شارح الدرس: معادلات المستويات المتوازية والمتعامدة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلة مستوًى موازٍ أو عمودي على مستوًى آخَر بمعلومية معادلته أو بعض خواصه.

قبل أن نبدأ بالاطلاع على المستويات المتوازية والمتعامدة، لا بد أن نكون على دراية بالفعل بإيجاد معادلة المستوى. هيا نلخِّص الصور المختلفة لمعادلات المستوى:

  • الصورة المتجهة هي 󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰏡؛ حيث 󰄮𞸍=󰁓𞸍،𞸍،𞸍󰁒𞸎𞸑𞸏 متجه عمودي على المستوى لا يساوي صفرًا، 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑،𞸏) متجه الموضع لأيِّ نقطة في المستوى، 󰏡=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰏡󰏡󰏡 متجه الموضع للنقطة 󰏡 التي إحداثياتها 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰏡󰏡󰏡 وتقع في المستوى.
  • الصورة العامة هي 𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏+𞸃=٠𞸎𞸑𞸏؛ حيث 𞸍𞸎، 𞸍𞸑، 𞸍𞸏 مركبات المتجه العمودي على المستوى، 𞸃 عدد ثابت.
  • الصورة البارامترية هي مجموعة من ثلاث معادلات: 𞸎=𞸎+𞸊𞸋+𞸊𞸔،𞸑=𞸑+𞸊𞸋+𞸊𞸔،𞸏=𞸏+𞸊𞸋+𞸊𞸔،󰏡١𞸎٢𞸎󰏡١𞸑٢𞸑󰏡١𞸏٢𞸏 حيث النقطة 󰏡 التي إحداثياتها 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰏡󰏡󰏡 تقع في المستوى، 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،𞸋󰁒𞸎𞸑𞸏، 󰄮󰄮󰄮𞸔=󰁓𞸔،𞸔،𞸔󰁒𞸎𞸑𞸏 متجهان لا يساويان صفرًا، وليسا على استقامة واحدة في المستوى، 𞸊١، 𞸊٢ كميتان قياسيتان. ويُعطَى المتجه العمودي على المستوى بالمعادلة 󰄮𞸍=󰄮𞸋×󰄮󰄮󰄮𞸔.
  • صورة الجزء المقطوع هي 𞸎󰏡+𞸑𞸁+𞸏𞸢=١؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 هي الأجزاء المقطوعة من المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 بواسطة المستوى، بشرط أن تكون جميعها موجودة، ١󰏡، ١𞸁، ١𞸢 مركبات متجه عمودي على المستوى.

باستثناء المعادلات البارامترية التي تُعرِّف المستوى باستخدام نقطة واحدة ومتجهين لا يساويان صفرًا وليسا على استقامة واحدة، تعتمد المعادلات على حقيقة أن أيَّ متجه في المستوى (على سبيل المثال، 󰄮󰄮󰏡𞸌؛ حيث 󰏡 نقطة معلومة في المستوى، 𞸌 أيُّ نقطة في المستوى إحداثياتها (𞸎،𞸑،𞸏)) يكون عموديًّا على متجه عمودي على المستوى. ولذلك، يكون 󰄮𞸍󰄮󰄮󰏡𞸌=٠.

عند تعريف المستوى، نلاحظ أهمية متجهه العمودي (أو بالأحرى، أحد المتجهات العمودية على المستوى؛ حيث إن أيَّ متجه لا يساوي صفرًا وموازٍ للمتجه العمودي، هو أيضًا متجه عمودي). المتجه العمودي له أيضًا دور محوري في تحديد إذا ما كان المستويان متوازيين أو متعامدين.

تعريف: المستويات المتوازية والمتعامدة

يكون المستويان المختلفان متوازيين إذا كانت لهما متجهات عمودية متوازية لا تساوي صفرًا، ما يعني أنه لا توجد نقاط تقاطع بينهما. ويكون المستويان متعامدين إذا كانت متجهاتهما العمودية متعامدة.

من الجدير بالملاحظة أن المستويين المتطابقين لهما أيضًا متجهات عمودية متوازية لا تساوي صفرًا؛ أي إن معادلة أحد المستويين تكون مُضاعِفة لمعادلة الآخر.

