شارح الدرس: قاعدة كرامر الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد إمكانية تطبيق قاعدة كرامر في حل نظام من معادلات خطية لها عدد لا نهائي من الحلول

حدِّد إذا ما كانت العبارة الآتية صوابًا أو خطأ: تساعدنا قاعدة كرامر على إيجاد الحلول لأنظمة المعادلات الخطية التي لها عدد لا نهائي من الحلول.

الحل

الإجابة المختصرة عن هذا السؤال هي «لا»؛ لأن قاعدة كرامر لا يمكن تطبيقها عندما يكون لنظام المعادلات الخطية عدد لا نهائي من الحلول.

هيا نستكشف السبب. هناك طريقتان لكي يكون لنظام المعادلات الخطية عدد لا نهائي من الحلول. أولًا، قد تكون هناك متغيِّرات أكثر من المعادلات. وفي هذه الحالة، لا يمكن تطبيق قاعدة كرامر؛ لأننا نريد أن تكون مصفوفة المعاملات مربعة. ثانيًا، إذا كان محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا، فقد يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل. ولكن، كما نرى في صيغة قاعدة كرامر، نحن نقسم على محدد مصفوفة المعاملات، ولا يمكننا فعل ذلك إذا كان محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لا يمكن تطبيق قاعدة كرامر.

لذا، يمكننا أن نستنتج أن قاعدة كرامر لن تفيد في إيجاد الحلول لأنظمة المعادلات الخطية التي لها عدد لا نهائي من الحلول.

مثال ٢: حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام:

الحل

الخطوة الأولى هي كتابة معادلة مصفوفية لنظام مكوَّن من معادلتين:

والآن، بما أننا نريد حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات، إذن نتذكَّر قاعدة كرامر.

إذا كان لا يساوي صفرًا، فإن: هو الحل الوحيد لهذا النظام من معادلتين؛ حيث ، هما محددا المصفوفتين اللذان يمكن إيجادهما بالتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في أعمدة معاملات ، ، كالآتي:

لتطبيق قاعدة كرامر، علينا إيجاد ، ، . سنبدأ بإيجاد :

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط ، لكن بما أن لا يساوي صفرًا، إذن نكون قد أوضحنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد حل وحيد لهذا النظام من المعادلتين.

بعد ذلك، نحسب :

وأخيرًا، نحسب :

نعوِّض الآن بقيم هذه المحددات في الحل المُعطى من قاعدة كرامر لإيجاد قيمتي ، : ومن ثَمَّ:

والآن، إذا نظرنا إلى : فإن:

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام المكوَّن من المعادلتين الخطيتين هو:

عند هذه النقطة، يمكننا إجراء تحقُّق سريع بالتعويض بقيمتَي ، في مجموعة المعادلتين الأصليتين للتأكُّد من تحقُّق شروط المعادلتين، كالآتي:

في المعادلة الأولى:

في المعادلة الثانية:

مثال ٣: حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام:

الحل

في هذا السؤال، المطلوب هو حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في متغيِّرين. يمكننا فعل ذلك بحذف متغيِّر؛ ومع ذلك، فإننا سنستخدم قاعدة كرامر.

في حالة وجود نظام من معادلتين في مجهولين، تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان لا يساوي صفرًا، فإن: هو الحل الوحيد للنظام.

وبناءً على ذلك، فإن الخطوة الأولى هي إعادة ترتيب المعادلتين على صورة يمكن تحويلها بسهولة إلى معادلة مصفوفية:

والآن، بعد أن أصبح لدينا النظام على هذه الصورة، يمكننا كتابة معادلة مصفوفية:

في هذه المرحلة، نتذكَّر أن ، هما محددا المصفوفتين الناتجان عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات ، ، كالآتي:

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة. سنبدأ بحساب :

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط ، ولكننا أثبتنا أيضًا أنه يمكننا حل هذا النظام المكوَّن من معادلتين؛ لأن محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا.

بعد ذلك، نحسب :

وأخيرًا، نحسب :

لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لاستخدام قاعدة كرامر لحل نظام مكوَّن من معادلتين. نعوِّض الآن بقيم المحددات لإيجاد قيمتَي ، : إذن:

وإذا حسبنا الآن ، فإن: إذن:

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام المكوَّن من معادلتين هو:

مثال ٤: حل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام:

الحل

لحل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل باستخدام المحددات، يمكننا استخدام قاعدة كرامر بشرط ألا يكون محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا.

ومن ثَمَّ، يكون الحل الوحيد هو:

الخطوة الأولى هي إعادة ترتيب المعادلات؛ بحيث يكون لدينا الحدود الثابتة بمفردها. نفعل ذلك حتى يمكننا تحويل النظام بسهولة إلى معادلة مصفوفية:

والآن، بعد أن أصبح لدينا النظام على هذه الصورة، يمكننا كتابة معادلة مصفوفية:

بعد ذلك، باستخدام قاعدة كرامر، نتذكَّر أن ، ، هي محددات المصفوفات الناتجة عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات ، ، ، كالآتي:

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة وسنبدأ بحساب :

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط ، لكننا أثبتنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد حل وحيد لهذا النظام من المعادلات. وهذا لأن قيمة لا تساوي صفرًا.

بعد ذلك، نحسب :

ثم نحسب :

وأخيرًا، نحسب :

والآن، أصبح لدينا كل ما نحتاج إليه لاستخدام قاعدة كرامر في حل نظام المعادلات؛ حيث نعوِّض بقيم هذه المحددات في الحل الوحيد الذي تنص عليه قاعدة كرامر لإيجاد قيم ، ، على النحو الآتي: إذن:

والآن، نحسب : إذن:

وأخيرًا، نحسب : إذن:

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام من المعادلات الخطية هو:

مثال ٥: حل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات باستخدام المحددات

حُلَّ، باستخدام قاعدة كرامر، المعادلات الآنيَّة:

الحل

لكي نتمكَّن من استخدام قاعدة كرامر في هذه المسألة، الخطوة الأولى هي إيجاد قيمة محددات المصفوفات من الرتبة :

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المحددات، يمكننا تكوين نظام مكوَّن من ثلاث معادلات يمكن استخدامه بعد ذلك لكتابة معادلة مصفوفية:

وبما أن المطلوب هو حل نظام المعادلات باستخدام المحددات، إذن نتذكَّر قاعدة كرامر التي تخبرنا أنه إذا كان محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا، فإن هناك حلًّا وحيدًا لهذا النظام، وهو:

لتطبيق قاعدة كرامر، علينا إعادة كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية، وبالرغم من ذلك، علينا أن نحرص على تضمين معاملات تساوي صفرًا في مصفوفة المعاملات. ولمساعدتنا في فعل ذلك، يمكننا إعادة كتابة نظام المعادلات كي يتضمَّن معاملات تساوي صفرًا قبل كتابتها على صورة معادلة مصفوفية:

عند كتابة ذلك على صورة معادلة مصفوفية، نحصل على:

في هذه المرحلة، نتذكَّر أن ، ، ، وفقًا لقاعدة كرامر، هي محددات المصفوفات التي تتكوَّن نتيجة للتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات ، ، ، كالآتي:

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة وسنبدأ بحساب :

بعد ذلك، نحسب :

ثم نحسب :

وأخيرًا، نحسب :

نعوِّض الآن بقيم هذه المحددات في الحل الوحيد الناتج من قاعدة كرامر لإيجاد قيم ، ، : إذن:

والآن، نحسب : إذن:

وأخيرًا، نحسب : إذن:

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام من المعادلات الخطية هو: