ملف تدريبي: معادلات المستويات المتوازية والمتعامدة

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد التجاربَ ذات الحدَّيْن، وكيف نحلُّ مسائل الاحتمال للمتغيِّرات العشوائية لذات الحدَّيْن.

س١:

๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ู…ุณุชูˆูŠุงู† ู…ุชูˆุงุฒูŠุงู†ุ› ุญูŠุซ ๓ฐก ู†ู‚ุทุฉ ุชู‚ุน ุจูŠู† ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู†. ุฑูุณู… ุฎุทุงู† ู…ู† ุงู„ู†ู‚ุทุฉ ๓ฐก ุจุญูŠุซ ูŠู‚ุทุน ุฃุญุฏู‡ู…ุง ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๐žธุŒ ๐žธข ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูˆูŠู‚ุทุน ุงู„ุขุฎุฑ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๐žธƒุŒ ๐žธ‡ ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธ๓ฐก๐žธข=ูกูฃุŒ ูˆู…ุณุงุญุฉ ุณุทุญ โ–ณ๓ฐก๐žธ‡๐žธข=ู ูฅูค๏บณ๏ปขูขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู…ุณุงุญุฉ ุณุทุญ โ–ณ๓ฐก๐žธ๐žธƒ.

  • أูฃู ู  ุณู…ูข
  • بูกโ€Žโ€‰โ€Žูฃูฅู  ุณู…ูข
  • جูฅู  ุณู…ูข
  • دูกูฅู  ุณู…ูข

س٢:

๐žธŽุŒ ๐žธ‘ ู…ุณุชูˆูŠุงู† ู…ุชูˆุงุฒูŠุงู†ุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๓ฐกุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๐žธุŒ โƒ–๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๓ฐ„ฎ๐žธŒ๐žธข ุฑูุณูู…ุช ู„ุชู‚ุทุน ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŽ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุงุท ๓ฐกุŒ ๐žธุŒ ๐žธข ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุŒ ูˆุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‘ ููŠ ุงู„ู†ู‚ุงุท ๐žธƒุŒ ๐žธคุŒ ๐žธ… ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจุ› ุญูŠุซ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ ๐žธŒ ู„ุง ุชู†ุชู…ูŠ ุฅู„ู‰ ุฃูŠู‘ู ู…ู† ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู†. ุฅุฐุง ูƒุงู† ๐žธŒ๓ฐกโˆถ๐žธŒ๐žธƒ=ูขโˆถูงุŒ ๓ฐก๐žธ=ูจูก๏บณ๏ปขุŒ ๐žธค๐žธ…=ูจูฆ๏บณ๏ปขุŒ ๐žนŸ๓ฐŒ‘๓ฐก๐žธ๐žธข=ู ูฉโˆ˜ุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู…ุณุงุญุฉ โ–ณ๐žธƒ๐žธค๐žธ….

س٣:

ุฅุฐุง ูƒุงู† ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŠ๐žธ+ูข๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘=โˆ’ูค ู…ูˆุงุฒูŠู‹ุง ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‹๐žธ‘โˆ’ูข๐žธŽโˆ’ูข๐žธ=ูฃุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู‚ูŠู…ุฉ ูƒู„ูู‘ ู…ู† ๐žธŠุŒ ๐žธ‹.

  • أ๐žธŠ=โˆ’ูฃุŒ ๐žธ‹=ูข
  • ب๐žธŠ=ูขุŒ ๐žธ‹=โˆ’ูฃ
  • ج๐žธŠ=ูขุŒ ๐žธ‹=โˆ’ูข
  • د๐žธŠ=โˆ’ูขุŒ ๐žธ‹=ูฃ

س٤:

๐žนŽุŒ ๐žน‘ุŒ ๐žน ุซู„ุงุซุฉ ู…ุณุชูˆูŠุงุช ู…ุชูˆุงุฒูŠุฉ ุชุชู‚ุงุทุน ู…ุน ุฎุทูŠู† ู…ุณุชู‚ูŠู…ูŠู† ูŠู‚ุนุงู† ููŠ ู†ูุณ ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธ‹ูกุŒ ๐žธ‹ูขุ› ุญูŠุซ ๐žธƒ๐žธ‡๐žธ‡๐žธ…=ูคูง. ุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธข=ูคูค๏บณ๏ปขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ุทูˆู„ ๓ฐก๐žธ.