وهذه الخاصية موضَّحة في الشكل التالي؛ حيث يوضِّح الشكل (أ) المستويين المتوازيين (على اليسار)، والمستويين المتعامدين (على اليمين) في ثلاثة أبعاد، ويوضِّح الشكل (ب) المستويين 𞸉، 𞸐 من منظور رأسي، مع توضيح متجهيهما العموديين.

هيا نستخدم هذه الخاصية لإكمال معادلتَي مستويين، بشرط أن يكونا متوازيين.

مثال ١: إيجاد الشرط الذي يجعل المستويين متوازيين

إذا كان المستوى 𞸊𞸏+٢𞸎+٣𞸑=٤ موازيًا للمستوى 𞸋𞸑٢𞸎٢𞸏=٣، فأوجد قيمة كلٍّ من 𞸊، 𞸋.

الحل

دعونا أولًا نفترض أن 𞸉١ هو المستوى الذي معادلته 𞸊𞸏+٢𞸎+٣𞸑=٤، وأن 𞸉٢ معادلته 𞸋𞸑٢𞸎٢𞸏=٣. إذا كان المستويان 𞸉١، 𞸉٢ متوازيين، فيجب أن يكون متجهاهما العموديان متوازيين. هيا نرمز للمتجه العمودي على 𞸉١ بالرمز 󰄮𞸍١، والمتجه العمودي على 𞸉٢ بالرمز 󰄮𞸍٢. يمكن الحصول على مركبات هذين المتجهين العموديين من معاملات المتغيِّرات المناظرة في معادلتَي المستوى بصورتهما العامة. ولكن انتبه، إن الحدود ليست بالترتيب المعتاد في كلتا المعادلتين.

نجد أن 󰄮𞸍=(٢،٣،𞸊)١، 󰄮𞸍=(٢،𞸋،٢)٢.

يكون المتجهان 󰄮𞸍١، 󰄮𞸍٢ متوازيين إذا كانت هناك كمية قياسية غير صفرية، 𞸌؛ بحيث يكون: 󰄮𞸍=𞸌󰄮𞸍.١٢ تعطينا معادلة المتجه هذه ثلاث معادلات بها كمية قياسية عند مساواة المركبات الثلاثة لكلا المتجهين:

٢=٢𞸌،٣=𞸌𞸋،𞸊=٢𞸌.()()()١٢٣

من المعادلة رقم (١)، 𞸌=١، وبناءً على ذلك، يكون 𞸋=٣، 𞸊=٢.

الحل

نجد أن 𞸊=٢، 𞸋=٣.

نُوجِد الآن معادلة مستوًى مارٍّ بنقطة مُعطاة وموازٍ لمستوًى آخر.

مثال ٢: إيجاد المعادلة العامة لمستوًى موازٍ لمستوى آخر ويمر بنقطة مُعطاة

أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة (󰏡،𞸁،𞸢) ويوازي المستوى 𞸎+𞸑+𞸏=٠.

  1. 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=١
  2. 𞸎+𞸑+𞸏=󰏡+𞸁+𞸢
  3. 𞸎+𞸑+𞸏+󰏡+𞸁+𞸢=٠
  4. 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=󰏡+𞸁+𞸢
  5. 𞸎󰏡=𞸑𞸁=𞸏𞸢

الحل

لدينا نقطة تقع في المستوى، ولدينا معادلة المستوى الآخر الموازي للمستوى الذي نحاول إيجاد معادلته. يمكننا كتابة معادلة المستوى في صورتها العامة إذا عرفنا إحداثيات إحدى نقاطه ومتجهه العمودي. يمكننا إيجاد المتجه العمودي باستخدام حقيقة أن المستويات المتوازية لها متجهات عمودية متوازية.

المستوى الذي معادلته العامة هي 𞸎+𞸑+𞸏=٠، تكون مركبات متجه عمودي عليه هي (١،١،١). أيُّ متجه لا يساوي صفرًا موازٍ لهذا المتجه، هو متجه عمودي على المستوى الذي نريد كتابة معادلته. أبسط متجه موازٍ يمكننا إيجاده هو هذا المتجه نفسه، الذي نحصل عليه من معادلة المستوى: 𞸎+𞸑+𞸏+𞸃=٠، حيث 𞸃 الثابت الذي علينا إيجاد قيمته. للقيام بذلك، نستخدم الإحداثيات (󰏡،𞸁،𞸢) للنقطة التي تقع في المستوى. يجب أن تحقِّق إحداثياتها معادلة المستوى؛ ومن ثم، يكون لدينا: 󰏡+𞸁+𞸢+𞸃=٠𞸃=(󰏡+𞸁+𞸢). ويعطينا ذلك في صورة المعادلة النهائية: 𞸎+𞸑+𞸏(󰏡+𞸁+𞸢)=٠، أو، بإعادة الترتيب، يكون لدينا: 𞸎+𞸑+𞸏=󰏡+𞸁+𞸢.

