تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: نظرية ديموافر للمتطابقات المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر للحصول على المتطابقات المثلثية.

باستخدام نظرية ذات الحدين ونظرية ديموافر، يمكننا التعبير عن 𞸍𝜃، 𞸍𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃. هيا نبدأ بتذكُّر نظرية ديموافر.

نظرية: نظرية ديموافر

لأيِّ عدد صحيح 𞸍: (𞸓(𝜃+𞸕𝜃))=𞸓(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

نلاحظ أن الطرف الأيمن من المعادلة مقدار ذو حدين؛ لأنه على الصورة (𞸀+𞸁)𞸍. إذن، هيا نتذكَّر نظرية ذات الحدين التي يمكننا استخدامها لإيجاد قيم المقادير من هذا النوع مباشرةً.

نظرية: نظرية ذات الحدين

لأيِّ عدد صحيح 𞸍: (𞸀+𞸁)=𞸀+𞹟𞸀𞸁+𞹟𞸀𞸁++𞹟𞸀𞸁++𞹟𞸀𞸁+𞸁،𞸍𞸍𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١𞸍١𞸍

حيث 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸓(𞸍𞸓). أحيانًا يرمز إلى 𞸍𞸓𞹟 بالصورة 󰃭𞸍𞸓󰃬.

باستخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين معًا، يمكننا التعبير عن قوى دالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة القوى الأدنى. هيا نُلقِ نظرةً على الصورة العامة لهذه الطريقة.

خطوات: استنتاج تعبيرات لقوى الدوال المثلثية

افترض أننا نريد إيجاد علاقة بين 𞸍(𝜃) وحدود القوى الأدنى لجيب التمام في أحد الطرفين، وفي الطرف الآخر 𞸍𝜃. إذن، يمكننا القيام بالآتي:

  1. باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا: 𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃=(𝜃+𞸕𝜃).𞸍
  2. نستخدم نظرية ذات الحدين في الطرف الأيسر، لنحصل على: 𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃=𝜃+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)++𞹟𝜃(𞸕𝜃)+(𞸕𝜃).𞸍𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸍١𞸍١𞸍
  3. بفك الحدود التي تتضمَّن (𞸕𝜃)𞸊، ونقل الحدود التي تتضمَّن 𞸕 إلى الأمام، نحصل على: 𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃=𝜃+𞸕×𞹟𝜃𝜃+𞸕×𞹟𝜃𝜃++𞸕×𞹟𝜃𝜃+𞸕𝜃.𞸍𞸍١𞸍١٢𞸍٢𞸍٢٢𞸍١𞸍𞸍١𞸍١𞸍𞸍
  4. نستخدم حقيقة أن 𞸕=١٢ لإيجاد قيم قوى 𞸕. ونتيجةً لذلك يصبح نصف حدود المفكوك حقيقيًّا، والنصف الآخر تخيُّليًّا، كما هو موضَّح: 𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃=𝜃𞹟𝜃𝜃+𞹟𝜃𝜃++𞸕󰁓𞹟𝜃𝜃𞹟𝜃𝜃+󰁒.𞸍𞸍٢𞸍٢٢𞸍٤𞸍٤٤𞸍١𞸍١𞸍٣𞸍٣٣
  5. يمكننا بعد ذلك مساواة الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية من المعادلة السابقة معًا. وبما أننا نريد فقط إيجاد 𞸍𝜃، إذن نتناول الأجزاء الحقيقية فقط (لو أردنا إيجاد 𞸍𝜃، لكان علينا تناول الأجزاء التخيُّلية بناءً على إذا ما كان 𞸕𞸍 حقيقيًّا أم تخيليًّا). هذا يُعطينا: 𞸍𝜃=𝜃𞹟𝜃𝜃+𞹟𝜃𝜃+.𞸍𞸍٢𞸍٢٢𞸍٤𞸍٤٤
  6. نستخدم المتطابقة ٢٢𝜃١𝜃 للتخلُّص من الحدود التي تتضمَّن دالة الجيب: 𞸍𝜃=𝜃𞹟𝜃󰁓١𝜃󰁒+𞹟𝜃󰁓١𝜃󰁒+=󰁓١+𞹟󰁒𝜃󰁓𞹟+𞹟󰁒𝜃+󰁓𞹟+𞹟󰁒𝜃+.𞸍𞸍٢𞸍٢٢𞸍٤𞸍٤٢٢𞸍٢𞸍𞸍٢𞸍٤𞸍٢𞸍٤𞸍٦𞸍٤ ونلاحظ أن طريقة إيجاد 𞸍𝜃 هي نفس الطريقة، إلا أننا نريد التخلُّص من الحدود التي تتضمَّن .

