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Fiche explicative de la leçon : Distance sur un repère orthonormé : théorème de Pythagore Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la distance entre deux points sur un repère orthonormé en utilisant le théorème de Pythagore.

Nous allons commencer par rappeler le théorème de Pythagore, qui relie la longueur du côté le plus long d’un triangle rectangle aux longueurs des deux autres côtés. Un triangle rectangle possède un angle droit et un côté plus long que les deux autres, appelé hypoténuse.

Définition : Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore stipule que, pour tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Pour une hypoténuse, 𝑐, et les deux autres côtés les plus courts, 𝑎 et 𝑏, le théorème de Pythagore énonce que 𝑎+𝑏=𝑐.

On peut utiliser ce théorème pour déterminer la distance entre deux points sur un repère. Considérons l’exemple suivant avec les points de coordonnées (3;4) et (2;1). On observe comment on peut former un triangle rectangle avec l’hypoténuse comme le segment reliant ces deux points. Un angle droit est formé aux coordonnées (3;1), où la droite verticale de (3;4) et la droite horizontale de (2;1) se coupent.

On peut observer que la distance horizontale de (2;1) à (3;1) est de 5 unités, et la distance verticale de (3;1) à (3;4) est de 3 unités.

On peut alors utiliser le théorème de Pythagore, 𝑎+𝑏=𝑐, pour déterminer l’hypoténuse, 𝑐, avec 𝑎=3 et 𝑏=5, ce qui donne 3+5=𝑐9+25=𝑐34=𝑐34=𝑐.

Par conséquent, l’hypoténuse, qui est la distance entre les deux points, peut être écrite comme 34 unités.

Ainsi, à un niveau basique, on peut compter les carrés, ou unités, pour déterminer les distances horizontales et verticales entre deux points, puis appliquer le théorème de Pythagore. Cela peut être une méthode adéquate pour des coordonnées de petites valeurs, ou faciles à tracer. Cependant, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour le faire pour tous les points sans représentation graphique, en considérant les valeurs de leurs coordonnées et en dérivant une formule générale.

Considérons une situation plus générale, où nous devons déterminer la distance, 𝑑, entre deux points de coordonnées, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦).

On peut tracer un triangle rectangle avec ces deux coordonnées, en utilisant le segment entre elles comme hypoténuse, avec un troisième sommet, (𝑥;𝑦). Cela crée un triangle rectangle. La longueur de l’hypoténuse sera égale à la distance, 𝑑, entre les deux points.

Sur la figure ci-dessus, la distance horizontale entre les points est (𝑥𝑥) et la distance verticale est (𝑦𝑦). La valeur de ces distances doit toujours être positive pour que cette méthode fonctionne. Par conséquent, afin de généraliser pour toute valeur positive ou négative de 𝑥, 𝑦, 𝑥 ou 𝑦, nous devons utiliser des symboles de valeur absolue pour indiquer que la longueur est un nombre positif. La valeur absolue de tout nombre est toujours positive. Ainsi, la distance horizontale entre les coordonnées peut être représentée par |𝑥𝑥| et la distance verticale par |𝑦𝑦|.

On peut alors utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer l’hypoténuse, 𝑑, comme suit:(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)=𝑑(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)=𝑑.

Notons que lors de l’utilisation de cette formule, on n’a pas besoin d’utiliser les symboles de la valeur absolue, car les termes (𝑥𝑥) et (𝑦𝑦) sont élevés au carré. Tout nombre au carré est toujours positif;par conséquent, nous n’aurons pas de problèmes de « distances négatives ».

Nous avons à présent une formule pour calculer la distance entre deux points sur le repère, que nous pouvons définir ci-dessous. Cette formule est souvent appelée la formule de la distance.

Définition : Distance entre deux points sur le repère

La distance, 𝑑, entre deux points de coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Nous allons à présent voir comment utiliser cette formule dans les exemples suivants.

Exemple 1: Déterminer la distance entre un point et l’origine

Déterminez la distance entre le point (2;4) et l’origine.

Réponse

Pour trouver la distance entre ces deux points, rappelons d’abord la formule de la distance, qui nous permet de trouver une distance, 𝑑, entre deux points de coordonnées , (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦). Cette distance est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Si on utilise (0;0), l’origine, à la place de (𝑥;𝑦) et (2;4) à la place de (𝑥;𝑦) dans la formule de la distance, on obtient 𝑑=(20)+(40)=(2)+4=4+16=20.unitésdelongueur

On peut davantage simplifier cette valeur et obtenir 25.unitésdelongueur

Nous pouvons remarquer que le choix des coordonnées que nous désignons par (𝑥;𝑦) ou (𝑥;𝑦) n’a pas d’importance. Par exemple, si on change la position des coordonnées dans la formule, l’opération sera comme suit:𝑑=(0(2))+(04)=2+(4)=4+16=20.unitésdelongueur

Le résultat ne change pas parce que chacune des valeurs de (𝑦𝑦) et (𝑥𝑥) a été élevée au carré, ce qui donne toujours un résultat positif.

