شارح الدرس: طاقة الحركة الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب طاقة حركة أجسام ذات كتل مختلفة تتحرَّك بسرعات مختلفة.

طاقة الحركة (KE) هي الطاقة التي يكتسبها الجسم نتيجةً لحركته. تزداد طاقة الحركة بزيادة كتلة الجسم وسرعته، وإذا لم يكُن الجسم يتحرَّك، فلن تكون له طاقة حركة.

نتناول مثالًا على حساب طاقة الحركة لبطيخة قُذِفت في فراغ؛ حيث تأثير الجاذبية والاحتكاك مهملان. كتلة البطيخة تساوي 10 kg، وهي تتحرَّك إلى اليمين بسرعة ثابتة مقدارها 10 m/s.

بالتعويض بقيمتَي الكتلة والسرعة في معادلة طاقة الحركة، نحصل على:

لاحِظ أن السرعة في المعادلة مربعة. وهذا يعني أن السرعات السالبة تصبح موجبة بعد تربيعها. ومع استحالة أن تكون الكتلة سالبة، يعني هذا أن طاقة الحركة تكون موجبة دائمًا، وهو ما يجعلها كمية قياسية.

وتربيع السرعة يعني أيضًا أن وحدة القياس تكون مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة (m²/s²). لكن عند ضربها في كيلوجرام، نحصل على ، وهي وحدة الطاقة في النظام الدولي للوحدات: جول. وبإجراء العملية الحسابية (ولا ننسى وضع المعامل قبل القوسين)، نلاحِظ أن طاقة حركة هذه البطيخة تساوي:

نلاحظ أن زيادة الكتلة أو السرعة تزيد طاقة الحركة، لكن السرعة مربعة. وهذا يعني أن مضاعفة الكتلة تزيد طاقة الحركة إلى الضعف، لكن مضاعفة السرعة تزيد الطاقة إلى أربعة أمثالها. هيا نوضِّح ذلك باستخدام المزيد من البطيخ. مقارنةً بالبطيخة السابقة، يكون للبطيخة الموجودة على اليسار نفس السرعة وضعف الكتلة، وللبطيخة الموجودة على اليمين نفس الكتلة وضعف السرعة.

نقارِن بين طاقتَي الحركة لكلٍّ منهما، بدءًا بالبطيخة الكبيرة الموجودة على اليسار. كتلة البطيخة الكبيرة 20 kg، وسرعتها 10 m/s. بالتعويض بالقيمتين في المعادلة، نحصل على: وهي تساوي:

ومن ثَمَّ، فإن البطيخة الكبيرة لها طاقة حركة تساوي 1‎ ‎000 J؛ أي ضعف طاقة الحركة للبطيخة الأصلية، 500 J.

والآن، نُلقي نظرة على البطيخة الصغيرة الموجودة على اليمين. كتلتها تساوي 10 kg، وسرعتها تساوي 20 m/s. وبالتعويض بهاتين القيمتين في هذه المعادلة، نحصل على: وهي تساوي:

طاقة حركة البطيخة الصغيرة تساوي 2‎ ‎000 J؛ أي أربعة أمثال طاقة الحركة للبطيخة الأصلية، 500 J. نُلقي نظرة على مثال.

مثال ١: إيجاد طاقة الحركة بمعلومية الكتلة والسرعة

جسم كتلته 1.25 kg، وسرعته 12 m/s. ما طاقة حركة الجسم؟

الحل

نُلقي نظرة على معادلة طاقة الحركة مرةً أخرى:

كتلة الجسم تساوي 1.25 kg، وسرعته تساوي 12 m/s. نعوِّض بهذه القيم في المعادلة: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

ولا تنسَ المعامل قبل القوسين عند إجراء عمليات الضرب! إذن طاقة حركة الجسم تساوي 90 J.

أحيانًا تُعطينا المسألة طاقة الحركة مباشرةً، لكنها تسأل عن متغيِّر آخر. في هذه الحالات، من الضروري استخدام الطرق الجبرية لعزل المتغيِّر. نُلقي نظرة على بطيخة أخرى، لكن هذه المرة بمعلومية طاقة الحركة والسرعة فقط.

