Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la distance entre deux points sur un repère orthonormé en utilisant le théorème de Pythagore.
Nous allons commencer par rappeler le théorème de Pythagore, qui relie la longueur du côté le plus long d’un triangle rectangle aux longueurs des deux autres côtés. Un triangle rectangle possède un angle droit et un côté plus long que les deux autres, appelé hypoténuse.
Définition : Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore stipule que, pour tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pour une hypoténuse, , et les deux autres côtés les plus courts, et , le théorème de Pythagore énonce que
On peut utiliser ce théorème pour déterminer la distance entre deux points sur un repère. Considérons l’exemple suivant avec les points de coordonnées et . On observe comment on peut former un triangle rectangle avec l’hypoténuse comme le segment reliant ces deux points. Un angle droit est formé aux coordonnées , où la droite verticale de et la droite horizontale de se coupent.
On peut observer que la distance horizontale de à est de 5 unités, et la distance verticale de à est de 3 unités.
On peut alors utiliser le théorème de Pythagore, , pour déterminer l’hypoténuse, , avec et , ce qui donne
Par conséquent, l’hypoténuse, qui est la distance entre les deux points, peut être écrite comme unités.
Ainsi, à un niveau basique, on peut compter les carrés, ou unités, pour déterminer les distances horizontales et verticales entre deux points, puis appliquer le théorème de Pythagore. Cela peut être une méthode adéquate pour des coordonnées de petites valeurs, ou faciles à tracer. Cependant, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour le faire pour tous les points sans représentation graphique, en considérant les valeurs de leurs coordonnées et en dérivant une formule générale.
Considérons une situation plus générale, où nous devons déterminer la distance, , entre deux points de coordonnées, et .
On peut tracer un triangle rectangle avec ces deux coordonnées, en utilisant le segment entre elles comme hypoténuse, avec un troisième sommet, . Cela crée un triangle rectangle. La longueur de l’hypoténuse sera égale à la distance, , entre les deux points.
Sur la figure ci-dessus, la distance horizontale entre les points est et la distance verticale est . La valeur de ces distances doit toujours être positive pour que cette méthode fonctionne. Par conséquent, afin de généraliser pour toute valeur positive ou négative de , , ou , nous devons utiliser des symboles de valeur absolue pour indiquer que la longueur est un nombre positif. La valeur absolue de tout nombre est toujours positive. Ainsi, la distance horizontale entre les coordonnées peut être représentée par et la distance verticale par .
On peut alors utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer l’hypoténuse, , comme suit :
Notons que lors de l’utilisation de cette formule, on n’a pas besoin d’utiliser les symboles de la valeur absolue, car les termes et sont élevés au carré. Tout nombre au carré est toujours positif ; par conséquent, nous n’aurons pas de problèmes de « distances négatives ».
Nous avons à présent une formule pour calculer la distance entre deux points sur le repère, que nous pouvons définir ci-dessous. Cette formule est souvent appelée la formule de la distance.
Définition : Distance entre deux points sur le repère
La distance, , entre deux points de coordonnées et est donnée par
Nous allons à présent voir comment utiliser cette formule dans les exemples suivants.
Exemple 1: Déterminer la distance entre un point et l’origine
Déterminez la distance entre le point et l’origine.
Réponse
Pour trouver la distance entre ces deux points, rappelons d’abord la formule de la distance, qui nous permet de trouver une distance, , entre deux points de coordonnées , et . Cette distance est donnée par
Si on utilise , l’origine, à la place de et à la place de dans la formule de la distance, on obtient
On peut davantage simplifier cette valeur et obtenir
Nous pouvons remarquer que le choix des coordonnées que nous désignons par ou n’a pas d’importance. Par exemple, si on change la position des coordonnées dans la formule, l’opération sera comme suit :
Le résultat ne change pas parce que chacune des valeurs de et a été élevée au carré, ce qui donne toujours un résultat positif.
Peu importe la position des coordonnées dans la formule, la solution qu’on obtient est que la distance entre et l’origine est de
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème en déterminant la distance entre deux points sur le repère.
Exemple 2: Résoudre un problème de la vie courante en déterminant la distance entre deux points
Hugo réalise une carte de son quartier, mesurée en mètres. Le café est situé en et le restaurant italien en . Calculez la distance entre le café et le restaurant italien en donnant la réponse au dixième près.
Réponse
On peut déterminer la distance entre le café et le restaurant italien en déterminant la distance entre leurs coordonnées. On rappelle que pour trouver la distance, , entre deux points, et , on calcule
On peut donner n’importe quelle des coordonnées aux valeurs de ou . Ainsi, en définissant et , on peut les remplacer dans la formule de la distance, et obtenir
Comme notre réponse doit être au dixième près, nous pouvons trouver un nombre décimal équivalent à la valeur de , ce qui donne
Par conséquent, la distance entre le café et le restaurant italien, au dixième près, est égale à
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver une coordonnée manquante, lorsqu’on connait la distance entre deux points.
Exemple 3: Déterminer une coordonnée inconnue en utilisant la distance entre deux points
La distance entre et est de 5. Quelles sont les valeurs possibles de ?
