ملف تدريبي: المستويات المتوازية والمتعامدة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام خواص المستويات المتعامِدة والمتوازية لحل المسائل.

س١:

๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘ ู…ุณุชูˆูŠุงู† ู…ุชูˆุงุฒูŠุงู†ุ› ุญูŠุซ ๓ฐก ู†ู‚ุทุฉ ุชู‚ุน ุจูŠู† ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู†. ุฑูุณู… ุฎุทุงู† ู…ู† ุงู„ู†ู‚ุทุฉ ๓ฐก ุจุญูŠุซ ูŠู‚ุทุน ุฃุญุฏู‡ู…ุง ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๐žธุŒ ๐žธข ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูˆูŠู‚ุทุน ุงู„ุขุฎุฑ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๐žธƒุŒ ๐žธ‡ ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธ๓ฐก๐žธข=ูกูฃุŒ ูˆู…ุณุงุญุฉ ุณุทุญ โ–ณ๓ฐก๐žธ‡๐žธข=ู ูฅูค๏บณ๏ปขูขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู…ุณุงุญุฉ ุณุทุญ โ–ณ๓ฐก๐žธ๐žธƒ.

  • أ ูฃู ู  ุณู…ูข
  • ب ูกโ€Žโ€‰โ€Žูฃูฅู  ุณู…ูข
  • ج ูฅู  ุณู…ูข
  • د ูกูฅู  ุณู…ูข

س٢:

๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘ ู…ุณุชูˆูŠุงู† ู…ุชูˆุงุฒูŠุงู†ุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๓ฐกุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๐žธุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๐žธข ุฑูุณูู…ุช ู„ุชู‚ุทุน ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŽ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุงุท ๓ฐกุŒ ๐žธุŒ ๐žธข ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูˆุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุงุท ๐žธƒุŒ ๐žธคุŒ ๐žธ… ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุ› ุญูŠุซ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ ๐žธŒ ู„ุง ุชู†ุชู…ูŠ ุฅู„ู‰ ุฃูŠู‘ู ู…ู† ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู†. ุฅุฐุง ูƒุงู† ๐žธŒ๓ฐกโˆถ๐žธŒ๐žธƒ=ูขโˆถูงุŒ ๓ฐก๐žธ=ูจูก๏บณ๏ปขุŒ ๐žธค๐žธ…=ูจูฆ๏บณ๏ปขุŒ ๐žนŸ๓ฐŒ‘๓ฐก๐žธ๐žธข=ู ูฉโˆ˜ุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู…ุณุงุญุฉ โ–ณ๐žธƒ๐žธค๐žธ….

س٣:

ุฅุฐุง ูƒุงู† ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŠ๐žธ+ูข๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘=โˆ’ูค ู…ูˆุงุฒูŠู‹ุง ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‹๐žธ‘โˆ’ูข๐žธŽโˆ’ูข๐žธ=ูฃุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู‚ูŠู…ุฉ ูƒู„ูู‘ ู…ู† ๐žธŠุŒ ๐žธ‹.

  • أ ๐žธŠ = โˆ’ ูฃ ุŒ ๐žธ‹ = ูข
  • ب ๐žธŠ = ูข ุŒ ๐žธ‹ = โˆ’ ูฃ
  • ج ๐žธŠ = ูข ุŒ ๐žธ‹ = โˆ’ ูข
  • د ๐žธŠ = โˆ’ ูข ุŒ ๐žธ‹ = ูฃ

س٤:

๐žนŽ ุŒ ๐žน‘ ุŒ ๐žน ุซู„ุงุซุฉ ู…ุณุชูˆูŠุงุช ู…ุชูˆุงุฒูŠุฉ ุชุชู‚ุงุทุน ู…ุน ุฎุทูŠู† ู…ุณุชู‚ูŠู…ูŠู† ูŠู‚ุนุงู† ููŠ ู†ูุณ ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‹ูกุŒ ๐žธ‹ูขุ› ุญูŠุซ ๐žธƒ๐žธ‡๐žธ‡๐žธ…=ูคูง. ุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธข=ูคูค๏บณ๏ปขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ุทูˆู„ ๓ฐก๐žธ.

