شارح الدرس: قاعدة كرامر الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قاعدة كرامر لحل نظام مكوَّن من معادلات خطية.

يتضمَّن هذا الشارح استخدام المحددات لحل أنظمة مكوَّنة من معادلتين خطيتين وثلاث معادلات خطية.

تُعطينا قاعدة كرامر طريقة مفيدة لحل المعادلات الآنيَّة. على سبيل المثال، تسمح لنا القاعدة بحل نظام مكوَّن من معادلات لإيجاد قيمة متغيِّر واحد بشكل مستقل دون الحاجة إلى إيجاد قيمة جميع المتغيِّرات.

ابتكر جابرييل كرامر، عالم الرياضيات، قاعدة كرامر في عام ١٧٥٠؛ حيث ابتكر طريقة لحل نظام من المعادلات الخطية باستخدام معادلة مصفوفية ومحددات المصفوفات المتضمَّنة.

سنتناول الآن قاعدة كرامر وكيفية استخدامها. دعونا نبدأ بنظام مكوَّن من معادلتين خطيتين.

تعريف: قاعدة كرامر لنظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين

إذا كان لدينا النظام الآتي المكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين، 𞸎، 𞸑؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤، 𞸅 ثوابت: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅، ويمكن تحويلهما إلى المعادلة المصفوفية: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓، فإن قاعدة كرامر تخبرنا أنه إذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعاملات لا تساوي صفرًا، فإن: 𞸎=󰍻𞸤𞸁𞸅𞸃󰍻󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸤𞸃𞸁𞸅󰏡𞸃𞸁𞸢،𞸑=󰍻󰏡𞸤𞸢𞸅󰍻󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾=󰏡𞸅𞸤𞸢󰏡𞸃𞸁𞸢 هو الحل الوحيد لهذا النظام المكوَّن من معادلتين.

عادةً، يمكن تبسيط ذلك إلى: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸎𞸑 حيث Δ=󰍻𞸤𞸁𞸅𞸃󰍻𞸎، Δ=󰍻󰏡𞸤𞸢𞸅󰍻𞸑، Δ=󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾 هي محددات المصفوفات التي يمكن إيجادها بالتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في أعمدة معاملات 𞸎، 𞸑، ومحدد مصفوفة المعاملات. يمكن توسيع نطاق قاعدة كرامر ليشمل أيَّ عدد من المعادلات الخطية. على سبيل المثال، بالنسبة إلى أي نظام مكوَّن من ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل، نحصل على الآتي.

تعريف: قاعدة كرامر لنظام مكوَّن من ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل

إذا كان لدينا النظام الآتي المكوَّن من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل، 𞸎، 𞸑، 𞸏؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤، 𞸅، 𞸆، 𞸍، 𞸋، 𞸌، 𞸒، 𞸊 ثوابت: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸌،𞸃𞸎+𞸤𞸑+𞸅𞸏=𞸒،𞸆𞸎+𞸍𞸑+𞸋𞸏=𞸊، ويمكن تحويلها إلى المعادلة المصفوفية: 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸍𞸋󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭𞸌𞸒𞸊󰃬، فإن قاعدة كرامر تنص على أنه إذا كان Δ لا يساوي صفرًا، فإن: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸏=ΔΔ𞸎𞸑𞸏 هو الحل الوحيد لهذا النظام من المعادلات؛ حيث Δ=||||𞸌𞸁𞸢𞸒𞸤𞸅𞸊𞸍𞸋||||𞸎، Δ=||||󰏡𞸌𞸢𞸃𞸒𞸅𞸆𞸊𞸋||||𞸑، Δ=||||󰏡𞸁𞸌𞸃𞸤𞸒𞸆𞸍𞸊||||𞸏، Δ=||||󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸍𞸋|||| هي محددات المصفوفات التي يمكن إيجادها بالتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في أعمدة معاملات 𞸎، 𞸑، 𞸏، ومحدد مصفوفة المعاملات.

ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن قاعدة كرامر يمكن تعميمها إلى معادلات خطية عددها 𞸍 في 𞸍 من المجاهيل، وقد نلاحِظ وجود ترميز مختلف؛ على سبيل المثال، بالنسبة إلى محدد المصفوفة، قد نرى 𞸃𞸎 أو 󰍸Δ󰍸𞸎. في هذا الشارح، سنستخدم الترميز على الصورة Δ𞸎، وسنتناول فقط أنظمة المعادلات الخطية المكوَّنة من ثلاثة مجاهيل على الأكثر.