إذن مهمتنا هي إيجاد الكتلة. أصبح من الضروري إعادة كتابة معادلة طاقة الحركة؛ لذا، هيا نرَ طريقة فعل ذلك، ونبدأ بالمعادلة الأساسية:

نريد أن نجعل الكتلة في طرفٍ بمفردها. يمكننا البدء بضرب كلا الطرفين في 2 لنحذف المعامل من الطرف الأيمن: ويمكن تبسيط ذلك إلى:

نحتاج بعد ذلك إلى التخلُّص من في الطرف الأيمن. ويمكن فعل ذلك بقسمة الطرفين على كالآتي:

عند قسمة على نفسها تساوي واحدًا في الطرف الأيمن، ويتبقَّى لدينا فقط :

والآن يمكننا البدء بالتعويض في المعادلة بالمتغيِّرات المعلومة. نحن نعلم أن طاقة الحركة تساوي 800 J، والسرعة تساوي m/s، إذن تكون المعادلة كالآتي:

وبالرغم من أن السرعة سالبة، فإن التربيع يلغي الإشارة السالبة ويجعلها موجبة. ويُطبَّق التربيع أيضًا على وحدة السرعة، فتتحوَّل وحدة m/s إلى m²/s²:

نُوجِد حاصل ضرب 2، وقيمة طاقة الحركة في البسط:

ويمكن التعبير عن الوحدة جول أيضًا على الصورة :

وبما أن لدينا m²/s² في كلٍّ من البسط والمقام، إذن يلغي كلٌّ منهما الآخر، وتتبقَّى وحدة kg فقط. يمكننا الآن القسمة بسهولة، لنحصل على:

كتلة البطيخة تساوي 6.25 kg.

نُلقي نظرة على مثال آخر.

مثال ٢: إيجاد الكتلة بمعلومية طاقة الحركة والسرعة

يتحرَّك جسم طاقة حركته 9 J بسرعة 3 m/s. ما كتلة الجسم؟

الحل

نريد إيجاد كتلة الجسم بمعلومية طاقة حركته وسرعته. في المثال السابق، حصلنا على الكتلة من معادلة طاقة الحركة كالآتي:

طاقة حركة الجسم تساوي 9 J، والسرعة تساوي 3 m/s. نعوِّض بهاتين القيمتين في المعادلة، لنحصل على:

وبإجراء العمليات الحسابية، نحصل على:

ووحدة جول تكافئ ، وهذا يعني أن m²/s² تُحذف من الطرف الأيسر من المعادلة نتيجةً للقسمة، ليتبقَّى kg. إذن تكون المعادلة النهائية هكذا:

كتلة الجسم تساوي 2 kg.

في أحيان أخرى، تُعطينا المسألة طاقة الحركة والكتلة، وليس السرعة. لإيجاد السرعة من المعادلة نحتاج إلى بعض الخطوات الإضافية مقارنةً بخطوات إيجاد الكتلة؛ لوجود جذر تربيعي يتعيَّن علينا التعامل معه.

لا يمكن الحل لإيجاد قيمة : يجب إيجاد قيمة بمفرده، وهو ما يتطلَّب حساب الجذر التربيعي لجعله فقط. هيا نُلقِ نظرة على بطيخة أخرى لنعرف كيف يمكن فعل ذلك.

