شارح الدرس: حاصل الضرب الاتجاهي في بُعدَيْن الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي.

هناك طريقتان لضرب المتجهات معًا. قد تكون على دراية بالفعل بالضرب القياسي، وهو ما يُسمَّى أيضًا بالضرب النقطي. ينتج عن هذا الضرب كمية قياسية تساوي حاصل ضرب معيارَي كلا المتجهَيْن مضروبًا في جيب تمام الزاوية بين المتجهَيْن. أما بالنسبة إلى الضرب الاتجاهي، فهو ضرب المتجهات الذي ينتج عنه متجه.

تعريف: حاصل الضرب الاتجاهي

حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو المتجه العمودي على المستوى الذي يتضمَّن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ويُعطى معياره بالعلاقة: 󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.

من تعريف الضرب الاتجاهي، نجد أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن متوازيين (أو على استقامة واحدة) يساوي ٠؛ لأن جيب الزاوية بينهما (٠ أو ٠٨١) يساوي ٠، ولاحِظ أنه لا يمكن تعريف أي مستوى بمتجهَيْن على استقامة واحدة، ومن ثَمَّ فإن هذا يتسق مع أن يكون 󰏡×󰄮󰄮𞸁=٠ إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 على استقامة واحدة.

من التعريف المذكور أعلاه، يُستنتَج أن حاصل الضرب الاتجاهي لأي متجهَيْن ليسا على استقامة واحدة في المستوى الإحداثي عندما يكون 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجهَي وحدة، يكون موازيًا لـ 󰄮󰄮𞹏؛ حيث 󰄮󰄮𞹏 هو متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يتضمَّن 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، كما هو موضَّح في الشكل.

ننظر إلى المتجهَيْن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 في المستوى الإحداثي.

يصنع المتجه 󰏡 زاوية 𝜃١ مع 󰄮󰄮󰄮𞹎، ويصنع المتجه 󰄮󰄮𞸁 زاوية 𝜃٢. من ثَمَّ، فإن الزاوية 𝜃 المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 تساوي 𝜃𝜃٢١، ومن ثَمَّ، يكون لدينا 𝜃=󰁓𝜃𝜃󰁒٢١. باستخدام متطابقة الطرح المثلثية 󰁓𝜃𝜃󰁒=𝜃𝜃𝜃𝜃٢١٢١٢١، نجد أن: 𝜃=𝜃𝜃𝜃𝜃.٢١٢١

نقوم بعمل مصفوفة بالمركبات بدلالة 𝜃١، 𝜃٢ لـ 󰏡 في الصف الأول، وكذلك لـ 󰄮󰄮𞸁 في الصف الثاني: 󰍼󰏡󰍼𝜃󰍼󰏡󰍼𝜃󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃١١٢٢ ونحسب قيمة المحدِّد. تذكَّر أن محدِّد مصفوفة ٢×٢ يُعطى بالعلاقة: 󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾=󰏡𞸃𞸁𞸢.

من ثَمَّ، نجد أن: ||||󰍼󰏡󰍼𝜃󰍼󰏡󰍼𝜃󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃||||=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃𝜃󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃𝜃=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃،١١٢٢١٢١٢١٢١٢ حيث 𝜃𝜃𝜃𝜃=𝜃٢١٢١.

إذا جمعنا هذا بحقيقة أن 󰏡×󰄮󰄮𞸁 متجه موازٍ لـ 󰄮󰄮𞹏، يمكننا أن نكتب التعريف التالي لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي عندما يكون 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجهَي وحدة.

تعريف: حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في المستوى الإحداثي

بالنسبة إلى المتجهَيْن 󰏡=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑𞸎𞸑، 󰄮󰄮𞸁=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑𞸎𞸑 في المستوى الإحداثي، عندما يكون 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجهَي وحدة، يُعطى حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 بالعلاقة: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰍾󰏡󰏡𞸁𞸁󰍾󰄮󰄮𞹏=󰁓󰏡𞸁𞸁󰏡󰁒󰄮󰄮𞹏=󰂔󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃󰂓󰄮󰄮𞹏،𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑 حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، والمتجهات 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 هي متجهات الوحدة الأساسية على المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل.

هيا نوضِّح هذا التعريف لحاصل الضرب الاتجاهي بمثالٍ أوَّل.

مثال ١: إيجاد مركبة مجهولة بمعلومية حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في بُعدَيْن

إذا كان 󰏡=٣󰄮󰄮󰄮𞹎٥󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸁=𞸌󰄮󰄮󰄮𞹎+٥󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰏡×󰄮󰄮𞸁=٠٥󰄮󰄮𞹏، فأوجد قيمة 𞸌.

