شارح الدرس: نظرية ديموافر للمتطابقات المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر للحصول على متطابقات الدوال المثلثية.

باستخدام نظرية ذات الحدين ونظرية ديموافر، يمكننا التعبير عن 𞸍𝜃، 𞸍𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃. سنبدأ بتذكُّر كلٍّ من نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين.

نظرية ديموافر

بالنسبة إلى أيِّ عدد صحيح 𞸍: (𞸓(𝜃+𞸕𝜃))=𞸓(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

نظرية ذات الحدين

بالنسبة إلى أيِّ عدد صحيح 𞸍: (󰏡+𞸁)=󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁+𞸁،𞸍𞸍𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١𞸍١𞸍

حيث 𞸍𞸓𞹟=𞸍!𞸓!(𞸍𞸓)!. أحيانًا يُرمز إلى 𞸍𞸓𞹟 بالصورة: 󰃭𞸍𞸓󰃬 أو 𞸍𞸓𞹟.

في المثال الأول، سنوضِّح الطريقة التي يمكننا من خلالها استنتاج هذه المتطابقات للدوال المثلثية.

مثال ١: صيغ الزوايا المتعددة

  1. استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن ٥𝜃 بدلالة قوى 𝜃.
  2. بإيجاد حلول ٥𝜃=٠، أوجد القيمة الدقيقة للدالة ٢󰂔𝜋٥󰂓.

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=(𝜃+𞸕𝜃).٥

وبتطبيق نظرية ذات الحدين، نحصل على: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+(𞸕𝜃).٥٥١٤٥٢٣٢٥٣٢٣٥٤٤٥

وبالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟 ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+٥𞸕𝜃𝜃+٠١𞸕𝜃𝜃+٠١𞸕𝜃𝜃+٥𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃.٥٤٢٣٢٣٢٣٤٤٥٥

بإيجاد قيمة قوى 𞸕، نحصل على: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+٥𞸕𝜃𝜃٠١𝜃𝜃٠١𞸕𝜃𝜃+٥𝜃𝜃+𞸕𝜃.٥٤٣٢٢٣٤٥

وبجعل الأجزاء التخيُّلية متساوية نحصل على: ٥𝜃=٥𝜃𝜃٠١𝜃𝜃+𝜃.٤٢٣٥

لحذف قوى 𝜃، نستخدم المتطابقة ٢٢𝜃١𝜃. وبالتعويض بذلك، يصبح لدينا: ٥𝜃=٥󰁓١𝜃󰁒𝜃٠١󰁓١𝜃󰁒𝜃+𝜃.٢٢٢٣٥

بفك الأقواس والتبسيط نحصل على: ٥𝜃=٥󰁓١٢𝜃+𝜃󰁒𝜃٠١󰁓𝜃𝜃󰁒+𝜃=٥𝜃٠١𝜃+٥𝜃٠١𝜃+٠١𝜃+𝜃.٢٤٣٥٥٣٥٣٥٥

وبتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا: ٥𝜃=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃.٥٣

الجزء الثاني

نبدأ بدراسة حلول ٥𝜃=٠. نعرف أن جيب الزاوية يساوي صفرًا مع مضاعفات 𝜋 الصحيحة. مِن ثَمَّ، ٥𝜃=٠ عندما تكون: 𝜃=𞸍𝜋٥ لكل 𞸍𞹑. باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يصبح لدينا ٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃=٠٥٣، عندما تكون 𝜃=𞸍𝜋٥ لكل 𞸍𞹑. بإخراج العامل المشترك 𝜃، يصبح لدينا: 𝜃󰁓٦١𝜃٠٢𝜃+٥󰁒=٠.٤٢

سندرس الآن الحالة التي فيها 𝜃=𝜋٥. نعرف أن 󰂔𝜋٥󰂓٠؛ إذن يمكننا استنتاج أن ٦١󰂔𝜋٥󰂓٠٢󰂔𝜋٥󰂓+٥=٠٤٢. وهي معادلة تربيعية في ٢󰂔𝜋٥󰂓. مِن ثَمَّ، عند جعل 𞸎=󰂔𝜋٥󰂓٢، يمكننا إعادة صياغة المعادلة على الصورة: ٦١𞸎٠٢𞸎+٥=٠.٢

باستخدام القانون العام: 𞸎=𞸁±󰋴𞸁٤󰏡𞸢٢󰏡،٢

نحصل على الحلول بواسطة: 𞸎=٠٢±󰋴٠٨٢٣=٥±󰋴٥٨.

