فيديو السؤال: حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام المحددات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

باستخدام المحددات، حل نظام المعادلات ﺱ ناقص خمسة ﺹ زائد ثلاثة ﻉ يساوي خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي سالب خمسة، وسالب ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب خمسة.

في هذا السؤال، لدينا نظام مكون من ثلاث معادلات خطية تتضمن ثلاثة مجاهيل. ومطلوب منا حل هذا النظام باستخدام المحددات. يمكننا أن نتذكر هنا أنه عند استخدام المحددات لحل نظام للمعادلات، فإننا نحتاج إلى استخدام قاعدة «كرامر». لذا دعونا نبدأ بتذكر الصورة المختصرة لقاعدة «كرامر» الخاصة بنظام من ثلاث معادلات تتضمن ثلاثة مجاهيل. تنص القاعدة على أنه إذا كان محدد مصفوفة المعاملات‏△‏ لا يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي ‏△‏ﺱ على ‏△‏، وﺹ يساوي ‏△‏ﺹ على ‏△‏، وﻉ يساوي ‏△‏ﻉ على ‏△‏ هو الحل الوحيد لنظام المعادلات. إذن، يمكننا استخدام قاعدة «كرامر» لحل نظام المعادلات باستخدام المحددات. كل ما علينا فعله هو إيجاد ‏△‏ وﺱ‏△‏ و‏△‏ﺹ و‏△‏ﻉ. ويجب أن تكون قيمة ‏△‏ غير صفرية.

دعونا نبدأ إذن بإيجاد قيمة ‏△‏. تذكر أن ‏△‏ هو محدد مصفوفة المعاملات. وهي المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها هي معاملات المتغيرات لدينا. ومن المهم جدًّا عند كتابة ‏△‏ أن نتأكد من تضمين إشارات جميع المعاملات. نحصل على ‏△‏ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: واحد، سالب خمسة، ثلاثة، ثلاثة، سالب أربعة، اثنان، سالب واحد، ثلاثة، سالب اثنين.

يمكننا الآن حساب قيمة هذا المحدد بالفك باستخدام الصف الأول. يمكننا ضرب واحد في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: سالب أربعة، اثنان، ثلاثة، سالب اثنين ناقص سالب خمسة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، اثنان، سالب واحد، سالب اثنين زائد ثلاثة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، سالب أربعة، سالب واحد، ثلاثة. والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة محدد كل من هذه المصفوفات الثلاث من الرتبة اثنان في اثنين. ونفعل ذلك بأخذ الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. هذا يعطينا ثمانية ناقص ستة زائد خمسة في سالب ستة ناقص سالب اثنين زائد ثلاثة في تسعة ناقص أربعة.

والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التعبير. نحصل على اثنين ناقص ٢٠ زائد ١٥، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن قيمة ‏△‏ تساوي سالب ثلاثة. لقد أوضحنا تحديدًا أن ‏△‏ قيمة غير صفرية. إذن، لنظام المعادلات هذا حل وحيد، ويمكننا إيجاده باستخدام قاعدة «كرامر». دعونا نفرغ بعض المساحة ونتذكر حقيقة أن ‏△‏ يساوي سالب ثلاثة ونوجد قيم ‏△‏ﺱ و‏△‏ﺹ و‏△‏ﻉ.

وللقيام بذلك، علينا أولًا أن نتذكر ما نقصده بـ ‏△‏ﺱ، و‏△‏ﺹ، و‏△‏ﻉ. دعونا نبدأ بـ ‏△‏ﺱ. ‏△‏ﺱ هو محدد مصفوفة المعاملات، حيث نستبدل عمود معاملات ﺱ بالعمود المعطى في إجابات نظام المعادلات. وهذا يعني تحديدًا أنه يمكننا إيجاد محدد ﺱ‏△‏ باستبدال العمود الأول في محدد ‏△‏ بعمود الثوابت في نظام المعادلات لدينا. لذلك، نستبدل العمود الأول بخمسة، سالب خمسة، سالب خمسة. ثم نترك العمودين الآخرين كما هما. ‏△‏ﺱ هو محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: خمسة، سالب خمسة، ثلاثة، سالب خمسة، سالب أربعة، اثنان، سالب خمسة، ثلاثة، سالب اثنين.

والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا المحدد بالفك باستخدام الصف الأول. نحصل على خمسة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: سالب أربعة، اثنان، ثلاثة، سالب اثنين ناقص سالب خمسة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: سالب خمسة، اثنان، سالب خمسة، سالب اثنين زائد ثلاثة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: سالب خمسة، سالب أربعة، سالب خمسة، ثلاثة. والآن يمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفات الثلاث باستخدام الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. نحصل على خمسة في ثمانية ناقص ستة زائد خمسة في ١٠ زائد ١٠ زائد ثلاثة مضروبًا في سالب ١٥ ناقص ٢٠. والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا المحدد. نحصل على خمسة في اثنين زائد خمسة في ٢٠ زائد ثلاثة مضروبًا في سالب ٣٥، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح ١٠ زائد ١٠٠ ناقص ١٠٥، وهو ما يساوي خمسة.

