فيديو الدرس: قاعدة كرامر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم قاعدة كرامر لحل نظام مكون من معادلات خطية. سنتناول استخدام المحددات لحل أنظمة مكونة من معادلتين خطيتين، واستخدام المحددات أيضًا لحل أنظمة مكونة من ثلاث معادلات خطية، كما سنتعرف على قاعدة كرامر ونستخدمها.

قاعدة كرامر طريقة مفيدة تساعدنا في حل المعادلات الآنية. والأمر الجيد فيها أنها تتيح لنا إيجاد قيمة متغير واحد، وليس نظامًا كاملًا من المعادلات. حسنًا، من أين جاءت فكرة هذه القاعدة؟ سميت قاعدة كرامر على اسم جابرييل كرامر. وهو عالم رياضيات من جنيف. ولقد ابتكر طريقة لحل المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات أو المعادلات المصفوفية ومحددات هذه المصفوفات. قبل أن نتناول بعض الأمثلة حول كيفية استخدام قاعدة كرامر، سنلقي نظرة على القاعدة نفسها وكيفية تطبيقها والمقصود بها.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه في كثير من الأحيان يمكن أن نجد رموزًا مختلفة مستخدمة. يمكنك هنا ملاحظة أن قاعدة كرامر المكتوبة داخل الفقاعة تتضمن الرمز Δ للمصفوفة؛ لذا فهو يعبر عن محدد المصفوفة Δﺱ، في حين أنه يمكنك أيضًا كتابة ذلك على الصورة: ﺩﺱ. وهذا يعني محدد المصفوفة.

إذا نظرنا إلى قاعدة كرامر، فسنجد أنها تنص على أنه إذا كان لدينا نظام من المعادلات — حيث لدينا هنا ثلاثة متغيرات، وهي ﺱ وﺹ وﻉ، لكننا سنتناول مسائل تتضمن متغيرين وثلاثة متغيرات في هذا الدرس — فيمكننا عندئذ إيجاد حلول المعادلات باستخدام الصيغة: ﺱ يساوي محدد المصفوفة Δﺱ على محدد المصفوفة Δ. وﺹ يساوي محدد المصفوفة Δﺹ على محدد المصفوفة Δ. وﻉ يساوي محدد المصفوفة Δﻉ على محدد المصفوفة Δ. هذا رائع. لكن ماذا يعني فعليًا؟ إذن، دعونا نلق نظرة.

لنفترض أن لدينا نظامًا مكونًا من معادلتين، والمتغيران هما ﺱ وﺹ. لدينا ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ٢٣، واثنان ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ٢٢. حسنًا، ما يمكننا فعله هو كتابة هذا على صورة معادلة مصفوفية. فيصبح لدينا مصفوفة عناصرها ثلاثة، اثنان، اثنان، سالب أربعة. وهذه مصفوفة المعاملات الموجودة لدينا؛ حيث يمثل العمود الأول معاملي ﺱ، ويمثل العمود الثاني معاملي ﺹ. وهذه المعاملات مضروبة في المصفوفة التي عنصراها هما ﺱ، ﺹ، وهما المتغيران. وهذا يساوي مصفوفة النواتج التي عنصراها هما ٢٣، سالب ٢٢. ولقد حصلنا على هاتين القيمتين لأنهما تمثلان القيمتين الثابتتين أو ناتجي المعادلتين لدينا. حسنًا، هذا رائع. لقد وصلنا إلى هذه المرحلة، لكننا لم نعرف بعد كيف جاءت فكرة هذه القاعدة. ما الذي علينا فعله الآن؟

يمكننا تخيل أن المصفوفة هي المصفوفة Δ. إذن، لدينا هنا مصفوفة معاملات. إذن، نحن نعرف أنه إذا أردنا إيجاد قيمة المتغير ﺱ، فسيكون لدينا في المقام محدد المصفوفة التي عناصرها ثلاثة، اثنان، اثنان، سالب أربعة. هذا منطقي. لكن ماذا سيكون لدينا في البسط؟ وما المصفوفة Δﺱ؟ حسنًا، المصفوفة Δﺱ هي ما نحصل عليه إذا عوضنا بالناتجين لدينا؛ أي القيمتين الموجودتين في مصفوفة النواتج، عن العمود الذي يتضمن معاملي ﺱ، وبذلك نحصل على المصفوفة التي عناصرها ٢٣، اثنان، سالب ٢٢، سالب أربعة؛ حيث نلاحظ أن معاملي ﺹ يظلان كما هما. إذن، يمكننا القول إن قيمة ﺱ تساوي محدد المصفوفة التي عناصرها ٢٣، اثنان، سالب ٢٢، سالب أربعة على محدد المصفوفة التي عناصرها ثلاثة، اثنان، اثنان، سالب أربعة.

يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة كرامر لإيجاد قيمة ﺹ أيضًا. وسنفعل ذلك في بعض الأمثلة التي سنتناولها. فكل ما سبق كان لغرض التوضيح فقط. وقبل أن نستعرض بعض الأمثلة، اتضح لنا أننا سنتحدث كثيرًا عن المحددات. ما أريد فعله هو أن نتناول سريعًا كيفية إيجاد قيم محددات لمصفوفات من الرتبتين: اثنين في اثنين، وثلاثة في ثلاثة. وهو ما يجب أن تكون على دراية به بالفعل؛ لذا سنراجعه سريعًا.

أولًا: بالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة: اثنان في اثنين، إذا كانت لدينا المصفوفة من الرتبة: اثنان في اثنين ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن قيمة محددها تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذن، سنضرب ضربًا تبادليًا ثم نطرح. وبالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة: ثلاثة في ثلاثة، إذا أردنا إيجاد قيمة محدد المصفوفة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﻥ، ﻝ مثلًا، فهذا يساوي ﺃ مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية: ﻫ، ﻭ، ﻥ، ﻝ ناقص ﺏ مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية: ﺩ، ﻭ، ﺯ، ﻝ زائد ﺟ مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية: ﺩ، ﻫ، ﺯ، ﻥ.

تذكر أن هناك نقطة أساسية مهمة، وهي أن لدينا الإشارات موجب، سالب، موجب عندما ننظر إلى المعاملات قبل أن نضرب محددات المصفوفات الفرعية. سنذكر أنفسنا سريعًا بكيفية إيجاد المصفوفة الفرعية من الرتبة: اثنان في اثنين. إذا أخذنا العنصر ﺃ، فسنحذف العمود والصف الموجود بهما. ومن ثم، يتبقى لدينا المصفوفة الفرعية من الرتبة: اثنان في اثنين ﻫ، ﻭ، ﻥ، ﻝ. وبذلك، نكون قد راجعنا هذه المعلومات، وتناولنا أيضًا كيف نستخدم قاعدة كرامر. والآن سنتناول بعض الأمثلة. في المثال الأول، سنلقي نظرة على أحد شروط قاعدة كرامر.

هل قاعدة كرامر مفيدة في إيجاد حلول لأنظمة المعادلات الخطية التي تتضمن مجموعة لا نهائية من الحلول؟

حسنًا، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال سريعًا بلا؛ لأن قاعدة كرامر لا تفيدنا عندما يكون لدينا نظام من المعادلات الخطية التي تتضمن مجموعة لا نهائية من الحلول. هذا لأننا إذا أردنا كتابة معادلة مصفوفية، فلن تكون قاعدة كرامر مجدية إذا كانت المصفوفة منفردة. وتكون المصفوفة منفردة عند وجود مجموعة لا نهائية من الحلول. لكن هذه إجابة مختصرة. فدعونا نلق نظرة على سبب ذلك. كما قلنا من قبل، إذا كان نظام المعادلات يتضمن مصفوفة منفردة، فهذا يعني وجود مجموعة لا نهائية من الحلول. لكن كيف نعرف خصائص المصفوفة المنفردة أو المقصود بها؟

ما نعرفه عن المصفوفة المنفردة أن محددها يساوي صفرًا. ومن ثم، إذا نظرنا إلى قاعدة كرامر وأردنا تعريف أحد المتغيرات الثلاثة ﺱ أو ﺹ أو ﻉ، فسنجد أن محدد المصفوفة هو المقام، وهذا طبقًا للقاعدة. وإذا كانت هذه المصفوفة منفردة، فإن المحدد يساوي صفرًا. وعند قسمة أي عدد على صفر، فهذا يعني أن الناتج قيمة غير معرفة. ولهذا السبب أجبنا بلا؛ فقاعدة كرامر لن تساعدنا في إيجاد حلول لأنظمة المعادلات الخطية التي تتضمن مجموعة لا نهائية من الحلول.

