers non négatifs de sorte que 𝑛 est supérieur ou égal à 𝑘.

Voyons maintenant quelques définitions et propriétés clés que nous allons utiliser dans cette vidéo. Ordonner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets peut être considéré dans le contexte d’une course. Supposons que 𝑛 élèves participent à une course où les 𝑘 premiers auront des médailles avec leur rang imprimé dessus. Par exemple, le premier élève aura une médaille avec le nombre un, l’élève de la deuxième place en recevra une avec le nombre deux, et ainsi de suite. Les élèves qui terminent après le 𝑘-ième ne reçoivent pas de médaille.

Si on dénombre les différentes façons d’attribuer les médailles à la fin de la course, on considère le nombre de différentes façons de classer 𝑘 étudiants d’un total de 𝑛 étudiants. Ce nombre est défini par l’arrangement 𝑛A𝑘. Bien que nous utiliserons cette notation dans cette vidéo, il est important de noter qu’il existe d’autres façons d’écrire les arrangements comme indiqué. Afin de comprendre comment calculer ce nombre, nous allons utiliser le principe fondamental du dénombrement.

Ce principe stipule que si on a deux événements indépendants 𝐴 et 𝐵 tels que le nombre d’issues possibles pour l’événement 𝐴 est 𝑥 et le nombre d’issues possibles pour l’événement 𝐵 est 𝑦, le nombre total de différentes issues possibles de ces deux événements est le produit 𝑥 multiplié par 𝑦. Rappelons que deux événements sont indépendants si l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement.

Nous allons maintenant appliquer le principe fondamental du dénombrement à notre exemple. On suppose que 𝐴 est l’événement d’attribuer des médailles aux 𝑘 premiers et 𝐵 l’événement de classer les autres 𝑛 moins 𝑘 coureurs. Cela signifie qu’appliquer les deux événements 𝐴 et 𝐵 équivaut à classer tous les 𝑛 coureurs puisqu’on classe 𝑘 et ensuite on classe les autres 𝑛 moins 𝑘 coureurs. Nous notons que, attribuer des médailles aux 𝑘 premiers n’affecte pas l’ordre des 𝑛 moins 𝑘 coureurs restants. Ainsi, les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.

D’après le principe fondamental du dénombrement, on a le nombre de façons d’attribuer 𝑘 médailles multiplié par le nombre de façons de classer 𝑛 moins 𝑘 coureurs est égal au nombre de façons de classer 𝑛 coureurs. Nous savons déjà qu’il existe 𝑛A𝑘 différentes façons d’attribuer des médailles aux 𝑘 premiers. Il y a factorielle de 𝑛 moins 𝑘 différentes façons de classer 𝑛 moins 𝑘 coureurs et factorielle de 𝑛 façons de classer tous les coureurs. Cela signifie que 𝑛A𝑘 multiplié par factorielle de 𝑛 moins 𝑘 est égal à factorielle de 𝑛. Si on divise les deux côtés par factorielle de 𝑛 moins 𝑘, on obtient 𝑛A𝑘 égale factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Et c’est la formule générale des permutations.

On peut résumer cela comme suit. Étant donné des entiers non négatifs 𝑛 et 𝑘, où 𝑛 est supérieur ou égal à 𝑘, l’arrangement 𝑛A𝑘 représente le nombre de différentes façons de classer 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts. 𝑛A𝑘 est égale à factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Nous allons maintenant examiner des exemples dans différentes situations.

Évaluez 5A2 multiplié par factorielle de deux.

Nous rappelons que l’arrangement 𝑛A𝑘 est définie par 𝑛A𝑘 égale factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Il s’agit du nombre de différentes façons de classer 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts. Cela signifie que 5A2 est égal à factorielle de cinq divisée par factorielle de cinq moins deux. Nous essayons de calculer le nombre de différentes façons de classer deux objets sur un total de cinq objets. Le dénominateur devient factorielle de trois, car cinq moins deux est égal à trois.