بعد أن رأينا الصورة العامة لهذه الطريقة، هيا نتناول مثالًا يمكننا فيه توضيح طريقة استنتاج المتطابقات المثلثية عمليًّا.

مثال ١: حساب قوى دالة الجيب باستخدام صيغ مضاعفات الزواية

  1. استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن ٥𝜃 بدلالة قوى 𝜃.
  2. بإيجاد حلول ٥𝜃=٠، أوجد القيمة الدقيقة للدالة ٢󰂔𝜋٥󰂓.

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=(𝜃+𞸕𝜃).٥

بتطبيق نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر، نحصل على: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+(𞸕𝜃).٥٥١٤٥٢٣٢٥٣٢٣٥٤٤٥

بالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+٥𞸕𝜃𝜃+٠١𞸕𝜃𝜃+٠١𞸕𝜃𝜃+٥𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃.٥٤٢٣٢٣٢٣٤٤٥٥

بإيجاد قيم قوى 𞸕، نحصل على: ٥𝜃+𞸕٥𝜃=𝜃+٥𞸕𝜃𝜃٠١𝜃𝜃٠١𞸕𝜃𝜃+٥𝜃𝜃+𞸕𝜃.٥٤٣٢٢٣٤٥

بمساواة الجزأين التخيُّليين، نحصل على: ٥𝜃=٥𝜃𝜃٠١𝜃𝜃+𝜃.٤٢٣٥

لحذف قوى 𝜃، نستخدم المتطابقة ٢٢𝜃١𝜃. وبالتعويض بذلك، يصبح لدينا: ٥𝜃=٥󰁓١𝜃󰁒𝜃٠١󰁓١𝜃󰁒𝜃+𝜃.٢٢٢٣٥

بفك الأقواس والتبسيط، نحصل على: ٥𝜃=٥󰁓١٢𝜃+𝜃󰁒𝜃٠١󰁓𝜃𝜃󰁒+𝜃=٥𝜃٠١𝜃+٥𝜃٠١𝜃+٠١𝜃+𝜃.٢٤٣٥٥٣٥٣٥٥

وبتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا: ٥𝜃=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃.٥٣

الجزء الثاني

نبدأ بدراسة حلول ٥𝜃=٠. نعرف أن جيب الزاوية يساوي صفرًا للمضاعفات الصحيحة لـ 𝜋. ومن ثم، ٥𝜃=٠ عندما تكون: 𝜃=𞸍𝜋٥ لكل 𞸍𞹑. باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يصبح لدينا ٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃=٠٥٣، عندما تكون 𝜃=𞸍𝜋٥ لكل 𞸍𞹑. بإخراج العامل المشترك 𝜃، يصبح لدينا: 𝜃󰁓٦١𝜃٠٢𝜃+٥󰁒=٠.٤٢

ندرس الآن الحالة التي فيها 𝜃=𝜋٥. نعرف أن 󰂔𝜋٥󰂓٠، إذن يمكننا استنتاج أن ٦١󰂔𝜋٥󰂓٠٢󰂔𝜋٥󰂓+٥=٠٤٢. وهي معادلة تربيعية في ٢󰂔𝜋٥󰂓. ومن ثم، عند جعل 𞸎=󰂔𝜋٥󰂓٢، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة: ٦١𞸎٠٢𞸎+٥=٠.٢

باستخدام القانون العام: 𞸎=𞸁±󰋴𞸁٤𞸀𞸢٢𞸀،٢

ونحصل على الحلين: 𞸎=٠٢±󰋴٠٨٢٣=٥±󰋴٥٨.

