شارح الدرس: المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: استخدام خواص المتجهات المتوازية والمتعامدة لحل مسألة

صواب أم خطأ: إذا كانت مركبة متجه في اتجاه متجه آخر تساوي صفرًا، فإن المتجهين متوازيان؟

الحل

لتوضيح الفكرة، هيا نبدأ بالتفكير في متجهين؛ ، . ويمكن أن يكون هذان المتجهان أيَّ متجهين عشوائيين. نفترض أن هذين المتجهين يبدآن من النقطة نفسها. هذا هو الشكل الذي يبدو عليه المتجهان.

والآن، نوضِّح مركبة في اتجاه .

بالاستعانة بهذا الشكل إلى جانب حساب المثلثات، يمكننا ملاحظة أن مقدار مركبة في اتجاه يمكن حسابه من العلاقة .

يوضِّح السؤال أن هذه الكمية لا بد أن تساوي صفرًا. وبما أن ، إذن لا بد أن يساوي صفرًا. بالحل لإيجاد قيمة ، نجد أن:

يوضِّح هذا أنه عندما تكون مركبة في اتجاه تساوي صفرًا، فإن الزاوية المحصورة بين المتجهين لا بد أن تكون زاوية قائمة. وبناءً على ذلك، يكون المتجهان ، متعامدين.

إذن الإجابة هي «خطأ»؛ لأنه إذا كانت مركبة متجه في اتجاه متجه آخر تساوي صفرًا، فإن المتجهين لا يكونان متوازيين.

هناك طريقة أخرى للتعامل مع هذه المسألة، وهي رسم متجهين متوازيين، كما هو موضَّح.

بما أن المتجهين ، متوازيان، إذن الزاوية المحصورة بين المتجهين هي . وبناءً على ذلك، فإن مركبة في اتجاه هي . وبما أن ، إذن هذه المركبة هي المتجه . ولأن لا يساوي صفرًا؛ فإن إجابة هذا السؤال هي «خطأ».

مثال ٢: إيجاد قيمة مجهولة باستخدام زوج من المتجهات المتوازية

أوجد قيمة كلٍّ من ، ؛ حيث المتجه موازٍ للمتجه .

الحل

لحل هذه المسألة، يمكننا الاستعانة بحقيقة أنه عندما يكون لدينا متجهان متوازيان، فإن أحدهما يكون مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذن: حيث ثابت يمكن إيجاد قيمته.

بمساواة معاملات مركبات المتجهين، نحصل على هذه المعادلات الثلاث:

يمكننا حل أول معادلة من هذه المعادلات لإيجاد قيمة . وبفعل ذلك، نجد أن:

والآن، علينا التعويض بهذه القيمة في المعادلتين الأخريين والحل لإيجاد القيمتين المجهولتين. لإيجاد قيمة ، يصبح لدينا:

لإيجاد قيمة ، يصبح لدينا:

وبذلك نكون قد توصَّلنا إلى الحل؛ وهو أن قيمتَي ، اللتين تجعلان المتجهين متوازيين هما ، .

يمكننا التحقُّق من الحل عن طريق التأكُّد من أن النسب بين المركبات المتناظرة للمتجهين متساوية.

بما أن المتجهين متوازيان، إذن لا بد أن يكون:

إذا عوَّضنا بالقيم التي حصلنا عليها، فسنحصل على: ويمكن تبسيط جميع النسب إلى . وهذا يؤكِّد أن الحل الذي توصَّلنا إليه صحيح.

مثال ٣: تحديد المتجه الذي لا يكون عموديًّا على الخط المعطى

أيُّ المتجهات الآتية ليس عموديًّا على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه هو ؟

الحل

لكي يكون المتجهان متعامدين، لا بد أن يكون حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. لإيجاد الحل، علينا فقط تحديد أيُّ المتجهين لا يعطينا صفرًا عند ضربه قياسيًّا في .

سنبدأ بالمتجه في الخيار (أ). نجد هنا أن الضرب القياسي يعطينا:

إذن عمودي على .

