Fiche explicative de la leçon: Scalaires et vecteurs Sciences • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir des quantités physiques comme des scalaires ou des vecteurs, en fonction de si elles ont une direction ou pas.

Une quantité physique est quelque chose qui peut être mesuré. Lorsque nous mesurons une quantité physique, nous pouvons exprimer le résultat de cette mesure sous la forme d’une valeur numérique avec une unité.

Par exemple, supposons que nous voulons mesurer la température d’un verre d’eau. Dans ce cas, la quantité physique que nous essayons de mesurer est la quantité « température ».

Nous pourrions mesurer cette température en utilisant un thermomètre. Le schéma ci-dessous montre un thermomètre dans un verre d’eau.

Le thermomètre nous donne une valeur de 40, et nous pouvons voir sur l’échelle du thermomètre que la valeur mesurée a des unités de degrés Celsius ( . Par conséquent, on peut dire que la température de l’eau a une valeur de .

De nombreuses quantités physiques peuvent être complètement décrites en utilisant juste une valeur, ou une intensité avec une unité. La température est un exemple d’une quantité physique décrite de cette manière.

Des quantités comme celle-ci n’ont aucune direction associée. En effet, il est inutile d’essayer de parler d’une direction pour la température.

Considérons le schéma suivant, qui montre deux thermomètres dans le même verre d’eau qu’avant.

L’un des thermomètres (thermomètre A) est orienté verticalement, comme indiqué sur le schéma précédent. L’autre (thermomètre B) est incliné.

Supposons que nous mesurons la température de l’eau en utilisant le thermomètre A et que nous obtenons une valeur de . Si on lit ensuite la température sur l’échelle du thermomètre B, on obtiendra le même résultat de . Les deux thermomètres mesurent la température du même verre d’eau, et comme la direction ne fait pas partie de la définition de la température, l’angle du thermomètre ne peut pas affecter la valeur mesurée.

Les quantités physiques telles que la température, qui sont complètement décrites en utilisant juste une intensité (avec une unité), sont appelées quantités scalaires.

Dans l’exemple avec les deux thermomètres, nous avons vu que la direction de l’appareil de mesure était sans rapport avec le résultat de la mesure. Ceci est vrai pour toute quantité scalaire.

Il est important de réaliser que, pour des quantités scalaires, parler d’une direction est une chose qui n’a pas de sens. Ce n’est pas seulement que les quantités scalaires n’ont pas besoin d’avoir une direction pour être définies ; il n’y a pas vraiment de direction pour une quantité scalaire.

Une autre quantité scalaire est le temps. Le temps a une valeur que nous mesurons habituellement en unités de secondes, minutes ou d’ heures. Cependant, si quelqu’un nous a dit qu’une action particulière prend un certain temps, 30 s, ce serait inutile de leur demander dans quelle direction étaient les secondes. Le temps n’a pas de direction mais seulement une valeur.

Regardons maintenant un exemple de problème impliquant le temps.

Exemple 1: Comprendre que le temps est une quantité scalaire

Deux horloges sont tournées dans des directions différentes. Est-ce que les horloges indiquent des mesures du temps identiques ou différentes ? 

Réponse

La question nous montre deux horloges. L’horloge de gauche est orientée verticalement, tandis que l’horloge de droite est tournée sur le côté. On nous demande si ces deux horloges montrent des mesures du temps identiques ou différentes.

La quantité physique « temps » n’a pas de direction associée. Elle a seulement une valeur ou magnitude. En d’autres termes, le temps est une quantité scalaire.

Rappelez-vous que lors de la mesure d’une quantité physique qui n’a pas de direction, l’angle d’un appareil de mesure ne peut pas affecter le résultat de la mesure.

Cela signifie que l’angle d’une horloge ne peut pas affecter le temps mesuré.

Dans ce cas, les deux horloges ont l’aiguille des heures pointant vers le 3 et l’aiguille des minutes pointant vers le 12. Cela signifie que les deux horloges lisent 3h00. Nous pouvons noter que ce processus de lecture de l’heure sur les horloges est indépendant de l’angle que chaque horloge était positionné.

Par conséquent, notre réponse à la question est que les horloges indiquent la même mesure de temps.