Nous rappelons également que lorsque 𝑛 est un entier positif, factorielle de 𝑛 est le produit de tous les nombres entiers de 𝑛 à un. Factorielle de 𝑛 est aussi égale à 𝑛 multiplié par factorielle de 𝑛 moins un. Cela signifie qu’on peut réécrire le numérateur de 5A2 comme cinq multiplié par quatre multiplié par factorielle de trois. Factorielle de trois s’élimine sur le numérateur et le dénominateur, et il reste cinq multiplié par quatre, ce qui est égal à 20. Cinq A deux est égal à 20. Et nous devons maintenant multiplier cela par factorielle de deux. Factorielle de deux est égal à deux multiplié par un. Qui est égal à deux, et lorsqu’on multiplie par 20 on a 40. 5A2 multiplié par factorielle de deux est égal à 40.

Dans le prochain exemple, nous allons examiner un problème réel.

De combien de façons deux personnes peuvent-elles s’asseoir sur huit chaises ?

Dans cette question, nous devons dénombrer les différentes façons dont deux personnes peuvent s’asseoir sur huit chaises. Nous allons reformuler l’énoncé pour mieux le voir comme étant un problème d’arrangement. Supposons que les deux personnes sont étiquetées un et deux. Choisir deux chaises sur lesquelles s’asseoir pour la personne un et la personne deux équivaut à étiqueter deux de nos chaises un et deux. On peut donc reformuler la question comme suit : Dénombrez les différentes façons de classer deux chaises sur huit chaises. Ceci est défini par l’arrangement 8A2.

Nous rappelons que 𝑛A𝑘 égale factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Cela signifie que 8A2 est égal à factorielle de huit divisée par factorielle de huit moins deux, ce qui devient factorielle de huit divisée par factorielle de six. Nous rappelons également que lorsque 𝑛 est supérieur ou égal à un, factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par factorielle de 𝑛 moins un. Et lorsque 𝑛 est supérieur ou égal à deux, factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par factorielle de 𝑛 moins deux. Cela signifie qu’on peut réécrire le numérateur comme huit multiplié par sept multiplié par factorielle de six. Lorsqu’on divise par factorielle de six, on obtient huit multiplié par sept. Cela est égal à 56.

Donc, il y a 56 façons de classer deux chaises d’un total de huit chaises. Pour revenir à la question initiale, nous pouvons donc conclure qu’il y a 56 façons dont deux personnes peuvent s’asseoir sur huit chaises.

Dans notre prochain exemple, nous allons considérer un problème impliquant un paramètre inconnu de l’arrangement 𝑛Ak.

Déterminez la valeur de 𝑛 pour laquelle 𝑛A3 égale 32736.

Nous savons de la définition générale des arrangements que 𝑛A𝑘 est égal à factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Cela signifie qu’on peut écrire 𝑛A3 comme factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins trois. Cela est égal à 32736. Lorsque 𝑛 est supérieur ou égal à un, factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 multipliée par factorielle de 𝑛 moins un. Cela signifie que pour 𝑛 supérieur ou égal à trois, on peut écrire factorielle de 𝑛 comme 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux multiplié par factorielle de 𝑛 moins trois. Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur par factorielle de 𝑛 moins trois on a 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux est égal à 32736.

Cela signifie qu’on doit trouver trois entiers consécutifs 𝑛, 𝑛 moins un et 𝑛 moins deux dont le produit est 32736. Le produit de ces trois entiers doit donc être compris entre 𝑛 moins deux au cube et 𝑛 au cube. On peut alors évaluer la racine cubique de cette inéquation de telle sorte que la racine cubique de 32736 se situe entre 𝑛 moins deux et 𝑛. La racine cubique de 32736 est approximativement égale à 31,99, ce qui nous donne l’inégalité suivante. Cela nous indique que 𝑛 doit être au moins 32. Et aussi que 𝑛 moins deux peut être au plus 31 puisque 𝑛, 𝑛 moins un et 𝑛 moins deux sont des entiers. Si on suppose que 𝑛 moins deux égale 31, 𝑛 moins un égale 32 et 𝑛 égale 33, alors le produit de ces trois nombres nous donne 32736. Cela signifie que 𝑛 est égal à 33 puisque 33A3 est égal à 32736. Il y a 32736 façons de sélectionner trois objets d’un total de 33 objets distincts.

Avant de considérer un dernier exemple, nous allons voir ce qui se passe lorsqu’un arrangement contient une symétrie de rotation. Cela nous mène à une définition lorsqu’on dénombre des classements circulaires. Un problème qui contient une symétrie de rotation réduit le nombre d’arrangement car faire tourner un classement circulaire mène à un classement équivalent.