س٥:

๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘ ุŒ ๐žธ ุซู„ุงุซุฉ ู…ุณุชูˆูŠุงุช ู…ุชูˆุงุฒูŠุฉ ูŠู‚ุทุนู‡ุง ุฎุทุงู† ู…ุณุชู‚ูŠู…ุงู† ๐žธ‹ูกุŒ ๐žธ‹ูข ูŠู‚ุนุงู† ููŠ ู…ุณุชูˆู‹ู‰ ูˆุงุญุฏุ› ุญูŠุซ ๐žธƒ๐žธค๐žธค๐žธ…=ูกูฃุŒ ุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธข=ูจูค๏บณ๏ปขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ุทูˆู„ ๐žธ๐žธข.

س٦:

ุฅุฐุง ูƒุงู† ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฃ๐žธŽโˆ’ูฃ๐žธ‘โˆ’ูฃ๐žธ=ูก ุนู…ูˆุฏูŠู‘ู‹ุง ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ @๐‘Ž๐žธŽโˆ’ูข๐žธ‘โˆ’๐žธ=ูคุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู‚ูŠู…ุฉ ๓ฐก.

س٧:

ู‡ู†ุงูƒ ุดูƒู„ุงู† ุซู„ุงุซูŠู‘ูŽุง ุงู„ุฃุจุนุงุฏ ูŠู‚ุนุงู† ุจูŠู† ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ู…ุชูˆุงุฒูŠูŠู†. ู‡ู†ุงูƒ ู…ุณุชูˆู‹ู‰ ุขุฎูŽุฑ ูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ูˆูŠู‚ุทุนู‡ู…ุง ููŠ ู…ู†ุงุทู‚ ู…ุณุงุญุชู‡ุง ู…ุชุณุงูˆูŠุฉ. ู…ุงุฐุง ูŠู…ูƒู† ุฃู† ุชุณุชู†ุชุฌ ุจุงู„ู†ุณุจุฉ ู„ู„ุดูƒู„ูŠู†ุŸ

  • أุงู„ุดูƒู„ุงู† ู„ู‡ู…ุง ู†ูุณ ู…ุณุงุญุฉ ุงู„ุณุทุญ
  • بุงู„ุดูƒู„ุงู† ูƒู„ุงู‡ู…ุง ู…ู†ุดูˆุฑุงู†
  • جุงู„ุดูƒู„ุงู† ู„ู‡ู…ุง ู†ูุณ ุงู„ุญุฌู…
  • دุงู„ุดูƒู„ุงู† ู…ุชุดุงุจู‡ุงู†
  • هุงู„ุดูƒู„ุงู† ู…ุชุทุงุจู‚ุงู†

س٨:

ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุชุชุญุฑูƒ ุจุงู„ุชูˆุงุฒูŠ ู…ุน ุงู„ู…ุญูˆุฑ ๐žธ. ุฃูŠ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ ๐žธ ุชุธู„ ุซุงุจุชุฉุŸ

  • أ ๐žธŽ ูู‚ุท
  • ب ๐žธ‘ ุŒ ๐žธ
  • ج ๐žธ ูู‚ุท
  • د ๐žธŽ ุŒ ๐žธ
  • ه ๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘

س٩:

ุชุชุญุฑูƒ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุจู…ูˆุงุฒุงุฉ ู…ุญูˆุฑ ุงู„ุตุงุฏุงุช. ุฃูŠู‘ูŒ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ ูŠุธู„ ุซุงุจุชู‹ุงุŸ

  • أ ๐žธ ูู‚ุท
  • ب ๐žธŽ ุŒ ๐žธ
  • ج ๐žธ‘ ุŒ ๐žธ
  • د ๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘
  • ه ๐žธ‘ ูู‚ุท