Peu importe la position des coordonnées dans la formule, la solution qu’on obtient est que la distance entre (2;4) et l’origine est de 25.unitésdelongueur

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème en déterminant la distance entre deux points sur le repère.

Exemple 2: Résoudre un problème de la vie courante en déterminant la distance entre deux points

Hugo réalise une carte de son quartier, mesurée en mètres. Le café est situé en (5;4) et le restaurant italien en (0;6). Calculez la distance entre le café et le restaurant italien en donnant la réponse au dixième près.

Réponse

On peut déterminer la distance entre le café et le restaurant italien en déterminant la distance entre leurs coordonnées. On rappelle que pour trouver la distance, 𝑑, entre deux points, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), on calcule 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

On peut donner n’importe quelle des coordonnées aux valeurs de (𝑥;𝑦) ou (𝑥;𝑦). Ainsi, en définissant (𝑥;𝑦)=(5;4) et (𝑥;𝑦)=(0;6), on peut les remplacer dans la formule de la distance, et obtenir 𝑑=(0(5))+(6(4))=5+10=25+100=125.m

Comme notre réponse doit être au dixième près, nous pouvons trouver un nombre décimal équivalent à la valeur de 125, ce qui donne 𝑑=11,18011,2.mm

Par conséquent, la distance entre le café et le restaurant italien, au dixième près, est égale à 11,2.m

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver une coordonnée manquante, lorsqu’on connait la distance entre deux points.

Exemple 3: Déterminer une coordonnée inconnue en utilisant la distance entre deux points

La distance entre (𝑎;5) et (1;1) est de 5. Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎?

Réponse

Pour calculer la valeur de 𝑎, on peut utiliser les informations données sur la distance entre les deux points. La distance, 𝑑, entre deux points, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Dans cette question, on a la valeur 𝑑=5 et les coordonnées (1;1), qu’on peut remplacer par (𝑥;𝑦). On peut utiliser les coordonnées (𝑎;5) comme (𝑥;𝑦). En remplaçant ces valeurs dans la formule de la distance on obtient 5=(𝑎1)+(51)=(𝑎1)+4=(𝑎1)+16.

On peut élever les deux membres au carré et les simplifier, pour obtenir 5=(𝑎1)+162516=(𝑎1)9=(𝑎1)±9=(𝑎1).

Étant donné que le carré d’un nombre négatif est toujours positif, nous devons tenir compte des racines positive et négative. On peut le faire en utilisant le signe ±. L’équation peut maintenant être écrite comme suit:±3=(𝑎1).

Nous avons à présent deux équations, 𝑎1=3 et 𝑎1=3, que nous pouvons résoudre pour déterminer 𝑎:𝑎1=3𝑎1=3𝑎=3+1𝑎=3+1𝑎=4𝑎=2

Ainsi, les solutions de 𝑎 sont 𝑎=24.ou

On peut mieux comprendre ce résultat en représentant la solution sur un schéma. On a les coordonnées complètes (1;1). On a également (𝑎;5), qu’on peut considérer comme un point avec une coordonnée 𝑥 inconnue mais avec une coordonnée 𝑦 d’une valeur de 5. Cela signifie que la coordonnée manquante doit se situer quelque part sur la droite qui a pour équation 𝑦=5.

On sait, de l’énoncé, que la distance entre (1;1) et (𝑎;5) est de 5 unités, donc il y a deux possibilités.

Les coordonnées des deux points à une distance de 5 unités de (1;1) et qui se trouvent sur la droite d’équation 𝑦=5 sont (2;5) et (4;5). Notons qu’il y a une infinité de points qui se trouvent à une distance de 5 unités de (1;1);tous ces points vont former un cercle de rayon de 5 unités à partir de ce point. Cependant, étant donné que nous sommes limités par le fait que la coordonnée 𝑦 a une valeur de 5, il n’y a que deux solutions possibles. Par conséquent, 𝑎=24.ou

Jusqu’à présent, nous avons établi comment déterminer la distance entre deux points sur un repère. Nous pouvons maintenant nous avancer et déterminer un certain nombre de longueurs dans le même problème, par exemple, pour déterminer les longueurs des côtés des figures géométriques tracées sur une grille. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer le périmètre d’une figure lorsqu’on connait ses coordonnées.

Exemple 4: Déterminer le périmètre d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets en utilisant le théorème de Pythagore

Soient les points 𝐴(4;5), 𝐵(5;5) et 𝐶(4;7), quel est le périmètre du 𝐴𝐵𝐶?

