Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle, où la longueur du côté 𝐴𝐵 est égale à la longueur du côté 𝐴𝐶 égale à 19 centimètres et où la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 51 degrés, déterminez le produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂 au centième près.
Dans cette question, on nous donne quelques informations sur le triangle 𝐴𝐵𝐶. Tout d’abord, on nous dit que ceci est un triangle isocèle. Ensuite, on nous dit que les deux côtés égaux de notre triangle isocèle sont les côtés 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, qui font 19 centimètres de longueur. Et on nous dit aussi que la mesure de l’angle 𝐴 est de 51 degrés. Nous devons utiliser ceci pour déterminer le produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂. Et nous devons donner notre réponse au centième près.
Pour répondre à cette question, c’est toujours une bonne idée de schématiser les informations qui nous sont données. Donc pour commencer, nous esquissons un triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶 ayant pour côtés 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 égaux à 19 centimètres et d’angle 𝐴 de 51 degrés. Esquissons maintenant également nos deux vecteurs 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂 sur ce diagramme. 𝐁𝐀 sera le vecteur qui commence en 𝐵 et se termine en 𝐴, et 𝐁𝐂 sera le vecteur qui commence en 𝐵 et se termine en 𝐶. Ainsi nous pouvons voir maintenant sur notre schéma les vecteurs 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂 dont on nous demande de calculer le produit scalaire.
Et nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant à propos de ces deux vecteurs. Nous pouvons en effet calculer l’angle entre eux. Et nous connaissons en fait un résultat reliant le produit scalaire de deux vecteurs à l’angle entre eux. Nous pouvons donc l’utiliser pour évaluer notre produit scalaire. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 doit être égal au produit scalaire de 𝐮 par 𝐯 divisé par le module de 𝐮 fois le module de 𝐯. Et nous connaissons certaines de ces informations pour le calcul du produit scalaire qui nous est donné dans la question.
Par exemple, nous pouvons réécrire cette formule avec les vecteurs 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂. Nous pouvons également représenter l’angle entre ces vecteurs sur notre diagramme. Nous l’appellerons 𝜃. Nous avons alors que le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂 divisé par le module de 𝐁𝐀 fois le module de 𝐁𝐂. Donc pour trouver le produit scalaire en utilisant cette méthode, nous allons devoir trouver la valeur de 𝜃 et nous devons également trouver les modules du vecteur 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐁𝐂.
Nous pouvons immédiatement en voir un. Le module du vecteur 𝐁𝐀 va être égal à la longueur du côté. Il va être égal à 19. Trouvons ensuite la valeur de 𝜃. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser le fait que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle. Et nous savons que dans un triangle isocèle, les angles opposés aux cotés égaux sont égaux. Donc notre autre angle inconnu est aussi égal à 𝜃. Mais ce n’est pas la seule chose que nous savons. Nous savons également que la somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc sommer ensemble ces trois angles pour nous donner que 180 degrés devraient être égal à 𝜃 plus 𝜃 plus 51 degrés.
Nous allons maintenant trouver 𝜃. Tout d’abord, nous allons soustraire 51 degrés des deux membres de l’équation puis simplifier. Ceci nous donne que 129 degrés est égal à deux 𝜃. Ensuite nous divisons simplement par deux, ce qui nous donne que 64,5 degrés est égal à 𝜃. Ainsi la dernière inconnue de notre équation est la norme du vecteur 𝐁𝐂. Et elle va être égale à la longueur du côté 𝐵𝐶 de notre triangle. Nous représentons ceci avec un 𝑎 minuscule car c’est la longueur du côté opposé à l’angle 𝐴 majuscule. Il existe plusieurs façons différentes de trouver cette longueur. Par exemple, nous connaissons l’angle opposé et les deux autres côtés de notre triangle, nous pourrions donc la trouver en utilisant la loi des cosinus.
L’application de la loi des cosinus à ce triangle pour trouver notre longueur nous donne que le module de 𝐁𝐂 au carré est égal à 19 au carré plus 19 au carré moins deux fois 19 fois 19 fois le cosinus de 51 degrés. Et il convient également de souligner ici que nous n’avions pas besoin d’utiliser la loi des cosinus. Nous aurions aussi bien pu utiliser la loi des sinus. En effet comme nous avons déjà trouvé la valeur de 𝜃, nous connaissons tous les angles de notre triangle. Ce choix relève d’une préférence personnelle. Nous allons simplement utiliser la loi des cosinus.
En évaluant le membre de droite de cette équation, nous obtenons 267,63 etc. Ensuite nous pouvons trouver la longueur du côté 𝐵𝐶 en prenant la racine carrée des deux membres. Nous obtenons que la longueur du côté 𝐵𝐶 ou le module du vecteur 𝐁𝐂, est égal à 16,359, etc. Maintenant tout ce que nous avons à faire pour trouver le produit scalaire c’est de remplacer par ces valeurs dans notre équation. Nous obtenons que le cosinus de 64,5 degrés est égal au produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂 divisé par 19 fois 16,359 etc. Et il est important de n’arrondir cette valeur qu’à la dernière étape de notre calcul.
Maintenant pour trouver notre produit scalaire, nous allons devoir multiplier par le dénominateur de notre fraction. Ceci nous donne que le produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂 est égal à 19 fois 16,359 etc. multiplié par le cosinus de 64,5. Et si nous calculons cette expression, nous obtenons 133,815 etc.
Mais rappelez-vous que la question voulait que nous donnions notre réponse au centième près. Le centième le plus proche signifie qu’il nous faut deux décimales. Nous devons donc regarder notre troisième décimale pour déterminer si nous arrondissons au nombre supérieur ou inférieur. Nous voyons que la troisième décimale est cinq, qui est supérieure ou égale à cinq. Ceci signifie que nous devons arrondir au nombre supérieur. Et ceci nous donne notre réponse finale qui est 133,82. Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle où le côté 𝐴𝐵 est égal au côté 𝐴𝐶 égal à 19 centimètres et que la mesure de l’angle 𝐴 est de 51 degrés, alors le produit scalaire du vecteur 𝐁𝐀 par le vecteur 𝐁𝐂 au centième près sera 133,82.