إذن، لدينا احتمالان: ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥+󰋴٥٨ أو ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥󰋴٥٨. نحن نعلم أن 𝜃 دالة تزايدية لـ 𝜃󰂗٠،𝜋٢󰂖، وأن ٠𝜃١ في هذه الفترة. ومن ثم، يصبح لدينا: ٢٢󰂔𝜋٥󰂓<󰂔𝜋٤󰂓.

كما نعرف أن ٢󰂔𝜋٤󰂓=١٢، وهذا يعني أن: ٢󰂔𝜋٥󰂓<١٢.

وبالمقارنة بين هاتين الإجابتين المحتملتين و١٢، نجد أن ٥󰋴٥٨٥٣٫٠<١٢ في حين أن ٥+󰋴٥٨٠٩٫٠>١٢، وهذا يعني أن الإجابة الأولى فقط صحيحة. إذن: ٢󰂔𝜋٥󰂓=٥󰋴٥٨.

يمكننا أيضًا استخدام نظرية ديموافر لاستنتاج متطابقات لكلٍّ من 𞸍𝜃، 𞸍𝜃. لفعل ذلك، نبدأ بتعريف عدد مركب 𞸏=𝜃+𞸕𝜃. بعد ذلك، يمكننا اعتبار أن: ١𞸏=𞸏=(𝜃+𞸕𝜃).١١

وبتطبيق نظرية ديموافر، يصبح لدينا: ١𞸏=(𝜃)+𞸕(𝜃).

وباستخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام: (𝜃)=𝜃، (𝜃)=𝜃، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ١𞸏=𝜃𞸕𝜃.

إذن: 𞸏+١𞸏=٢𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𝜃.

وبالمثل، يمكننا اعتبار 𞸏=(𝜃+𞸕𝜃)𞸍𞸍؛ حيث 𞸍𞹑. باستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸏=𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃𞸍. وبطريقة مماثلة، يمكننا اعتبار: ١𞸏=𞸏=(𝜃+𞸕𝜃).𞸍𞸍𞸍

باستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة صياغة هذه المعادلة في صورة: ١𞸏=(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃).𞸍

وبتطبيق متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام، نحصل على: ١𞸏=𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃.𞸍

ومن ثم، بجمع الاستنتاجين السابقين أو طرحهما، نحصل على الزوج التالي من المتطابقات المفيدة.

متطابقة: صيغ مضاعفات الزاوية بدلالة الأعداد المركبة

افترض أن 𞸏=𝜃+𞸕𝜃. إذن، لأي 𞸍𞹑، يكون لدينا: 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃.𞸍𞸍𞸍𞸍

تكافئ هاتان المعادلتان، في الواقع، الصيغتين الآتيتين للتعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة الدالة الأسية: 𞸍𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒،𞸍𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒.𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃𞸕𞸍𝜃

باستخدام المتطابقتين السابقتين لدالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة 𞸏، يمكننا استنتاج العديد من المتطابقات المثلثية الأخرى. يجب أن تتذكَّر كلًّا من الطريقة المستخدَمة هنا وصيغتَي دالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة 𞸏.

والآن، في الأمثلة القليلة التالية، سنوضِّح تطبيقات لهذه المتطابقة على مسائل مختلفة تتضمَّن دوال مثلثية.

مثال ٢: حساب قوى دالة جيب التمام باستخدام متطابقات مضاعفات الزاوية

عبِّر عن ٦𝜃 بدلالة ٦𝜃، ٥𝜃، ٤𝜃، ٣𝜃، ٢𝜃، 𝜃، وأي حد ثابت.

