فيديو الدرس: المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء. سنبدأ بتناول الشروط التي يجب أن تتحقق لكي يكون متجهان متوازيين أو متعامدين.

لا يكون المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين إلا إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًا للآخر. المتجه ﺃ يجب أن يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ؛ حيث ﻙ ثابت لا يساوي صفرًا. إذا كانت مركبات المتجه ﺃ هي ﺃﺱ وﺃﺹ وﺃﻉ، ومركبات المتجه ﺏ هي ﺏﺱ وﺏﺹ وﺏﻉ، فيكون المتجهان متوازيين إذا كانت النسبة بين مركباتهما متساوية. ‏‏ﺃﺱ على ﺏﺱ يجب أن يساوي ﺃﺹ على ﺏﺹ، وهو ما يساوي أيضًا ﺃﻉ على ﺏﻉ. لإثبات أن المتجهين متوازيان، يجب أن نثبت أن أحد هذين الشرطين صحيح.

هيا نتناول الآن الشروط اللازم توافرها ليكون المتجهان متعامدين. لا يكون المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين إلا إذا كان حاصل ضربهما القياسي، والذي يعرف أحيانًا بالضرب القياسي، يساوي صفرًا. مرة أخرى، إذا كانت مركبات المتجه ﺃ هي ﺃﺱ وﺃﺹ وﺃ ﻉ، ومركبات المتجه ﺏ هي ﺏﺱ وﺏﺹ وﺏﻉ، فيكون المتجهان متعامدين إذا كان مجموع ﺃﺱﺏﺱ زائد ﺃﺹﺏ ﺹ زائد ﺃﻉﺏﻉ يساوي صفرًا. حيث نوجد مجموع حاصل ضرب المركبات ﺱ وﺹ وﻉ، وإذا كان المجموع يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المتجهين متعامدان.

مرة أخرى، لإثبات أن متجهين متعامدان، يجب أن نثبت أن أحد الشرطين المذكورين أعلاه صحيح. سنتناول الآن بعض الأسئلة المطلوب منا فيها تحديد إذا ما كانت المتجهات متعامدة أو متوازية.

حدد إذا ما كان ما يلي صوابًا أو خطأ: إذا كانت مركبة متجه في اتجاه متجه آخر تساوي صفرًا، فإن المتجهين متوازيان.

لنبدأ بالنظر إلى المتجهين ﺃ وﺏ الموضحين أمامنا. موضح في الشكل لدينا مركبة المتجه ﺃ على المتجه ﺏ. يمكننا ملاحظة أن هذا يكون مثلثًا قائم الزاوية. ويمكننا افتراض أن الزاوية عند نقطة الأصل هي 𝜃. في حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نسبة جيب تمام الزاوية تساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. ونحن نعلم أن طول الوتر يساوي معيار المتجه ﺃ. وإذا افترضنا أن مركبة المتجه ﺃ على المتجه ﺏ تساوي ﺱ، فإن جتا 𝜃 يساوي ﺱ على معيار المتجه ﺃ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي معيار المتجه ﺃ مضروبًا في جتا 𝜃.

علمنا من السؤال أن ﺱ يساوي صفرًا. وعليه، فإن صفرًا يساوي معيار المتجه ﺃ مضروبًا في جتا 𝜃. يجب أن يكون معيار أي متجه موجبًا، فلا يمكن أن يساوي صفرًا. هذا يعني أن جتا 𝜃 يجب أن يساوي صفرًا. إذن، 𝜃 تساوي ٩٠ درجة. وهذا يعني أن المتجهين متعامدان. ومن ثم، نستنتج أن العبارة خطأ. المتجهان ليسا متوازيين، ولكنهما متعامدان.

في السؤال التالي، سنوجد القيمة الناقصة باستخدام زوج من المتجهات المتوازية.

أوجد قيمة كل من ﻡ وﻥ؛ بحيث يكون المتجه اثنان ﺱ زائد سبعة ﺹ زائد ﻡﻉ موازيًا للمتجه ستة ﺱ زائد ﻥﺹ ناقص ٢١ﻉ.

نحن نعلم أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًا للآخر. المتجه ﺃ يجب أن يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ؛ حيث ﻙ ثابت لا يساوي صفرًا. في هذا السؤال، اثنان ﺱ زائد سبعة ﺹ زائد ﻡﻉ يجب أن يساوي الثابت ﻙ مضروبًا في ستة ﺱ زائد ﻥﺹ ناقص ٢١ﻉ. بتوزيع أو فك القوسين في الطرف الأيسر ثم مساواة المركبات، نجد أن اثنين يساوي ستة ﻙ. وبمساواة مركبتي ﺹ، نحصل على سبعة يساوي ﻥﻙ. وبمساواة مركبتي ﻉ، نحصل على ﻡ يساوي سالب ٢١ مضروبًا في الثابت ﻙ.