Réponse

Il peut souvent être utile de commencer un tel problème en traçant un schéma. En traçant les trois coordonnées et en les joignant, on obtient 𝐴𝐵𝐶.

Le périmètre d’une figure est la longueur des contours extérieurs de cette figure. Par conséquent, nous devrons déterminer la somme des longueurs de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶. On peut déterminer les longueurs de ces segments en considérant la distance entre les coordonnées de leurs extrémités.

On rappelle que la distance, 𝑑, entre deux points, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Commençons par trouver la longueur de 𝐴𝐵. Dans ce cas, au lieu d’utiliser la formule de la distance ci-dessus, on peut remarquer qu’il s’agit d’un segment horizontal. Etant donné que les coordonnées ne changent pas dans la direction de 𝑦, la distance entre elles est la valeur absolue de la différence entre les coordonnées 𝑥, |54|=1 unité de longueur. Ainsi, longueurdeunitédelongueur𝐴𝐵=1.

Ensuite, on peut trouver la longueur de 𝐵𝐶 en remplaçant (𝑥;𝑦)=(5;5) et (𝑥;𝑦)=(4;7) dans la formule de la distance. On obtient:longueurdeunitésdelongueur𝐵𝐶=(45)+(75)=(9)+(12)=81+144=225=15.

Pour la longueur finale, 𝐴𝐶, on remplace (𝑥;𝑦)=(4;5) et (𝑥;𝑦)=(4;7) dans la formule de la distance. Ainsi, on obtient longueurdeunitésdelongueur𝐴𝐶=(44)+(75)=(8)+(12)=64+144=208=413.

Enfin, pour déterminer le périmètre de 𝐴𝐵𝐶, on additionne les longueurs de ses 3 côtés. Cela nous donne périmètredelongueurdelongueurdelongueurdeunitésdelongueur𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=1+15+413=16+413.

Ainsi, on peut dire que le périmètre de 𝐴𝐵𝐶 est de 16+413.unitésdelongueur

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème impliquant un cercle. Sachant que le cercle est tracé sur un repère, et avec des informations sur le centre et un point sur la circonférence, on peut utiliser la formule de la distance pour calculer son rayon.

Exemple 5: Déterminer la position d’un point par rapport à un cercle

Le point (6;7) appartient au cercle de centre (7;1). Déterminez si le point (8;9) est sur, à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle.

Réponse

Dans ce problème, on nous donne un point qui représente la position du centre d’un cercle et une coordonnée d’un point situé sur le cercle. La distance entre le centre et ce point serait le rayon du cercle.

On peut calculer le rayon en utilisant la formule de la distance. On rappelle que la distance, 𝑑, entre deux points, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

En remplaçant (𝑥;𝑦)=(7;1) et (𝑥;𝑦)=(6;7), on peut calculer le rayon comme suit:rayonunitésdelongueur=(6(7))+(7(1))=1+8=1+64=65.

A présent, pour tout autre point donné, on peut déterminer s’il se trouve sur le cercle si sa distance du centre, que nous pouvons définir comme 𝑑, est égale au rayon, 𝑟. Si cette distance est inférieure à la valeur du rayon, alors le point est à l’intérieur du cercle;si elle est égale au rayon, alors le point est sur le cercle;et si elle est plus grande que le rayon, alors le point est à l’extérieur du cercle.

Déterminons donc la distance du point, (8;9), du centre, (7;1). En remplaçant ces valeurs par (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), respectivement, dans la formule de la distance, on obtient rayon=(7(8))+(1(9))=1+8=1+64=65.

On constate que cette distance est exactement égale au rayon, on peut ainsi dire que le point (8;9) est sur le cercle.

Pour mieux visualiser la solution on peut tracer le schéma suivant, en notant que les deux coordonnées sont à distance égale de 65 unités de longueur du centre, (7;1).

Bien que ces deux coordonnées soient colinéaires, elles n’ont pas besoin de l’être pour être sur la circonférence du cercle.

Résumons à présent les points clés.

Points clés

  • Le théorème de Pythagore stipule que pour tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour une hypoténuse, 𝑐 et les deux autres côtés les plus courts, 𝑎 et 𝑏, le théorème de Pythagore énonce que 𝑎+𝑏=𝑐.
  • La distance, 𝑑 entre deux points de coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).
  • Lorsqu’on utilise la formule de la distance ci-dessus avec deux points de coordonnées données, on peut mettre n’importe quel ensemble de coordonnées à la place de (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦).
  • Lorsqu’on utilise la formule de la distance pour déterminer une coordonnée inconnue à une distance donnée d’un autre ensemble de coordonnées, il peut y avoir plusieurs solutions.

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