الحل

المعادلة العامة للمستوى هي 𞸎+𞸑+𞸏(󰏡+𞸁+𞸢)=٠، ويمكن كتابتها على الصورة 𞸎+𞸑+𞸏=󰏡+𞸁+𞸢.

ننتقل الآن إلى المستويات المتعامدة.

مثال ٣: إيجاد الشرط الذي يجعل مستويين متعامدين

إذا كان المستوى ٣𞸎٣𞸑٣𞸏=١ عموديًّا على المستوى 󰏡𞸎٢𞸑𞸏=٤، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

إذا كان المستويان متعامدين، فلا بد أن متجهيهما العموديين متعامدان. من ثَمَّ، فإن حاصل الضرب القياسي لكلا المتجهين العموديين يساوي صفرًا. هيا نُوجِد من كلتا المعادلتين بالصورة العامة مركبات المتجهين العموديين. بالنسبة إلى المعادلة الأولى، نجد أن مركبات المتجه هي (٣،٣،٣)، وبالنسبة إلى المعادلة الثانية، نجد أن مركبات المتجه هي (󰏡،٢،١).

حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي صفرًا؛ أي إن: (٣،٣،٣)(󰏡،٢،١)=٠٣󰏡+(٣)×(٢)+(٣)×(١)=٠٣󰏡+٩=٠󰏡=٣.

الحل

قيمة 󰏡 تساوي ٣.

على الرغم من أن المستوى يكون مُعرَّفًا تمامًا إذا علمنا أنه موازٍ لمستوى آخر ويمر بنقطة محدَّدة، فإن هناك عددًا لا نهائيًّا من المستويات التي تكون عمودية على المستوى الآخر، كما هو موضَّح في الشكل الآتي؛ حيث تكون جميع المستويات الحمراء عمودية على 𞸉، وكلٌّ منها يمثِّل مجموعة كاملة من المستويات المتوازية.

الخاصية: مجموعة المستويات العمودية على مستوًى مُعطى

المتجهات العمودية على جميع المستويات العمودية على المستوى 𞸉 تكون موازية للمستوى 𞸉، ويكون المتجه العمودي على المستوى 𞸉 موازيًا لجميع المستويات العمودية على 𞸉.

وبناءً على ذلك، لتعريف مستوًى بوضوح من حيث التعامد، لا بد أن يكون المستوى إما:

  • عموديًّا على مستويين غير متوازيين ويمر بنقطة معطاة،
  • وإما عموديًّا على المستوى 𞸉 ويمر بنقطتين مختلفتين 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 والمتجه العمودي على المستوى 𞸉 ليسا على استقامة واحدة.

هيا نتناول هاتين الحالتين في المثالين التاليين.

مثال ٤: إيجاد معادلة مستوًى عمودي على مستويين ويمر بنقطة مُعطاة

أوجد المعادلة العامة للمستوى المار بالنقطة (٢،٨،١) والعمودي على المستويين ٦𞸎٤𞸑+٦𞸏=٥، ٥𞸎+٣𞸑٦𞸏=٣.

الحل

المستوى الذي نريد إيجاده في هذا السؤال عمودي على مستويين معادلتاهما ٦𞸎٤𞸑+٦𞸏=٥، ٥𞸎+٣𞸑٦𞸏=٣. إذن متجهاهما العموديان هما (٦،٤،٦) و(٥،٣،٦). بما أننا نبحث عن معادلة مستوى عمودي على كلٍّ من هذين المستويين غير المتوازيين، فإن متجهه العمودي، 󰄮𞸍، لا بد أن يكون عموديًّا على متجهيهما العموديين غير المتوازيين. هناك طريقتان لإيجاد متجه عمودي على متجهين غير متوازيين.