س١٠:

ุชุชุญุฑูƒ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุจู…ูˆุงุฒุงุฉ ู…ุญูˆุฑ ุงู„ุณูŠู†ุงุช. ุฃูŠู‘ูŒ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ ูŠุธู„ ุซุงุจุชู‹ุงุŸ

  • أ ๐žธ‘ ูู‚ุท
  • ب ๐žธŽ ุŒ ๐žธ‘
  • ج ๐žธŽ ูู‚ุท
  • د ๐žธ‘ ุŒ ๐žธ
  • ه ๐žธŽ ุŒ ๐žธ

س١١:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠุญุชูˆูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ุฎุท ุงู„ู…ุณุชู‚ูŠู… ๐žธŽ+ูขูง=๐žธ‘โˆ’ูฆูฅ=๐žธ+ูฉูฅ ุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ โˆ’๐žธŽ+๐žธ‘โˆ’ูข๐žธ=ูข.

  • أ ูฅ ๐žธŽ โˆ’ ูฃ ๐žธ‘ โˆ’ ูค ๐žธ โˆ’ ูจ = ู 
  • ب ูง ๐žธŽ + ูฅ ๐žธ‘ + ูฅ ๐žธ + ูฉ ูข = ู 
  • ج ูง ๐žธŽ + ูฅ ๐žธ‘ + ูฅ ๐žธ โˆ’ ูฆ ูข = ู 
  • د โˆ’ ูข ๐žธŽ + ูฆ ๐žธ‘ โˆ’ ูฉ ๐žธ + ูข ูก = ู 
  • ه ูฅ ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ โˆ’ ูค ๐žธ โˆ’ ูค ูค = ู 

س١٢:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธŽ.

  • أ ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 
  • ب ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ๐žธŽ
  • ج ๓ฐก ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ๐žธŽ
  • د ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 
  • ه ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธƒ = ู 

س١٣:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธ.

  • أ ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 
  • ب ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ๐žธŽ
  • ج ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 
  • د ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธƒ = ๐žธ
  • ه ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธƒ = ู 

س١٤:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธ‘.

  • أ ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ๐žธŽ
  • ب ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ๐žธ‘
  • ج ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธƒ = ู 
  • د ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 
  • ه ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ + ๐žธƒ = ู 

س١٥:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ู…ุงุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุฉ (ูขุŒูจุŒูก) ูˆุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† โˆ’ูฆ๐žธŽโˆ’ูค๐žธ‘+ูฆ๐žธ=โˆ’ูฅุŒ ูฅ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘โˆ’ูฆ๐žธ=ูฃ.

  • أ ูฅ ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ โˆ’ ูฆ ๐žธ โˆ’ ูจ ูข = ู 
  • ب ูข ๐žธŽ + ูจ ๐žธ‘ + ๐žธ + ูจ ูง = ู 
  • ج ูฃ ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ + ๐žธ โˆ’ ูก ูฃ = ู 
  • د โˆ’ ูฃ ๐žธŽ โˆ’ ูข ๐žธ‘ + ูฃ ๐žธ + ูฉ ูก = ู 
  • ه ูฃ ๐žธŽ โˆ’ ูฃ ๐žธ‘ + ๐žธ + ูง ูก = ู 

س١٦:

ุฃูˆุฌุฏ ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠู…ุฑ ุนุจุฑ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๓ฐกุŒ๐žธุŒ๐žธข) ูˆูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŽ+๐žธ‘+๐žธ=ู .

