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Vidéo de la leçon : Distance sur un repère orthonormé : théorème de Pythagore Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la distance entre deux points sur un repère orthonormé en utilisant le théorème de Pythagore.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la distance entre deux points sur un repère orthonormé en utilisant le théorème de Pythagore.

Nous allons commencer par rappeler le théorème de Pythagore. Nous verrons ensuite comment nous pouvons l’utiliser pour établir la formule permettant de calculer la distance entre deux points. Le théorème de Pythagore stipule que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Il est souvent illustré avec les deux côtés les plus courts du triangle rectangle désignés par 𝑎 et 𝑏 et l’hypoténuse, le côté le plus long, désigné par 𝑐. D’après le théorème de Pythagore, on peut donc dire que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré.

Voyons maintenant comment nous pouvons utiliser ce théorème pour calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé. Prenons l’exemple du segment reliant les points moins deux, un et trois, quatre. Remarquez que nous pouvons créer un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le segment reliant les deux points. Un angle droit apparaît au point trois, un, où le segment vertical issu de trois, quatre et le segment horizontal issu de moins deux, un se rencontrent. On peut alors voir que la distance horizontale de moins deux, un à trois, un est de cinq unités et que la distance verticale de trois, un à trois, quatre est de trois unités.

Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour appliquer le théorème de Pythagore. Si on prend 𝑎 pour le côté de trois unités et 𝑏 pour celui de cinq unités, alors en utilisant le théorème de Pythagore, on a trois au carré plus cinq au carré égale 𝑐 au carré. En simplifiant, on obtient 34 égale 𝑐 au carré. Et en prenant la racine carrée des deux membres, on obtient racine carrée de 34 égale 𝑐. Cela signifie que nous avons trouvé que la distance entre ces deux points est égale à racine carrée de 34 unités de longueur.

De manière très basique, on peut donc voir que compter les carrés le long des distances verticales et horizontales peut nous permettre de calculer la distance entre deux points en utilisant le théorème de Pythagore. Mais ce n’est bien sûr pas une solution très pratique pour calculer la distance entre deux points. Nous devons donc déterminer comment utiliser le théorème de Pythagore sans tracer de schéma.

Considérons une situation plus générale où nous souhaitons calculer la distance 𝑑 entre deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Comme nous l’avons vu précédemment, nous savons que nous pouvons créer un triangle rectangle en utilisant des segments horizontaux et verticaux. Le troisième sommet de ce triangle serait alors situé aux coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 un.

Nous devons maintenant déterminer la longueur de ces deux segments qui forment les côtés les plus courts. La distance horizontale entre les points est 𝑥 deux moins 𝑥 un, et la distance verticale est 𝑦 deux moins 𝑦 un. Ces distances doivent cependant toujours être positives pour que notre méthode fonctionne. Par conséquent, afin de généraliser pour toutes les valeurs positives ou négatives de 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑥 deux ou 𝑦 deux, nous devons utiliser des valeurs absolues. Cela assurera que les longueurs sont positives car la valeur absolue de tout nombre est positive.

Lorsque l’on applique ensuite le théorème de Pythagore, peu importe quel côté est 𝑎 ou 𝑏, on choisit donc donc 𝑎 égal à valeur absolue de 𝑥 deux moins 𝑥 un et 𝑏 égal à valeur absolue de 𝑦 deux moins 𝑦 un. On peut à présent remplacer ces valeurs dans le théorème de Pythagore pour trouver la distance 𝑑 entre les points. Mais si vous avez déjà vu cette formule, vous avez peut-être remarqué qu’elle ne contient pas de symboles de valeur absolue. Les termes 𝑥 deux moins 𝑥 un et y deux moins 𝑦 un sont en effet élevés au carré. Donc comme tout nombre au carré est positif, on ne risque plus de calculer des distances négatives.

En appliquant le théorème de Pythagore, on peut simplement écrire 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré égale 𝑑 au carré. Et comme nous ne recherchons pas 𝑑 au carré mais 𝑑, nous devons prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. Nous avons ainsi établi une formule permettant de calculer la distance entre deux points quelconques dans un repère orthonormé.

Prenons donc note de cette formule, souvent appelée formule de la distance. La distance 𝑑 entre deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est donnée par 𝑑 égale racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré.

Voyons maintenant comment appliquer cette formule dans les exemples suivants.

Calculez la distance entre le point moins deux, quatre et l’origine.