حسنًا، نحن نعلم الآن قاعدة كرامر وكيفية استخدامها، لكن من أين تأتي القاعدة؟

لكي نرى من أين أتت قاعدة كرامر، هيا نحاول حل نظام المعادلات الخطية الآتي: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸓،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸓.١٢

نريد استبعاد متغيِّر؛ بافتراض أن 𞸁، 𞸃 لا يساويان صفرًا، نضرب المعادلة بالأعلى في 𞸃، والمعادلة بالأسفل في 𞸁، ثم نطرح المعادلتين: 󰏡𞸃𞸎+𞸁𞸃𞸑=𞸃𞸓𞸁𞸢𞸎+𞸁𞸃𞸑=𞸁𞸓󰏡𞸃𞸎𞸁𞸢𞸎=𞸃𞸓𞸁𞸓.١٢١٢

وبتحليل هذا التعبير، نحصل على: (󰏡𞸃𞸁𞸢)𞸎=𞸃𞸓𞸁𞸓.١٢

وأخيرًا، إذا كان 󰏡𞸃𞸁𞸢٠، فإن: 𞸎=𞸃𞸓𞸁𞸓󰏡𞸃𞸁𞸢.١٢

في هذه الصيغة، هذا هو ΔΔ𞸎، ويمكننا فعل الأمر نفسه مع المتغيِّر 𞸑. وفي الواقع، يمكننا فعل الشيء نفسه مع المصفوفات ذات الرتب العليا، إذا كان محددها لا يساوي صفرًا.

والآن، في المثال الأول، سنتناول سؤالًا يوضِّح شرطًا من شروط القاعدة.

مثال ١: تحديد إمكانية تطبيق قاعدة كرامر في حل نظام من معادلات خطية لها عدد لا نهائي من الحلول

حدِّد إذا ما كانت العبارة الآتية صوابًا أو خطأ: تساعدنا قاعدة كرامر على إيجاد الحلول لأنظمة المعادلات الخطية التي لها عدد لا نهائي من الحلول.

الحل

الإجابة المختصرة عن هذا السؤال هي «لا»؛ لأن قاعدة كرامر لا يمكن تطبيقها عندما يكون لنظام المعادلات الخطية عدد لا نهائي من الحلول.

هيا نستكشف السبب. هناك طريقتان لكي يكون لنظام المعادلات الخطية عدد لا نهائي من الحلول. أولًا، قد تكون هناك متغيِّرات أكثر من المعادلات. وفي هذه الحالة، لا يمكن تطبيق قاعدة كرامر؛ لأننا نريد أن تكون مصفوفة المعاملات مربعة. ثانيًا، إذا كان محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا، فقد يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل. ولكن، كما نرى في صيغة قاعدة كرامر، نحن نقسم على محدد مصفوفة المعاملات، ولا يمكننا فعل ذلك إذا كان محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لا يمكن تطبيق قاعدة كرامر.

لذا، يمكننا أن نستنتج أن قاعدة كرامر لن تفيد في إيجاد الحلول لأنظمة المعادلات الخطية التي لها عدد لا نهائي من الحلول.

لقد تناولنا الآن شروط القاعدة، ولكن قبل الانتقال إلى أمثلة عن كيفية استخدام القاعدة، سنستعرض سريعًا كيفية إيجاد قيمتي محددَي مصفوفتين من الرتبة ٢×٢ و٣×٣.

كيفية إيجاد قيمتي محددَي مصفوفتين من الرتبة ٢×٢ و٣×٣

إذا بدأنا بالمصفوفة التي رتبتها ٢×٢: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀، فإن:

نحصل على هذا الناتج بطرح حاصل ضرب القطرين.

والآن، بالنسبة إلى المصفوفة التي رتبتها ٣×٣: 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸍𞸋، إذن، باستخدام الصف الأول لإيجاد قيمة المحدد، نحصل على:

عند النظر إلى محدد مصفوفة من الرتبة ٣×٣، فمن النقاط المهمة التي لا بد أن نتذكَّرها هي أن المعاملات، التي نضرب فيها محددات المصفوفات الصغرى من الرتبة ٢×٢، يكون النمط +، ، + فيها كما هو موضَّح سابقًا.