الحل

بافتراض أن 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا كتابة: ٢𝜃=𞸏+١𞸏.

برفع كلا الطرفين للقوة السادسة، يصبح لدينا: ٢𝜃=󰃁𞸏+١𞸏󰃀.٦٦٦

إذن: ٦٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+١𞸏󰃀.

سنطبِّق الآن نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر كالآتي: ٦٦٦١٥٦٢٤٢٦٣٣٣٦٤٢٤٦٥٥٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+󰃁١𞸏󰃀󰃀.

بالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٦٦٤٢٢٤٦𝜃=١٤٦󰃁𞸏+٦𞸏+٥١𞸏+٠٢+٥١𞸏+٦𞸏+١𞸏󰃀.

يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن 𞸏𞸍 مع الحدود التي تتضمَّن ١𞸏𞸍، على النحو الآتي: ٦٦٦٤٤٢٢𝜃=١٤٦󰃁󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٦󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٥١󰃁𞸏+١𞸏󰃀+٠٢󰃀.

باستخدام 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن ذلك في صورة: ٦𝜃=١٤٦(٢٦𝜃+٦(٢٤𝜃)+٥١(٢٢𝜃)+٠٢).

وأخيرًا نبسِّط لنحصل على: ٦𝜃=١٢٣٦𝜃+٣٦١٤𝜃+٥١٢٣٢𝜃+٥٦١.

إن التعبير عن قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة مضاعفات الزوايا أمر مفيد للغاية لإيجاد قيم التكاملات، مثلما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٣: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيم تكاملات الدوال المثلثية

باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الدقيقة للآتي: 󰏅𝜃𞸃𝜃.𝜋٢٠٧

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا كتابة ٧𝜃 بدلالة مضاعفات الزاوية، وهو ما يسهِّل إيجاد تكاملها. نبدأ بجعل 𞸏=𝜃+𞸕𝜃. ثم باستخدام 𞸏، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية على الصورة: ٢𞸕𝜃=𞸏١𞸏.

برفع كلا الطرفين للقوة السابعة، يصبح لدينا: ٢𞸕𝜃=󰃁𞸏١𞸏󰃀.٧٧٧٧

بما أن 𞸕=𞸕٧، ٢=٨٢١٧، إذن يمكننا قسمة الطرفين على ٨٢١𞸕 للحصول على: ٧٧٧𝜃=١٨٢١𞸕󰃁𞸏١𞸏󰃀=𞸕٨٢١󰃁𞸏١𞸏󰃀.

بتطبيق نظرية ذات الحدين، يصبح لدينا: ٧٧٧١٦٧٢٥٢٧٣٤٣٧٤٣٤٧٥٢٥٧٦٦٧𝜃=𞸕٨٢١󰃁𞸏𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀+𞹟𞸏󰃁١𞸏󰃀󰃁١𞸏󰃀󰃀.

وبالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٧٧٥٣٣٥٧𝜃=𞸕٨٢١󰃁𞸏٧𞸏+١٢𞸏٥٣𞸏+٥٣𞸏١٢𞸏+٧𞸏١𞸏󰃀.

يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن 𞸏𞸍 مع الحدود التي تتضمَّن ١𞸏𞸍، كالآتي: ٧٧٧٥٥٣٣𝜃=𞸕٨٢١󰃁󰃁𞸏١𞸏󰃀٧󰃁𞸏١𞸏󰃀+١٢󰃁𞸏١𞸏󰃀٥٣󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃀.

باستخدام 𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة: ٧𝜃=𞸕٨٢١(٢𞸕٧𝜃٧(٢𞸕٥𝜃)+١٢(٢𞸕٣𝜃)٥٣(٢𞸕𝜃)).