Considérons maintenant la quantité physique « distance ». Lorsque nous parlons de la distance parcourue par un objet, nous parlons de la longueur du trajet le long duquel l’objet se déplace.

Imaginez que nous avons deux marcheurs qui partent tous les deux du même endroit et marchent comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Maintenant, nous pouvons certainement parler de la direction dans laquelle chacun des marcheurs se déplace. On peut voir sur le schéma que le marcheur A se déplace vers l’ouest, tandis que le marcheur B se déplace vers l’est.

Cependant, cette direction n’entre pas dans notre définition de la distance parcourue par chaque marcheur. Rappelons que la distance est définie comme la longueur du trajet. Pour chacun des deux marcheurs, cette longueur est égale à 40 m. Par conséquent, la distance parcourue par chaque marcheur est de 40 m.

Cette valeur définit complètement la distance parcourue. Étant donné que la distance est complètement définie par une intensité, avec une unité, alors la distance doit être une quantité scalaire.

Autres que la longueur totale du trajet, les détails de la trajectoire empruntée par un objet en mouvement n’affectent pas la mesure de la distance parcourue. La trajectoire empruntée peut être une ligne droite, ou il peut s’agir d’un cercle ou n’importe quelle forme ; la seule chose importante est la longueur du trajet.

Par exemple, nous pourrions également considérer un troisième marcheur, que nous appellerons marcheur C. La trajectoire empruntée par le marcheur C est illustrée sur le schéma ci-dessous, avec les trajectoires du marcheur A et du marcheur B.

On voit sur le schéma que le marcheur C marche le long d’une trajectoire composée de deux segments de droite, chacun d’une longueur de 20 m. La distance parcourue par le marcheur C est la longueur de ce trajet, qui est .

Le marcheur C se déplace dans deux directions différentes tout au long de son parcours. Cependant, il marche sur la même distance de 40 m comme celle parcourue par le marcheur A et le marcheur B. Ceci est possible car la distance parcourue est une quantité scalaire qui ne dépend pas de la direction.

Regardons maintenant la quantité « vitesse ». Rappelons que la vitesse est définie comme la distance parcourue par unité de temps.

Comme nous avons vu que la distance et le temps sont des quantités scalaires, nous savons qu’aucune direction ne leur est associée. Comme la vitesse est définie en fonction de deux quantités qui n’ont pas de direction, il n’est pas surprenant que la vitesse n’ait pas de direction non plus, c’est-à-dire que la vitesse est aussi une quantité scalaire.

Considérons les trois mêmes marcheurs que précédemment. Supposons que chacun d’eux marche selon un trajet de 40 m pendant 40 s.

Les trois marcheurs parcourent 40 m en 40 s, ce qui signifie que tous les marcheurs ont la même vitesse de .

La vitesse de chaque marcheur est complètement définie par cette valeur et est indépendante de tous les détails de la trajectoire en plus de la distance. Cela signifie que la vitesse a une intensité mais pas de direction associée et doit donc être une quantité scalaire.

Nous avons vu que la distance et la vitesse sont complètement définies par une intensité et une unité ; elles n’ont pas de direction associée. Cependant, il y a des grandeurs physiques qui ont une direction. Et, en fait, de telles quantités requièrent une direction pour être complètement définie. Nous appelons ces quantités, qui nécessitent à la fois une intensité et une direction pour les définir complètement, des quantités vectorielles.

Regardons quelques exemples pour aider à clarifier la différence entre les quantités scalaires et les quantités vectorielles.

Lorsque nous parlons de la direction d’une quantité vectorielle, il est important de savoir ce que cela signifie.

Considérons les deux droites représentées sur le schéma ci-dessous.

On dirait que ces deux droites ont des directions différentes, car elles forment des angles différents.

Ensuite, considérons les deux droites dans le schéma suivant.

On peut dire que ces deux droites ont la même direction car elles sont toutes les deux orientées horizontalement.

La direction peut se référer à la direction dans laquelle une ligne est orientée, mais elle comprend également quelle extrémité de la ligne est considérée comme le « début ». Supposons qu’au lieu de lignes, nous avons des flèches. Ceci est illustré par le schéma ci-dessous.

Ces flèches sont toutes les deux orientées horizontalement, tout comme les deux droites horizontales que nous avons précédemment considérées. Cependant, comme les flèches ont des têtes, nous ne décrirons pas ces deux flèches comme ayant la même direction. On peut dire que la flèche rouge pointe vers la gauche, tandis que la flèche bleue pointe vers la droite. On pourrait aussi dire que la direction de la flèche rouge est à gauche et que la direction de la flèche bleue est à droite.

Une flèche indique exactement de quoi nous parlons lorsque nous évoquons une direction. L’angle selon lequel la flèche est tracée nous indique l’orientation, tandis que la tête de la flèche nous indique la direction le long de cette ligne. Pour cette raison, les flèches sont souvent utilisées pour montrer visuellement les quantités vectorielles.

Nous avons dit qu’il y a des quantités physiques qui ont une direction et une intensité et que ces quantités sont appelées quantités vectorielles. Regardons maintenant un exemple spécifique d’une telle quantité vectorielle : la « force ».

La force a une intensité, c’est la grandeur ou l’amplitude de cette force. Elle a également une direction : la direction dans laquelle la force est appliquée. Regardons un exemple de scénario pour voir pourquoi la direction d’une force est une partie importante de sa définition.

Imaginons que nous avons une grande boîte. Deux personnes peuvent chacune pousser la boîte, en exerçant une force sur elle. Supposons que ces deux personnes peuvent pousser avec une force égale, c’est-à-dire que les forces qu’elles exercent sur la boîte auront chacune la même intensité.

Considérons les deux situations illustrées dans le schéma ci-dessous.

Dans la moitié gauche du schéma, les deux personnes sont debout de chaque côté de la boîte et la poussent dans des directions opposées. Dans la moitié droite du schéma, les deux personnes se tiennent du même côté de la boîte et poussent dans la même direction.

Les forces exercées par chaque personne sont représentées par des flèches sur le schéma. Des flèches de même longueur ont été utilisées pour montrer que les forces ont la même intensité. La direction de chaque flèche nous indique la direction de la force correspondante.

Les deux situations n’entraîneront pas le même mouvement de la boîte. L’effet de deux personnes qui la poussent sera clairement différent selon qu’elles poussent dans la même direction ou dans des directions opposées. Les directions des forces doivent donc être prises en compte pour comprendre les effets de ces forces.

Cet exemple de scénario met en évidence un point important qui s’applique à toutes les quantités vectorielles. La direction d’une quantité vectorielle n’est pas une information supplémentaire facultative. C’est une partie essentielle de la définition de la quantité - sans connaître la direction, nous ne pouvons pas comprendre complètement le sens d’une quantité vectorielle.

La boîte dans cet exemple a aussi une masse, la masse est une quantité physique qui décrit la force nécessaire pour faire accélérer un objet. Surtout, la masse de la boîte est liée à la force nécessaire pour pousser la boîte dans les deux directions horizontales. La quantité « masse » n’a pas de direction. Elle a seulement une intensité, généralement donnée en kilogrammes. La masse est donc une quantité scalaire.

Il est important de ne pas confondre les quantités physiques masse et poids. Dans le langage courant, les mots « masse » et « poids » sont utilisés de manière interchangeable. Cependant, en physique, ce sont deux quantités physiques distinctes.

À la différence de la masse, le poids a une direction. Le poids de la boîte est la force agissant sur cette boîte en raison de la gravité. La direction de cette force du poids pointe vers le bas, vers la Terre, quel que soit le mouvement de la boîte.

Le schéma ci-dessous montre la force du poids sur la boîte dans trois cas. Dans le schéma de gauche, la boîte est au repos. Dans le schéma du milieu, la boîte est poussée vers la droite. Dans le schéma de droite, la boîte est poussée vers la gauche. Dans les trois cas, la force du poids, indiquée par une flèche verte, agit vers le bas.

L’intensité du poids donne la grandeur de cette force. Comme le poids a à la fois une intensité et une direction, le poids est une quantité vectorielle.

Nous avons vu avant que la distance est une quantité scalaire, c’est-à-dire qu’elle est entièrement définie par une intensité. Lorsque nous pensons à la distance, nous avons utilisé un exemple avec des marcheurs qui ont chacun emprunté un trajet différent à partir de la même position. Nous avons vu que, malgré qu’ils marchent le long de ces différents trajets, chacun a parcouru la même distance parce que la longueur de chaque trajet était la même.

