نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في المستوى الإحداثي. سنبدأ بتعريف ما نعنيه بالضرب الاتجاهي. نعلم أن أي متجه له مقدار أو طول، وله اتجاه. وإحدى طرق ضرب متجهين هي استخدام الضرب الاتجاهي. وحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، الذي نكتبه بهذه الصورة: ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ، هو متجه آخر يكون زاوية قائمة مع كل منهما. ويمكننا ملاحظة ذلك في الشكل المرسوم.
سنتناول الآن المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي. مقدار حاصل الضرب الاتجاهي أو طوله يساوي مساحة متوازي أضلاع يمثل المتجهان ﺃ وﺏ ضلعين من أضلاعه. وهذا موضح في الشكل أمامنا. ومساحة متوازي الأضلاع وحاصل الضرب الاتجاهي يتغيران بتغير قياس الزاوية 𝜃. فحاصل الضرب الاتجاهي يساوي صفرًا عندما يشير المتجهان إلى الاتجاه نفسه أو في اتجاهين متعاكسين. ونحصل على القيمة العظمى لحاصل الضرب الاتجاهي عندما يكون المتجهان متعامدين. وهذا يعني أن المتجهين ﺃ وﺏ يكونان معًا زاوية قائمة.
لنر الآن كيف يمكننا استخدام هذه المعلومات في حساب حاصل الضرب الاتجاهي. يمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي كما يلي. ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي حاصل ضرب مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في جا 𝜃 في متجه الوحدة ﻱ. ونعلم أن مقداري المتجه ﺃ والمتجه ﺏ هما طولا هذين المتجهين. 𝜃 زاوية موجبة قياسها أقل من أو يساوي ١٨٠ درجة، محصورة بين المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. يكون متجه الوحدة ﻱ زاوية قائمة مع كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. ويكون اتجاه حاصل ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ عموديًا على مستوى المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، وباتجاه قاعدة اليد اليمنى.
تخيل أننا نلف مفكًا باليد اليمنى باتجاه ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. حين نفعل ذلك، ستلف أصابعنا مع اتجاه دوران ﺃ إلى ﺏ، كما هو موضح بالسهم في الشكل. وسنجد إصبع الإبهام يشير إلى اتجاه ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. إذن يمكننا استنتاج أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي حاصل ضرب طول المتجه ﺃ في طول المتجه ﺏ في جا 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين. ونضرب هذا الناتج بعد ذلك في متجه الوحدة ﻱ حتى يتجه نحو الاتجاه الصحيح.
سنتناول الآن بعض الأمثلة. في السؤال الأول، سنحسب حاصل الضرب الاتجاهي في مسألة تتضمن مربعًا.
إذا كان ﺃﺏﺟﺩ مربعًا طول ضلعه ٢٧ سنتيمترًا، وﻱ متجه وحدة عموديًا على مستواه، فأوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﺟﺃ.
في هذا السؤال، المطلوب منا هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي. ونعرف أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي حاصل ضرب مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في جا 𝜃 في متجه الوحدة ﻱ. 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. ومتجه الوحدة ﻱ يقع عموديًا على كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.
علمنا من المعطيات أن ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ٢٧ سنتيمترًا. وبما أن مقدار المتجه يساوي طوله، فإن مقدار المتجه ﺃﺏ يساوي ٢٧. علينا أيضًا أن نحسب مقدار المتجه ﺟﺃ. بما أن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث قائم، يمكننا فعل ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ طول أطول ضلع أو طول الوتر.
في هذا السؤال، لدينا مقدار ﺃﺏ تربيع زائد مقدار ﺏﺟ تربيع يساوي مقدار ﺟﺃ تربيع. ونعلم أن مقدار ﺃﺏ وﺏﺟ أو طولهما يساوي ٢٧. ٢٧ تربيع زائد ٢٧ تربيع يساوي ١٤٥٨. يمكننا بعد ذلك إيجاد الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة لكي نحصل على مقدار ﺟﺃ يساوي ٢٧ جذر اثنين.
في الخطوة التالية سنعيد رسم الشكل بحيث يكون ذيلا المتجهين أو نقطتا بدايتيهما عند النقطة نفسها. علينا حساب قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺟﺃ. وبما أن قطر المربع يقسم الزاوية القائمة نصفين، ونصف ٩٠ درجة هو ٤٥ درجة، فإن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ١٨٠ ناقص ٤٥ درجة. إذن قياس الزاوية المحصورة بين المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺟﺃ يساوي ١٣٥ درجة.