Par exemple, considérez un anneau qui contient 𝑘 pierres distinctes qui sont équidistantes, sur lequel il y a 𝑛 différents types de pierres. Nous devons dénombrer les différents anneaux qu’on peut créer dans ce contexte. Nous savons déjà qu’il y a 𝑛A𝑘 façons de classer de façon linéaire 𝑘 pierres d’un total de 𝑛 pierres. Supposons qu’on crée un anneau en rapprochant les extrémités gauche et droite. Cela crée un classement circulaire. Et dans cet exemple, supposons que 𝑘 est égal à quatre.

On peut disposer les quatre pierres A, B, C et D comme indiqué. Si on considère une rotation de 90 degrés dans le sens horaire, les pierres seront disposées comme indiqué dans la deuxième figure. On peut faire tourner le classement de 90 degrés supplémentaires et répéter cette opération une fois de plus pour que les pierres soient disposées comme indiqué. On observe ici que les quatre classements circulaires sont identiques. Cela signifie que lorsqu’on compte le nombre de classements linéaires, chaque modèle d’anneau distinct est répété quatre fois. En d’autres termes, il existe quatre différents classements linéaires qu’on peut réaliser à partir d’un anneau circulaire, comme indiqué. On peut donc dire que si on a 𝑘 pierres distinctes sur un anneau, alors chaque modèle d’anneau peut avoir 𝑘 classements linéaires distincts.

Si on utilise le principe fondamental du dénombrement et on définit 𝐴 comme l’événement de créer un modèle d’anneau et 𝐵 l’événement de faire un classement linéaire à partir d’un modèle d’anneau donné, alors puisque 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, le nombre d’anneaux différents avec 𝑘 pierres multiplié par le nombre de classements linéaires à partir d’un anneau est égal au nombre de classements linéaires de 𝑘 pierres. Le côté droit est égal à 𝑛A𝑘. Et nous avons observé qu’il existe 𝑘 différentes façons de faire des classements linéaires à partir d’un anneau.

Cela signifie que le nombre de différents classements circulaires multiplié par 𝑘 est égal à 𝑛A𝑘. Si on divise les deux côtés par 𝑘, on obtient que le nombre de différentes façons de classer 𝑘 objets dans un modèle circulaire à partir d’un total de 𝑛 objets distincts est 𝑛A𝑘 divisé par 𝑘. Nous allons maintenant considérer un exemple de cela.

Déterminez le nombre de façons dont six enfants peuvent s’asseoir dans un cercle.

Nous rappelons que le nombre de différentes façons de classer de façon circulaire 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts est 𝑛A𝑘 divisé par 𝑘. Dans l’exemple, on classe dans un cercle six élèves sur un total de six élèves. Cela signifie que 𝑛 est égal à six et 𝑘 est aussi égal à six. Nous devons donc calculer 6A6 divisé par six. De notre connaissance des permutations, 𝑛A𝑘 est égal à factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Cela signifie que 6A6 est égal à factorielle de six divisée par factorielle de six moins six. Le dénominateur devient factorielle de zéro, qui est égal à un. 6A6 est donc égal à factorielle de six.

Le nombre de façons dont six enfants peuvent s’asseoir dans un cercle est donc égal à factorielle de six divisée par six. Lorsque 𝑛 est supérieur ou égal à un, on peut écrire factorielle de 𝑛 comme 𝑛 multiplié par factorielle de 𝑛 moins un. Par conséquent, factorielle de six est égale à six multiplié par factorielle de cinq. On peut ensuite diviser le numérateur et le dénominateur par six, et obtenir factorielle de cinq. Qui est égal à 120. Donc, il y a 120 façons dont six enfants peuvent s’asseoir dans un cercle.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. L’arrangement 𝑛A𝑘 dénombre les différentes façons de classer 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts. L’arrangement 𝑛A𝑘 est également notée comme indiqué. Pour calculer le nombre d’arrangement 𝑛A𝑘, on divise factorielle de 𝑛 par factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Enfin, nous avons vu dans le dernier exemple que le nombre de classements circulaires de 𝑘 éléments d’un total de 𝑛 éléments est 𝑛A𝑘 divisé par 𝑘.