  1. يمكننا القول إن حاصل الضرب القياسي بين 󰄮𞸍 وأيٍّ من هذين المتجهين يجب أن يساوي صفرًا. بفرض أن 󰄮𞸍=󰁓𞸍،𞸍،𞸍󰁒𞸎𞸑𞸏 هو المتجه العمودي على المستوى، فإن: ٦𞸍٤𞸍+٦𞸍=٠٥𞸍+٣𞸍٦𞸍=٠.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏 لحل هذا النظام المكوَّن من معادلتين، علينا حذف أحد الحدود. بجمع المعادلتين يمكن أن نحذف الحد 𞸍𞸏 ونحصل على: 𞸍𞸍=٠،𞸍=𞸍.𞸎𞸑𞸑𞸎أيإن، لقد أوجدنا 𞸍𞸑 بدلالة 𞸍𞸎. بالتعويض عن 𞸍𞸑 بـ 𞸍𞸎 في المعادلة الثانية، وبإعادة الترتيب، نحصل على 𞸍𞸏 بدلالة 𞸍𞸎: 𞸍=𞸍٣.𞸏𞸎 يمكننا الآن التعبير عن مركبات المتجه العمودي بدلالة 𞸍𞸎: 󰄮𞸍=󰃁𞸍،𞸍،𞸍٣󰃀.𞸎𞸎𞸎 بما أن 𞸍𞸎 يمكن أن يأخذ أيَّ قيمة حقيقية لا تساوي صفرًا، إذن نسب اتجاه مركبات المتجه العمودي هي 󰂔١،١،١٣󰂓. بضرب النسب في ٣، نجد أن 󰄮𞸍=(٣،٣،١).
  2. نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، وهو ما يعطينا متجهًا عموديًّا على كليهما: 󰄮𞸍=(٦،٤،٦)×(٥،٣،٦)=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٦٤٦٥٣٦||||=((٤)(٦)٣×٦)󰄮󰄮󰄮𞹎((٦)(٦)٥×٦)󰄮󰄮󰄮𞹑+((٦)×٣٥×(٤))󰄮󰄮𞹏=٦󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑+٢󰄮󰄮𞹏=(٦،٦،٢). يمكن تبسيط هذا المتجه العمودي بقسمة مركباته على ٢، وهو ما يعطينا (٣،٣،١) كما وجدنا سابقًا.

باستخدام 󰄮𞸍=(٣،٣،١) لكتابة المعادلة العامة للمستوى 𞸍𞸎+𞸍𞸑+𞸍𞸏+𞸃=٠𞸎𞸑𞸏، يعطينا: ٣𞸎٣𞸑+𞸏+𞸃=٠.

نعلم أن المستوى يمر بالنقطة (٢،٨،١). لذا، فإن الإحداثيات (٢،٨،١) يجب أن تحقِّق معادلة المستوى. وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على: ٣×٢٣×٨+١+𞸃=٠𞸃=٧١.

الحل

معادلة المستوى المار بالنقطة (٢،٨،١) والعمودي على المستويين ٦𞸎٤𞸑+٦𞸏=٥، ٥𞸎+٣𞸑٦𞸏=٣ هي: ٣𞸎٣𞸑+𞸏+٧١=٠.

هيا نلخِّص الطريقة المستخدَمة في المثال السابق.

كيفية إيجاد معادلة مستوًى عمودي على مستويين آخرين

إذا كان المستوى عموديًّا على مستويين آخرين غير متوازيين متجهاهما العموديان هما 󰄮𞸍١، 󰄮𞸍٢، فيمكن إيجاد مركبات متجهه العمودي، 󰄮𞸍، باستخدام طريقتين مختلفتين:

  1. أن نحل (بدلالة إحدى مركباته) نظام المعادلات المستنتَج من المعادلتين: 󰄮𞸍󰄮𞸍=٠،١ و: 󰄮𞸍󰄮𞸍=٠،٢ ثم نقسم مركبات 󰄮𞸍 بدلالة إحدى مركباته على هذه المركبة (والتي كانت 𞸍𞸎 في المثال السابق)، وهو ما يعطينا نسبة الاتجاه لـ 󰄮𞸍،
  2. أن نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰄮𞸍١، 󰄮𞸍٢: 󰄮𞸍=󰄮𞸍×󰄮𞸍.١٢

وأخيرًا، نحصل على معادلة المستوى باستخدام إحداثيات نقطة واحدة في المستوى.

