نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، موضوعنا هو طاقة الحركة. وهي الطاقة التي تنتج عن حركة الأجسام. سنتعلم أن طاقة الحركة تعتمد على متغيرين: كتلة الجسم، وسرعة الجسم؛ كما في حالة هذه الشاحنة. إذا كان كل من هاتين القيمتين لا يساوي صفرًا، بعبارة أخرى إذا كان للجسم كتلة، ويتحرك بسرعة، ففي هذه الحالة، تكون للجسم طاقة ناتجة عن حركته تسمى طاقة الحركة. بمعرفة ذلك، إذا كان لدينا جسم له كتلة معينة، ويتحرك بالسرعة 𝑣، فيمكننا أن نكتب طاقة حركة هذا الجسم على هذا النحو. طاقة حركة الجسم تساوي نصف كتلته مضروبة في مربع سرعته. بالنظر إلى هذه المعادلة، قد تلاحظ شيئًا مميزًا، وهو أن سرعة الجسم مربعة في حين أن كتلته ليست كذلك. وسنعرف السبب في ذلك لاحقًا. ولكن، في الوقت الحالي، من المفيد أن نعرف كيف يؤثر هذا الاختلاف على طاقة الحركة للأجسام المختلفة.
على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا جسمًا تبلغ كتلته ضعف كتلة الجسم الأول، ولكنه يتحرك بسرعته تمامًا. باستخدام معادلة طاقة الحركة، يمكننا أن نكتب الطاقة الناتجة عن حركة كل من هذين الجسمين. بالنسبة للجسم الأكبر، تساوي طاقة الحركة نصف كتلته في اثنين 𝑚 في 𝑣 تربيع، في حين أنها بالنسبة للجسم الأصغر تساوي نصف 𝑚𝑣 تربيع. إذن، بالنسبة للجسم الأكبر، نلاحظ أننا نحذف الاثنين مع النصف. يعني هذا أن طاقة الحركة، الطاقة الناتجة عن حركة الجسم ذي الكتلة الأكبر، تساوي ضعف طاقة حركة الجسم ذي الكتلة الأصغر. والآن، تذكر أن هذا ينطبق عندما تكون سرعتا الكتلتين متطابقتين.
الآن، لنتخيل أننا أضفنا كتلة متحركة ثالثة إلى هذا النظام. هذا الجسم له كتلة الجسم الأول نفسها. ولكنه يتحرك بسرعة تبلغ ضعف سرعة الجسم الأول. إذا حسبنا قيمة طاقة الحركة لهذا الجسم الثالث، فستساوي الطاقة نصف كتلته 𝑚 مضروبة في سرعته، التي تبلغ اثنين في 𝑣 الكل تربيع. ولاحظ، حيث إن العدد اثنين وكذلك 𝑣 موجودان بين هذين القوسين، فهذا يعني أننا نوجد مربع كل من الحدين. إذ نوجد مربع الاثنين ومربع 𝑣. مربع الاثنين هو أربعة. ومربع 𝑣 هو 𝑣 تربيع. إذن، تصبح معادلة طاقة الحركة للجسم الثالث نصف 𝑚 في أربعة 𝑣 تربيع، أو لنكتبها بصورة أكثر تبسيطًا: اثنان في 𝑚𝑣 تربيع. لنتوقف قليلًا لنقارن هذه النتيجة مع طاقة حركة الجسم الأول، والجسم الذي تبلغ كتلته ضعف كتلة الجسم الأول.
أولًا، لاحظ أن هذه النتيجة التي حصلنا عليها للتو تساوي أربعة أمثال طاقة حركة الجسم الأول. إذن، توصلنا إلى أنه عبر مضاعفة السرعة، فإننا نزيد طاقة الحركة بمقدار أربعة أمثال، أي نضربها في أربعة. أضف إلى ذلك أننا إذا قارنا هذه النتيجة النهائية بطاقة الحركة للكتلة اثنين 𝑚، فسنلاحظ أنها أكبر بمقدار الضعف. يؤكد لنا هذا أننا إذا أردنا زيادة طاقة حركة أحد الأجسام، يمكننا تحقيق ذلك بدرجة أكبر من خلال زيادة السرعة مقارنة بزيادة الكتلة. ويرجع السبب في ذلك إلى الصيغة الأصلية لمعادلة طاقة الحركة؛ حيث تكون سرعة الجسم مربعة. ولكن الكتلة ليست كذلك. وبعد أن تعرفنا على المقصود بمعادلة طاقة الحركة، لنتعرف على كيفية التوصل إلى هذه المعادلة. سيساعدنا هذا على معرفة السبب في أن طاقة حركة الجسم تساوي نصف كتلته في مربع سرعته.
