الشارح للدرس: حاصل الضرب الاتجاهي في بُعدين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي.

هناك طريقتان لضرب المتجهات معًا. قد تكون على دراية بالفعل بالضرب القياسي، وهو ما يُسمَّى أيضًا بالضرب النقطي. ينتج عن هذا الضرب كمية قياسية تساوي حاصل ضرب معيارَي كلا المتجهَيْن مضروبًا في جيب تمام الزاوية بين المتجهَيْن. أما بالنسبة إلى الضرب الاتجاهي، فهو ضرب المتجهات الذي ينتج عنه متجه.

من تعريف الضرب الاتجاهي، نجد أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن متوازيين (أو على استقامة واحدة) يساوي ٠؛ لأن جيب الزاوية بينهما (٠ أو ) يساوي ٠. ولاحِظ أنه لا يمكن تعريف أي مستوى بمتجهَيْن على استقامة واحدة، ومن ثَمَّ فإن هذا يتسق مع أن يكون إذا كان ، على استقامة واحدة.

من التعريف المذكور أعلاه، يُستنتَج أن حاصل الضرب الاتجاهي لأي متجهَيْن ليسا على استقامة واحدة في المستوى الإحداثي عندما يكون ، متجهَي وحدة، يكون موازيًا لـ ؛ حيث هو متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يتضمَّن ، ، كما هو موضَّح في الشكل.

ننظر إلى المتجهَيْن ، في المستوى الإحداثي.

يصنع المتجه زاوية مع ، ويصنع المتجه زاوية . من ثَمَّ، فإن الزاوية المحصورة بين ، تساوي ، ومن ثَمَّ، يكون لدينا . باستخدام متطابقة الطرح المثلثية ، نجد أن:

نقوم بعمل مصفوفة بالمركبات بدلالة ، لـ في الصف الأول، وكذلك لـ في الصف الثاني: ونحسب قيمة المحدِّد. تذكَّر أن محدِّد مصفوفة يُعطى بالعلاقة:

من ثَمَّ، نجد أن: حيث .

إذا جمعنا هذا بحقيقة أن متجه موازٍ لـ ، يمكننا أن نكتب التعريف التالي لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي عندما يكون ، متجهَي وحدة.

تعريف: حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي

بالنسبة إلى المتجهَيْن ، في المستوى الإحداثي، عندما يكون ، متجهَي وحدة، يُعطى حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، بالعلاقة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، والمتجهات ، ، هي متجهات الوحدة الأساسية على المحاور ، ، ، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل.

هيا نوضِّح هذا التعريف لحاصل الضرب الاتجاهي بمثالٍ أوَّل.

نتدرَّب أيضًا على حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن مع سؤال آخر يتضمَّن جمع المتجهات.

في المثال السابق، يمكننا أن نتساءل عمَّا إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع؛ أي هل لدينا ؟

يمكن إيجاد ذلك بسهولة عند النظر بتمعُّن إلى المحدِّد الذي استخدمناه لحساب :

قاعدة جمع المتجهات هي ، ؛ ومن ثَمَّ:

ويُستنتَج من ذلك أن ، إذن حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع.

نستخدم الآن معرفتنا بكيفية حساب حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه مجهول بمعلومية نواتج حاصل ضربه الاتجاهي باستخدام متجهَيْن معلومَيْن.

هيا الآن نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن لم تُعطَ مركبتاهما بشكل صريح، ولكنهما معرَّفتان بنقاط محدَّدة في مستطيل.

مثال ٤: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في مستطيل

مستطيل؛ حيث متجه وحدة عمودي على مستواه. أوجد .

الحل

لإيجاد ، لدينا احتمالان. إما أن نُوجِد مركبات المتجهَيْن، على سبيل المثال في المستوى الإحداثي مع نقطة الأصل ، ، ، أو نستخدم ؛ حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ؛ متجه وحدة عمودي على مستوى المستطيل. تشير هذه الطريقة الثانية إلى أنه يتعيَّن علينا إيجاد معيار كلا المتجهَيْن و.

الطريقة الأولى:

في المستوى الإحداثي ، لدينا ، ، . ومن هذا، نجد أن ، .

حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، هو: حيث متجه الوحدة العمودي على مستوى المستطيل.

الطريقة الثانية:

معيار يساوي ببساطة طول ؛ لذا، فهو يساوي ٤٤ سم.

تمثِّل النقطة منتصف أقطار المستطيل؛ ومن ثَمَّ، ، (تطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية ). ومن ثَمَّ، .

جيب الزاوية المحصورة بين ، يُعطى بالعلاقة . تُعَدُّ الإشارة السالبة نتيجة حقيقة أن الزاوية من إلى في اتجاه دوران عقارب الساعة (زاوية سالبة) و، أو بالنسبة إلى الأشخاص الذين يستخدمون زوايا موجبة فقط (عكس اتجاه دوران عقارب الساعة)؛ ومن ثَمَّ، تكون ، و.

يمكننا الآن أن نكتب:

عند استخدام الطريقة الثانية لحل المثال السابق، نلاحظ أهمية ترتيب المتجهات في الضرب الاتجاهي؛ لأن تغيير ترتيبها يعني تَغيُّر إشارة الزاوية، أو أنها تتغيَّر من إلى عندما يستخدم شخصٌ الزوايا الموجبة فقط. والنتيجة هي أن جيب الزاوية يُغيِّر الإشارة. وهذا يعني أن:

ويمكننا القول بأن الضرب الاتجاهي غير إبدالي.

نلقي نظرة الآن على المعنى الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي. بالنسبة إلى المتجهَيْن ، ، معيار حاصل ضربهما الاتجاهي هو: .

وبما أننا نهتم هنا بالقيمة المطلقة لـ ، إذن فلا داعي للقلق إذا كانت الزاوية من إلى أو من إلى .

إذا وضعنا الشكل على دائرة الوحدة ذهنيًّا، فسنرى على الفور ما هي .

نلاحظ أن .

في السياق الهندسي، يمثِّل ارتفاع متوازي الأضلاع الناشئ من ، . ومن ثَمَّ، يكون هو مساحة متوازي الأضلاع .

مساحة المثلث تساوي نصف مساحة . ويُستنتَج من ذلك أن مساحة المثلث تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لاثنين من المتجهات الثلاثة التي تكوِّن أضلاعه؛ أي:

وبما أننا نهتم هنا بمعيار حاصل الضرب الاتجاهي، إذن ترتيب المتجهَيْن واتجاههما ( أو ) ليس مُهمًّا. لكننا اخترنا هنا أن نكتب المتجهات بدءًا من أحد رءوس المثلث لمساعدتنا على تصوُّر متوازي الأضلاع الناشئ من هذين المتجهَيْن والمثلث بوصفه نصف متوازي الأضلاع.

نستخدم معنى حاصل الضرب الاتجاهي في سياق هندسي في المثال الأخير.

النقاط الرئيسية

• بالنسبة إلى المتجهَيْن ، في المستوى الإحداثي ، حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، هو: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، والمتجهات ، ، هي متجهات الوحدة المتعامدة.

  

• حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع:.
• حاصل الضرب الاتجاهي غير إبدالي: .
• حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن على استقامة واحدة يساوي ٠؛ ومن ثَمَّ، .
• مساحة متوازي الأضلاع الناشئ من ، تُعطى بالعلاقة . ويُستنتَج من ذلك أن مساحة المثلث الذي يُعرِّف ، ضلعين من أضلاعه تُعطى بالعلاقة .