فيديو السؤال: تطبيقات على نظرية ديموافر الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن جتا ثلاثة 𝜃 وجا ثلاثة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃، على الترتيب.

في البداية، دعونا نسترجع نظرية ديموافر. تنص هذه النظرية على أن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. بالنظر إلى الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نجد أن هذين الحدين يشبهان إلى حد كبير الحدين اللذين علينا التعبير عنهما بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃 على الترتيب، وتحديدًا عند ﻥ يساوي ثلاثة.

دعونا نعد كتابة نظرية ديموافر عند ﻥ يساوي ثلاثة لنفهم ذلك بشكل أوضح. بعد أن كتبنا هذه المعادلة، نلاحظ أن الطرف الأيسر يحتوي على جزء حقيقي، وهو جتا ثلاثة 𝜃، كما يحتوي على جزء تخيلي، وهو جا ثلاثة 𝜃. يمكننا التعبير عن هذين الجزأين بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃 من خلال فصل الجزأين الحقيقي والتخيلي في الطرف الأيمن من المعادلة.

لكي نفعل ذلك، علينا فك ما بداخل القوسين وفصل الحدود. بالنظر إلى الطرف الأيمن من المعادلة، نلاحظ أن لدينا مقدارًا ذا حدين الكل أس ثلاثة. الصورة العامة لذلك هي ﺃ زائد ﺏ تكعيب. ولكي نفك ما بداخل القوسين، يمكننا ضرب كل حد من الحدود لدينا يدويًّا أو استخدام نظرية ذات الحدين. لكننا سنستخدم طريقة مختصرة مختلفة قليلًا بدلًا من ذلك.

بالنظر إلى الأقواس، نجد أنه من السهل أن ندرك أن كل حد سيتضمن ﺃ مرفوعًا لقوة ما وﺏ مرفوعًا لقوة ما. وبقليل من التمعن، نلاحظ أن أعلى قوة ممكنة لـ ﺃ يمكننا الوصول إليها من ضرب هذه الأقواس هي ﺃ تكعيب. وبالمنطق ذاته، فإن أعلى قوة ممكنة لـ ﺏ يمكننا الوصول إليها من ضرب هذه الأقواس هي ﺏ تكعيب.

سنحصل أيضًا من ضرب الأقواس لدينا على هذين الحدين الأوسطين، حيث تتناقص قيمة قوة ﺃ وتتزايد قيمة قوة ﺏ. هناك عدة طرق للحصول على هذين الحدين الأوسطين بمعلومية حدود ﺃ وﺏ داخل الأقواس. ومن ثم، سنحصل على مضاعفات الحدين. بعبارة أخرى، سيكون لكل منها معامل.

لإيجاد هذه المعاملات، يمكننا أخذ الأعداد من الصف المناظر في مثلث باسكال. وبما أننا نتعامل مع مقدار ذي حدين الكل أس ثلاثة، فسنستخدم الصف الثالث. وعليه، فإن معاملات الحدود الأربعة لدينا هي واحد ﺃ تكعيب زائد ثلاثة ﺃ تربيع ﺏ زائد ثلاثة ﺃﺏ تربيع زائد واحد ﺏ تكعيب.

والآن بعد أن حصلنا على هذا المفكوك، دعونا نطبقه على المعادلة لدينا. يمكننا التعويض في حدود هذا المفكوك عن ﺃ بـ جتا 𝜃 وعن ﺏ بـ ﺕ جا 𝜃. لدينا أولًا ﺃ تكعيب، والذي سيصبح جتا 𝜃 تكعيب. بعد ذلك، لدينا ثلاثة ﺃ تربيع ﺏ، وهو ما يصبح ثلاثة في جتا 𝜃 تربيع في ﺕ جا 𝜃. ولدينا ثلاثة ﺃﺏ تربيع، وهو ما يصبح ثلاثة في جتا 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 تربيع. وأخيرًا، لدينا ﺏ تكعيب، ويصبح ﺕ جا 𝜃 تكعيب.

في الخطوة التالية، سنوزع التربيع والتكعيب على الأقواس وننقل كل قيم ﺕ لتصبح في مقدمة الحد. دعونا نبدأ التبسيط باسترجاع تعريف ﺕ. نحن نعلم أن ﺕ يشير إلى عدد تخيلي. وهو يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. إذن، ﺕ تربيع يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد في الجذر التربيعي لسالب واحد، أي سالب واحد.

لنسهل عملية التبسيط، يمكننا كتابة ﺕ تكعيب على الصورة ﺕ تربيع في ﺕ. وبما أننا نعرف الآن أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فيمكننا استخدام ذلك في التعريف لدينا. ويمكننا القول إن ﺕ تكعيب يساوي سالب ﺕ. دعونا نستخدم هاتين المتطابقتين للتعويض عن ﺕ تربيع وﺕ تكعيب في المعادلة.

وهكذا نكون قد بسطنا المعادلة. نلاحظ الآن أنه من بين الحدود الأربعة، لدينا حدان لا يتضمنان العامل ﺕ أو أي جزء حقيقي. ولدينا حدان يحتوي كل منهما على العامل ﺕ أو جزء تخيلي. دعونا نجمع الحدود الحقيقية والتخيلية.

علينا الآن النظر مرة أخرى إلى المعادلة الأصلية المشتقة من نظرية ديموافر. هيا نراجع ما فعلناه. لقد فككنا الطرف الأيمن من المعادلة وفصلنا الحدود الحقيقية والتخيلية. ولمتابعة الحل، يمكننا مساواة الجزأين الحقيقي والتخيلي في المفكوك بالجزأين الحقيقي والتخيلي من الطرف الأيسر من المعادلة. فدعونا نوضح ذلك.

لدينا الآن معادلة لـ جتا ثلاثة 𝜃، ومعادلة لـ جا ثلاثة 𝜃. لكن علينا إجراء تبسيط أخير. يطلب منا السؤال التعبير عن جتا ثلاثة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃. لكن لا يزال لدينا جا في هذه المعادلة. وبالمثل، يطلب السؤال التعبير عن جا ثلاثة 𝜃 بدلالة جا 𝜃. لكن لا يزال لدينا جتا في هذه المعادلة.

يمكننا التعويض عن هذين الحدين باسترجاع إحدى متطابقات فيثاغورس. وتنص هذه المتطابقة على أن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بطرح جتا تربيع 𝜃 من طرفي هذه المعادلة، نجد أن جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة جتا تربيع 𝜃؛ وذلك بطرح جا تربيع 𝜃 من طرفي المتطابقة الأصلية لدينا. دعونا نتعامل مع معادلة جتا ثلاثة 𝜃 باستخدام الصورة الأولى المعاد ترتيبها من المتطابقة. نعوض عن جا تربيع 𝜃 بواحد ناقص جتا تربيع 𝜃. بعد ذلك، نفك القوسين. وأخيرًا، نجمع حدي جتا تكعيب 𝜃.

يمكننا الآن إجراء الطريقة نفسها في معادلة جا ثلاثة 𝜃. نعوض عن جتا تربيع 𝜃 بواحد ناقص جا تربيع 𝜃. بعد ذلك، نفك ما بداخل القوسين ونجمع حدي جا تكعيب 𝜃.

بذلك نكون قد انتهينا من حل السؤال. وعبرنا عن جتا ثلاثة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃، وعن جا ثلاثة 𝜃 بدلالة جا 𝜃.