لمساعدتنا على فهم ذلك، تخيل الموقف الآتي. لنفترض أن لدينا جسمًا كتلته 𝑚 موضوع على سطح أملس تمامًا. في البداية، يكون هذا الجسم في وضع السكون. هذا يعني أنه لا يتحرك. إذن، يمكننا أن نقول إن سرعته الابتدائية، سنطلق عليها 𝑣𝑖، تساوي صفرًا. لكن، بعد ذلك، بدأنا في بذل قوة، سنطلق على هذه القوة 𝐹، على الجسم، ما يدفعه نحو اليمين بانتظام. عند دفع الجسم بهذه القوة الثابتة، يبدأ الجسم بالتحرك نحو اليمين. لنفترض أننا أخذنا لقطة أخرى للجسم لحظة وصوله إلى هنا. ولنفترض أيضًا أنه في لحظة وصوله إلى هذه النقطة، يتحرك الجسم بسرعة، سنطلق عليها 𝑣𝑓، وهي السرعة النهائية، وتحدث عجلة من السرعة الابتدائية التي تساوي صفرًا إلى السرعة النهائية في خلال فترة زمنية سنطلق عليها 𝑡. ستساعدنا هذه المقدمة، أي تسمية جميع المتغيرات ووصف النظام، على اشتقاق معادلة طاقة الحركة، وذلك لكي نعرف سبب كتابتها بهذه الصيغة.
لتحقيق ذلك، أي للتوصل إلى معادلة طاقة الحركة، لن نبدأ بالحديث عن الطاقة. بل سنبدأ بالحديث عن الشغل. تذكر أن الشغل المبذول على الجسم يساوي القوة المؤثرة على الجسم مضروبة في المسافة التي قطعها هذا الجسم. فيما يتعلق بالقوة المستخدمة هنا، 𝐹، يمكن أن نلاحظ في هذه الحالة وجود قوة 𝐹 تدفع الجسم بالفعل. علاوة على ذلك، نلاحظ أن هذه القوة مسئولة عن إكساب الجسم عجلة؛ حيث إنه يبدأ بسرعة صفر، وينتهي بسرعة معينة، 𝑣𝑓. هذا يعني أننا نؤثر بقوة على كتلة. ما يكسبها عجلة. يذكرنا هذا بأحد قوانين نيوتن للحركة، وهو القانون الثاني. ينص هذا القانون على أن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي كتلته مضروبة في عجلته. بموجب هذا القانون الثاني، يمكننا استبدال القوة 𝐹 في معادلة الشغل بكتلة الجسم مضروبة في عجلته. إذن الشغل يساوي 𝑚 في 𝑎 في 𝑑، أو 𝑚𝑎𝑑.
الآن، سوف نغير من شكل هذه المعادلة الطريفة لأننا بصدد التعويض عن العجلة 𝑎 فيها. وسنوضح الآن كيف نفعل ذلك. لنتذكر تعريف العجلة. العجلة هي التغير في السرعة خلال فترة زمنية معينة. هناك طريقة أخرى لكتابة هذا وهي أن نقول إنها تساوي السرعة النهائية، 𝑣𝑓، ناقص السرعة الابتدائية، 𝑣𝑖، مقسومة على 𝑡. تعتبر هذه الطريقة لكتابة العجلة مفيدة لأن لدينا في هذه الحالة سرعة نهائية. لدينا سرعة ابتدائية. ولدينا كذلك زمن. ما سنفعله بعد ذلك هو التعويض عن هذه العجلة 𝑎 بـ 𝑣𝑓 ناقص 𝑣𝑖 مقسومة على 𝑡. وقبل أن نفعل ذلك، يمكننا تبسيط عملية التعويض هذه أكثر من ذلك. تذكر أن 𝑣𝑖، السرعة الابتدائية، تساوي صفرًا. وعندما نعوض عن 𝑣𝑖 في هذا التعبير بصفر، يبسط هذا التعبير إلى 𝑣𝑓 على 𝑡. وهذا ما سنعوض به عن 𝑎 في معادلة الشغل.