إذن، ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥+󰋴٥٨، أو ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥󰋴٥٨. وبالمقارنة بين هاتين القيمتين، يمكننا ملاحظة أن: ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥󰋴٥٨.

يمكننا أيضًا استخدام نظرية ديموافر لاستنتاج متطابقات لكلٍّ من 𞸍𝜃، 𞸍𝜃. لإجراء ذلك، نبدأ بتحديد العدد المركَّب 𞸏=𝜃+𞸕𝜃. بعد ذلك، يمكننا اعتبار أن: ١𞸏=𞸏=(𝜃+𞸕𝜃).١١

وبتطبيق نظرية ديموافر، يصبح لدينا: ١𞸏=(𝜃)+𞸕(𝜃).

وباستخدام المتطابقات الفردية والزوجية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام (𝜃)=𝜃، (𝜃)=𝜃، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ١𞸏=𝜃𞸕𝜃.

إذن: 𞸏+١𞸏=٢𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𝜃.

بالمثل، يمكننا اعتبار أن 𞸏=(𝜃+𞸕𝜃)𞸍𞸍. باستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة صياغة هذه المعادلة على صورة: 𞸏=𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃𞸍. وبطريقة مماثلة، يمكننا اعتبار أن: ١𞸏=𞸏=(𝜃+𞸕𝜃).𞸍𞸍𞸍

وباستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة صياغة هذه المعادلة في صورة: ١𞸏=(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃).𞸍

وبتطبيق المتطابقات الفردية والزوجية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام، نحصل على: ١𞸏=𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃.𞸍

إذن: 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃.𞸍𞸍𞸍𞸍

تكافئ هاتان المعادلتان، في الواقع، الصيغتين الآتيتين للتعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة الدالة الأسية: 𞸍𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒،𞸍𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒.𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃

باستخدام هذين المقدارين لكلٍّ من جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏، يمكننا أن نستنتج العديد من متطابقات الدوال المثلثية. في الأمثلة القليلة الآتية، سنطبِّق هذه الطريقة. يجب حفظ هذه الطريقة المُستخدَمة هنا والصيغ الخاصة بجيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏 عن ظهر قلب.

مثال ٢: متطابقات قوى جيب تمام الزاوية

عبِّر عن ٦𝜃 بدلالة ٦𝜃، ٥𝜃، ٤𝜃، ٣𝜃، ٢𝜃، 𝜃، وأي حدٍّ ثابت.

الحل

بافتراض أن 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا كتابة: ٢𝜃=𞸏+١𞸏.

برفع كلا الطرفين للقوة السادسة، يصبح لدينا: ٢𝜃=󰃁𞸏+١𞸏󰃀.٦٦٦

إذن: ٦٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+١𞸏󰃀.

سنطبِّق الآن نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر على النحو الآتي: ٦٦٦١٥٦٢٤٢٦٣٣٣٦٤٢٤٦٥٥٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+󰃁١𞸏󰃀󰃀.

بالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٦٦٤٢٢٤٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+٦𞸏+٥١𞸏+٠٢+٥١𞸏+٦𞸏+١𞸏󰃀.

يمكننا الآن تجميع الحدود 𞸏𞸍 مع الحدود ١𞸏𞸍 على النحو الآتي: ٦٦٦٤٤٢٢𝜃=١٤٦󰃁󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٦󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٥١󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٠٢󰃀.

باستخدام 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن ذلك في صورة: ٦𝜃=١٤٦(٢٦𝜃+٦(٢٤𝜃)+٥١(٢٢𝜃)+٠٢).

وأخيرًا، نبسِّط لنحصل على: ٦𝜃=١٢٣٦𝜃+٣٦١٤𝜃+٥١٢٣٢𝜃+٥٦١.

إن التعبير عن قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة زوايا متعددة أمر مفيد للغاية لإيجاد قيمة التكامل، مثلما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٣: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيمة تكامل دالة مثلثية

باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الدقيقة لما يلي: 󰏅𝜃𞸃𝜃.𝜋٢٠٧

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا كتابة ٧𝜃 بدلالة مضاعفات الزاوية التي يسهل إيجاد تكاملها. سنبدأ بجعل 𞸏=𝜃+𞸕𝜃. ثم باستخدام 𞸏، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية على الصورة: ٢𞸕𝜃=𞸏١𞸏.

برفع كلا الطرفين للقوة السابعة، يصبح لدينا: ٢𞸕𝜃=󰃁𞸏١𞸏󰃀.٧٧٧٧

بما أن 𞸕=𞸕٧، ٢=٨٢١٧، إذن يمكننا قسمة كلا الطرفين على ٨٢١𞸕 للحصول على: ٧٧٧𝜃=١٨٢١𞸕󰃁𞸏١𞸏󰃀=𞸕٨٢١󰃁𞸏١𞸏󰃀.