نتناول كيفية إيجاد معادلة مستوًى يمر بنقطتين ويكون عموديًّا على مستوًى آخر في المثال التالي.

مثال ٥: إيجاد معادلة مستوًى عمودي على مستوًى آخر ويمر بنقطتين معلومتين

أوجد الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي يمر بالنقطتين 󰏡(٢،٥،٤)، 𞸁(٣،٣،٥) والعمودي على المستوى ٢𞸎𞸑+٢𞸏٢=٠.

الحل

لإيجاد معادلة المستوى في الصورة العامة، علينا إيجاد متجه عمودي على المستوى، ونقطة تقع في المستوى. لكن ليس لدينا متجه عمودي على المستوى الذي نريد إيجاد معادلته (نُسمِّي هذا المستوى 𞸉)، إلا أن لدينا معادلة المستوى العمودي على المستوى 𞸉، نُسمِّيه 𞸐. 𞸐٢𞸎𞸑+٢𞸏=٠.

المتجه العمودي على 𞸐، وهو 󰄮𞸍𞸐، يوازي المستوى 𞸉. كما نلاحظ فيما يلي، تُوجَد طريقتان مختلفتان نوعًا ما لإيجاد معادلة المستوى 𞸉 في الصورة العامة.

هيا نُوجِد أولًا المتجه العمودي على المستوى 𞸐٢𞸎𞸑+٢𞸏٢=٠، إنه المتجه 󰄮𞸍𞸐 ومركباته (٢،١،٢). بما أن المستوى 𞸉 عمودي على المستوى 𞸐، فإن المتجه 󰄮𞸍𞸐 يوازي المستوى 𞸉. وفقًا لخواص المتجهات الثلاثية الأبعاد، يمكن اعتبار أن المستوى 𞸉 يحتوي على متجه له نفس مركبات المتجه 󰄮𞸍𞸐.

والآن، علينا إيجاد متجهين غير متوازيين في المستوى 𞸉 لإيجاد المتجه العمودي 󰄮𞸍𞸉، وذلك من خلال حاصل ضربهما الاتجاهي.

نعلم أيضًا أن المستوى يمر بالنقطتين 󰏡(٢،٥،٤)، 𞸁(٣،٣،٥). إذن المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(١،٨،١) يوجد في المستوى.

الطريقة الأولى لإيجاد معادلة 𞸉 تقوم على حقيقة أن المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍𞸐 ليسا على استقامة واحدة، وأن كليهما في المستوى 𞸉؛ ولذا فإن المتجه العمودي على 𞸉، وهو 󰄮𞸍𞸉، يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍𞸐: 󰄮𞸍=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١٨١٢١٢||||=(٥١،٠،٥١).𞸉𞸐

لكتابة المعادلة في الصورة العامة، يمكننا اعتبار ١٥١󰄮𞸍=(١،٠،١)𞸉 المتجه العمودي، وبهذا تكون المعادلة: 𞸎+𞸏+𞸃=٠، لثابت ما 𞸃.

بما أن النقطتين 󰏡(٢،٥،٤)، 𞸁(٣،٣،٥) تقعان في المستوى، فإن إحداثياتهما تحقِّق المعادلة. يمكننا من خلال التعويض بإحداثيات إحدى النقطتين في المعادلة، على سبيل المثال إحداثيات النقطة 𞸁، إيجاد قيمة 𞸃 (يمكننا إيجاد القيمة نفسها باستخدام إحداثيات النقطة 󰏡 بالطبع): ٣+٥+𞸃=٠𞸃=٢.

ومن ثَمَّ، فإن معادلة المستوى هي 𞸎+𞸏٢=٠.

وهناك طريقة أخرى، وهي، لأيِّ نقطة 𞸌(𞸎،𞸑،𞸏) تقع في المستوى، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجه 󰄮󰄮󰏡𞸌 (أو 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌) في المتجه العمودي على المستوى (الذي نحصل عليه بضرب 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍١ — انظر ما سبق)، يساوي صفرًا. إذا كنت على دراية بالضرب القياسي الثلاثي، فإن هذه الطريقة تماثل قولنا إن المتجهات 󰄮󰄮󰏡𞸌 (أو 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ في نفس المستوى، ما يعني أن حاصل ضربها الثلاثي القياسي يساوي صفرًا. لدينا إذن: 󰄮󰄮󰏡𞸌󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍=٠󰎁𞸎٢𞸑٥𞸏٤١٨١٢١٢󰎁=٠(𞸎٢)(٦١+١)(𞸑٥)(٢٢)+(𞸏٤)(١+٦١)=٠٥١𞸎+٥١𞸏٠٣=٠.١

بقسمة طرفَي هذه المعادلة على ١٥، نحصل على 𞸎+𞸏٢=٠.