في هذه المرحلة، نتذكَّر أيضًا أن المحدد يمكن حسابه باستخدام أيِّ صف أو عمود.

دعونا نستعرض الطريقة التي أوجدنا بها مصفوفة العوامل المرافقة من الرتبة ٢×٢:

إذا أخذنا العنصر أ، ثم حذفنا العمود والصف الموجود بهما، تُكوِّن العناصر المتبقية الأربعة مصفوفة العوامل المرافقة.

وبعد أن ذكَّرنا أنفسنا بكيفية إيجاد المحددات، سنتناول الآن بعض الأمثلة على استخدام قاعدة كرامر في حل أنظمة المعادلات الخطية.

مثال ٢: حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام: ٨𞸎٤𞸑=٨،٩𞸎٦𞸑=٩.

الحل

الخطوة الأولى هي كتابة معادلة مصفوفية لنظام مكوَّن من معادلتين: 󰂔٨٤٩٦󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٨٩󰂓.

والآن، بما أننا نريد حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات، إذن نتذكَّر قاعدة كرامر.

إذا كان Δ لا يساوي صفرًا، فإن: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ𞸎𞸑 هو الحل الوحيد لهذا النظام من معادلتين؛ حيث Δ𞸎، Δ𞸑 هما محددا المصفوفتين اللذان يمكن إيجادهما بالتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في أعمدة معاملات 𞸎، 𞸑، كالآتي:

لتطبيق قاعدة كرامر، علينا إيجاد Δ، Δ𞸎، Δ𞸑. سنبدأ بإيجاد Δ: Δ=󰍻٨٤٩٦󰍻=(٨×٦)(٤×٩)=٨٤+٦٣=٤٨.

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط Δ، لكن بما أن Δ لا يساوي صفرًا، إذن نكون قد أوضحنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد حل وحيد لهذا النظام من المعادلتين.

بعد ذلك، نحسب Δ𞸎: Δ=󰍻٨٤٩٦󰍻=(٨×٦)(٤×٩)=٨٤٦٣=٢١.𞸎

وأخيرًا، نحسب Δ𞸑: Δ=󰍻٨٨٩٩󰍻=(٨×٩)(٨×٩)=٢٧+٢٧=٤٤١.𞸑

نعوِّض الآن بقيم هذه المحددات في الحل المُعطى من قاعدة كرامر لإيجاد قيمتي 𞸎، 𞸑: 𞸎=ΔΔ،Δ=٢١،Δ=٤٨𞸎𞸎؛ ومن ثَمَّ: 𞸎=٢١٤٨=١٧.

والآن، إذا نظرنا إلى 𞸑: 𞸑=ΔΔ،Δ=٤٤١،Δ=٤٨𞸑𞸑؛ فإن: 𞸑=٤٤١٤٨=٢١٧.

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام المكوَّن من المعادلتين الخطيتين هو: 𞸎=١٧،𞸑=٢١٧.

عند هذه النقطة، يمكننا إجراء تحقُّق سريع بالتعويض بقيمتَي 𞸎، 𞸑 في مجموعة المعادلتين الأصليتين للتأكُّد من تحقُّق شروط المعادلتين، كالآتي: ٨𞸎٤𞸑=٨،٩𞸎٦𞸑=٩.

في المعادلة الأولى: ٨󰂔١٧󰂓٤󰂔٢١٧󰂓=٨٧٨٤٧=٦٥٧=٨.

في المعادلة الثانية: ٩󰂔١٧󰂓٦󰂔٢١٧󰂓=٩٧٢٧٧=٣٦٧=٩.

في المثال التالي، سنتناول مسألة يجب فيها إعادة ترتيب نظام المعادلات قبل الحل.

مثال ٣: حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام: ٩𞸎=٨+٨𞸑،٦𞸑=٧+٣𞸎.

الحل

في هذا السؤال، المطلوب هو حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في متغيِّرين. يمكننا فعل ذلك بحذف متغيِّر؛ ومع ذلك، فإننا سنستخدم قاعدة كرامر.

في حالة وجود نظام من معادلتين في مجهولين، تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان Δ لا يساوي صفرًا، فإن: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ𞸎𞸑 هو الحل الوحيد للنظام.