بتطبيق نظرية ذات الحدين، يصبح لدينا: ٧٧٧١٦٧٢٥٢٧٣٤٣٧٤٣٤٧٥٢٥٧٦٦٧𝜃=𞸕٨٢١󰃁𞸏𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀󰃁١𞸏󰃀󰃀.

وبالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٧٧٥٣٣٥٧𝜃=𞸕٨٢١󰃁𞸏٧𞸏+١٢𞸏٥٣𞸏+٥٣𞸏١٢𞸏+٧𞸏١𞸏󰃀.

يمكننا الآن تجميع حدود 𞸏𞸍 وحدود ١𞸏𞸍 كالآتي: ٧٧٧٥٥٣٣𝜃=𞸕٨٢١󰃁󰃁𞸏١𞸏󰃀٧󰃁𞸏١𞸏󰃀+١٢󰃁𞸏١𞸏󰃀٥٣󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃀.

باستخدام 𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة: ٧𝜃=𞸕٨٢١(٢𞸕٧𝜃٧(٢𞸕٥𝜃)+١٢(٢𞸕٣𝜃)٥٣(٢𞸕𝜃)).

بالتبسيط، نحصل على: ٧𝜃=١٤٦(٥٣𝜃١٢٣𝜃+٧٥𝜃٧𝜃).

وبالتعويض بذلك في التكامل، يصبح لدينا: 󰏅𝜃𞸃𝜃=󰏅١٤٦(٥٣𝜃١٢٣𝜃+٧٥𝜃٧𝜃)𞸃𝜃.𝜋٢𝜋٢٠٧٠

إذن: 󰏅𝜃𞸃𝜃=١٤٦󰂗󰂔٥٣𝜃+٧٣𝜃٧٥٥𝜃+١٧٧𝜃󰂓󰂖=١٤٦󰂔󰂔٥٣𝜋٢+٧٣𝜋٢٧٥٥𝜋٢+١٧٧𝜋٢󰂓󰂔٥٣٠+٧٠٧٥٠+١٧٠󰂓󰂓=١٤٦󰂔٥٣٧+٧٥١٧󰂓=٦١٥٣.𝜋٢𝜋٢٠٧٠

لا تقتصر تطبيقات نظرية ديموافر على تبسيط قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية؛ بل يمكننا أيضًا إيجاد تعبيرات رياضية لحاصل ضرب جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية المرفوعين لقوتين.

مثال ٤: حلُّ المعادلات التي تتضمَّن الدوال المثلثية

  1. عبِّر عن ٢٣𝜃𝜃 بالصورة 󰏡𝜃+𞸁٣𝜃+𞸢٥𝜃؛ بحيث يكون 󰏡،𞸁، 𞸢 ثوابت مطلوبًا إيجادها.
  2. بعد ذلك، أوجد جميع الحلول الناتجة عن ٥𝜃+٣𝜃=٠ في الفترة ٠𝜃<𝜋. اكتب إجاباتك بصورة دقيقة.

الحل

الجزء الأول

بافتراض أن 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏 على النحو الآتي: ٢𝜃=𞸏+١𞸏،٢𞸕𝜃=𞸏١𞸏.

إذن: ٢٣٢٢٣٣٢٣𝜃𝜃=١(٢𞸕)󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃁١٢󰃁𞸏+١𞸏󰃀󰃀=١٢٣󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃁𞸏+١𞸏󰃀.

باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكننا فك كل قوس على حِدة على النحو الآتي: ٢٣٢٢٣٣𝜃𝜃=١٢٣󰃁𞸏٢+١𞸏󰃀󰃁𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏󰃀.

بضرب القوسين نحصل على: ٢٣٥٣٣٣٣٥𝜃𝜃=١٢٣󰃁𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏٢𞸏٦𞸏٦𞸏٢𞸏+𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏󰃀.

وبتجميع الحدود 𞸏𞸍 مع الحدود ١𞸏𞸍 يكون الناتج: ٢٣٥٥٣٣𝜃𝜃=١٢٣󰃁󰃁𞸏+١𞸏󰃀+󰃁𞸏+١𞸏󰃀٢󰃁𞸏+١𞸏󰃀󰃀.

باستخدام 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة: ٢٣𝜃𝜃=١٢٣(٢٥𝜃+٢٣𝜃٢(٢𝜃))=١٦١(٢𝜃٥𝜃٣𝜃).