Considérons à nouveau les marcheurs que nous avons nommés marcheurs A et B. Les trajets parcourus par ces marcheurs sont illustrés sur le schéma ci-dessous.

Nous avons vu avant que chaque marcheur parcourt une distance de 40 m mais que chacun marche dans une direction différente. Plus précisément, le marcheur A se déplace vers l’ouest, tandis que le marcheur B se déplace vers l’est. Cela a été indiqué sur le schéma par des flèches pointant de la position de départ à la position finale pour chaque marcheur.

Il existe une quantité physique qui décrit le mouvement des marcheurs d’une manière qui prend également en compte la direction dans laquelle ils ont marché. Cette quantité est le « déplacement ».

Le déplacement d’un objet peut être représenté par une flèche pointant de la position de départ de l’objet vers la position finale de l’objet, comme nous l’avons montré pour les deux marcheurs. La longueur de cette flèche indique l’intensité du déplacement. La direction de la flèche indique la direction du déplacement.

Le déplacement est entièrement défini par cette intensité et cette direction, ce qui signifie que c’est une quantité vectorielle.

Dans le cas du marcheur A, on dirait que son déplacement est de 40 m vers l’ouest. Pendant ce temps, pour le marcheur B, le déplacement est de 40 m vers l’est.

Il est important de préciser que l’intensité du déplacement d’un objet n’a pas nécessairement la même valeur que la distance parcourue par cet objet.

Dans le cas des marcheurs A et B, le mouvement se déroule sur une seule ligne droite. La distance parcourue par chaque marcheur est donc égale à la longueur de la flèche depuis la position de départ jusqu’à la position finale. En général, pour un mouvement le long d’une seule ligne droite, la distance parcourue est égale à l’intensité du déplacement.

Cependant, ce n’est pas le cas pour tous les mouvements.

Avant, nous avons également considéré un troisième marcheur, appelé marcheur C. Le mouvement du marcheur C est illustré dans le schéma ci-dessous.

Les lignes pointillées sur le schéma indiquent le trajet emprunté par le marcheur C. Ce trajet est de 20 m vers l’est suivi par 20 m vers le nord. La flèche indique le déplacement du marcheur C. Rappelons que l’intensité du déplacement est définie comme la longueur d’une flèche de la position de départ jusqu’à la position finale. Dans ce cas, la longueur de cette flèche n’est pas la même que celle du trajet emprunté. La longueur du trajet est de 40 m, tandis que la longueur de la flèche de la position de départ jusqu’à la position finale est plus courte que cela.

En général, pour tout mouvement qui ne se fait pas le long d’une seule ligne droite, l’intensité du déplacement sera inférieure à la distance parcourue.

Regardons quelques exemples de questions qui traitent de la distinction entre distance et déplacement.

Exemple 4: Déterminer les positions finales possibles d’un objet qui parcourt une distance donnée

La voiture illustrée est au centre d’un cercle. La voiture parcourt une distance de 30 mètres. Quelle pourrait être sa position finale ? 

1. Tout point dans le cercle
2. Uniquement les points situés sur le cercle

Réponse

La question nous montre un schéma d’une voiture, initialement positionnée au centre d’un cercle d’un rayon de 30 m.

On nous dit que la voiture se déplace sur une distance de 30 m et on nous demande quelle est sa position finale.

Rappelons que la distance parcourue par un objet est définie comme la longueur du trajet parcouru par cet objet. La distance est une quantité scalaire ; cela signifie qu’elle est entièrement définie par une intensité, qui dans ce cas est la valeur de la longueur du trajet.

Le fait que la distance soit une quantité scalaire signifie que tout autre détail que la longueur du trajet ne fait aucunement partie de la définition de la distance. Dans la situation présentée dans cette question, cela signifie que la voiture peut parcourir n’importe quelle trajet le long de n’importe quelle combinaison de directions, à condition que la longueur totale de ce trajet soit de 30 m.

La position finale la plus éloignée que la voiture pourrait atteindre est celle qui parcourt cette distance en une seule ligne droite. Ceci est illustré dans le schéma ci-dessous.

