فيديو الدرس: معادلات المستويات المتوازية والمتعامدة الرياضيات

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد معادلة مستوى مواز أو عمودي على مستوى آخر بمعلومية معادلته أو بعض خصائصه.

٢٣:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو معادلات المستويات المتوازية والمتعامدة. سنرى كيف يمكن أن تكون المستويات، وهي أسطح ثنائية الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد، متوازية أو متعامدة بعضها على بعض، وكيف نتعرف على هذه الشروط رياضيًا.

في البداية، دعونا نسترجع قليلًا كيف نعرف مستوى ما. المعلومتان اللتان عادة ما تكونان لدينا عن مستوى ما واللتان تمكناننا من تعريفه على نحو محدد في فضاء ثلاثي الأبعاد، هما أولًا: نقطة تقع في المستوى، وثانيًا: متجه، أسميناه ﻥ، يكون عموديًا على المستوى. وعمومًا، إذا كان لدينا متجه عمودي على مستوى وله المركبات ﺃ، وﺏ، وﺟ، ونقطة ﻝ صفر في المستوى إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر، يمكننا القول إن المتجه العمودي ضرب قياسي المتجه الذي يصل إلى نقطة عامة في المستوى إحداثياتها هي ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي هذا المتجه العمودي نفسه ضرب قياسي متجه ما يصل إلى النقطة ﻝ صفر.

ويمكننا القول إن هذا السطر يمثل الصورة المتجهة أو المعادلة المتجهة للمستوى، بينما إذا أوجدنا حواصل الضرب القياسي لهذا، فسنحصل على هذا التعبير هنا. هذا يسمى الصورة القياسية أو المعادلة القياسية لمستوى ما. ثم بالمتابعة قليلًا، إذا جمعنا الحدود التي في الطرف الأيسر معًا، وسميناها ﺩ، فسنتوصل إلى معادلة للمستوى تسمى أحيانًا الصورة العامة أو الصورة العمودية. على أية حال، إذا كان لدينا متجه عمودي على سطح مستوى ونقطة في المستوى، يمكننا استنتاج عدة تعبيرات لمعادلة المستوى. ويتضح بذلك أن المتجه العمودي على مستوى ما لا يساعدنا في تحديد معادلة ذلك المستوى فحسب، بل يساعدنا أيضًا على تحديد المستويات الأخرى التي قد يكون هذا المستوى موازيًا لها أو عموديًا عليها.

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا مستوى له متجه عمودي كهذا ومستوى آخر له هذا المتجه العمودي. إذا أسمينا هذين المتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين، وافترضنا أن هذين المستويين متوازيان، يمكننا أن نستنتج شيئًا عن العلاقة التي تربط بين المتجه العمودي ﻥ واحد والمتجه العمودي ﻥ اثنين. إذا كان المستويان متوازيين، فلا بد أن يكون هذان المتجهان العموديان متوازيين أيضًا أو من الممكن أن يكونا متوازيين ومتضادين في الاتجاه. في كلتا الحالتين، يمكننا كتابة أحد المتجهين العموديين بدلالة ثابت، سواء كان موجبًا أم سالبًا، مضروبًا في المتجه العمودي الآخر.

إذن على سبيل المثال، لنفترض أن المتجه العمودي ﻥ واحد له المركبات واحد، واثنان، وثلاثة، بينما المتجه العمودي ﻥ اثنان له هذه المركبات. وبمقارنة هذين المتجهين، نجد أنه يمكننا ضرب المركبة ﺱ للمتجه ﻥ واحد في سالب اثنين للحصول على المركبة ﺱ للمتجه ﻥ اثنين. وبالمثل، يمكننا ضرب المركبة ﺹ للمتجه ﻥ واحد في العامل نفسه، وهو سالب اثنين، للحصول على المركبة ﺹ للمتجه ﻥ اثنين. وينطبق الأمر نفسه على المركبة ﻉ لهذين المتجهين. في هذه الحالة، يمكننا القول إن الثابت ﺙ يساوي سالب نصف. وبما أنه يوجد ثابت يمكن أن نضرب فيه ﻥ اثنين ليساوي ﻥ واحد، فإننا نقول إن هذين المستويين متوازيان.