الحل

بما أن 󰏡=٣󰄮󰄮󰄮𞹎٥󰄮󰄮󰄮𞹑، إذن يكون لدينا 󰏡=٣𞸎، 󰏡=٥𞸑؛ وبما أن 󰄮󰄮𞸁=𞸌󰄮󰄮󰄮𞹎+٥󰄮󰄮󰄮𞹑، إذن يكون لدينا 𞸁=𞸌𞸎، 𞸁=٥𞸑.

نعرف أيضًا أن: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰍾󰏡󰏡𞸁𞸁󰍾󰄮󰄮𞹏=٠٥󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸎𞸑

ومن ثَمَّ: 󰍻٣٥𞸌٥󰍻=٠٥٣×٥(٥)𞸌=٠٥٥١+٥𞸌=٠٥٥𞸌=٠٥٥١𞸌=٧..

نتدرَّب أيضًا على حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن مع سؤال آخر يتضمَّن جمع المتجهات.

مثال ٢: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في بُعدَيْن

إذا كان 󰏡=٧󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸢=٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑، فأوجد 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁.

الحل

نُوجِد أولًا 󰄮󰄮𞸢+󰏡: 󰄮󰄮𞸢+󰏡=٧󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑=٣١󰄮󰄮󰄮𞹎+٨󰄮󰄮󰄮𞹑.

من ذلك، نستنتج أن مركبات 𞸎، 𞸑 لـ 󰄮󰄮𞸢+󰏡 هي (𞸢+󰏡)=٣١𞸎، (𞸢+󰏡)=٨𞸑. وأيضًا من 󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑 نعرف أن 𞸁=١𞸎، 𞸁=٢𞸑.

يمكننا الآن حساب 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁 كالآتي: 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁=󰍾(𞸢+󰏡)(𞸢+󰏡)𞸁𞸁󰍾󰄮󰄮𞹏=󰍻٣١٨١٢󰍻󰄮󰄮𞹏=(٣١×٢(١)×٨)󰄮󰄮𞹏=٤٣󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸎𞸑

في المثال السابق، يمكننا أن نتساءل عمَّا إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع؛ أي هل لدينا 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸢×󰄮󰄮𞸁+󰏡×󰄮󰄮𞸁؟

يمكن إيجاد ذلك بسهولة عند النظر بتمعُّن إلى المحدِّد الذي استخدمناه لحساب 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁: 󰍾(𞸢+󰏡)(𞸢+󰏡)𞸁𞸁󰍾=(𞸢+󰏡)𞸁𞸁(𞸢+󰏡).𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑

قاعدة جمع المتجهات هي (𞸢+󰏡)=𞸢+󰏡𞸎𞸎𞸎، (𞸢+󰏡)=𞸢+󰏡𞸑𞸑𞸑؛ ومن ثَمَّ: 󰍾(𞸢+󰏡)(𞸢+󰏡)𞸁𞸁󰍾=𞸢𞸁+󰏡𞸁𞸁𞸢𞸁󰏡=𞸢𞸁𞸁𞸢+󰏡𞸁𞸁󰏡=󰍻𞸢𞸢𞸁𞸁󰍻+󰍾󰏡󰏡𞸁𞸁󰍾.𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑

ويُستنتَج من ذلك أن 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸢×󰄮󰄮𞸁+󰏡×󰄮󰄮𞸁، إذن حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع.

الخاصية: توزيعية حاصل الضرب الاتجاهي

حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع: 󰂔󰄮󰄮𞸢+󰏡󰂓×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸢×󰄮󰄮𞸁+󰏡×󰄮󰄮𞸁.

نستخدم الآن معرفتنا بكيفية حساب حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه مجهول بمعلومية نواتج حاصل ضربه الاتجاهي باستخدام متجهَيْن معلومَيْن.

مثال ٣: إيجاد متجه بمعلومية حاصل ضربه الاتجاهي باستخدام متجهَيْن معلومَيْن

إذا كان 󰏡=󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰏡×󰄮󰄮𞸢=٣󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮𞸢×󰄮󰄮𞸁=٤󰄮󰄮𞹏، فأوجد 󰄮󰄮𞸢.

الحل

نستخرج مركبات 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 من تعبيراتهما بدلالة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑: 󰏡=١𞸎، 󰏡=٢𞸑، 𞸁=٤𞸎، 𞸁=٤𞸑.

يمكننا الآن كتابة الضرب الاتجاهي لهما مع 󰄮󰄮𞸢 على الصورة: 󰏡×󰄮󰄮𞸢=󰍾󰏡󰏡𞸢𞸢󰍾󰄮󰄮𞹏=٣󰄮󰄮𞹏،󰄮󰄮𞸢×󰄮󰄮𞸁=󰍻𞸢𞸢𞸁𞸁󰍻󰄮󰄮𞹏=٤󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑

إذن يكون لدينا:

󰍻١٢𞸢𞸢󰍻󰄮󰄮𞹏=٣󰄮󰄮𞹏،١×𞸢𞸢×(٢)=٣،𞸢+٢𞸢=٣،𞸎𞸑𞸑𞸎𞸑𞸎()١

و:

󰍻𞸢𞸢٤٤󰍻󰄮󰄮𞹏=٤󰄮󰄮𞹏،٤𞸢(٤)𞸢=٤،٤𞸢+٤𞸢=٤.𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑()٢

لدينا الآن معادلتان خطيتان بهما مجهولان (𞸢𞸎، 𞸢𞸑).