On voit que, dans ce cas, la voiture se retrouve à 30 m de là où elle a commencé. La position finale de la voiture est donc au niveau de la circonférence du cercle. Il n’y a aucun moyen possible pour la voiture d’arriver plus loin que ce cercle, car il n’y a pas de trajet avec une longueur de 30 m à partir du centre du cercle pour tout point qui se trouve à l’extérieur au cercle.

Nous avons montré qu’une trajectoire en ligne droite signifie que si la voiture parcourt une distance de 30 m, alors elle se retrouve sur la circonférence du cercle. Cependant, nous avons également dit que tout trajet d’une longueur de 30 m est possible, alors cette droite n’est pas la seule option.

Considérons d’autres possibilités, illustrées dans le schéma ci-dessous.

Dans le schéma de gauche, la voiture roule dans deux directions différentes ( 15 m vers la gauche et 15 m vers le haut) pour une distance totale de 30 m. La voiture se trouve à l’intérieur du cercle.

Dans le schéma du milieu, la voiture se déplace de 15 m vers la gauche suivie de 15 m vers la droite, pour une distance totale de 30 m. Elle se retrouve à la même position que celle où elle avait commencée.

Sur le schéma de droite, la voiture parcourt un trajet courbe d’une longueur totale de 30 m, se terminant à un autre point à l’intérieur du cercle.

Ces exemples ne sont que trois possibilités parmi tant d’autres. Il devrait être simple de se convaincre que tout point à l’intérieur du cercle peut être atteint après un déplacement d’une distance de 30 m, en choisissant la bonne trajectoire.

Notre réponse à la question est donc que la position finale de la voiture peut être n’importe quel point dans le cercle. C’est la réponse A.

Exemple 5: Comprendre la relation entre la distance et l’intensité du déplacement

La voiture illustrée est au centre d’un cercle. La voiture parcourt une distance de 30 mètres, et sa position finale est à 30 mètres de sa position de départ. La voiture s’est-elle déplacée dans une seule direction ? 

1. Oui
2. Non

Réponse

La question nous montre un schéma avec une voiture au centre d’un cercle d’un rayon de 30 m et nous demande si cette voiture se déplace dans une seule direction.

On nous dit que la voiture se déplace sur une distance de 30 m.

Commençons par rappeler que la distance est définie comme la longueur du trajet parcouru. La distance est une quantité scalaire ; cela signifie qu’elle est entièrement définie par cette longueur, qui est une intensité.

Ainsi, pour la voiture dans la question, nous savons qu’elle a parcouru un trajet d’une longueur de 30 m.

On nous dit aussi que la position finale de la voiture est à 30 m de sa position de départ. Cela signifie que si nous dessinons une flèche droite pointant de la position de départ vers la position finale, la longueur de cette flèche sera de 30 m.

Une telle flèche est représentée sur le schéma ci-dessous.

Cette flèche représente le déplacement de la voiture. En déclarant que la position finale de la voiture est à 30 m de sa position de départ, la question nous dit que l’intensité du déplacement de la voiture est de 30 m. Dans ce cas, l’intensité du déplacement a la même valeur que la distance parcourue.

Remarquez que, quelle que soit la direction, la flèche s’étend du centre du cercle jusqu’à un point situé sur la circonférence du cercle. Tous ces points sont à 30 m du centre. En d’autres termes, parce que la voiture finit à 30 m de sa position de départ, sa position finale doit être quelque part sur cette circonférence.

Considérons un point particulier de cette circonférence, on va imaginer que c’est la position finale de la voiture. Dans le schéma ci-dessous, quelques trajets possibles à partir de la position initiale de la voiture, au centre du cercle, jusqu’à cette position finale sont indiqués.

Le trajet A montre la voiture qui roule dans une seule direction. Dans ce cas, le trajet se fait le long de la flèche qui représenterait le déplacement de la voiture et la distance parcourue a la même valeur de 30 m que l’intensité du déplacement.

Si l’un des autres trajets, qui implique la voiture se déplaçant dans plusieurs directions différentes, est pris, alors la distance parcourue doit être supérieure à 30 m. Le trajet A était la distance en ligne droite entre les positions de départ et d’arrivée, et tout autre trajet que cette distance en ligne droite doit être plus long. La même chose est vraie pour tout autre trajet auquel nous pourrions penser.