وبناءً على ذلك، فإن الخطوة الأولى هي إعادة ترتيب المعادلتين على صورة يمكن تحويلها بسهولة إلى معادلة مصفوفية: ٩𞸎٨𞸑=٨،٣𞸎+٦𞸑=٧.

والآن، بعد أن أصبح لدينا النظام على هذه الصورة، يمكننا كتابة معادلة مصفوفية: 󰂔٩٨٣٦󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٨٧󰂓.

في هذه المرحلة، نتذكَّر أن Δ𞸎، Δ𞸑 هما محددا المصفوفتين الناتجان عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات 𞸎، 𞸑، كالآتي: Δ=󰍻٨٨٧٦󰍻،Δ=󰍻٩٨٣٧󰍻.𞸎𞸑

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة. سنبدأ بحساب Δ: Δ=󰍻٩٨٣٦󰍻=(٩×٦)(٨×٣)=٤٥٤٢=٨٧.

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط Δ، ولكننا أثبتنا أيضًا أنه يمكننا حل هذا النظام المكوَّن من معادلتين؛ لأن محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا.

بعد ذلك، نحسب Δ𞸎: Δ=󰍻٨٨٧٦󰍻=(٨×٦)(٨×٧)=٨٤+٦٥=٨.𞸎

وأخيرًا، نحسب Δ𞸑: Δ=󰍻٩٨٣٧󰍻=(٩×٧)(٨×٣)=٣٦٤٢=٧٨.𞸑

لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لاستخدام قاعدة كرامر لحل نظام مكوَّن من معادلتين. نعوِّض الآن بقيم المحددات لإيجاد قيمتَي 𞸎، 𞸑: 𞸎=ΔΔ،Δ=٨،Δ=٨٧𞸎𞸎؛ إذن: 𞸎=٨٨٧=٤٩٣.

وإذا حسبنا الآن 𞸑، فإن: 𞸑=ΔΔ،Δ=٧٨،Δ=٨٧𞸑𞸑؛ إذن: 𞸑=٧٨٨٧=٩٢٦٢.

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام المكوَّن من معادلتين هو: 𞸎=٤٩٣،𞸑=٩٢٦٢.

في المثالين السابقين، تناولنا المسائل التي تتضمَّن مجهولين. في المثال التالي، سنتناول نظامًا مكوَّنًا من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل.

مثال ٤: حل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحل النظام: ٥𞸎=٢𞸑٥+٣𞸏،٣𞸎𞸑+١=٢𞸏،٢𞸑𞸏=٥𞸎+٣.

الحل

لحل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل باستخدام المحددات، يمكننا استخدام قاعدة كرامر بشرط ألا يكون محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا.

ومن ثَمَّ، يكون الحل الوحيد هو: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸏=ΔΔ.𞸎𞸑𞸏

الخطوة الأولى هي إعادة ترتيب المعادلات؛ بحيث يكون لدينا الحدود الثابتة بمفردها. نفعل ذلك حتى يمكننا تحويل النظام بسهولة إلى معادلة مصفوفية: ٥𞸎+٢𞸑٣𞸏=٥،٣𞸎𞸑٢𞸏=١،٥𞸎+٢𞸑𞸏=٣.

والآن، بعد أن أصبح لدينا النظام على هذه الصورة، يمكننا كتابة معادلة مصفوفية: 󰃭٥٢٣٣١٢٥٢١󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٥١٣󰃬.

بعد ذلك، باستخدام قاعدة كرامر، نتذكَّر أن Δ𞸎، Δ𞸑، Δ𞸏 هي محددات المصفوفات الناتجة عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات 𞸎 ، 𞸑، 𞸏، كالآتي: Δ=󰎁٥٢٣١١٢٣٢١󰎁.𞸎

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة. سنبدأ بحساب Δ: Δ=󰎁٥٢٣٣١٢٥٢١󰎁=٥󰍻١٢٢١󰍻٢󰍻٣٢٥١󰍻٣󰍻٣١٥٢󰍻=٥(١+٤)٢(٣+٠١)٣(٦+٥)=٢.

بهذا الناتج، لم نُوجِد فقط Δ، لكننا أثبتنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد حل وحيد لهذا النظام من المعادلات. وهذا لأن قيمة Δ لا تساوي صفرًا.