من المعادلة (١) نجد أن 𞸢=٢𞸢+٣𞸑𞸎. بالتعويض بتعبير 𞸢𞸑 هذا في المعادلة (٢)، نحصل على: ٤𞸢+٤󰁓٢𞸢+٣󰁒=٤٤𞸢+٨𞸢+٢١=٤٤𞸢=٤٢١𞸢=٢.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

وبالتعويض بـ 𞸢=٢𞸎 في 𞸢=٢𞸢+٣𞸑𞸎، نجد أن: 𞸢=١.𞸑

من ثَمَّ، نحصل على: 󰄮󰄮𞸢=٢󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑.

هيا الآن نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن لم تُعطَ مركبتاهما بشكل صريح، ولكنهما معرَّفتان بنقاط محدَّدة في مستطيل.

مثال ٤: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن في مستطيل

󰏡𞸁𞸢𞸃 مستطيل؛ حيث 󰄮󰄮𞹏 متجه وحدة عمودي على مستواه. أوجد 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁.

الحل

لإيجاد 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، لدينا احتمالان. إما أن نُوجِد مركبات المتجهَيْن، على سبيل المثال في المستوى الإحداثي مع نقطة الأصل 𞸢، 󰄮󰄮󰄮𞹎=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹، 󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹، أو نستخدم 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=󰂔󰍼󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌󰍼󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹𝜃󰂓󰄮󰄮𞸢؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁؛ 󰄮󰄮𞹏 متجه وحدة عمودي على مستوى المستطيل. تشير هذه الطريقة الثانية إلى أنه يتعيَّن علينا إيجاد معيار كلا المتجهَيْن و𝜃.

الطريقة الأولى:

في المستوى الإحداثي 󰃭𞸢،󰄮󰄮󰄮𞹎=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹،󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹󰃬، لدينا 𞸢(٠،٠)، 𞸁(٤٤،٠)، 𞸌(٢٢،٥٫٦١). ومن هذا، نجد أن 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌=(٢٢،٥٫٦١)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=(٤٤،٠).

حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 هو: 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=󰍻٢٢٥٫٦١٤٤٠󰍻󰄮󰄮𞹏، حيث 󰄮󰄮𞹏 متجه الوحدة العمودي على مستوى المستطيل. 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=(٢٢×٠٤٤×٥٫٦١)󰄮󰄮𞹏=٦٢٧󰄮󰄮𞹏.

الطريقة الثانية:

معيار 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 يساوي ببساطة طول 𞸢𞸁؛ لذا، فهو يساوي ٤٤ سم.

تمثِّل النقطة 𞸌 منتصف أقطار المستطيل؛ ومن ثَمَّ، 𞸢𞸌=١٢𞸢󰏡، 𞸢󰏡=󰋴󰏡𞸁+𞸁𞸢٢٢ (تطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸁𞸢). ومن ثَمَّ، 𞸢𞸌=١٢󰋴٣٣+٤٤٢٢.

جيب الزاوية المحصورة بين 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 يُعطى بالعلاقة 󰏡𞸁󰏡𞸢=٣٣󰋴٣٣+٤٤٢٢. تُعَدُّ الإشارة السالبة نتيجة حقيقة أن الزاوية من 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌 إلى 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 في اتجاه دوران عقارب الساعة (زاوية سالبة) و(𝜃)=𝜃، أو بالنسبة إلى الأشخاص الذين يستخدمون زوايا موجبة فقط (عكس اتجاه دوران عقارب الساعة)؛ ومن ثَمَّ، تكون ٠٦٣󰌑𞸁𞸢󰏡، و(٠٦٣𝜃)=𝜃.

يمكننا الآن أن نكتب: 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=󰂔󰍼󰄮󰄮󰄮𞸢𞸌󰍼󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹𝜃󰂓󰄮󰄮𞹏=󰃭١٢󰋴٣٣+٤٤×٤٤×󰃭٣٣󰋴٣٣+٤٤󰃬󰃬󰄮󰄮𞹏=󰂔١٢×٤٤×٣٣󰂓󰄮󰄮𞹏=٦٢٧󰄮󰄮𞹏٢٢٢٢

عند استخدام الطريقة الثانية لحل المثال السابق، نلاحظ أهمية ترتيب المتجهات في الضرب الاتجاهي؛ لأن تغيير ترتيبها يعني تَغيُّر إشارة الزاوية، أو أنها تتغيَّر من 𝜃 إلى ٠٦٣𝜃 عندما يستخدم شخصٌ الزوايا الموجبة فقط. والنتيجة هي أن جيب الزاوية يُغيِّر الإشارة. وهذا يعني أن: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁×󰏡.