لقد أحرزنا تقدمًا رائعًا. ولسنا بعيدين كثيرًا عن الوصول إلى معادلتنا النهائية لطاقة الحركة. لاحظ أن لدينا الحدين 𝑚 و𝑣 في معادلة الشغل بالفعل. ولكن، يظل أمامنا المزيد لفعله. ويتضمن هذا الحد، المسافة 𝑑. لاحظ أنه لا توجد لدينا مسافة 𝑑 في هذه الحالة. ولكن، لدينا سرعتان 𝑣𝑓 و𝑣𝑖، وكذلك زمن 𝑡. لذا، إليك ما يمكننا فعله. لنتذكر أن السرعة المتوسطة لجسم ما، سنرمز لها بحرف 𝑣 مع وضع شرطة أفقية فوقه، هذه الشرطة تعني «متوسطًا»، وتساوي الإزاحة الكلية للجسم، وسنسميها 𝑑، مقسومة على الزمن الذي يستغرقه الجسم ليقطع هذه الإزاحة. لنفكر الآن للحظة في السرعة المتوسطة؛ حيث إنها ترتبط في هذه الحالة بالتحديد بالجسم الذي يتحرك على السطح.
ما لدينا هو جسم يبدأ في حالة سكون. ويصل إلى سرعة معينة، أطلقنا عليها 𝑣𝑓. والأكثر من هذا أن لدينا قوة ثابتة 𝐹 تدفع هذا الجسم لتكسبه عجلة بمعدل ثابت ليتحرك جهة اليمين. تعني حقيقة أن القوة التي تدفع الجسم ثابتة أن عجلة الجسم ستكون ثابتة أيضًا. خلال الفترة الزمنية التي يستغرقها الجسم للتحرك من اليسار إلى اليمين، تزداد سرعته بمعدل ثابت. يعني هذا أنه يمكننا في هذه الحالة كتابة السرعة المتوسطة للجسم بهذه الطريقة. يمكننا أن نقول إنها تساوي مجموع السرعتين الابتدائية والنهائية للجسم مقسومًا على اثنين. ما نفعله هنا في الأساس هو حساب متوسط عددين. أحد العددين هو 𝑣𝑓. والآخر 𝑣𝑖. لحساب المتوسط، نجمع العددين معًا. ثم نقسمهما على اثنين.
ولاحظ أنه يمكننا، مثل الحالة السابقة، تبسيط هذا التعبير قليلًا، لأننا نعرف أن هذا الحد، 𝑣𝑖، يساوي صفرًا. لذا فإن السرعة المتوسطة للجسم تساوي 𝑣𝑓 على اثنين. بناء على ذلك، وباستخدام هذه المعادلة العامة للسرعة المتوسطة، يمكننا القول إن 𝑣𝑓 مقسومة على اثنين تساوي 𝑑 مقسومة على 𝑡. تذكر أن هذا هو الطرف الأيمن من هذه المعادلة هنا. إذن، لنحذف هذه السرعة المتوسطة. ومن ثم سنلاحظ أن المعادلة التي تبقت تتضمن القيم المعطاة لنا، 𝑣𝑓 و𝑡، والقيمة التي نرغب في حل المعادلة للحصول عليها، المسافة 𝑑. إذا واصلنا العمل الآن وضربنا طرفي هذه المعادلة في الزمن 𝑡، فسنتمكن من حذف هذا الحد من الطرف الأيمن من المعادلة. والآن، أصبحت لدينا معادلة تعبر عن المسافة التي يقطعها الجسم تتضمن القيم المعطاة، 𝑣𝑓 و𝑡. وبالطبع، لدينا نصف هنا أيضًا.