On rappelle la formule de la distance qui dit que la distance 𝑑 entre 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. On nous donne deux points. Le premier est moins deux, quatre et le second est l’origine, qui a pour coordonnées zéro, zéro. Posons 𝑥 un, 𝑦 un égal à zéro, zéro et 𝑥 deux, 𝑦 deux égal à moins deux, quatre. Mais l’ordre que l’on choisit n’a en fait pas d’importance.

Remplacer ces valeurs dans la formule nous donne 𝑑 égale racine carrée de moins deux moins zéro au carré plus quatre moins zéro au carré. On peut simplifier chaque ensemble de parenthèses et élever au carré les valeurs, ce qui nous donne 𝑑 égale racine carrée de 20 unités de longueur. Nous pouvons laisser la réponse sous forme exacte car il n’est pas demandé de la donner sous forme décimale. Mais nous pouvons bien sûr simplifier davantage cette racine. Comme racine carrée de 20 peut être écrit comme racine carrée de quatre fois racine carrée de cinq, on peut simplifier et conclure que la distance est égale à deux racine carrée de cinq unités de longueur.

Avant de passer à la prochaine question, montrons que le point que l’on choisit pour 𝑥 un, 𝑦 un et celui que l’on choisit pour 𝑥 deux, 𝑦 deux n’affecte en effet pas la réponse. Voyons ce qui se passe si nous échangeons les points. On suppose donc que le point 𝑥 un, 𝑦 un a pour coordonnées moins deux, quatre. En remplaçant ces valeurs dans la formule, on obtient 𝑑 égale racine carrée de zéro moins moins deux au carré plus zéro moins quatre au carré. En simplifiant cette expression, on voit que l’on retrouve bien la même réponse de deux racine carrée de cinq unités de longueur. Cela est dû aux carrés de 𝑦 deux moins 𝑦 un et de 𝑥 deux moins 𝑥 un qui donnent toujours un résultat positif. Les deux versions du calcul nous donnent la distance entre moins deux, quatre et l’origine qui vaut deux racine carrée de cinq unités de longueur.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer une coordonnée inconnue à partir de la distance entre deux points.

La distance entre les points de coordonnées 𝑎, cinq et un, un est égale à cinq. Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎 ?

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler et utiliser la formule de la distance. Elle nous indique que la distance 𝑑 entre 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Cette formule est généralement utilisée pour calculer la distance entre deux points. Mais la question nous dit ici que la distance est de cinq, ce qui signifie que 𝑑 est égale à cinq.

On peut alors poser 𝑥 un, 𝑦 un égal à un, un, bien que cela ne changerait rien si on choisissait plutôt 𝑥 deux, 𝑦 deux. Le second point, qui a cette coordonnée inconnue 𝑎, est alors défini par 𝑥 deux, 𝑦 deux. Remplacer ces valeurs dans la formule nous donne cinq égale racine carrée de 𝑎 moins un le tout au carré plus cinq moins un le tout au carré. En simplifiant à l’intérieur de la racine carrée, on a cinq moins un égale quatre et quatre au carré égale 16.

Comme nous voulons calculer la valeur de 𝑎, l’étape suivante consiste à élever les deux membres au carré. Cela nous donne cinq au carré égale 𝑎 moins un le tout au carré plus 16. Et on sait que cinq au carré est égal à 25. Pour simplifier, on soustrait donc 16 aux deux membres de l’équation, ce qui nous laisse neuf est égal à 𝑎 moins un le tout au carré. On prend ensuite la racine carrée des deux membres de l’équation. Mais comme le carré d’un nombre négatif est un nombre positif, nous devons conserver les racines à la fois positive et négative. Et on peut le faire en utilisant le signe plus ou moins.

En calculant la racine carrée de neuf, il nous reste l’équation plus ou moins trois égale 𝑎 moins un. Cela signifie que nous avons maintenant deux équations. 𝑎 moins un égale plus trois et 𝑎 moins un égale moins trois. Pour 𝑎 moins un égale plus trois, on trouve 𝑎 égale quatre. Et pour 𝑎 moins un égale moins trois, on trouve 𝑎 égale moins deux.

Nous pouvons donc conclure que les valeurs possibles de 𝑎 sont 𝑎 égale moins deux ou quatre. La meilleure façon de comprendre pourquoi il existe plus d’une solution est certainement de tracer un schéma rapide. Le point dont nous connaissons toutes les coordonnées est le point un, un. Et nous avons également le point 𝑎, cinq. On peut considérer 𝑎, cinq comme un point d’abscisse inconnue et d’ordonnée cinq. Cela signifie que ce point doit se trouver quelque part sur la droite d’équation 𝑦 égale cinq.

Il est indiqué que la distance entre un, un et 𝑎, cinq est de cinq unités. Il y a donc bien deux possibilités. Les coordonnées des deux points à une distance de cinq unités de un, un qui se trouvent sur la droite 𝑦 égale cinq sont moins deux, cinq et quatre, cinq. Rappelez-vous qu’il existe une infinité de points situés à une distance de cinq unités de un, un. Tous ces points formeraient le cercle de rayon cinq unités et de centre un, un. Dans cette question, nous avons cependant été limités par le fait que l’ordonnée de 𝑎, cinq était cinq. Il n’y avait donc que deux solutions possibles. Et elles se produisent lorsque 𝑎 est égal à moins deux ou quatre.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème impliquant un cercle. Comme le cercle est situé dans un repère orthonormé, cela signifie qu’à partir des coordonnées du centre et d’un point sur le cercle, on peut utiliser la formule de la distance pour calculer son rayon.

Le point de coordonnées moins six, sept est sur le cercle de centre moins sept, moins un. Déterminez si le point de coordonnées moins huit, moins neuf est sur le cercle, à l'intérieur, ou bien à l’extérieur.

Commençons par représenter les informations qui nous sont données. Il est indiqué que le point moins six, sept est sur le cercle de centre moins sept, moins un, ce qui signifie que moins six, sept se trouve sur le contour de ce cercle. Nous devons alors déterminer où se situe ce troisième point moins huit, moins neuf par rapport au cercle.

Il y a en fait trois possibilités. La première possibilité est que moins huit, moins neuf soit également sur le cercle. La deuxième possibilité est que moins huit, moins neuf se trouve à l’intérieur du cercle. Et la troisième est que moins huit, moins neuf se trouve à l’extérieur du cercle. Bien que nous ayons dessiné quelques schémas rapides, ils ne sont pas assez précis pour nous permettre de le déterminer. Et même si nous dessinions un schéma très précis, ce ne serait pas une preuve suffisante non plus. Nous devons donc trouver une méthode algébrique permettant de déterminer avec certitude où se situe moins huit, moins neuf. Donc, comment pouvons-nous identifier où se trouve le point moins huit, moins neuf par rapport au cercle ?

La première chose à réaliser est que si nous calculons la distance entre moins six, sept et le centre moins sept, moins un, elle sera égale au rayon du cercle. Appelons cette distance 𝑟. Si nous calculons ensuite la distance entre le centre et le point moins huit, moins neuf, nous pourrons la comparer à la longueur du rayon. Si la distance est égale au rayon, alors moins huit, moins neuf se trouve sur le cercle. Si la distance est inférieure au rayon, alors moins huit, moins neuf est à l’intérieur du cercle. Et enfin, si la distance est supérieure au rayon, alors moins huit, moins neuf est à l’extérieur du cercle.

On rappelle que l’on peut calculer la distance entre deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux en utilisant la formule de la distance, qui nous dit que 𝑑 est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Commençons donc par calculer la longueur de ce rayon entre moins sept, moins un et moins six, sept. Nous devons faire preuve de prudence en remplaçant ces coordonnées dans la formule car la majorité d’entre elles sont négatives ; nous devons donc nous assurer de bien inclure tous leurs signes. En simplifiant, on obtient alors 𝑟 égale un au carré plus huit au carré. Nous avons ainsi calculé que 𝑟, qui représente le rayon, est égale à racine carrée de 65 unités de longueur.

Utilisons à présent la même formule pour calculer la distance entre le centre moins sept, moins un et le point moins huit, moins neuf. On calcule cette distance 𝑑 en remplaçant les coordonnées dans la formule, ce qui nous donne racine carrée de moins sept moins moins huit au carré plus moins un moins moins neuf au carré. En simplifiant on obtient une distance de racine carrée de 65 unités de longueur. Et cette longueur est en fait exactement la même que la longueur du rayon. On peut donc conclure que le point moins huit, moins neuf doit se trouver sur le cercle.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par rappeler le théorème de Pythagore, qui stipule que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Nous avons ensuite démontré la formule de la distance, qui indique que la distance 𝑑 entre deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est 𝑑 égale racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Notez que lorsque vous utilisez la formule de la distance avec deux points, peu importe lequel vous choisissez pour 𝑥 un, 𝑦 un et lequel vous choisissez pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. Enfin, comme nous l’avons vu dans le deuxième exemple, lorsque l’on utilise la formule de la distance pour calculer une coordonnée inconnue d’un point à une distance donnée d’un autre point, il peut y avoir plus d’une solution.

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