Réponse
Pour calculer la valeur de , on peut utiliser les informations données sur la distance entre les deux points. La distance, , entre deux points, et , est donnée par
Dans cette question, on a la valeur et les coordonnées , qu’on peut remplacer par . On peut utiliser les coordonnées comme . En remplaçant ces valeurs dans la formule de la distance on obtient
On peut élever les deux membres au carré et les simplifier, pour obtenir
Étant donné que le carré d’un nombre négatif est toujours positif, nous devons tenir compte des racines positive et négative. On peut le faire en utilisant le signe . L’équation peut maintenant être écrite comme suit :
Nous avons à présent deux équations, et , que nous pouvons résoudre pour déterminer :
Ainsi, les solutions de sont
On peut mieux comprendre ce résultat en représentant la solution sur un schéma. On a les coordonnées complètes . On a également , qu’on peut considérer comme un point avec une coordonnée inconnue mais avec une coordonnée d’une valeur de 5. Cela signifie que la coordonnée manquante doit se situer quelque part sur la droite qui a pour équation .
On sait, de l’énoncé, que la distance entre et est de 5 unités, donc il y a deux possibilités.
Les coordonnées des deux points à une distance de 5 unités de et qui se trouvent sur la droite d’équation sont et . Notons qu’il y a une infinité de points qui se trouvent à une distance de 5 unités de ; tous ces points vont former un cercle de rayon de 5 unités à partir de ce point. Cependant, étant donné que nous sommes limités par le fait que la coordonnée a une valeur de 5, il n’y a que deux solutions possibles. Par conséquent,
Jusqu’à présent, nous avons établi comment déterminer la distance entre deux points sur un repère. Nous pouvons maintenant nous avancer et déterminer un certain nombre de longueurs dans le même problème, par exemple, pour déterminer les longueurs des côtés des figures géométriques tracées sur une grille. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer le périmètre d’une figure lorsqu’on connait ses coordonnées.
Exemple 4: Déterminer le périmètre d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets en utilisant le théorème de Pythagore
Soient les points , et , quel est le périmètre du ?
Réponse
Il peut souvent être utile de commencer un tel problème en traçant un schéma. En traçant les trois coordonnées et en les joignant, on obtient .
Le périmètre d’une figure est la longueur des contours extérieurs de cette figure. Par conséquent, nous devrons déterminer la somme des longueurs de , et . On peut déterminer les longueurs de ces segments en considérant la distance entre les coordonnées de leurs extrémités.
On rappelle que la distance, , entre deux points, et , est donnée par
Commençons par trouver la longueur de . Dans ce cas, au lieu d’utiliser la formule de la distance ci-dessus, on peut remarquer qu’il s’agit d’un segment horizontal. Etant donné que les coordonnées ne changent pas dans la direction de , la distance entre elles est la valeur absolue de la différence entre les coordonnées , unité de longueur. Ainsi,
Ensuite, on peut trouver la longueur de en remplaçant et dans la formule de la distance. On obtient :
Pour la longueur finale, , on remplace et dans la formule de la distance. Ainsi, on obtient
Enfin, pour déterminer le périmètre de , on additionne les longueurs de ses 3 côtés. Cela nous donne
Ainsi, on peut dire que le périmètre de est de
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème impliquant un cercle. Sachant que le cercle est tracé sur un repère, et avec des informations sur le centre et un point sur la circonférence, on peut utiliser la formule de la distance pour calculer son rayon.
Exemple 5: Déterminer la position d’un point par rapport à un cercle
Le point appartient au cercle de centre . Déterminez si le point est sur, à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle.
Réponse
Dans ce problème, on nous donne un point qui représente la position du centre d’un cercle et une coordonnée d’un point situé sur le cercle. La distance entre le centre et ce point serait le rayon du cercle.
On peut calculer le rayon en utilisant la formule de la distance. On rappelle que la distance, , entre deux points, et , est donnée par
En remplaçant et , on peut calculer le rayon comme suit :
A présent, pour tout autre point donné, on peut déterminer s’il se trouve sur le cercle si sa distance du centre, que nous pouvons définir comme , est égale au rayon, . Si cette distance est inférieure à la valeur du rayon, alors le point est à l’intérieur du cercle ; si elle est égale au rayon, alors le point est sur le cercle ; et si elle est plus grande que le rayon, alors le point est à l’extérieur du cercle.
Déterminons donc la distance du point, , du centre, . En remplaçant ces valeurs par et , respectivement, dans la formule de la distance, on obtient
On constate que cette distance est exactement égale au rayon, on peut ainsi dire que le point est sur le cercle.
Pour mieux visualiser la solution on peut tracer le schéma suivant, en notant que les deux coordonnées sont à distance égale de unités de longueur du centre, .
Bien que ces deux coordonnées soient colinéaires, elles n’ont pas besoin de l’être pour être sur la circonférence du cercle.
Résumons à présent les points clés.
Points clés
- Le théorème de Pythagore stipule que pour tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour une hypoténuse, et les deux autres côtés les plus courts, et , le théorème de Pythagore énonce que
- La distance, entre deux points de coordonnées et est donnée par
- Lorsqu’on utilise la formule de la distance ci-dessus avec deux points de coordonnées données, on peut mettre n’importe quel ensemble de coordonnées à la place de et .
- Lorsqu’on utilise la formule de la distance pour déterminer une coordonnée inconnue à une distance donnée d’un autre ensemble de coordonnées, il peut y avoir plusieurs solutions.