  • أ ๐žธŽ + ๐žธ‘ + ๐žธ + ๓ฐก + ๐žธ + ๐žธข = ู 
  • ب ๐žธŽ + ๐žธ‘ + ๐žธ = ๓ฐก + ๐žธ + ๐žธข
  • ج ๐žธŽ ๓ฐก = ๐žธ‘ ๐žธ = ๐žธ ๐žธข
  • د ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ = ๓ฐก + ๐žธ + ๐žธข
  • ه ๓ฐก ๐žธŽ + ๐žธ ๐žธ‘ + ๐žธข ๐žธ = ูก

س١٧:

ุฃูˆุฌูุฏ ุงู„ุตูˆุฑุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ู…ุงุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๓ฐก(ูขุŒูฅุŒูค)ุŒ ๐žธ(ูฃุŒโˆ’ูฃุŒูฅ)ุŒ ูˆุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฆูข๐žธŽโˆ’ูฃูก๐žธ‘+ูฆูข๐žธ†โˆ’ูฆูข=ู .

  • أ ูฃ ๐žธŽ โˆ’ ูฃ ๐žธ‘ + ูฅ ๐žธ† โˆ’ ูก ูก = ู 
  • ب ูข ๐žธŽ + ูฅ ๐žธ‘ + ูค ๐žธ† โˆ’ ูก ูก = ู 
  • ج โˆ’ ูฆ ๐žธŽ + ูฆ ๐žธ† โˆ’ ูข ูก = ู 
  • د ๐žธŽ โˆ’ ูข ๐žธ‘ + ๐žธ† + ูค = ู 
  • ه ๐žธŽ โˆ’ ูจ ๐žธ‘ + ๐žธ† + ูค ูฃ = ู 

س١٨:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ุตูˆุฑุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠู…ุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุฉ (ูคุŒโˆ’ูกุŒูก) ูˆูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฅ๐žธŽ+ูฆ๐žธ‘โˆ’ูง๐žธ=ู .

  • أ ูค ๐žธŽ โˆ’ ๐žธ‘ + ๐žธ + ูง = ู 
  • ب ูค ๐žธŽ โˆ’ ๐žธ‘ + ๐žธ = ู 
  • ج ูฅ ๐žธŽ + ูฆ ๐žธ‘ โˆ’ ูง ๐žธ + ูง = ู 
  • د ูฉ ๐žธŽ + ูฅ ๐žธ‘ โˆ’ ูฆ ๐žธ + ูง = ู 
  • ه ูฅ ๐žธŽ + ูฆ ๐žธ‘ โˆ’ ูง ๐žธ โˆ’ ูง = ู 

س١٩:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ โˆ’ูฆ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+ูค๐žธ+ูค=ู ุŒ ูˆูŠู‚ุทุน ู…ุญูˆุฑ ุงู„ุณูŠู†ุงุช ูˆู…ุญูˆุฑ ุงู„ุตุงุฏุงุช ููŠ (ูฅุŒู ุŒู )ุŒ (ู ุŒูกุŒู ) ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจ.

  • أ ูค ๐žธŽ โˆ’ ู  ูข ๐žธ‘ โˆ’ ูฉ ๐žธ + ู  ูข = ู 
  • ب ูค ๐žธŽ + ู  ูข ๐žธ‘ โˆ’ ูฉ ๐žธ โˆ’ ู  ูข = ู 
  • ج ูค ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ + ูค ๐žธ โˆ’ ูฃ = ู 
  • د โˆ’ ูฆ ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ + ูค ๐žธ โˆ’ ูฃ = ู 
  • ه โˆ’ ูฆ ๐žธŽ + ูฃ ๐žธ‘ + ูค ๐žธ + ู  ูฃ = ู 

ุชุณุชุฎุฏู… ู†ุฌูˆู‰ ู…ู„ูุงุช ุชุนุฑูŠู ุงู„ุงุฑุชุจุงุท ู„ุถู…ุงู† ุญุตูˆู„ูƒ ุนู„ู‰ ุฃูุถู„ ุชุฌุฑุจุฉ ุนู„ู‰ ู…ูˆู‚ุนู†ุง. ู…ุนุฑูุฉ ุงู„ู…ุฒูŠุฏ ุญูˆู„ ุณูŠุงุณุฉ ุงู„ุฎุตูˆุตูŠุฉ ู„ุฏูŠู†ุง.