بالتبسيط، نحصل على: ٧𝜃=١٤٦(٥٣𝜃١٢٣𝜃+٧٥𝜃٧𝜃).

وبالتعويض بذلك في التكامل، يصبح لدينا: 󰏅𝜃𞸃𝜃=󰏅١٤٦(٥٣𝜃١٢٣𝜃+٧٥𝜃٧𝜃)𞸃𝜃.𝜋٢𝜋٢٠٧٠

إذن: 󰏅𝜃𞸃𝜃=١٤٦󰂗󰂔٥٣𝜃+٧٣𝜃٧٥٥𝜃+١٧٧𝜃󰂓󰂖=١٤٦󰂔󰂔٥٣𝜋٢+٧٣𝜋٢٧٥٥𝜋٢+١٧٧𝜋٢󰂓󰂔٥٣٠+٧٠٧٥٠+١٧٠󰂓󰂓=١٤٦󰂔٥٣٧+٧٥١٧󰂓=٦١٥٣.𝜋٢𝜋٢٠٧٠

لا تقتصر تطبيقات نظرية ديموافر على القوى البسيطة للجيب وجيب التمام، فيمكننا أيضًا إيجاد تعبيرات لحاصل ضرب قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية.

مثال ٤: حل معادلات الدوال المثلثية باستخدام حواصل ضرب قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية

  1. عبِّر عن ٢٣𝜃𝜃 بالصورة 𞸀𝜃+𞸁٣𝜃+𞸢٥𝜃؛ بحيث يكون 𞸀،𞸁، 𞸢 ثوابت مطلوبًا إيجادها.
  2. بعد ذلك، أوجد جميع الحلول الناتجة عن ٥𝜃+٣𝜃=٠ على الفترة ٠𝜃<𝜋. اكتب إجابتك بصورة دقيقة.

الحل

الجزء الأول

بافتراض أن 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏، على النحو الآتي: ٢𝜃=𞸏+١𞸏،٢𞸕𝜃=𞸏١𞸏.

إذن: ٢٣٢٢٣٣٢٣𝜃𝜃=١(٢𞸕)󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃁١٢󰃁𞸏+١𞸏󰃀󰃀=١٢٣󰃁𞸏١𞸏󰃀󰃁𞸏+١𞸏󰃀.

باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكننا فك كل قوس على حدة كالآتي: ٢٣٢٢٣٣𝜃𝜃=١٢٣󰃁𞸏٢+١𞸏󰃀󰃁𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏󰃀.

بضرب حدَّي القوس الأول في حدود القوس الثاني، نحصل على: ٢٣٥٣٣٣٣٥𝜃𝜃=١٢٣󰃁𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏٢𞸏٦𞸏٦𞸏٢𞸏+𞸏+٣𞸏+٣𞸏+١𞸏󰃀.

وبتجميع الحدود التي تتضمَّن 𞸏𞸍 مع الحدود التي تتضمَّن ١𞸏𞸍، يكون لدينا: ٢٣٥٥٣٣𝜃𝜃=١٢٣󰃁󰃁𞸏+١𞸏󰃀+󰃁𞸏+١𞸏󰃀٢󰃁𞸏+١𞸏󰃀󰃀.

باستخدام 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃𞸍𞸍، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة: ٢٣𝜃𝜃=١٢٣(٢٥𝜃+٢٣𝜃٢(٢𝜃))=١٦١(٢𝜃٥𝜃٣𝜃).

الجزء الثاني

باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يمكننا ملاحظة أن: ٥𝜃+٣𝜃=٢𝜃٦١𝜃𝜃.٢٣

ومن ثم، فإن ٥𝜃+٣𝜃=٠ تكافئ: ٠=٢𝜃٦١𝜃𝜃.٢٣

بتحليل هذا المقدار، يصبح لدينا: ٠=٢𝜃󰁓١٨𝜃𝜃󰁒،٢٢

وهو ما يُعَد صحيحًا في حالة 𝜃=٠ أو ١٨𝜃𝜃=٠٢٢. بالنسبة إلى الحالة الأولى، بما أن ٠𝜃<𝜋، إذن 𝜃=٠ عندما تكون 𝜃=𝜋٢.

