فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

املأ الفراغ: إذا كان المتجه ﺃ والمتجه ﺏ متجهين متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي (فراغ).

دعونا نبدأ حل هذا السؤال بتمثيل هذين المتجهين المتعامدين؛ ﺃ وﺏ. بما أننا نعلم أن هذين المتجهين متعامدان، فهذا يعني أننا نعرف أن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة. حسنًا، ما المقصود تحديدًا بالمتجه ﺃ، نقطة، المتجه ﺏ؟ هذا يعني الضرب القياسي. يخبرنا الضرب القياسي لمتجهين بالمقدار الذي يتجه به متجه واحد في اتجاه متجه آخر. ويعرف الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ بأنه معيار المتجه ﺃ في معيار المتجه ﺏ في جتا 𝜃؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

في حالة هذين المتجهين المتعامدين، المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة. وعلى الرغم من أننا لا نعرف معياري المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، فإننا نعلم شيئًا عن جتا ٩٠ درجة. لعلنا نتذكر أن جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. لذا يمكننا قول إن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. وهذه هي القيمة الناقصة في هذه العبارة. وفي الواقع هذا تعريف عام علينا حفظه واستخدامه. يكون المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين إذا – وفقط إذا - كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا؛ أي إذا كان المتجه ﺃ ضرب قياسي المتجه ﺏ يساوي صفرًا. إذن القيمة الناقصة في العبارة: «حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي (فراغ)» هي صفر.