حسنًا، هذا رائع. لقد ألقينا نظرة على شروط استخدام قاعدة كرامر. والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي توضح كيف نستخدم قاعدة كرامر.

استخدم المحددات لحل النظام: سالب ثمانية ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ثمانية، وتسعة ﺱ ناقص ستة ﺹ يساوي سالب تسعة.

أول ما علينا فعله لحل هذه المسألة كتابة معادلة مصفوفية لنظام المعادلات لدينا. وعندما نفعل ذلك، نحصل على المصفوفة: سالب ثمانية، سالب أربعة، تسعة، سالب ستة مضروبة في المصفوفة: ﺱ، ﺹ، وهذا يساوي مصفوفة النواتج: سالب ثمانية، سالب تسعة. ولأننا نريد استخدام المحددات لحل النظام، سنستخدم قاعدة كرامر. تنص قاعدة كرامر على أن ﺱ يساوي محدد المصفوفة Δﺱ على محدد المصفوفة Δ. ولإيجاد قيمة ﺹ، فإنها تساوي محدد المصفوفة Δﺹ على محدد المصفوفة Δ.

قد ننظر إلى هذه القاعدة، ونفكر في ماهية المصفوفة Δﺱ. إنها المصفوفة التي تتكون عند التعويض بمصفوفة النواتج عن عمود معاملات ﺱ في المصفوفة الأصلية. ففي هذه المسألة مثلًا، نضع مصفوفة النواتج محل العمود الأول في المصفوفة. لذا، بدلًا من أن نقول: سالب ثمانية وتسعة، نقول: سالب ثمانية وسالب تسعة. دعونا ننتقل إلى الخطوة التالية، ونوجد قيم المحددات. أولًا، نحن نريد إيجاد قيمة محدد المصفوفة: سالب ثمانية، سالب أربعة، تسعة، سالب ستة. وعند حل ذلك، نحصل على: سالب ثمانية مضروبًا في سالب ستة ناقص سالب أربعة مضروبًا في تسعة، وهو ما يعطينا ٤٨ زائد ٣٦. وهذا يساوي ٨٤.

الأمر الجيد هنا أن هذا يساعدنا أيضًا في التأكد من أنه يمكننا حل نظام المعادلات لدينا؛ لأنه إذا كانت المصفوفة منفردة، فهذا يعني أن المحدد سيساوي صفرًا. نلاحظ أن هذا لا ينطبق على هذه المسألة. لذا، علينا أن ننظر إلى محدد المصفوفة Δﺱ. لقد قلنا من قبل إن المصفوفة Δﺱ هي المصفوفة التي نحصل عليها عندما نعوض بسالب ثمانية وسالب تسعة؛ أي بمصفوفة النواتج، عن عمود معاملي ﺱ. ومن ثم، نحصل على المصفوفة: سالب ثمانية، سالب أربعة، سالب تسعة، سالب ستة. إذن بالنسبة إلى هذا المحدد، نحصل على سالب ثمانية مضروبًا في سالب ستة ناقص سالب أربعة مضروبًا في سالب تسعة، وهو ما يساوي ١٢. حسنًا، رائع. هناك محدد آخر علينا إيجاد قيمته.

علينا الآن إيجاد قيمة محدد المصفوفة Δﺹ. وهو يساوي محدد المصفوفة: سالب ثمانية، سالب ثمانية، تسعة، سالب تسعة. وكما فعلنا من قبل، حصلنا على ذلك بالتعويض بمصفوفة النواتج عن عمود معاملي ﺹ. هذا يساوي سالب ثمانية مضروبًا في سالب تسعة ناقص سالب ثمانية مضروبًا في تسعة، وهو ما يعطينا ١٤٤. حسنًا، هذا عظيم. أصبح لدينا الآن كل ما نحتاجه لاستخدام قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات. باستخدام قاعدة كرامر، نحصل على ﺱ يساوي ١٢ على ٨٤. يمكننا قسمة البسط والمقام على ١٢. وبذلك، نحصل على ﺱ يساوي واحدًا على سبعة.

حسنًا، هذا رائع. لقد أوجدنا قيمة ﺱ. فلننتقل إلى ﺹ. باستخدام قاعدة كرامر مرة أخرى، ﺹ يساوي محدد المصفوفة Δﺹ على محدد المصفوفة Δ، وهو ما يعطينا ١٤٤ على ٨٤. يمكننا أيضًا تبسيط الكسر. وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على ١٢. فنحصل على ﺹ يساوي ١٢ على سبعة. إذن، يمكننا القول إن حلي المعادلة هما ﺱ يساوي واحدًا على سبعة، وﺹ يساوي ١٢ على سبعة.

حسنًا، هذا جيد. لقد تناولنا مثالًا على كيفية حل نظام مكون من معادلتين. والآن، سنلقي نظرة على نظام مكون من ثلاث معادلات بثلاثة متغيرات، وهي ﺱ وﺹ وﻉ.

استخدم المحددات لحل النظام: خمسة ﺱ يساوي سالب اثنين ﺹ ناقص خمسة زائد ثلاثة ﻉ، وسالب ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد واحد يساوي اثنين ﻉ، واثنين ﺹ ناقص ﻉ يساوي سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة.

في مسألة كهذه، أول ما علينا فعله هو إعادة ترتيب المعادلات لنجعل المتغيرات في الطرف الأيمن. ومن ثم تصبح النواتج في الطرف الأيسر، والتي تكون قيمًا عددية أو ثوابت. بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، نحصل على: خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ يساوي سالب خمسة. والمعادلة الثانية هي: سالب ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب واحد. وأخيرًا، لدينا خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ﻉ يساوي ثلاثة.

حسنًا، هذا رائع. لقد أعدنا ترتيب المعادلات، ولكن لماذا نريدها على هذه الصورة؟ نحن نريدها على هذه الصورة حتى نتمكن من كتابة معادلة مصفوفية. وعندما نفعل ذلك، نحصل على المصفوفة: خمسة، اثنان، سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، سالب اثنين، خمسة، اثنان، سالب واحد مضروبًا في مصفوفة المتغيرات ﺱ، ﺹ، ﻉ. وهذا يساوي مصفوفة النواتج: سالب خمسة، سالب واحد، ثلاثة. هذا جيد. لكن كيف سيساعدنا ذلك في تحقيق هدفنا؛ وهو حل نظام المعادلات باستخدام المحددات؟ حسنًا، سنستخدم قاعدة كرامر. تنص قاعدة كرامر على أنه يمكننا إيجاد قيم المتغيرات أو إيجاد حلول نظام من المعادلات باستخدام الصيغة: ﺱ يساوي محدد المصفوفة Δﺱ على محدد المصفوفة Δ. يستمر هذا النمط مع ﺹ وﻉ.

حسنًا، لكي نستخدم هذه القاعدة، علينا إيجاد قيم المحددات. المحدد الأول الذي سنوجد قيمته هو محدد المصفوفة Δ، وهي مصفوفة المعاملات. إذن، سنوجد قيمة محدد المصفوفة: خمسة، اثنان، سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، سالب اثنين، خمسة، اثنان، سالب واحد. وهذا يساوي خمسة مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية: سالب واحد، سالب اثنين، اثنان، سالب واحد ناقص اثنين مضروبًا في المصفوفة الفرعية: سالب ثلاثة، سالب اثنين، خمسة، سالب واحد ناقص ثلاثة مضروبًا في المصفوفة الفرعية: سالب ثلاثة، سالب واحد، خمسة، اثنان، ونعرف أنه عند إيجاد قيم المحددات، تكون إشارات المعاملات هي موجب، سالب، موجب. ولإيجاد المصفوفات الفرعية، نحذف العمود والصف الموجود بهما المعامل.

حسنًا، هذا جيد. والآن، سنحسب قيمة ذلك. نحن نعلم أنه عند إيجاد قيم محددات لمصفوفات من الرتبة: اثنان في اثنين، فإننا نضرب ضربًا تبادليًا ثم نطرح، إذن نحصل على خمسة مضروبًا في واحد زائد أربعة ناقص اثنين مضروبًا في ثلاثة زائد ١٠ ناقص ثلاثة مضروبًا في سالب ستة زائد خمسة، وهو ما يساوي اثنين. هذا رائع؛ لأن ذلك يخبرنا أيضًا أن المصفوفة غير منفردة. وعليه، نعلم أنه لن يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول. لأن المحدد، في هذه الحالة، سيكون مساويًا لصفر. والآن، سنفرغ بعض المساحة لإيجاد قيم المحددات الأخرى التي علينا إيجادها.

الخطوة التالية إيجاد قيمة محدد المصفوفة Δﺱ. وسنفعل ذلك من خلال التعويض بقيم مصفوفة النواتج عن عمود معاملات ﺱ؛ أي العمود الأول في المصفوفة. ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة. وللقيام بذلك، علينا أن نستخدم نفس الطرق التي استخدمناها لإيجاد قيمة المحدد السابق، وبذلك نجد أن قيمة المحدد تساوي سالب ٤٢. ويمكنك رؤية الحل هنا. حسنًا، هذا عظيم. مرة أخرى، سنفرغ بعض المساحة ونفكر في المحدد التالي.

سنوجد قيمة محدد المصفوفة Δﺹ. وسنفعل ذلك من خلال التعويض بمصفوفة النواتج هذه عن معاملات ﺹ في المصفوفة. إذن، باستخدام الطريقة نفسها لإيجاد قيمة المحدد، نجد أن المحدد يساوي ١١٢. ويمكنك رؤية الحل هنا. سنفرغ بعض المساحة مرة أخرى لإيجاد قيمة المحدد الأخير. المحدد الأخير هو محدد المصفوفة Δﻉ. وسنستخدم الطريقة نفسها لإيجاد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة: ثلاثة في ثلاثة. وهذا يعطينا ثمانية.

لقد أوجدنا قيم المحددات التي نحتاجها لاستخدام قاعدة كرامر في إيجاد قيم المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ. سنبدأ أولًا بـ ﺱ، وهو يساوي سالب ٤٢ على اثنين. هذا لأن ﺱ يساوي محدد Δﺱ على محدد Δ. وهو ما يعطينا قيمة ﺱ التي تساوي سالب ٢١. بالنسبة إلى ﺹ، لدينا ١١٢ على اثنين، وهو ما يعطينا قيمة ﺹ التي تساوي ٥٦. وأخيرًا، نحصل على ﻉ يساوي ثمانية على اثنين، وهو ما يعطينا ﻉ يساوي أربعة. إذن، يمكننا القول إن حلول نظام المعادلات لدينا هي ﺱ يساوي سالب ٢١، وﺹ يساوي ٥٦، وﻉ يساوي أربعة.

بذلك نكون قد تناولنا ثلاثة أمثلة مختلفة؛ حيث ساعدنا أحد الأمثلة في معرفة إحدى خصائص قاعدة كرامر. وتناولنا بعد ذلك حل نظام مكون من معادلتين. وتناولنا للتو حل نظام مكون من ثلاث معادلات. والآن، دعونا نراجع النقاط الأساسية في هذا الدرس.

النقطة الأولى أنه إذا كان لدينا نظام معادلات، فعلينا أن نكتب النواتج بمفردها في الطرف الأيسر. ذلك حتى نتمكن من كتابة نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية؛ حيث توجد مصفوفة النواتج في الطرف الأيسر من علامة يساوي. عرفنا أيضًا أنه لكي نتمكن من استخدام قاعدة كرامر، يجب ألا تكون المصفوفة منفردة. أي تكون مصفوفة معاملات. وهذا يعني أن المحدد لا يساوي صفرًا.

توضح لنا قاعدة كرامر كيف نوجد القيم المجهولة باستخدام المحددات. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد قيمة ﺱ، فإن هذا يساوي محدد Δﺱ على محدد Δ، وتذكر أننا قد نلاحظ وجود رموز مختلفة هنا، فبدلًا من محدد Δﺱ، قد نجد ﺩﺱ. بالمثل، سيكون لدينا أيضًا: ﺩﺹ وﺩ. وأخيرًا، لدينا محدد Δﺱ. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض بمصفوفة النواتج عن معاملات ﺱ، ومن ثم، نحصل على المحدد سالب ثمانية، سالب ثمانية، سبعة، ستة، في هذا المثال.