بعد ذلك، نحسب Δ𞸎: Δ=󰎁٥٢٣١١٢٣٢١󰎁=٥󰍻١٢٢١󰍻٢󰍻١٢٣١󰍻٣󰍻١١٣٢󰍻=٥(٥)٢(٧)٣(١)=٢٤.𞸎

ثم نحسب Δ𞸑: Δ=󰎁٥٥٣٣١٢٥٣١󰎁=٥󰍻١٢٣١󰍻+٥󰍻٣٢٥١󰍻٣󰍻٣١٥٣󰍻=٥(٧)+٥(٣١)٣(٤)=٢١١.𞸑

وأخيرًا، نحسب Δ𞸏: Δ=󰎁٥٢٥٣١١٥٢٣󰎁=٥󰍻١١٢٣󰍻٢󰍻٣١٥٣󰍻٥󰍻٣١٥٢󰍻=٥(١)٢(٤)٥(١)=٨.𞸏

والآن، أصبح لدينا كل ما نحتاج إليه لاستخدام قاعدة كرامر في حل نظام المعادلات؛ حيث نعوِّض بقيم هذه المحددات في الحل الوحيد الذي تنص عليه قاعدة كرامر لإيجاد قيم 𞸎، 𞸑، 𞸏 على النحو الآتي: 𞸎=ΔΔ،Δ=٢٤،Δ=٢𞸎𞸎؛ إذن: 𞸎=٢٤٢=١٢.

والآن، نحسب 𞸑: 𞸑=ΔΔ،Δ=٢١١،Δ=٢𞸑𞸑؛ إذن: 𞸑=٢١١٢=٦٥.

وأخيرًا، نحسب 𞸏: 𞸏=ΔΔ،Δ=٨،Δ=٢𞸏𞸏؛ إذن: 𞸏=٨٢=٤.

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام من المعادلات الخطية هو: 𞸎=١٢،𞸑=٦٥،𞸏=٤.

في المثال الأخير، سنتناول سؤالًا يتضمن نظام المعادلات بدلالة المحددات.

مثال ٥: حل نظام مكوَّن من ثلاث معادلات باستخدام المحددات

حُلَّ، باستخدام قاعدة كرامر، المعادلات الآنيَّة: 󰍻١𞸏٤𞸑󰍻=٣٢،󰍻٢𞸑٥𞸎󰍻=٣١،󰍻٣𞸎٥𞸏󰍻=١٥.

الحل

لكي نتمكَّن من استخدام قاعدة كرامر في هذه المسألة، الخطوة الأولى هي إيجاد قيمة محددات المصفوفات من الرتبة ٢×٢: 󰍻١𞸏٤𞸑󰍻=(١×𞸑)(𞸏×(٤))=𞸑+٤𞸏،󰍻٢𞸑٥𞸎󰍻=(٢×𞸎)(𞸑×(٥))=٢𞸎+٥𞸑،󰍻٣𞸎٥𞸏󰍻=(٣×𞸏)(𞸎×٥)=٥𞸎+٣𞸏.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المحددات، يمكننا تكوين نظام مكوَّن من ثلاث معادلات يمكن استخدامه بعد ذلك لكتابة معادلة مصفوفية: 𞸑+٤𞸏=٣٢،٢𞸎+٥𞸑=٣١،٥𞸎+٣𞸏=١٥.

وبما أن المطلوب هو حل نظام المعادلات باستخدام المحددات، إذن نتذكَّر قاعدة كرامر التي تخبرنا أنه إذا كان محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا، فإن هناك حلًّا وحيدًا لهذا النظام، وهو: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸏=ΔΔ.𞸎𞸑𞸏

لتطبيق قاعدة كرامر، علينا إعادة كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية، وبالرغم من ذلك، علينا أن نحرص على تضمين معاملات تساوي صفرًا في مصفوفة المعاملات. ولمساعدتنا في فعل ذلك، يمكننا إعادة كتابة نظام المعادلات كي يتضمَّن معاملات تساوي صفرًا قبل كتابتها على صورة معادلة مصفوفية: ٠𞸎𞸑+٤𞸏=٣٢،٢𞸎+٥𞸑+٠𞸏=٣١،٥𞸎+٠𞸑+٣𞸏=١٥.