يمكننا الآن التحقُّق من المتجه في الخيار (ب). لدينا هنا:

وبما أن هذا يساوي صفرًا، إذن الإجابة لن تكون الخيار (ب) أيضًا.

بضرب المتجه الموجود بالخيار (ج) قياسيًّا في ، نحصل على:

إذن لا يمكن أن يكون الخيار (ج) هو الحل.

علينا بعد ذلك التحقُّق من المتجه في الخيار (د):

بما أن حاصل الضرب القياسي هذا لا يساوي صفرًا، إذن ، ليسا متعامدين. إذن حَلُّ هذا السؤال هو أن المتجه غير العمودي على الخط المستقيم هو المتجه في الخيار (د)؛ .

يمكننا التحقُّق سريعًا من المتجه في الخيار (هـ) للتأكُّد من أنه عمودي على الخط المستقيم:

وبما أن الناتج هنا يساوي صفرًا؛ إذن هذا يؤكِّد أن الحل هو الخيار (د).

مثال ٤: تحديد إذا ما كان متجهان متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك

إذا كان لديك المتجهان ، ، فحدِّد إذا ما كانا متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك.

الحل

نبدأ بتذكُّر الشروط التي بتحقُّقها يكون هذان المتجهان متوازيين أو متعامدين. يكون المتجهان متوازيين إذا كان ؛ حيث ثابت حقيقي لا يساوي صفرًا. ويكون المتجهان متعامدين إذا كان . إذا لم يتحقَّق أيٌّ من هذين الشرطين، فلن يكون المتجهان متوازيين أو متعامدين.

هيا نبدأ بالتحقُّق ممَّا إذا كانا متوازيين. إذا كانا متوازيين، فيجب أن يكون:

يمكننا التحقُّق ممَّا إذا كان هذا صحيحًا بمحاولة إيجاد قيمة . يمكننا تكوين ثلاث معادلات عن طريق مساواة مركبات هذين المتجهين. يصبح لدينا هنا:

بحل كلٍّ من هذه المعادلات، نحصل على القيمة نفسها؛ . وهذا يوضِّح أن المتجهين متوازيان.

لقد توصَّلنا إلى الحل بالفعل، لكن لتوضيح هذه الطريقة، هيا نُكمِل إثبات أنهما ليسا متعامدين. سنُوجِد حاصل الضرب القياسي لـ ، :

وبما أن هذا لا يساوي صفرًا، إذن هذا يعني أن المتجهين ليسا متعامدين، وهو ما لا يتناقض مع الحل الذي توصَّلنا إليه، وهو أن المتجهين متوازيان.

مثال ٥: حل مسألة تتضمَّن زوجًا من الخطوط المستقيمة المتعامدة

إذا كان الخط المستقيم عموديًّا على ، ، فأوجد قيمة .

الحل

حسنًا، لدينا هنا معادلتا خطَّيْن مستقيمين في الفضاء الثلاثي الأبعاد، ونعلم أنهما متعامدان. يمكننا استخدام هذه المعطيات لإيجاد الثابت المجهول.

بدايةً، علينا إيجاد متجه اتجاه كل مستقيم. نحن نعلم أن أيَّ مستقيم على الصورة: يمر بالنقطة وله متجه اتجاه .

باستخدام ذلك، يمكننا ملاحظة أن المستقيم متجه اتجاهه هو:

المستقيم الآخر ليس على هذه الصورة تقريبًا؛ ذلك لأن لدينا . ومع ذلك، هذا يعني أن الإحداثي لهذا المستقيم ثابت؛ لأن المستقيم موجود في المستوى . إذن، في متجه الاتجاه، المركبة تساوي صفرًا. وبناءً على ذلك، فإن متجه اتجاه المستقيم ؛ حيث هو:

والآن، بعد أن أصبح لدينا متجها الاتجاه للمستقيمين، نُوجِد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين ونساويه بصفر؛ لأن المستقيمين متعامدان. سنجد لدينا:

كلُّ ما علينا فعله هو حل ذلك لإيجاد قيمة . من ذلك يصبح لدينا:

وبهذا، نكون قد توصَّلنا إلى الحل؛ لكي يكون هذان المستقيمان متعامدين، يجب أن يكون .