الجزء الثاني

باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يمكننا ملاحظة أن: ٥𝜃+٣𝜃=٢𝜃٦١𝜃𝜃.٢٣

مِن ثَمَّ، فإن ٥𝜃+٣𝜃=٠ تكافئ: ٠=٢𝜃٦١𝜃𝜃.٢٣

بتحليل هذا المقدار يصبح الناتج: ٠=٢𝜃󰁓١٨𝜃𝜃󰁒،٢٢

وهو ما يُعَد صوابًا في حالة 𝜃=٠ أو ١٨𝜃𝜃=٠٢٢. بالنسبة إلى الحالة الأولى، بما أن ٠𝜃<𝜋، إذن 𝜃=٠ عند 𝜃=𝜋٢.

الآن، سندرس الحالة التي تتحقَّق عند ١٨𝜃𝜃=٠٢٢. باستخدام صيغة ضعف الزاوية لجيب الزاوية: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،

يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ١٢٢𝜃=٠.٢

إذن: ٢٢𝜃=١٢.

بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، نحصل على: ٢𝜃=±١󰋴٢.

بدءًا بالجذر التربيعي الموجب، بالنسبة إلى 𝜃 في النطاق ٠𝜃<𝜋، فإن ٢𝜃=١󰋴٢ عند 𝜃=𝜋٨ أو ٣𝜋٨. وبالمثل، بالنسبة إلى الجذر التربيعي السالب، فإن ٢𝜃=١󰋴٢ عند 𝜃=٥𝜋٨ أو ٧𝜋٨.

إذن، حلول ٥𝜃+٣𝜃=٠ لكل 𝜃 في النطاق ٠𝜃<𝜋 هي: 𝜃=𝜋٨،٣𝜋٨،𝜋٢،٥𝜋٨،٧𝜋٨.

يمكن كذلك تطبيق الأساليب المستخدَمة لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية على دوال مثلثية أخرى؛ مثل دالتَي الظل وظل تمام الزاوية. سيوضِّح المثال الآتي كيفية إيجاد صيغ الزوايا المتعددة لدالة الظل.

مثال ٥: استنتاج متطابقات الدوال المثلثية التي تتضمَّن دالة الظل

  1. اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃.
  2. اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃.
  3. بناءً على ذلك، اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃.

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، لدينا: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=(𝜃+𞸕𝜃).٦

وبتطبيق نظرية ذات الحدين، نحصل على: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+(𞸕𝜃).٦٦١٥٦٢٤٢٦٣٣٣٦٤٢٤٦٥٥٦

وبالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+٦𞸕𝜃𝜃+٥١𞸕𝜃𝜃+٠٢𞸕𝜃𝜃+٥١𞸕𝜃𝜃+٦𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃.٦٥٢٤٢٣٣٣٤٢٤٥٥٦٦

بإيجاد قيمة قوى 𞸕، نحصل على:

٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+٦𞸕𝜃𝜃٥١𝜃𝜃٠٢𞸕𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃+٦𞸕𝜃𝜃𝜃.٦٥٤٢٣٣٢٤٥٦()١

بجعل الأجزاء التخيُّلية متساوية، يصبح لدينا: ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃.٥٣٣٥

الجزء الثاني

بجعل الأجزاء الحقيقية بالمعادلة (١) متساوية نحصل على المعادلة: ٦𝜃=𝜃٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃𝜃.٦٤٢٢٤٦

الجزء الثالث

باستخدام تعريف دالة الظل بدلالة جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية، يصبح لدينا: ٦𝜃=٦𝜃٦𝜃.

باستخدام الإجابات من الجزأين الأول والثاني، يمكننا إعادة صياغة المعادلة على الصورة: ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃𝜃٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃𝜃.٥٣٣٥٦٤٢٢٤٦

بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على ٦𝜃، نحصل على: ٦𝜃=٦𝜃٠٢𝜃+٦𝜃١٥١𝜃+٥١𝜃𝜃.٣٥٢٤٦

النقاط الرئيسية

  • باستخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين، يمكننا استنتاج صيغ مضاعفات الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل المختلفة.
  • إذا عرَّفنا 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏 على النحو الآتي: 𞸏+١𞸏=٢𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𝜃. كما يمكننا التعبير عن 𞸍𝜃، 𞸍𝜃 بدلالة 𞸏 على الصورة: 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃.𞸍𞸍𞸍𞸍 باستخدام هاتين المعادلتين، يمكننا إيجاد التعبيرات الرياضية لقوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية، وكذلك حاصل ضربهما.
  • باستخدام هذه الطُّرق لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية، يمكننا تبسيط التكامل وحلُّ المعادلات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.