هذه المعادلة التي توضح لنا أن المتجه العمودي على مستوى ما يساوي ثابتًا مضروبًا في المتجه العمودي على المستوى الآخر هي شرط توازي مستويين. إذا كان لمستويين متجهان عموديان يحققان هذا الشرط لأي قيمة ثابتة ﺙ، يمكننا القول إن المستويين متوازيان. لكن لنتخيل الآن مستويين مختلفين في الاتجاه. ولنفترض أن المستويين لدينا الآن متعامدان. حسنًا، بما أن متجهيهما العموديين عموديان على سطح كل مستوى، على الترتيب، يمكننا أن نتوقع أنه إذا كان المستويان متعامدين، فإن ﻥ واحد وﻥ اثنين متعامدان أيضًا. وعمومًا، إذا كان المتجهان متعامدين، فهذا يعني أنه إذا حسبنا حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، فإن الناتج الذي سنحصل عليه سيساوي صفرًا.

هندسيًا، هذا يعني أنه لا يوجد تداخل بين المتجهين اللذين نحسب الضرب القياسي لهما معًا. إذن، بمعلومية المتجهين العمودين على مستويين، إذا كان حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين العموديين صفرًا، فلا بد أن يكون المستويان متعامدين. وهاتان المعادلتان، واحدة للمستويين المتوازيين وأخرى للمستويين المتعامدين، تتيحان اختبارات مفيدة للتطبيق عندما نعرف المتجهين العموديين على مستويين لنرى ما إذا كانا متوازيين أو متعامدين. وأفضل طريقة لتعلم ذلك كله هي أن نجري بعض التدريبات. لنلق نظرة إذن على تمرين كمثال.

إذا كان المستوى ﻙﻉ زائد اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب أربعة موازيًا للمستوى ﻝﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص اثنين ﻉ يساوي ثلاثة، فأوجد قيمة كل من ﻙ وﻝ.

حسنًا، في هذا التمرين لدينا هذان المستويان المعبر عنهما بهاتين المعادلتين. إذا كتبناهما على الصورة القياسية، نجد أن المعادلة الأولى هي اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ﻙﻉ؛ حيث ﻙ قيمة ثابتة، يساوي سالب أربعة. والمعادلة الثانية هي سالب اثنين ﺱ زائد ﻝﺹ؛ حيث ﻝ ثابت مجهول، ناقص اثنين في ﻉ يساوي ثلاثة. ونظرًا لأن هاتين المعادلتين مكتوبتان الآن على الصورة القياسية، يمكننا تحديد مركبات المتجهين العمودين لكل مستوى. المتجه العمودي على المستوى الأول سيكون له المركبة ﺱ تساوي اثنين، والمركبة ﺹ تساوي ثلاثة، والمركبة ﻉ تساوي ﻙ. سنسمي هذا المتجه ﻥ واحد ونكتبه بهذه الطريقة. أما المستوى الثاني، فسيكون لمتجهه العمودي المركبة ﺱ تساوي سالب اثنين، والمركبة ﺹ تساوي ﻝ، والمركبة ﻉ تساوي سالب اثنين. وسنسمي هذا المتجه ﻥ اثنين.

نعلم من رأس المسألة أن هذين المستويين متوازيان. توجهنا هذه الحقيقة إلى تذكر الشرط الرياضي لتوازي مستويين. المستويان المتوازيان اللذان لهما المتجهان العموديان ﻥ واحد وﻥ اثنان ترتبط مركباتهما بثابت؛ سميناه ﺙ. قد يكون هذا الثابت موجبًا أو سالبًا، لكن أيًا كانت إشارته، فهذا يعني أنه توجد نسبة ثابتة بين قيم مركبات هذين المتجهين العموديين. بمعلومية ذلك، لنلق نظرة على المتجهين العموديين ﻥ واحد وﻥ اثنين، ونر ماذا ستكون قيمة ثابت التناسب ﺙ هذا.

بالمقارنة بين مركبتي ﺱ لهذين المتجهين، نرى أن المركبة ﺱ للمتجه ﻥ واحد تساوي اثنين، والمركبة ذاتها للمتجه ﻥ اثنين تساوي سالب اثنين. نعرف أن اثنين يساوي سالب واحد في سالب اثنين. وفي الواقع، هذه هي القيمة الوحيدة التي يمكننا أن نضرب سالب اثنين فيها لنحصل على موجب اثنين، وهو ما يخبرنا أن قيمة ﺙ، في هذه الحالة، هي سالب واحد. وهذه الحقيقة هي مفتاح الحل لإيجاد قيمتي ﻙ وﻝ في معادلتي المتجهين العموديين؛ لأنه مثلما يمكننا كتابة هذه المعادلة لمركبتي ﺱ للمتجهين العموديين لدينا، يمكننا كذلك كتابتها لكل من المركبتين ﺹ وﻉ.