يمكننا الآن حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺟﺃ. ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﺟﺃ يساوي حاصل ضرب مقدار ﺃﺏ في مقدار ﺟﺃ في جا 𝜃 في متجه الوحدة ﻱ؛ لأن هذا هو متجه الوحدة العمودي على المستوى. بالتعويض بالقيم الموجودة لدينا، سنحصل على ٢٧ في ٢٧ جذر اثنين في جا ١٣٥ درجة في متجه الوحدة ﻱ. جا ١٣٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. علينا ضرب هذا الناتج في ٢٧، وفي ٢٧ جذر اثنين، وفي متجه الوحدة ﻱ. حاصل ضرب جذر اثنين في جذر اثنين مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. إذن يتبقى لدينا حاصل ضرب ٢٧ في ٢٧ في متجه الوحدة ﻱ. وهذا يساوي ٧٢٩ﻱ. إذن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﺟﺃ يساوي ٧٢٩ﻱ.
في السؤال الآتي، سنوجد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في مستطيل.
ﺃﺏﺟﺩ مستطيل حيث ﺟ متجه وحدة عمودي على مستواه. أوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺟﻡ والمتجه ﺟﺏ.
نتذكر هنا أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي حاصل ضرب مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في جا 𝜃 في متجه الوحدة ﻱ. 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين، ومتجه الوحدة ﻱ عمودي على المتجهين ﺃ وﺏ. عند التعامل مع شكل هندسي ثنائي الأبعاد، سيكون هذا المتجه عموديًا على المستوى.
في هذا السؤال، علينا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺟﻡ والمتجه ﺟﺏ. وبما أن مقدار أي متجه هو طوله، فإن مقدار ﺟﺏ يساوي ٤٤، بما أن طولي الضلعين ﺩﺃ وﺟﺏ في المستطيل يساويان ٤٤ سنتيمترًا. يمكننا أن نرى في الشكل أن مقدار المتجه ﺟﻡ يساوي نصف مقدار المتجه ﺟﺃ.
وبما أن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول ﺟﺃ. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ هو طول الضلع الأطول أو طول الوتر. مقدار المتجه ﺟﺏ تربيع زائد مقدار المتجه ﺏﺃ تربيع يساوي مقدار المتجه ﺟﺃ تربيع. بالتعويض بالقيم الموجودة لدينا في الشكل، سيكون علينا حساب ٤٤ تربيع زائد ٣٣ تربيع. وهذا يساوي ٣٠٢٥. وبحساب الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، سنجد أن مقدار المتجه ﺟﺃ يساوي ٥٥. طول قطر المستطيل من النقطة ﺟ إلى النقطة ﺃ يساوي ٥٥ سنتيمترًا. ونصف ٥٥ يساوي ٢٧٫٥. ومن ثم، فإن مقدار المتجه ﺟﻡ يساوي ٢٧٫٥.
علينا الآن حساب قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين، والتي سنسميها: 𝛼. يمكننا فعل ذلك باستخدام النسب المثلثية. نعرف أن جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر. طول ﺏﺃ يساوي ٣٣ سنتيمترًا، وطول ﺟﺃ يساوي ٥٥ سنتيمترًا. إذن جا 𝛼 يساوي ٣٣ على ٥٥. بقسمة البسط والمقام على ١١، يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة أخماس.
عند التعامل مع حاصل الضرب الاتجاهي، نقيس الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا أردنا حساب ﺟﺏ ضرب اتجاهي ﺟﻡ، فستكون الزاوية 𝜃 كما هي موضحة في الشكل؛ حيث جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. لكننا لا نريد حساب ذلك. نريد حساب ﺟﻡ ضرب اتجاهي ﺟﺏ. وهذا يعني أن الزاوية ستكون سالب 𝜃. نعلم أن دالة الجيب فردية، وهو ما يعني أن جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وهذا يعني أن قيمة جا 𝜃 في هذا المثال ستكون سالب ثلاثة أخماس.
يقودنا هذا إلى قاعدة مثيرة للاهتمام حول حاصل الضرب الاتجاهي. عملية ضرب المتجهات ليست عملية إبدالية. ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ لا يساوي ﺏ ضرب اتجاهي ﺃ. لكن بما أن دالة الجيب فردية، فإن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي سالب ﺏ ضرب اتجاهي ﺃ. هذا يعني أنه في هذا السؤال ﺟﻡ ضرب اتجاهي ﺟﺏ يساوي سالب ﺟﺏ ضرب اتجاهي ﺟﻡ.