ويمكننا القول بأن الضرب الاتجاهي غير إبدالي.

الخاصية: عدم إبدالية الضرب الاتجاهي

الضرب الاتجاهي غير إبدالي: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁×󰏡.

نلقي نظرة الآن على المعنى الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي. بالنسبة إلى المتجهَيْن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، معيار حاصل ضربهما الاتجاهي هو: 󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃.

وبما أننا نهتم هنا بالقيمة المطلقة لـ 𝜃، إذن فلا داعي للقلق إذا كانت الزاوية من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁 أو من 󰄮󰄮𞸁 إلى 󰏡.

إذا وضعنا الشكل على دائرة الوحدة ذهنيًّا، فسنرى على الفور ما هي 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃.

نلاحظ أن 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃=𞸅𞸃.

في السياق الهندسي، يمثِّل 𞸅𞸃 ارتفاع متوازي الأضلاع الناشئ من 󰏡، 󰄮󰄮𞸁. ومن ثَمَّ، يكون 󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃 هو مساحة متوازي الأضلاع 𞸅󰏡𞸢𞸁.

مساحة المثلث 𞸅󰏡𞸁 تساوي نصف مساحة 𞸅󰏡𞸢𞸁. ويُستنتَج من ذلك أن مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لاثنين من المتجهات الثلاثة التي تكوِّن أضلاعه؛ أي: 󰏡𞸁𞸢=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁×󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡󰍼.

وبما أننا نهتم هنا بمعيار حاصل الضرب الاتجاهي، إذن ترتيب المتجهَيْن واتجاههما (󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 أو 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡) ليس مُهمًّا. لكننا اخترنا هنا أن نكتب المتجهات بدءًا من أحد رءوس المثلث لمساعدتنا على تصوُّر متوازي الأضلاع الناشئ من هذين المتجهَيْن والمثلث بوصفه نصف متوازي الأضلاع.

نستخدم معنى حاصل الضرب الاتجاهي في سياق هندسي في المثال الأخير.

مثال ٥: إيجاد مساحة مثلث بمعلومية رءوسه الثلاثة

أوجد مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢؛ حيث 󰏡(٨،٩)، 𞸁(٧،٨)، 𞸢(٩،٢).

الحل

معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن يساوي مساحة متوازي الأضلاع الناشئ منهما. ومساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع الناشئ من متجهَيْن معرَّفَيْن بواسطة رءوسهما: 󰏡𞸁𞸢=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁×󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡󰍼.

ومن ثَمَّ، فإن كلَّ ما علينا فعله هنا هو اختيار رأس واحد، على سبيل المثال 𞸢، وإيجاد مركبات المتجهَيْن من هذه النقطة، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، 󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=(٧٩،٨(٢))=(٦١،٦)،󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡=(٨٩،٩(٢))=(٧١،٧).

ومن ثم: وات󰏡𞸁𞸢=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁×󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡󰍼=١٢󰍻󰍻٦١٦٧١٧󰍻󰍻=١٢|٦١×(٧)(٧١)×(٦)|=١٢|٢١١٢٠١|=٥.

وحيث إنه لم تُعطَ وحدة طول محدَّدة للمستوى الإحداثي، نكتب «وحدات مربعة» لتوضيح أننا حسبنا المساحة.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى المتجهَيْن 󰏡=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑𞸎𞸑، 󰄮󰄮𞸁=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑𞸎𞸑 في المستوى الإحداثي 󰁓𞸅،󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰍾󰏡󰏡𞸁𞸁󰍾󰄮󰄮𞹏=󰁓󰏡𞸁𞸁󰏡󰁒󰄮󰄮𞹏=󰂔󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃󰂓󰄮󰄮𞹏،𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑 حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، والمتجهات 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 هي متجهات الوحدة المتعامدة.
  • حاصل الضرب الاتجاهي يتمتع بخاصية التوزيع:󰂔󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓×󰄮󰄮𞸢=󰏡×󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮𞸁×󰄮󰄮𞸢.
  • حاصل الضرب الاتجاهي غير إبدالي: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁×󰏡.
  • حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهَيْن على استقامة واحدة يساوي ٠؛ ومن ثَمَّ، 󰏡×󰏡=٠.
  • مساحة متوازي الأضلاع الناشئ من 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 تُعطى بالعلاقة 󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼. ويُستنتَج من ذلك أن مساحة المثلث الذي يُعرِّف 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ضلعين من أضلاعه تُعطى بالعلاقة ١٢󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.