إذا عوضنا بسالب واحد عن ﺙ في كلتا هاتين المعادلتين، فسنجد أن ثلاثة يساوي سالب واحد في ﻝ، وهو ما يخبرنا أن ﻝ يساوي سالب ثلاثة. وبما أن ﻙ يساوي سالب واحد في سالب اثنين، فهذا يعني أن ﻙ يساوي اثنين. وبهذا، نكون قد استخدمنا حقيقة أن المستويين متوازيان لإيجاد قيم الأجزاء المجهولة من متجهيهما العموديين. ‏‏ﻝ يساوي سالب ثلاثة وﻙ يساوي موجب اثنين.

لنلق نظرة الآن على مثال ثان لمستويين متوازيين.

أوجد معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ ويوازي المستوى ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ يساوي صفرًا.

حسنًا، نريد إذن إيجاد معادلة مستوى ما، ونعلم أن هذا المستوى يمر بنقطة إحداثياتها ﺃ، ﺏ، ﺟ. إذن إذا رسمنا شكلًا، لنفترض أن هذا هو المستوى الذي نريد إيجاد معادلته، ونعلم أنه في موضع ما في هذا المستوى توجد هذه النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ. وبالإضافة إلى ذلك، نعلم من المعطيات أن هذا المستوى يوازي مستوى آخر معادلته معطاة هنا. ولاحظوا أن معادلة هذا المستوى معطاة على هذه الصورة التي يمكننا استخدامها لإيجاد مركبات المتجه العمودي على المستوى. ولاحظوا أن جميع المتغيرات الثلاثة ﺱ وﺹ وﻉ مضروبة بالفعل في واحد. هذه العوامل المضروبة، هذه الواحدات، تعطينا مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى.

إذا أسمينا ذلك المتجه ﻥ، فإن مركبة ﺱ له تساوي واحدًا، ومركبة ﺹ تساوى واحدًا، ومركبة ﻉ تساوى القيمة نفسها. ومن المفيد أن نعرف مركبات هذا المتجه العمودي؛ لأننا نعلم من المعطيات أن المستوى الذي نريد إيجاد معادلته مواز للمستوى الذي معادلته معطاة هنا. ومن ثم، فإن المتجه العمودي على هذا المستوى المجهول، والذي سنسميه ﻥﻝ، يجب أن يكون موازيًا للمتجه ﻥ أو موازيًا له في الاتجاه المضاد. وفي الواقع، يمكننا أن نجعل ﻥﻝ يساوي ﻥ بوجه عام. ونفعل ذلك بناء على معرفتنا بحقيقة أن المستويين اللذين نحن بصددهما متوازيان.

والآن، لاحظوا أن لدينا متجهًا عموديًا على المستوى الذي نريد إيجاد معادلته. ولدينا أيضًا إحداثيات نقطة في ذلك المستوى. وهاتان المعلومتان كافيتان لنتمكن من إيجاد معادلة هذا المستوى. يمكننا أن نتذكر أنه إذا كان لدينا متجه عمودي على مستوى ما، وكذلك متجه يصل إلى نقطة عشوائية في هذا المستوى، فإن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه العمودي في متجه يصل إلى نقطة معلومة على المستوى. لتطبيق هذه العلاقة على هذه الحالة، سنفترض أن المتجه العمودي ﻥﻝ ضرب قياسي المتجه الذي يصل إلى أي نقطة على هذا المستوى والذي مركباته العامة ﺱ وﺹ وﻉ يساوي المتجه العمودي ﻥﻝ ضرب قياسي المتجه الذي يصل إلى النقطة المعلومة لدينا ﺃ، ﺏ، ﺟ.

يمكننا الآن التعويض في العلاقة بالمتجه العمودي ﻥﻝ. وذلك يعطينا هذه المعادلة. وإذا أجرينا بعد ذلك عمليتي الضرب القياسي هاتين، فسنجد أن ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ. وهذه النتيجة هي معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ويوازي المستوى ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ يساوي صفرًا.

والآن، لنلق نظرة على مثال يتضمن مستويين متعامدين.

إذا كان المستوى ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ يساوي واحدًا عموديًا على المستوى ﺃﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ﻉ يساوي أربعة، فأوجد قيمة ﺃ.

حسنًا، في هذا التمرين، لدينا معادلتان لمستويين، ونعلم من المعطيات أن هذين المستويين متعامدان. ويمكننا القول إنه إذا كان مستويان عموديين على هذا النحو، فلا بد أن متجهيهما العموديين متعامدان أيضًا. وهذا يشير إلى الشرط الرياضي المتحقق في حال تعامد مستويين. وهو أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين العموديين على هذين المستويين لا بد أن يساوي صفرًا. وهذا يشير إلى أنه يمكننا إيجاد المتجهين العموديين على المستويين المعطيين، ثم نطبق هذا الشرط لمعرفة ما إذا كان يساعدنا في إيجاد قيمة ﺃ. بما أن هاتين المعادلتين معطاتان على الصورة القياسية، يمكننا تحديد مركبات المتجه العمودي على كل مستوى من المستويين.

بالنسبة إلى المستوى الأول، فإن لمتجهه العمودي مركبة ﺱ تساوي ثلاثة، ومركبة ﺹ تساوي سالب ثلاثة، ومركبة ﻉ تساوي سالب ثلاثة أيضًا. ويمكننا كتابة ذلك هكذا، ونسمي هذا المتجه العمودي «ﻥ واحد». أما بالنسبة إلى المستوى الثاني، فإن لمتجهه العمودي مركبة ﺱ تساوي ﺃ، ومركبة ﺹ تساوي سالب اثنين، ومركبة ﻉ تساوي سالب واحد. وسنسمي هذا المتجه العمودي «ﻥ اثنين». بعد ذلك، بمعلومية أن هذين المستويين متعامدان، سنطبق هذا الشرط. فنقول إن ﻥ واحد؛ أي هذا المتجه هنا، ضرب قياسي ﻥ اثنين؛ أي هذا المتجه هنا، يساوي صفرًا. إذا أجرينا بعد ذلك عملية الضرب القياسي هذه، فسنجد أن ثلاثة في ﺃ زائد ستة زائد ثلاثة يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ثلاثة في القيمة المجهولة ﺃ يساوي سالب تسعة. بقسمة كلا الطرفين على ثلاثة، نجد أن ﺃ تساوي سالب ثلاثة. هذه هي قيمة ﺃ.

هيا نلق نظرة الآن على مثال آخر عن المستويات المتعامدة.

أوجد المعادلة العامة للمستوى المار بالنقطة اثنين، ثمانية، واحد، والعمودي على المستويين سالب ستة ﺱ ناقص أربعة ﺹ زائد ستة ﻉ يساوي سالب خمسة، وخمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص ستة ﻉ يساوي ثلاثة.

حسنًا، في هذا التمرين، لدينا ثلاثة مستويات، ومعلوم لدينا معادلتا مستويين منها. المستوى الثالث الذي نريد إيجاد المعادلة العامة له عمودي على هذين المستويين، ويمر أيضًا بهذه النقطة المعطاة. والآن، بوجه عام، يمكننا كتابة معادلة أي مستوى إذا كان لدينا معطيان عنه. أولًا: إذا علمنا متجهًا عموديًا على سطح المستوى، وثانيًا: إذا علمنا نقطة في المستوى. في هذه الحالة، نلاحظ أن لدينا بالفعل نقطة تقع في هذا المستوى المجهول. لكننا حتى الآن لا نعرف مركبات متجه عمودي عليه.

ولكن، لاحظوا هذا. نعلم أن هذا المستوى، أيًا كانت معادلته، عمودي على هذين المستويين المعبر عنهما بهاتين المعادلتين. وهذا يعني أن المتجه العمودي ﻥ الذي نريد إيجاده عمودي أيضًا على المتجهين العموديين على هذين المستويين، وهو ما يعني أنه إذا تمكنا من إيجاد المتجهين العموديين على هذين المستويين ثم إيجاد متجه عمودي عليهما، فسيكون لدينا تعبير لـ ﻥ. يمكننا البدء في ذلك بتذكر أنه عندما تكون معادلة المستوى معطاة على ما يطلق عليه الصورة القياسية، مثل التي نراها هنا، فإن مركبات المتجهين العموديين على هذين المستويين تكون معطاة بالعوامل المضروبة في المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ.

على سبيل المثال، إذا أسمينا المتجه العمودي على المستوى الأول ﻥ واحد، فستكون مركباته هي سالب ستة، وسالب أربعة، وستة. وإذا أسمينا المتجه العمودي على المستوى الثاني ﻥ اثنين، فستكون مركباته هي خمسة، وثلاثة، وسالب ستة. والآن بعد أن عرفنا ﻥ واحد وﻥ اثنين، تذكروا أن ﻥ عمودي على كل من هذين المتجهين. إذن إليكم ما يمكننا فعله. يمكننا أن نحسب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻥ واحد وﻥ اثنين. وإذا تذكرنا أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، أسميناهما ﺃ وﺏ، وهما ثلاثيا الأبعاد، يساوي ناتج محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، يمكننا إذن تطبيق هذه العلاقة على الحالة التي لدينا؛ حيث يملأ الصفان الثاني والثالث من المصفوفة بمركبات المتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين.