الحل

إذن الصورة العامة لمعادلة المستوى المار بالنقطتين 󰏡(٢،٥،٤)، 𞸁(٣،٣،٥) والعمودي على المستوى ٢𞸎𞸑+٢𞸏٢=٠ هي 𞸎+𞸏٢=٠.

هيا نلخِّص الطريقتين المستخدَمتين في المثال الأخير.

كيفية إيجاد الصورة العامة لمعادلة مستوًى عمودي على مستوًى آخر ويمر بنقطتين

إذا عرفنا أن المستوى عمودي على مستوى آخر متجهه العمودي معلوم ويمر بنقطتين مختلفتين 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون المتجهان 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ ليسا على استقامة واحدة، فهناك إذن طريقتان لإيجاد معادلة المستوى.

الطريقة الأولى: المتجه العمودي لمستوًى عمودي على مستوًى آخر متجهه العمودي 󰄮𞸍١ ويمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁 تكون معادلته كالآتي: 󰄮𞸍=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍.١

المتجه 󰄮𞸍 هو متجه لا يساوي صفرًا؛ لأن المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ ليسا على استقامة واحدة.

يمكن بعد ذلك إيجاد المعادلة باستخدام مركبات المتجه 󰄮𞸍 وإحداثيات أيٍّ من النقطتين 󰏡 أو 𞸁.

الطريقة الثانية: لأيِّ نقطة 𞸌(𞸎،𞸑،𞸏) تقع في مستوًى عمودي على مستوى متجهه العمودي 󰄮𞸍١ ويمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون المتجهان 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ ليسا على استقامة واحدة، فإن المتجهات الثلاثة 󰄮󰄮󰏡𞸌 (أو 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ تقع في نفس المستوى. وهذا يعني أن: 󰄮󰄮󰏡𞸌󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍=٠󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮𞸍=٠.١١،

بكتابة إحدى هاتين المعادلتين اللتين تتضمَّن كلٌّ منهما الضرب القياسي الثلاثي، نحصل مباشرةً على معادلة المستوى في الصورة العامة.

لاحِظ أنه يمكننا بسهولة إيجاد المعادلات البارامترية لمستوًى عمودي على مستوًى آخر متجهه العمودي 󰄮𞸍١ ويمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون المتجهان 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١ ليسا على استقامة واحدة، وذلك باستخدام متجهين في المستوى، هما 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮𞸍١.

النقاط الرئيسية

  • المستويان المتوازيان 𞸉، 𞸐 لهما متجهان عموديان متوازيان، وهو ما يعني أن 󰄮𞸍=𞹏󰄮𞸍𞸉𞸐؛ حيث 󰄮𞸍𞸉، 󰄮𞸍𞸐 هما متجهان عموديان على كلٍّ من 𞸉، 𞸐 على الترتيب، 𞹏 عدد حقيقي لا يساوي صفرًا. يكون المستويان 𞸉، 𞸐 متوازيين إذا كانا مختلفين؛ أي إذا لم يكن لهما أيُّ نقاط تقاطع. يتطابق المستويان المتقاطعان اللذان يكون متجهاهما العموديان متوازيين.
  • أيُّ مستويين متعامدين 𞸉، 𞸐 يكون متجهاهما العموديان متعامدين، وهو ما يعني أن حاصل الضرب القياسي لمتجهيهما العموديين، 󰄮𞸍𞸉، 󰄮𞸍𞸐 على الترتيب، يساوي صفرًا: 󰄮𞸍󰄮𞸍=٠.𞸉𞸐
  • المتجهات العمودية على جميع المستويات المتعامدة على المستوى 𞸉 تكون موازية للمستوى 𞸉.
  • المتجه العمودي على المستوى 𞸉 يكون موازيًا لجميع المستويات العمودية على المستوى 𞸉.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.