إذن، لنأخذ هذا المقدار على الطرف الأيسر ونعوض به عن 𝑑 في معادلة الشغل. عندما نقوم بذلك، لاحظ ما يحدث. لدينا العامل 𝑡 هنا في المقام، والعامل 𝑡 هنا في البسط. يعني ذلك أنه عندما نجري عملية الضرب، يحذف هذان العاملان. والآن، ألق نظرة على هذا. الشغل المبذول على الجسم يساوي 𝑚 في مربع السرعة النهائية على اثنين. بطريقة أخرى، هذا يساوي نصف كتلته مضروبة في مربع سرعته النهائية. تتبقى لنا خطوة أخيرة لربط معادلة الشغل بمعادلة طاقة الحركة.
النقطة الأساسية هي إدراك أن الشغل الذي نبذله على هذا الجسم لزيادة سرعته من السرعة الابتدائية صفر إلى السرعة النهائية 𝑣𝑓 هو عبارة عن الطاقة المنتقلة إلى الجسم من مصدر خارجي يولد القوة 𝐹، أيًا كان هذا المصدر. ولكننا نعلم أن الطاقة محفوظة. إذا نقلنا طاقة إلى الجسم، فيجب أن تتحول هذه الطاقة إلى صورة ما. وهنا تتحول إلى طاقة ناتجة عن حركة الجسم. هذا يعني أنها تتحول إلى طاقة حركة. إذن، الشغل المبذول على الجسم بواسطة مصدر خارجي هو نقل للطاقة إلى الجسم، ما يكسبه حركة، ومن ثم طاقة حركة. بعبارة أخرى، الشغل المبذول على الجسم يساوي طاقة الحركة الناتجة. وهذا يرجع إلى قانون حفظ الطاقة.
من خلال معرفة ذلك، نربط بين الشغل وطاقة الحركة ومن ثم يمكننا معرفة أن المعادلة الرياضية لطاقة الحركة هي نفسها معادلة الشغل المبذول. وبالمناسبة، وضع 𝑣 في معادلة طاقة الحركة هو مجرد طريقة أعم لكتابة 𝑣𝑓 الموجودة في معادلتنا للشغل، لذلك فإن كلا الحدين في المعادلتين متساويان. أصبحنا الآن نعلم سبب وجود نصف في هذه المعادلة، وسبب تربيع قيمة 𝑣 وعدم تربيع قيمة 𝑚. وأصبحنا نعلم أن المفهوم الأساسي وراء هذه المعادلة هو مفهوم الشغل في الفيزياء. كما عرفنا أن هناك علاقة وثيقة بين طاقة الحركة والشغل. في هذه المرحلة، لنتدرب قليلًا على استخدام هذه العلاقة عبر مثال.
جسم كتلته 1.25 كيلوجرام، وسرعته 12 مترًا لكل ثانية. ما طاقة حركة الجسم؟
حسنًا، في هذه الحالة، لدينا هذا الجسم. وقيل لنا إن له كتلة، سنطلق عليها 𝑚، تبلغ 1.25 كيلوجرام. كما أنه يتحرك بسرعة معينة. هذه السرعة، وسنطلق عليها 𝑣، تساوي 12 مترًا لكل ثانية. نريد إيجاد قيمة طاقة الحركة لهذا الجسم، أي الناتجة عن حركته. وللقيام بذلك، يمكننا تذكر العلاقة الرياضية لطاقة الحركة. طاقة حركة الجسم تساوي نصف كتلته مضروبة في مربع سرعته. إذن طاقة حركة الجسم، سنطلق عليها KE، تساوي نصف كتلته، 1.25 كيلوجرام، مضروبة في مربع سرعته، 12 مترًا لكل ثانية. لاحظ أن الوحدتين الأساسيتين لقياس الكتلة والسرعة هما: الكيلوجرام، والمتر لكل ثانية. هذا يعني أن كل شيء جاهز لكي نبدأ. يمكننا إجراء عملية الضرب على الطرف الأيمن من هذه المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على الناتج 90 كيلوجرام متر تربيع لكل ثانية تربيع أو 90 جول. وهذا مقدار طاقة حركة الجسم.
لننظر الآن إلى مثال آخر يتضمن طاقة الحركة.