يمكننا ملاحظة أن المركبة ﺱ للمتجه ﻥ واحد تساوي سالب ستة، والمركبة ﺹ تساوي سالب أربعة، والمركبة ﻉ تساوي موجب ستة. وبالمثل، المركبة ﺱ للمتجه ﻥ اثنين تساوي خمسة، والمركبة ﺹ تساوي ثلاثة، والمركبة ﻉ تساوى سالب ستة. نحن الآن مستعدون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي. وسنطبق ذلك على كل مركبة على حدة، بدءًا بالمركبة ﺱ. المركبة ﺱ للمتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻥ واحد وﻥ اثنين تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. هذا يساوي سالب أربعة في سالب ستة أو ٢٤ ناقص ستة في ثلاثة أو ١٨. ننتقل بعد ذلك إلى المركبة ﺹ، التي تساوي سالب قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. سالب ستة في سالب ستة يساوي موجب ٣٦. ثم نطرح من ذلك ستة في خمسة أو ٣٠.

وأخيرًا، نحسب قيمة المركبة ﻉ التي تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. سالب ستة في ثلاثة يساوي سالب ١٨ ناقص سالب أربعة في خمسة أو سالب ٢٠. بحساب قيم هذه المركبات الثلاثة معًا، نحصل على حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻥ واحد وﻥ اثنين. هذا يساوي ستة ﺹ ناقص ستة ﺱ زائد اثنين ﻉ، أو ستة وسالب ستة واثنين في الصورة المتجهة. والآن بعد أن عرفنا حاصل الضرب الاتجاهي هذا، دعونا نتذكر أننا نحسبه لأننا عرفنا أن ﻥ عمودي على ﻥ واحد وﻥ اثنين. وبما أن هذا المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لـ ﻥ واحد وﻥ اثنين عمودي على كليهما وفقًا لقاعدة حاصل الضرب الاتجاهي، يمكننا القول إنه يساوي المتجه العمودي ﻥ.

والآن بعد أن عرفنا ذلك كما أننا نعرف أيضًا نقطة في المستوى ﻝ، يمكننا إحراز تقدم سريع في إيجاد المعادلة العامة للمستوى. يمكننا كتابة معادلة المستوى على صورة المتجه العمودي ﻥ ضرب قياسي متجه يصل إلى نقطة عامة في المستوى إحداثياتها ﺱ وﺹ وﻉ يساوي المتجه العمودي ذاته ضرب قياسي المتجه الذي يصل إلى النقطة المعلومة على المستوى التي إحداثياتها اثنان، ثمانية، واحد. وبما أننا نعرف الصورة المتجهة لـ ﻥ، يمكننا التعويض بذلك في هذه المعادلة. وبعدما نفعل ذلك، إذا حسبنا حاصلي الضرب القياسي هذين، فسنجد أن ستة ﺱ ناقص ستة ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي ١٢ ناقص ٤٨ زائد اثنين. وهذا يساوي سالب ٣٤.

ثم إذا أضفنا ٣٤ إلى كلا طرفي المعادلة، يمكننا كتابة أن ستة ﺱ ناقص ستة ﺹ زائد اثنين ﻉ زائد ٣٤ يساوي صفرًا. وبملاحظة أن جميع الحدود في الطرف الأيمن تقبل القسمة على اثنين، نجد أن ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ﻉ زائد ١٧ يساوي صفرًا. وهذه هي المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة اثنين، ثمانية، واحد، والعمودي على المستويين المعطيين.

دعونا ننته الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، عرفنا أن المستويين يكونان متوازيين عندما يحقق متجهاهما العموديان ﻥ واحد وﻥ اثنان هذا الشرط، وهو أن كلًا منهما مضاعف ثابت للآخر. تعلمنا أيضًا أن المستويين يكونان عموديين عندما يحقق متجهاهما العموديان ﻥ واحد وﻥ اثنان شرط أن يكون حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. وأخيرًا، رأينا أنه إذا كان مستويان متوازيين أو متعامدين، فإن متجهيهما العموديين المناظران يكونان على النحو نفسه.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.