Transcription de la vidéo
Grâce à la somme d’une suite géométrique infinie, écrivez −2,7 point sous la forme de nombre fractionnaire.
Pour répondre à cette question, la clé est la partie pointée : le sept est surmonté d’un point pour indiquer qu’il se répète. Commençons par rappeler ce qu’on entend par nombre périodique ou nombre à développement décimal périodique.
Il y a deux notations couramment utilisées pour indiquer un développement décimal périodique, la première étant de noter un point au-dessus du ou des chiffres qui se répètent, comme ici. Dans la seconde notation, nous mettons une barre au-dessus du ou des chiffres qui se répètent. Que l’on note 0,7 avec une barre ou un point sur le sept, il s’agit dans les deux cas du nombre 0,7777 etc. Le chiffre sept se répète indéfiniment.
Il existe plusieurs façons de convertir un nombre à développement décimal périodique en une fraction. Dans cette question, on nous demande d’utiliser nos connaissances sur les suites géométriques. Nous commençons par réécrire 0,7 point sous la forme de la somme de 0,7 plus 0,07 plus 0,007 etc. Le membre de droite de notre équation est une série géométrique dont le terme initial est 𝑎, le deuxième terme est 𝑎𝑟, le troisième terme est 𝑎𝑟 au carré etc.
Nous pouvons réécrire les termes de cette série sous la forme d’une suite géométrique dont le terme initial 𝑎 est égal à 0,7. Nous pouvons calculer la raison 𝑟 en divisant l’un des termes par le terme qui le précède. Par exemple, 0,07 divisé par 0,7 est égal à 0,1. Nous pouvons maintenant rappeler que si la valeur absolue de la raison d’une suite géométrique infinie est inférieure à un, alors la somme des termes de la suite est égale à 𝑎 divisé par un moins 𝑟. Ainsi, la somme des termes de notre suite est égale à 0,7 divisé par un moins 0,1. Cela donne 0,7 sur 0,9, soit sept neuvièmes.
Ainsi 0,7 point est égal à sept neuvièmes. Dans la question, on nous demande d’exprimer moins 2,7 barre sous la forme d’un nombre fractionnaire. Nous pouvons donc conclure que 2,7 barre est égal à moins deux et sept neuvièmes.