نعرف أن طاقة حركة هذه البطيخة تساوي 1‎ ‎080 J، وكتلتها 15 kg، لكن لا نعرف سرعتها. نبدأ بكتابة معادلة طاقة الحركة مرةً أخرى:

نحن نريد بمفردها في أحد طرفَي المعادلة؛ لذا، يمكننا أن نبدأ بالتخلُّص من الحد في الطرف الأيمن بضرب الطرفين في 2: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

بقسمة الطرفين على نتخلَّص من في الطرف الأيمن: ما يُصبح:

مهلًا، لم ننتهِ بعدُ! مرةً أخرى، لا يمكننا اعتبار هي السرعة؛ إذ يجب التخلُّص من التربيع. وما يتعيَّن علينا فعله هو أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:

يَحذف الجذر التربيعي التربيع فوق ، وهو ما يجعل المعادلة:

والآن، يمكننا التعويض بقيمتَي طاقة الحركة والكتلة في المعادلة لإيجاد السرعة. طاقة حركة هذه البطيخة تساوي 1‎ ‎080 J، وكتلتها تساوي 15 kg:

نأخذ حاصل ضرب المعامل 2 وطاقة الحركة. علينا أيضًا إفراد وحدة جول، :

وتُعطينا القسمة:

وهذا يترك لنا الوحدات m²/s²:

عند أخذ الجذر التربيعي، نتخلَّص من تربيع الوحدات أيضًا، ويتبقَّى لنا m/s؛ وحدة السرعة:

إذن سرعة هذه البطيخة تساوي 12 m/s.

نُلقي نظرة على مثال آخر.

مثال ٣: إيجاد السرعة بمعلومية الكتلة وطاقة الحركة

طاقة حركة جسم 75 J، وكتلته 1.5 kg. ما سرعة هذا الجسم؟

الحل

بما أننا نسعى لإيجاد سرعة الجسم، إذن علينا جعلها في طرف بمفردها في معادلة طاقة الحركة. لقد فعلنا ذلك في المثال السابق، وحصلنا على المعادلة:

هذا الجسم له طاقة حركة تساوي 75 J، وكتلة تساوي 1.5 kg. نعوِّض بهاتين القيمتين في المعادلة، لنحصل على:

وحدة جول تكافئ الوحدات . وبما أن جميع وحدات طاقة الحركة والكتلة موجودة داخل الجذر التربيعي، إذن يمكن حذف وحدتَي kg من داخل الجذر، ويتبقَّى فقط m²/s². هيا أيضًا نضرب المعامل 2 داخل الجذر التربيعي:

بأخذ الجذر التربيعي لـ m²/s²، نحصل على m/s؛ هذه بالضبط وحدة قياس السرعة. إذن:

سرعة الجسم تساوي 10 m/s.

تَستخدم معادلة طاقة الحركة كميتين شائعتين في معادلات الحركة العامة؛ وهما السرعة والكتلة. ويشيع في الفيزياء ربط هاتين الكميتين بمعادلات أخرى أو بين الأجسام المختلفة، نظرًا لشيوع هاتين الكميتين.

لاحظ البطيختين الآتيتين.

للبطيخة الكبيرة كتلة وسرعة معلومتان (من ثَمَّ يمكن إيجاد طاقة حركتها)، لكن البطيخة الصغيرة نعلم سرعتها فقط. ولكن، لدينا علاقة أخرى: طاقة حركة البطيخة الصغيرة تساوي ثلاثة أمثال طاقة حركة البطيخة الكبيرة.

يمكننا استخدام هذه العلاقة لإيجاد طاقة الحركة؛ ومن ثَمَّ كتلة البطيخة الصغيرة! نكتب العلاقة في صورة معادلة: حيث طاقة الحركة للبطيخة الكبيرة، طاقة الحركة للبطيخة الصغيرة.

لاحِظ أن طاقة حركة البطيخة الصغيرة ثلاثة أمثال طاقة حركة البطيخة الكبيرة، وهذا يكافئ أن للبطيخة الكبيرة طاقة حركة البطيخة الصغيرة. إذن يمكننا كتابة المعادلة على الصورة:

يمكننا حينئذٍ إيجاد طاقة حركة البطيخة الكبيرة ووضعها في المعادلة المناسبة. وفيما يلي معادلة طاقة الحركة للبطيخة الكبيرة:

كتلة البطيخة الضخمة الكبيرة تساوي 40 kg، وسرعتها تساوي 6 m/s. نعوِّض بهاتين القيمتين في المعادلة كالآتي:

نضرب في 40 kg، ونحسب 6 m/s تربيع، وهو ما يُعطينا المعادلة:

بضرب هذه القيم، نحصل على طاقة الحركة بوحدة جول:

إذن طاقة حركة البطيخة الكبيرة، ، تساوي 720 J. يمكننا التعويض بذلك في المعادلة الأولى كالآتي: فنحصل على:

ونحن نعلم طاقة حركة البطيخة الصغيرة، 2‎ ‎160 J! كلُّ ما علينا فعله الآن هو الحل لإيجاد كتلتها. معادلة طاقة الحركة لها هي:

نضرب كلا الطرفين في 2 لحذف المعامل :

بعد ذلك، نقسم الطرفين على لحذف من الطرف الأيمن:

والآن، نعوِّض بقيمتَي طاقة الحركة، 2‎ ‎160 J، والسرعة، 32 m/s:

بالضرب في المعامل 2، وفك وحدة الجول، نحصل على:

ثم بتربيع القوس في المقام، نحصل على:

نتيجة القسمة تحذف وحدة m²/s²، وتتبقَّى فقط وحدة kg. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يصبح الناتج:

كتلة البطيخة الصغيرة تساوي 4.22 kg.

نُلقي نظرة على مثال آخر.

ونظرًا لأن معادلة طاقة الحركة تعتمد على السرعة، فيمكن ربطها بمعادلات الحركة الأخرى كالتي تَستخدم الزمن أو العجلة.

نُلقي نظرة على مثال.

مثال ٥: العلاقة بين المسافة وطاقة الحركة

بدأ جسمٌ الحركةَ من السكون بعجلة ثابتة. أيٌّ من الآتي يوضِّح العلاقة بين المسافة () التي قطعها الجسم وطاقة حركته؟

الحل

التمثيلات البيانية في الإجابات هي بدلالة المسافة وطاقة الحركة؛ لذا، هيا نلاحِظ العلاقة بين المسافة وطاقة الحركة.

للجسم المذكور في هذه المسألة عجلة ثابتة، وهو ما يعني أن سرعته تزيد بمعدل ثابت. عندما تزيد السرعة، تزداد طاقة الحركة بمعدل أُسِّي، بسبب علاقة التربيع :

والآن، نُلقي نظرة على المعادلة الكاملة للمسافة عندما يتسارع الجسم: حيث الموضع الابتدائي، و السرعة الابتدائية، و الزمن، و العجلة.

الموضع الابتدائي يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، يمكننا حذفه من المعادلة. وبالمثل، فإن السرعة الابتدائية للجسم هي صفر؛ إذ يبدأ حركته من السكون. وبهذا نبسِّط معادلة المسافة إلى:

الآن، نرى أن طاقة الحركة، وكذلك ، متغيِّران يتبعان علاقة تربيعية؛ فالتشابه بين المعادلتين واضح. كلما زاد ، زادت المسافة بناءً على التربيع. وكلما زاد ، زادت طاقة الحركة بناءً على التربيع.

الزيادة في تتبع الزيادة في ؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن تزداد طاقة الحركة بنفس معدل زيادة . بالنظر إلى الخيار (أ)، نجد أن تزداد بمعدل أعلى من طاقة الحركة؛ لذا، لا يمكن أن يكون هذا هو الخيار الصحيح.

وبالنظر إلى الخيار (ج)، فإن طاقة الحركة تظل ثابتة في حين تزداد المسافة. وهذا لا يمكن أن يكون صحيحًا، فبما أن الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة، إذن لا بد أن يتحرَّك بسرعة متزايدة، ما يعني أن طاقة حركته تزيد أيضًا.

بالنظر إلى الخيار (د)، نجد أن طاقة الحركة تزيد أسرع من . لا يمكن أن تزيد طاقة حركة الجسم أسرع من زيادة المسافة؛ لأن كلتَيْهما تعتمد على السرعة بالطريقة نفسها.

إذن الإجابة الصحيحة هي (ب)؛ فطاقة الحركة و يتزايدان طرديًّا بانتظام.