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Le côté d’un carré mesure 𝑥 centimètres et les dimensions d’un rectangle sont 𝑥 centimètres et deux centimètres. Sachant que la somme de leur aire est de huit centimètres carrés, calculez le périmètre du carré.
Si nous regardons les deux figures, le carré de côté 𝑥 centimètres et le rectangle de dimensions 𝑥 centimètres et deux centimètres, nous pouvons calculer leurs aires en multipliant la longueur par la largeur. L’aire du carré est 𝑥 au carré car 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré. L’aire du rectangle est de deux 𝑥 car deux multiplié par 𝑥 donne deux 𝑥. On nous dit dans l’énoncé que la somme de leur aire vaut huit centimètres carrés. Cela signifie que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 est égal à huit. En faisant moins huit des deux côtés de l’équation, nous obtenons 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins huit égal à zéro.
Puisque cette équation du second degré est égale à zéro, nous pouvons factoriser avec deux parenthèses. La factorisation de 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins huit nous donne 𝑥 plus quatre multiplié par 𝑥 moins deux, car quatre multiplié par moins deux fait moins huit. De plus, quatre plus moins deux font plus deux.
Pour résoudre cette équation du second degré, nous avons deux valeurs possibles. Soit 𝑥 plus quatre est égal à zéro, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro. Nous avons donc deux valeurs possibles de 𝑥. Soit 𝑥 égal moins quatre, soit 𝑥 égal plus deux. Puisque nous nous intéressons à des figures géométriques et dans ce cas un carré et un rectangle, 𝑥 doit être égal à deux, car 𝑥 doit être positif. Une longueur doit être positive.
Puisque le côté du carré mesure deux centimètres, nous pouvons calculer le périmètre en multipliant deux par quatre. Deux multiplié par quatre est égal à huit. Le périmètre du carré est donc de huit centimètres. Notons que dans cette question le rectangle dont on parle est en fait aussi un carré, car il mesure deux centimètres sur deux centimètres.