يمكننا حل المعادلة الأولى بقسمة طرفيها على ستة. وعليه، فإن ﻙ يساوي اثنين على ستة أو سدسين. يمكن تبسيط هذا الكسر بحيث يصبح ﻙ يساوي ثلثًا. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في المعادلتين الأخريين. سبعة يساوي ﻥ مضروبًا في ثلث. وبضرب طرفي هذه المعادلة في ثلاثة، نحصل على ﻥ يساوي ٢١. في المعادلة الثالثة، ﻡ يساوي سالب ٢١ مضروبًا في ثلث. وثلث العدد ٢١ يساوي سبعة. إذن، ثلث العدد سالب ٢١ يساوي سالب سبعة. إذا كان المتجهان متوازيين، فإن ﻡ يساوي سالب سبعة وﻥ يساوي ٢١.

هناك طريقة بديلة للحل؛ وهي كتابة كل مركبة في صورة نسبة. يمكننا فعل ذلك بطريقة معاكسة. بوضع المركبة ﺱ الأكبر في البسط، يصبح لدينا ستة على اثنين يساوي ﻥ على سبعة، وهو ما يساوي سالب ٢١ على ﻡ. ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. إذن يمكننا حل المعادلتين ثلاثة يساوي ﻥ على سبعة، وثلاثة يساوي سالب ٢١ على ﻡ لإيجاد قيمتي ﻡ وﻥ. هذا سيعطينا أيضًا القيمتين ﻥ يساوي ٢١ وﻡ يساوي سالب سبعة.

في السؤال التالي، سنحدد المتجه غير المتعامد على المتجه المعطى.

أي المتجهات الآتية غير عمودي على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ﺭ هو ستة، سالب خمسة؟ (أ) ﺭ يساوي سالب خمسة، سالب ستة. أم (ب) ﺭ يساوي خمسة، ستة. أم (ج) ﺭ يساوي ١٠، ١٢. أم (د) ﺭ يساوي ١٢، سالب ١٠.

يمكننا تذكر أن المتجهين يكونان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي أو ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ولإيجاد حاصل الضرب القياسي، نوجد مجموع حاصل ضرب المركبات المنفردة. بالنسبة إلى الخيار (أ)، علينا ضرب ستة في سالب خمسة ثم جمع سالب خمسة مضروبًا في سالب ستة. ضرب عدد موجب في عدد سالب يعطينا ناتجًا سالبًا. وضرب عددين سالبين معًا يعطينا ناتجًا موجبًا. هذا يعطينا سالب ٣٠ زائد ٣٠. وبما أن هذا يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المتجهين متعامدان. وعليه، فإن الخيار (أ) غير صحيح.

بتكرار هذه العملية مع الخيار (ب)، نجد لدينا ستة مضروبًا في خمسة زائد سالب خمسة مضروبًا في ستة. يمكننا تبسيط هذا إلى ٣٠ زائد سالب ٣٠. مرة أخرى، هذا يساوي صفرًا. إذن، الخيار (ب) غير صحيح. في الخيار (ج)، لدينا ستة مضروبًا في ١٠ زائد سالب خمسة مضروبًا في ١٢. ستة مضروبًا في ١٠ يساوي ٦٠، وسالب خمسة مضروبًا في ١٢ يساوي سالب ٦٠. إذن، الخيار (ج) غير صحيح؛ لأن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا.

في الخيار (د)، العملية الحسابية لدينا هي ستة مضروبًا في ١٢ زائد سالب خمسة مضروبًا في سالب ١٠. ستة مضروبًا في ١٢ يساوي ٧٢، وسالب خمسة مضروبًا في سالب ١٠ يساوي موجب ٥٠. هذا يعني أن حاصل الضرب القياسي يساوي ١٢٢. وهو لا يساوي صفرًا. وعليه، فإن الخيار (د) صحيح. المتجه ١٢، سالب ١٠ ليس عموديًا على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ﺭ هو ستة، سالب خمسة. وهذا لأن حاصل الضرب القياسي لا يساوي صفرًا.

في السؤال التالي، علينا تحديد إذا ما كان المتجهان متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك.

إذا كان المتجهان ﺃ يساوي ثمانية ﺱ ناقص سبعة ﺹ زائد ﻉ، وﺏ يساوي ٦٤ﺱ ناقص ٥٦ﺹ زائد ثمانية ﻉ، فحدد إذا ما كانا متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك.

نحن نعلم أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًا للآخر. المتجه ﺃ يجب أن يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ. من ناحية أخرى، يكون المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين، إذا كان حاصل ضربهما القياسي أو ضربهما القياسي يساوي صفرًا. دعونا نفكر أولًا فيما إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين. إذا كان أحد المتجهين مضاعفًا قياسيًا للمتجه الآخر، فيجب أن تكون النسبة بين مركباتهما المنفردة متساوية. في هذه المسألة، ٦٤ على ثمانية يجب أن يساوي سالب ٥٦ على سالب سبعة، وهو ما يجب أن يساوي ثمانية على واحد أيضًا. ‏‏٦٤ مقسومًا على ثمانية يساوي ثمانية، وثمانية مقسومًا على واحد يساوي ثمانية.