يتحرك جسم طاقة حركته تسعة جول بسرعة ثلاثة أمتار لكل ثانية. ما كتلة الجسم؟
حسنًا، في هذه الحالة، لدينا جسم. لنفترض أنه هذا الصندوق. وقيل لنا إن هذا الصندوق في حالة حركة؛ إذ يتحرك بسرعة، سنطلق عليها 𝑣، قيمتها ثلاثة أمتار لكل ثانية. وبسبب هذه الحركة، تبلغ طاقة حركة الجسم تسعة جول. بناء على هذه المعلومات، نرغب في إيجاد كتلة الجسم، سنطلق عليها 𝑚. ولكي نبدأ بخطوات الحل، لنتذكر معادلة طاقة الحركة لجسم بدلالة كتلته وسرعته. طاقة الحركة تساوي نصف 𝑚𝑣 تربيع. والآن، في حالتنا هذه، لا نريد إيجاد طاقة الحركة، بل الكتلة 𝑚.
للقيام بذلك، بداية من هذه المعادلة، يمكننا أن نبدأ أولًا بضرب طرفي المعادلة في اثنين، والذي يجعلنا نحذف الاثنين مع النصف في الطرف الأيمن من المعادلة. ثم ثانيًا، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على 𝑣 تربيع، أي مربع سرعة هذا الجسم. يمكننا ذلك من حذف هذا الحد أيضًا من طرف المعادلة الأيمن. وبناء على معادلتنا الأصلية، فكتلة الجسم تساوي ضعف طاقة حركته مقسومة على مربع سرعته. وهذا يعيدنا إلى إيجاد كتلة هذا الجسم. تساوي كتلة هذا الجسم ضعف طاقة حركته، والتي تبلغ تسعة جول، مقسومة على مربع سرعته، التي تبلغ ثلاثة أمتار لكل ثانية الكل تربيع. والآن، بالنظر إلى المقام، ولأن هذه السرعة التي تبلغ ثلاثة أمتار لكل ثانية موضوعة بين قوسين ومربعة، فهذا يعني أن نطبق التربيع على العدد ثلاثة، وعلى وحدة القياس أيضًا، والتي هي متر لكل ثانية. وما نحصل عليه هو هذا الناتج، تسعة أمتار مربعة لكل ثانية مربعة.
بعد ذلك، إذا نظرنا إلى البسط، نعلم أن اثنين في تسعة جول يساوي 18 جول. ولكن، لنلق نظرة على وحدة الجول. تذكر أن الجول الواحد يساوي نيوتن واحدًا مضروبًا في متر واحد. وعلاوة على ذلك، يساوي النيوتن الواحد كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة. بإجراء هذا التعويض، نلاحظ أنه يمكن كتابة الجول في صورة كيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. ولكن، بعد إجراء هذا التعويض، لاحظ الآتي. لدينا متر مربع مقسوم على ثانية مربعة في كل من بسط هذا الكسر ومقامه. إذن، عندما نحسب قيمة هذا الكسر، فإننا نحذف هاتين الوحدتين معًا. ولن يتبقى لنا سوى وحدات الكيلوجرام. بمعرفة ذلك، وبناء على حقيقة أن 18 على تسعة يساوي اثنين، نحصل على إجابتنا النهائية، وهي كيلوجرامان. هذه كتلة الجسم.
لنلخص الآن ما تعلمناه في هذا الدرس. أولًا، تعلمنا أن طاقة الحركة هي طاقة يكتسبها الجسم نتيجة لحركته. يجب أن يتحرك الجسم بسرعة لا تساوي صفرًا لكي يكتسب طاقة حركة. بكتابتها في صورة معادلة، تساوي طاقة الحركة نصف كتلة الجسم مضروبة في مربع سرعته. تعني صيغة هذه المعادلة أننا إذا ضاعفنا كتلة الجسم، الذي له طاقة حركة، فإننا نضاعف من طاقة حركته. لكن إذا ضاعفنا سرعته، فإننا نضاعف طاقة حركته مرتين، أي إنها تزيد بمقدار أربعة أمثال. وأخيرًا، أثناء استنتاج معادلة طاقة الحركة بناء على معادلة الشغل، وجدنا أن طاقة حركة الجسم تساوي الشغل المبذول على هذا الجسم لكي تزداد سرعته من وضع السكون.
مصر
المملكة العربية السعودية