إذن ‏△‏ﺱ; يساوي خمسة. وهذا يعني أنه يمكننا تحديد قيمة ﺱ. إنه ‏△‏ﺱ على ‏△‏، أي خمسة مقسومًا على سالب ثلاثة. ومع ذلك، علينا أيضًا إيجاد قيمتي ‏△‏ﺹ و‏△‏ﻉ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونحدد قيمة ‏△‏ﺹ. وللقيام بذلك، علينا أن نسترجع أن ‏△‏ﺹ هو محدد مصفوفة المعاملات حيث نستبدل عمود معاملات ﺹ بقيم الثوابت في نظام المعادلات. إذن لكتابة محدد ‏△‏ﺹ، سنبدأ بالكتابة في العمود الثاني. إنه العمود خمسة، سالب خمسة، سالب خمسة؛ أي الثوابت في المعادلات الآنية لدينا. ويظل العمودان الأول والثالث دون تغيير. وهما لا يزالان معاملات ﺱ وﻉ فقط. إذن، ‏△‏ﺹ هو محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: واحد، خمسة، ثلاثة، ثلاثة، سالب خمسة، اثنان، سالب واحد، سالب خمسة، سالب اثنين.

ومرة أخرى، يمكننا إيجاد قيمة هذا المحدد بالفك باستخدام الصف الأول. نحصل على واحد مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: سالب خمسة، اثنان، سالب خمسة، سالب اثنين ناقص خمسة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، اثنان، سالب واحد، سالب اثنين، زائد ثلاثة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، سالب خمسة، سالب واحد، سالب خمسة. والآن لم يبق لدينا سوى إيجاد قيمة هذا التعبير. لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفات، نأخذ الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. هذا يعطينا واحدًا في ١٠ زائد ١٠ ناقص خمسة مضروبًا في سالب ستة زائد اثنين زائد ثلاثة في سالب ١٥ ناقص خمسة. ثم يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. إنه يساوي سالب ٢٠.

ولذا دعونا نتذكر حقيقة أن ‏△‏ﺹ يساوي سالب ٢٠ ونطبق هذه العملية مرة أخرى لتحديد قيمة ‏△‏ﻉ. دعونا نبدأ بحقيقة أن أول عمودين في محدد ‏△‏ﻉ سيظلان كما هما. وهما يتضمنان معاملات ﺱ وﺹ في المعادلتين الآنيتين، على الترتيب. بعد ذلك، العمود الثالث في ‏△‏ﻉ يجب أن يمثل الثوابت في المعادلات الآنية. أي خمسة، سالب خمسة، سالب خمسة. إذن، ‏△‏ﻉ هو محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: واحد، سالب خمسة، خمسة، ثلاثة، سالب أربعة، سالب خمسة، سالب واحد، ثلاثة، سالب خمسة. ومرة أخرى، يمكننا إيجاد قيمة هذا المحدد بالفك باستخدام الصف الأول. نحصل على واحد مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: سالب أربعة، سالب خمسة، ثلاثة، سالب خمسة ناقص سالب خمسة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، سالب خمسة، سالب واحد، سالب خمسة زائد خمسة؛ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ثلاثة، سالب أربعة، سالب واحد، ثلاثة.

والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التعبير. نحصل على ٢٠ زائد ١٥ زائد خمسة في سالب ١٥ ناقص خمسة زائد خمسة مضروبًا في تسعة ناقص أربعة. ويمكننا إيجاد قيمة هذا المحدد. إنه يساوي سالب ٤٠. والآن بما أننا أوجدنا قيم ‏△‏ﺱ و‏△‏ﺹ و‏△‏ﻉ و‏△‏، يمكننا التعويض بها في المعادلات لدينا لإيجاد حل النظام. وبالتعويض والتبسيط، نحصل على الإجابة النهائية. إذن، حل هذا النظام هو ﺱ يساوي سالب خمسة على ثلاثة، وﺹ يساوي ٢٠ على ثلاثة، وﻉ يساوي ٤٠ على ثلاثة.

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكننا التحقق من إجابتنا بالتعويض بقيم ﺱ وﺹ وﻉ في نظام المعادلات للتأكد من أنها الحلول الصحيحة. ومن ثم، تمكنا من استخدام المحددات لحل نظام المعادلات المعطى. وبذلك أصبح لدينا ﺱ يساوي سالب خمسة على ثلاثة، وﺹ يساوي ٢٠ على ثلاثة، وﻉ يساوي ٤٠ على ثلاثة.