بقسمة عدد سالب على عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. لذا، سالب ٥٦ مقسومًا على سالب سبعة يساوي ثمانية أيضًا. يمكننا إذن استنتاج أن المتجه ﺏ يساوي ثمانية مضروبًا في المتجه ﺃ، أو أن المتجه ﺃ يساوي ثمن المتجه ﺏ. وعليه، فإن المتجهين ﺃ وﺏ متوازيان. وعلى الرغم من أنه لا يمكن أن يكون المتجهان متوازيين ومتعامدين في الوقت نفسه، فدعونا نتحقق من أن حاصل ضربهما القياسي لا يساوي صفرًا. مركبتا ﺱ للمتجه هما ثمانية و٦٤. ومركبتا ﺹ هما سالب سبعة وسالب ٥٦. ومركبتا ﻉ هما واحد وثمانية. ثمانية مضروبًا في ٦٤ يساوي ٥١٢. وسالب سبعة مضروبًا في سالب ٥٦ يساوي ٣٩٢. وواحد مضروبًا في ثمانية يساوي ثمانية. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي ٩١٢. وبما أن هذا لا يساوي صفرًا، فالمتجهان ﺃ وﺏ غير متعامدين.

في السؤال الأخير، سوف نحل مسألة تتضمن زوجًا من الخطوط المستقيمة المتعامدة.

إذا كان الخط المستقيم ﺱ زائد ثمانية على سالب ١٠ يساوي ﺹ زائد ثمانية على ﻡ يساوي ﻉ زائد ١٠ على سالب ثمانية، عموديًا على ﺱ زائد خمسة على سالب أربعة يساوي ﺹ زائد ثمانية على ١٠ وﻉ يساوي ثمانية، فأوجد قيمة ﻡ.

يمكننا ملاحظة أن الخطين المستقيمين في هذا السؤال معطيان بصورة متماثلة. ‏‏ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﺟ. أي خط مستقيم على هذه الصورة يمكن إعادة كتابته على الصورة المتجهة ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﺃ، ﺏ، ﺟ. ‏‏ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هو الموضع الابتدائي وﺃ، ﺏ، ﺟ هو اتجاه الخط المستقيم.

إذن، معادلة المتجه للمستقيم الأول تساوي سالب ثمانية، سالب ثمانية، سالب ١٠ زائد ﻙ مضروبًا في سالب ١٠، ﻡ، سالب ثمانية. يبدو أن المعادلة الثانية لا تحتوي على المركبة ﻉ؛ لكننا نعلم أن ﻉ يساوي ثمانية. وعليه، فإن الموضع الابتدائي هو سالب خمسة، سالب ثمانية، ثمانية. وبما أن المركبة ﻉ تظل ثابتة، فسيكون اتجاه الخط المستقيم هو سالب أربعة، ١٠، صفرًا. نحن نعلم أنه إذا كان هناك خطان مستقيمان متعامدان، فإن حاصل الضرب القياسي للاتجاهات يساوي صفرًا. ولحساب حاصل الضرب القياسي، نوجد مجموع حواصل ضرب المركبات المنفردة.

هذا يعطينا سالب ١٠ مضروبًا في سالب أربعة زائد ﻡ مضروبًا في ١٠ زائد سالب ثمانية مضروبًا في صفر. ومجموع ذلك يجب أن يساوي صفرًا. سالب ١٠ مضروبًا في سالب أربعة يساوي ٤٠، وﻡ مضروبًا في ١٠ يساوي ١٠ﻡ، وسالب ثمانية مضروبًا في صفر يساوي صفرًا. بطرح ٤٠ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ١٠ﻡ يساوي سالب ٤٠. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على ١٠، ليصبح لدينا ﻡ يساوي سالب أربعة. إذن، إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين، فإن قيمة ﻡ تساوي سالب أربعة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يكون المتجهان متوازيين إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ؛ حيث ﻙ ثابت لا يساوي صفرًا. أي متجهين لا يكونان متوازيين إلا إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًا للآخر. هذا يعني أيضًا أن النسبة بين مركباتهما متساوية. يكون المتجهان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي أو ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ولحساب حاصل الضرب القياسي، نوجد مجموع حواصل ضرب المركبات المنفردة. بالنظر إلى هاتين الخاصيتين، يمكننا تحديد إذا ما كان المتجهان متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك.

عند التعامل مع خطين مستقيمين في صورة متجهة، نفكر في اتجاه المتجه لتحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متوازيين أو متعامدين. فإذا كانت المعادلة المتجهة للخط المستقيم هي ﺭ يساوي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﺃ، ﺏ، ﺟ، فإن الاتجاه ﺃ، ﺏ، ﺟ هو مفتاح الحل.