نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا مساحته ٢٤٨٫٥ سنتيمترًا مربعًا، فأوجد قيمة معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺃﺟ.
سنبدأ برسم المثلث ﺃﺏﺟ. نعلم من المعطيات أن مساحته تساوي ٢٤٨٫٥ سنتيمترًا مربعًا. ونذكر أنه يمكننا حساب مساحة أي مثلث باستخدام الصيغة: نصف ﺏ شرطة ﺟ شرطة مضروبًا في جا ﺃ. في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺃﺟ. نعلم أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي معيار المتجه ﺃ مضروبًا في معيار المتجه ﺏ مضروبًا في مقدار جا 𝜃.
في هذ السؤال، معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺃﺟ يساوي معيار المتجه ﺏﺃ مضروبًا في معيار المتجه ﺃﺟ مضروبًا في مقدار جا 𝜃؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. بمد الخط المستقيم ﺏﺃ، نلاحظ أن الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺏﺃ وﺃﺟ تكون كما هو موضح. هذا يعني أن مجموع قياسي الزاوية 𝜃 والزاوية ﺃ يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية ﺃ.
معيار المتجه ﺏﺃ يساوي طول الضلع ﺏﺃ في المثلث لدينا. وسوف نشير إلى هذا المعيار بحرف ﺟ شرطة؛ حيث إنه مقابل للزاوية ﺟ في المثلث. وبالمثل، معيار المتجه ﺃﺟ يساوي طول الضلع ﺃﺟ، وهو ما سنرمز له بـ ﺏ شرطة. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي يساوي ﺟ شرطة مضروبًا في ﺏ شرطة مضروبًا في مقدار جا١٨٠ درجة ناقص ﺃ. وبما أن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃، فإن التعبير لدينا يساوي ﺟ شرطة مضروبًا في ﺏ شرطة مضروبًا في جا ﺃ، وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة: ﺏ شرطةﺟ شرطة مضروبًا في جا ﺃ.
وهذا يشبه صيغة حساب مساحة المثلث. بما أن مساحة المثلث لدينا تساوي ٢٤٨٫٥ سنتيمترًا مربعًا، فإن ٢٤٨٫٥ يساوي نصف ﺏ شرطة ﺟ شرطة مضروبًا في جا ﺃ. بضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين، نحصل على ٤٩٧ يساوي ﺏ شرطة ﺟ شرطة مضروبًا في جا ﺃ. هكذا أصبح لدينا الآن التعبير نفسه الموجود في حاصل الضرب الاتجاهي. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺃﺟ يساوي ٤٩٧.
وهذا يقودنا إلى صيغة عامة لمساحة المثلث. وهي أن نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي مساحة المثلث الذي يمتد بين المتجهين ﺃ وﺏ.