عند كتابة ذلك على صورة معادلة مصفوفية، نحصل على: 󰃭٠١٤٢٥٠٥٠٣󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٣٢٣١١٥󰃬.

في هذه المرحلة، نتذكَّر أن Δ𞸎، Δ𞸑، Δ𞸏، وفقًا لقاعدة كرامر، هي محددات المصفوفات التي تتكوَّن نتيجة للتعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن عناصر أعمدة معاملات 𞸎، 𞸑، 𞸏، كالآتي: Δ=󰎁٣٢١٤٣١٥٠١٥٠٣󰎁.𞸎

الخطوة التالية هي حساب المحددات المطلوبة. سنبدأ بحساب Δ: Δ=󰎁٠١٤٢٥٠٥٠٣󰎁=٠󰍻٥٠٠٣󰍻+١󰍻٢٠٥٣󰍻+٤󰍻٢٥٥٠󰍻=٠+١(٦٠)+٤(٠+٥٢)=٦٠١.

بعد ذلك، نحسب Δ𞸎: Δ=󰎁٣٢١٤٣١٥٠١٥٠٣󰎁=٣٢󰍻٥٠٠٣󰍻+١󰍻٣١٠١٥٣󰍻+٤󰍻٣١٥١٥٠󰍻=٣٢(٥١)+١(٩٣)+٤(٥٥٢)=٦٣٦.𞸎

ثم نحسب Δ𞸑: Δ=󰎁٠٣٢٤٢٣١٠٥١٥٣󰎁=٠󰍻٣١٠١٥٣󰍻٣٢󰍻٢٠٥٣󰍻+٤󰍻٢٣١٥١٥󰍻=٠٣٢(٦)+٤(٧٦١)=٠٣٥.𞸑

وأخيرًا، نحسب Δ𞸏: Δ=󰎁٠١٣٢٢٥٣١٥٠١٥󰎁=٠󰍻٥٣١٠١٥󰍻+١󰍻٢٣١٥١٥󰍻+٣٢󰍻٢٥٥٠󰍻=٠+١(٧٦١)+٣٢(٥٢)=٢٤٧.𞸏

نعوِّض الآن بقيم هذه المحددات في الحل الوحيد الناتج من قاعدة كرامر لإيجاد قيم 𞸎، 𞸑، 𞸏: 𞸎=ΔΔ،Δ=٦٣٦،Δ=٦٠١𞸎𞸎؛ إذن: 𞸎=٦٣٦٦٠١=٦.

والآن، نحسب 𞸑: 𞸑=ΔΔ،Δ=٠٣٥،Δ=٦٠١𞸑𞸑؛ إذن: 𞸑=٠٣٥٦٠١=٥.

وأخيرًا، نحسب 𞸏: 𞸏=ΔΔ،Δ=٢٤٧،Δ=٦٠١𞸏𞸏؛ إذن: 𞸏=٢٤٧٠٦١=٧.

وفي الختام، يمكننا القول إن الحل الوحيد لهذا النظام من المعادلات الخطية هو: 𞸎=٦،𞸑=٥،𞸏=٧.

هيا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى النظام الآتي المكوَّن من معادلتين في مجهولين: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅، تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان Δ لا يساوي صفرًا، فعندئذٍ يكون للنظام حل وحيد يُعطى بالصيغتين: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ.𞸎𞸑
  • بالنسبة إلى نظام المعادلات الآتي الذي يحتوي على ثلاثة مجاهيل: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸌،𞸃𞸎+𞸤𞸑+𞸅𞸏=𞸒،𞸆𞸎+𞸍𞸑+𞸋𞸏=𞸊، تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان Δ لا يساوي صفرًا، فعندئذٍ يكون للنظام حل وحيد يُعطى بالصيغ: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸏=ΔΔ.𞸎𞸑𞸏
  • يمكن توسيع نطاق قاعدة كرامر ليشمل عدد 𞸍 من المعادلات الخطية في 𞸍 من المجاهيل.
  • لإيجاد Δ𞸎 أو Δ𞸑 أو Δ𞸏، نعوِّض بالقيم الموجودة في مصفوفة الثوابت عن العمود المحدد في مصفوفة المعاملات، ونُوجِد قيمة محدد المصفوفة الناتجة الجديدة.
  • من الشروط الأساسية لقاعدة كرامر هو أن يكون محدد مصفوفة المعاملات Δ لا يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.