Par conséquent, pour que la distance parcourue par la voiture et l’intensité du déplacement, entre la position de départ et la position finale, aient la même valeur, la voiture ne doit s’être déplacée dans une seule direction.

Notre réponse à la question de savoir si la voiture se déplaçait dans une seule direction est donc « oui ». C’est la réponse A.

Nous avons vu que le déplacement est une quantité vectorielle qui est liée à la distance, une quantité scalaire. De manière similaire, il existe une quantité vectorielle liée à la vitesse, une quantité scalaire. Cette quantité vectorielle est la vélocité.

La vélocité d’un objet est le taux de variation du déplacement de cet objet. En d’autres termes, la vélocité est définie comme le déplacement par unité de temps. Étant donné que le déplacement est une quantité vectorielle et a donc une direction, il est logique que la vélocité ait également une direction.

Voyons comment cela fonctionne en considérant à nouveau les deux marcheurs, le marcheur A et le marcheur B. Nous avons constaté plus tôt que si chaque marcheur parcourt une distance de 40 m pendant 40 s, alors la vitesse moyenne de chaque marcheur est de 1 m/s.

Cependant, lorsque nous considérons le déplacement, nous devons également prendre en compte la direction dans laquelle chaque marcheur s’est déplacé. Le marcheur A s’est déplacé vers l’ouest, pour un déplacement final de 40 m vers l’ouest à partir de sa position de départ. Pendant ce temps, le marcheur B s’est rendu à l’est, pour un déplacement final de 40 m vers l’est. Le mouvement des deux marcheurs est illustré sur le schéma ci-dessous.

Sur le schéma, nous avons également indiqué la vélocité de chaque marcheur. La vélocité est définie par une intensité égale à la vitesse, avec une direction qui est la même que du déplacement. Sur le schéma, c’est illustré par la valeur 1 m/s pour donner l’intensité de la vélocité, avec une flèche indiquant la direction.

On dirait que la vélocité du marcheur A est de 1 m/s vers l’ouest, tandis que la vélocité du marcheur B est de 1 m/s vers l’est.

La quantité physique finale sur laquelle nous allons travailler dans cette fiche explicative est l’accélération.

Nous avons peut-être déjà vu qu’une accélération est définie comme le taux de variation de la vitesse d’un objet. Cependant, à proprement parler, l’accélération d’un objet doit être définie comme le taux de variation de la vélocité de cet objet.

Étant donné que la vélocité a une direction, l’accélération doit également avoir une direction. Par conséquent, l’accélération doit être une quantité vectorielle. L’intensité de l’accélération d’un objet nous indique à quelle vitesse la vélocité de l’objet change, tandis que la direction de l’accélération nous indique dans quelle direction ce changement se fait.

Considérons un scénario spécifique où nous verrons pourquoi la direction de l’accélération est un élément fondamental de la définition.

Supposons qu’une voiture roule à vélocité constante le long d’une route rectiligne. Ensuite, supposons qu’on nous dise que la voiture accélère avec une certaine intensité que nous appellerons .

Deux possibilités sont illustrées dans le schéma ci-dessous.

Rappelons que l’accélération est une quantité vectorielle, mais on nous a seulement donné l’intensité et non la direction. Si l’accélération se fait dans la même direction que la vélocité initiale de la voiture, comme dans la moitié gauche du schéma, elle augmentera l’intensité de la vélocité de la voiture.

Cependant, il se pourrait également que l’accélération se fasse dans la direction opposée à la vélocité initiale de la voiture. Ceci est illustré dans la moitié droite du schéma. Dans ce cas, l’accélération agit pour réduire l’intensité de la vélocité, en d’autres termes, la voiture ralentit. Lorsque l’accélération agit pour réduire l’intensité de la vélocité d’un objet, on parle souvent d’accélération négative ou de décélération.

Ce que nous avons vu, c’est que connaître l’intensité de l’accélération n’est pas une information suffisante pour nous dire ce qu’il adviendra de la voiture. Selon la direction de cette accélération, la voiture peut accélérer ou ralentir. Par conséquent, la direction est un élément fondamental de la définition de l’accélération.

Résumons maintenant ce que nous avons appris.