باستخدام صيغة حاصل الضرب الاتجاهي، ﺟﻡ ضرب اتجاهي ﺟﺏ يساوي حاصل ضرب ٤٤ في ٢٧٫٥ في سالب ثلاثة أخماس في متجه الوحدة ﺟ. وهذا يساوي سالب ٧٢٦ﺟ.
في السؤال الأخير في هذا الفيديو، سنحسب مساحة مثلث باستخدام المتجهات.
أوجد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ حيث إحداثيا ﺃ هما سالب ثمانية، سالب تسعة؛ وإحداثيا ﺏ هما سالب سبعة، سالب ثمانية؛ وإحداثيا ﺟ هما تسعة وسالب اثنين.
يمكننا البدء برسم النقاط على شبكة إحداثية. لكن بما أن النقطتين ﺃ وﺏ كل منهما قريبة جدًا من الأخرى، فسيكون من الصعب رسمهما بدقة. ونتيجة لذلك، سنمثل المثلث بشكل تقريبي كما هو موضح.
نذكر أن مساحة أي مثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع؛ حيث أطوال أضلاع متوازي الأضلاع تساوي طولي ضلعين من أضلاع المثلث الثلاثة. ونذكر أن مساحة أي متوازي أضلاع تساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ.
في هذا السؤال، مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ. إذن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي نصف ذلك. ونعلم أن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي يساوي حاصل ضرب مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في قيمة جا 𝜃؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ.
إذن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي حاصل ضرب نصف في مقدار المتجه ﺏﺃ في مقدار المتجه ﺏﺟ في قيمة جا 𝜃. مقدار أي متجه يساوي طوله. ومن ثم مقدار المتجه ﺏﺃ يساوي الجذر التربيعي لسالب ثمانية ناقص سالب سبعة الكل تربيع، زائد سالب تسعة ناقص سالب ثمانية الكل تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين.
يمكننا تكرار هذه العملية لحساب مقدار المتجه ﺏﺟ. وهو يساوي تسعة ناقص سالب سبعة الكل تربيع، زائد سالب اثنين ناقص سالب ثمانية الكل تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩٢، أي اثنين جذر ٧٣.
لكي نحسب قياس الزاوية 𝜃 في المثلث، علينا أولًا إيجاد طول ﺃﺟ، ثم استخدام قاعدة جيب التمام. طول ﺃﺟ يساوي مقدار المتجه ﺃﺟ. وهذا يساوي الجذر التربيعي لتسعة ناقص سالب ثمانية الكل تربيع، زائد سالب اثنين ناقص سالب تسعة الكل تربيع. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٣٨، أي ١٣ جذر اثنين.
تنص قاعدة جيب التمام على أن جتا ﺏ يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺏ شرطة تربيع، الكل مقسوم على اثنين ﺃﺟ. في هذا السؤال، أطوال الأضلاع ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة تساوي اثنين جذر ٧٣، و١٣ جذر اثنين، وجذر اثنين، بالترتيب. والزاوية ﺏ هي الزاوية 𝜃 التي نحاول حسابها. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن جتا 𝜃 يساوي اثنين جذر ٧٣ تربيع زائد جذر اثنين تربيع ناقص ١٣ جذر اثنين تربيع، الكل مقسوم على اثنين مضروب في اثنين جذر ٧٣ مضروبًا في جذر اثنين.
بكتابة الطرف الأيسر للمعادلة على الآلة الحاسبة، نحصل على سالب ٠٫٩١٠٣، وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا بعد ذلك حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة؛ حيث 𝜃 تساوي ١٥٥٫٥٥٦، وهكذا مع توالي الدرجات.
الآن يمكننا التعويض بهذه القيم في معادلتنا لحساب مساحة المثلث. من المهم في هذه المرحلة ألا نقرب قياس الزاوية ١٥٥٫٥٥٦، وهكذا مع توالي الدرجات. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج خمسة. وعليه، فإن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي خمس وحدات مربعة.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. علمنا في هذا الفيديو أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يصنع متجهًا آخر. لكن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي هذا كمية قياسية. ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في جا 𝜃 في متجه الوحدة ﻱ؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃ وﺏ. مقدار حاصل الضرب الاتجاهي يساوي مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في قيمة جا 𝜃. وهذا يساوي أيضًا مساحة متوازي أضلاع يمثل المتجه ﺃ والمتجه ﺏ ضلعين من أضلاعه.
ونعرف أنه يمكن تقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين في الأبعاد. ومن ثم، فإن مساحة المثلث تساوي نصف مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ. وأخيرًا، رأينا أن الضرب الاتجاهي ليس إبداليًا. لكن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي سالب ﺏ ضرب اتجاهي ﺃ.