س٥:

๐žธŽุŒ ๐žธ‘ุŒ ๐žธ ุซู„ุงุซุฉ ู…ุณุชูˆูŠุงุช ู…ุชูˆุงุฒูŠุฉ ูŠู‚ุทุนู‡ุง ุฎุทุงู† ู…ุณุชู‚ูŠู…ุงู† ๐žธ‹ูกุŒ ๐žธ‹ูข ูŠู‚ุนุงู† ููŠ ู…ุณุชูˆู‹ู‰ ูˆุงุญุฏุ› ุญูŠุซ ๐žธƒ๐žธค๐žธค๐žธ…=ูกูฃุŒ ุฅุฐุง ูƒุงู† ๓ฐก๐žธข=ูจูค๏บณ๏ปขุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ุทูˆู„ ๐žธ๐žธข.

س٦:

ุฅุฐุง ูƒุงู† ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฃ๐žธŽโˆ’ูฃ๐žธ‘โˆ’ูฃ๐žธ=ูก ุนู…ูˆุฏูŠู‘ู‹ุง ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๓ฐก๐žธŽโˆ’ูข๐žธ‘โˆ’๐žธ=ูคุŒ ูุฃูˆุฌุฏ ู‚ูŠู…ุฉ ๓ฐก.

س٧:

ู‡ู†ุงูƒ ุดูƒู„ุงู† ุซู„ุงุซูŠู‘ูŽุง ุงู„ุฃุจุนุงุฏ ูŠู‚ุนุงู† ุจูŠู† ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ู…ุชูˆุงุฒูŠูŠู†. ู‡ู†ุงูƒ ู…ุณุชูˆู‹ู‰ ุขุฎูŽุฑ ูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† ูˆูŠู‚ุทุนู‡ู…ุง ููŠ ู…ู†ุงุทู‚ ู…ุณุงุญุชู‡ุง ู…ุชุณุงูˆูŠุฉ. ู…ุงุฐุง ูŠู…ูƒู† ุฃู† ุชุณุชู†ุชุฌ ุจุงู„ู†ุณุจุฉ ู„ู„ุดูƒู„ูŠู†ุŸ

  • أุงู„ุดูƒู„ุงู† ู„ู‡ู…ุง ู†ูุณ ู…ุณุงุญุฉ ุงู„ุณุทุญ
  • بุงู„ุดูƒู„ุงู† ูƒู„ุงู‡ู…ุง ู…ู†ุดูˆุฑุงู†
  • جุงู„ุดูƒู„ุงู† ู„ู‡ู…ุง ู†ูุณ ุงู„ุญุฌู…
  • دุงู„ุดูƒู„ุงู† ู…ุชุดุงุจู‡ุงู†
  • هุงู„ุดูƒู„ุงู† ู…ุชุทุงุจู‚ุงู†

س٨:

ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุชุชุญุฑูƒ ุจุงู„ุชูˆุงุฒูŠ ู…ุน ุงู„ู…ุญูˆุฑ ๐žธ. ุฃูŠ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ ๐žธ ุชุธู„ ุซุงุจุชุฉุŸ

  • أ๐žธŽ ูู‚ุท
  • ب๐žธ‘ุŒ ๐žธ
  • ج๐žธ ูู‚ุท
  • د๐žธŽุŒ ๐žธ
  • ه๐žธŽุŒ ๐žธ‘

س٩:

ุชุชุญุฑูƒ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุจู…ูˆุงุฒุงุฉ ู…ุญูˆุฑ ุงู„ุตุงุฏุงุช. ุฃูŠู‘ูŒ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ ูŠุธู„ ุซุงุจุชู‹ุงุŸ

  • أ๐žธ ูู‚ุท
  • ب๐žธŽุŒ ๐žธ
  • ج๐žธ‘ุŒ ๐žธ
  • د๐žธŽุŒ ๐žธ‘
  • ه๐žธ‘ ูู‚ุท

س١٠:

ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ๐žธ) ุชุชุญุฑูƒ ู…ูˆุงุฒูŠุฉ ู„ู„ู…ุญูˆุฑ ๐žธŽ. ุฃูŠ ู…ู† ุงู„ู…ุชุบูŠุฑุงุช ๐žธŽุŒ๐žธ‘ุŒ ๐žธ ุณูŠุธู„ ุซุงุจุชู‹ุงุŸ

  • أ๐žธŽุŒ ๐žธ
  • ب๐žธ‘ุŒ ๐žธ
  • ج๐žธŽ ูู‚ุท
  • د๐žธ‘ ูู‚ุท
  • ه๐žธŽุŒ ๐žธ‘

س١١:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠุญุชูˆูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ุฎุท ุงู„ู…ุณุชู‚ูŠู… ๐žธŽ+ูขูง=๐žธ‘โˆ’ูฆูฅ=๐žธ+ูฉูฅ ุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ โˆ’๐žธŽ+๐žธ‘โˆ’ูข๐žธ=ูข.

  • أูฅ๐žธŽโˆ’ูฃ๐žธ‘โˆ’ูค๐žธโˆ’ูจ=ู 
  • بูง๐žธŽ+ูฅ๐žธ‘+ูฅ๐žธ+ูฉูข=ู 
  • جูง๐žธŽ+ูฅ๐žธ‘+ูฅ๐žธโˆ’ูฆูข=ู 
  • دโˆ’ูข๐žธŽ+ูฆ๐žธ‘โˆ’ูฉ๐žธ+ูขูก=ู 
  • هูฅ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘โˆ’ูค๐žธโˆ’ูคูค=ู 

س١٢:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธŽ.

  • أ๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 
  • ب๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=๐žธŽ
  • ج๓ฐก๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=๐žธŽ
  • د๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 
  • ه๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธƒ=ู 

س١٣:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธ.

  • أ๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 
  • ب๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=๐žธŽ
  • ج๓ฐก๐žธŽ+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 
  • د๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธƒ=๐žธ
  • ه๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธƒ=ู 

س١٤:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠูˆุงุฒูŠ ู…ุญูˆุฑ ๐žธ‘.

  • أ๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=๐žธŽ
  • ب๓ฐก๐žธŽ+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=๐žธ‘
  • ج๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธƒ=ู 
  • د๓ฐก๐žธŽ+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 
  • ه๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ+๐žธƒ=ู 

س١٥:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ู…ุงุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุฉ (ูขุŒูจุŒูก) ูˆุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆูŠูŠู† โˆ’ูฆ๐žธŽโˆ’ูค๐žธ‘+ูฆ๐žธ=โˆ’ูฅุŒ ูฅ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘โˆ’ูฆ๐žธ=ูฃ.

  • أูฅ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘โˆ’ูฆ๐žธโˆ’ูจูข=ู 
  • بูข๐žธŽ+ูจ๐žธ‘+๐žธ+ูจูง=ู 
  • جูฃ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+๐žธโˆ’ูกูฃ=ู 
  • دโˆ’ูฃ๐žธŽโˆ’ูข๐žธ‘+ูฃ๐žธ+ูฉูก=ู 
  • هูฃ๐žธŽโˆ’ูฃ๐žธ‘+๐žธ+ูงูก=ู 

س١٦:

ุฃูˆุฌุฏ ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠู…ุฑ ุนุจุฑ ุงู„ู†ู‚ุทุฉ (๓ฐกุŒ๐žธุŒ๐žธข) ูˆูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ๐žธŽ+๐žธ‘+๐žธ=ู .

  • أ๐žธŽ+๐žธ‘+๐žธ+๓ฐก+๐žธ+๐žธข=ู 
  • ب๐žธŽ+๐žธ‘+๐žธ=๓ฐก+๐žธ+๐žธข
  • ج๐žธŽ๓ฐก=๐žธ‘๐žธ=๐žธ๐žธข
  • د๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ=๓ฐก+๐žธ+๐žธข
  • ه๓ฐก๐žธŽ+๐žธ๐žธ‘+๐žธข๐žธ=ูก

س١٧:

ุฃูˆุฌูุฏ ุงู„ุตูˆุฑุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ู…ุงุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุชูŠู† ๓ฐก(ูขุŒูฅุŒูค)ุŒ ๐žธ(ูฃุŒโˆ’ูฃุŒูฅ)ุŒ ูˆุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฆูข๐žธŽโˆ’ูฃูก๐žธ‘+ูฆูข๐žธ†โˆ’ูฆูข=ู .

  • أูฃ๐žธŽโˆ’ูฃ๐žธ‘+ูฅ๐žธ†โˆ’ูกูก=ู 
  • بูข๐žธŽ+ูฅ๐žธ‘+ูค๐žธ†โˆ’ูกูก=ู 
  • جโˆ’ูฆ๐žธŽ+ูฆ๐žธ†โˆ’ูขูก=ู 
  • د๐žธŽโˆ’ูข๐žธ‘+๐žธ†+ูค=ู 
  • ه๐žธŽโˆ’ูจ๐žธ‘+๐žธ†+ูคูฃ=ู 

س١٨:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ุตูˆุฑุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุฐูŠ ูŠู…ุฑ ุจุงู„ู†ู‚ุทุฉ (ูคุŒโˆ’ูกุŒูก) ูˆูŠูˆุงุฒูŠ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ ูฅ๐žธŽ+ูฆ๐žธ‘โˆ’ูง๐žธ=ู .

  • أูค๐žธŽโˆ’๐žธ‘+๐žธ+ูง=ู 
  • بูค๐žธŽโˆ’๐žธ‘+๐žธ=ู 
  • جูฅ๐žธŽ+ูฆ๐žธ‘โˆ’ูง๐žธ+ูง=ู 
  • دูฉ๐žธŽ+ูฅ๐žธ‘โˆ’ูฆ๐žธ+ูง=ู 
  • هูฅ๐žธŽ+ูฆ๐žธ‘โˆ’ูง๐žธโˆ’ูง=ู 

س١٩:

ุฃูˆุฌุฏ ุงู„ู…ุนุงุฏู„ุฉ ุงู„ุนุงู…ุฉ ู„ู„ู…ุณุชูˆู‰ ุงู„ุนู…ูˆุฏูŠ ุนู„ู‰ ุงู„ู…ุณุชูˆู‰ โˆ’ูฆ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+ูค๐žธ+ูค=ู ุŒ ูˆูŠู‚ุทุน ู…ุญูˆุฑ ๐žธŽ ูˆู…ุญูˆุฑ ๐žธ‘ ููŠ (ูฅุŒู ุŒู )ุŒ (ู ุŒูกุŒู ) ุนู„ู‰ ุงู„ุชุฑุชูŠุจ.

  • أูค๐žธŽ+ู ูข๐žธ‘โˆ’ูฉ๐žธโˆ’ู ูข=ู 
  • بูค๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+ูค๐žธโˆ’ูฃ=ู 
  • جโˆ’ูฆ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+ูค๐žธ+ู ูฃ=ู 
  • دโˆ’ูฆ๐žธŽ+ูฃ๐žธ‘+ูค๐žธโˆ’ูฃ=ู 
  • هูค๐žธŽโˆ’ู ูข๐žธ‘โˆ’ูฉ๐žธ+ู ูข=ู 

ุชุณุชุฎุฏู… ู†ุฌูˆู‰ ู…ู„ูุงุช ุชุนุฑูŠู ุงู„ุงุฑุชุจุงุท ู„ุถู…ุงู† ุญุตูˆู„ูƒ ุนู„ู‰ ุฃูุถู„ ุชุฌุฑุจุฉ ุนู„ู‰ ู…ูˆู‚ุนู†ุง. ู…ุนุฑูุฉ ุงู„ู…ุฒูŠุฏ ุญูˆู„ ุณูŠุงุณุฉ ุงู„ุฎุตูˆุตูŠุฉ ู„ุฏูŠู†ุง.