والآن، نتناول الحالة ١٨𝜃𝜃=٠٢٢. باستخدام صيغة ضعف الزاوية لجيب الزاوية، نحصل على: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،

يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ١٢٢𝜃=٠.٢

إذن: ٢٢𝜃=١٢.

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، نحصل على: ٢𝜃=±١󰋴٢.

هيا نبدأ بالجذر التربيعي الموجب، إذا كانت 𝜃 في النطاق ٠𝜃<𝜋، فإن ٢𝜃=١󰋴٢ عندما تكون 𝜃=𝜋٨ أو ٣𝜋٨. وبالمثل، بالنسبة إلى الجذر التربيعي السالب، فإن ٢𝜃=١󰋴٢ عندما تكون 𝜃=٥𝜋٨ أو ٧𝜋٨.

إذن، حلول ٥𝜃+٣𝜃=٠ لكل 𝜃 في النطاق ٠𝜃<𝜋 هي: 𝜃=𝜋٨،٣𝜋٨،𝜋٢،٥𝜋٨،٧𝜋٨.

يمكن تطبيق الطرق المستخدَمة لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية على دوال مثلثية أخرى مثل دالتَي الظل وظل التمام. سيوضِّح المثال التالي كيفية إيجاد صيغ مضاعفات الزاوية لدالة الظل.

مثال ٥: استنتاج متطابقات الدوال المثلثية التي تتضمَّن دالة الظل

  1. اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃.
  2. اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃، 𝜃.
  3. بناءً على ذلك، اكتب ٦𝜃 بدلالة قوى 𝜃.

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=(𝜃+𞸕𝜃).٦

وبتطبيق نظرية ذات الحدين، نحصل على: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+𞹟𝜃(𞸕𝜃)+(𞸕𝜃).٦٦١٥٦٢٤٢٦٣٣٣٦٤٢٤٦٥٥٦

وبالتعويض بقيم 𞸍𞸓𞹟، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+٦𞸕𝜃𝜃+٥١𞸕𝜃𝜃+٠٢𞸕𝜃𝜃+٥١𞸕𝜃𝜃+٦𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃.٦٥٢٤٢٣٣٣٤٢٤٥٥٦٦

بإيجاد قيم قوى 𞸕، نحصل على:

٦𝜃+𞸕٦𝜃=𝜃+٦𞸕𝜃𝜃٥١𝜃𝜃٠٢𞸕𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃+٦𞸕𝜃𝜃𝜃.٦٥٤٢٣٣٢٤٥٦()١

بمساواة الجزأين التخيُّليين، يصبح لدينا: ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃.٥٣٣٥

الجزء الثاني

بمساواة الجزأين الحقيقيين بالمعادلة، (١) نحصل على المعادلة: ٦𝜃=𝜃٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃𝜃.٦٤٢٢٤٦

الجزء الثالث

باستخدام تعريف دالة الظل بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام، يصبح لدينا: ٦𝜃=٦𝜃٦𝜃.

باستخدام الإجابات التي حصلنا عليها من الجزأين الأول والثاني، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃𝜃٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃𝜃.٥٣٣٥٦٤٢٢٤٦

بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على ٦𝜃، نحصل على: ٦𝜃=٦𝜃٠٢𝜃+٦𝜃١٥١𝜃+٥١𝜃𝜃.٣٥٢٤٦

هيا نختتم بتلخيص النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • باستخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين، يمكننا استنتاج صيغ مضاعفات الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل المختلفة.
  • إذا عرَّفنا 𞸏=𝜃+𞸕𝜃، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة 𞸏، كالآتي: 𞸏+١𞸏=٢𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𝜃. كما يمكننا التعبير عن 𞸍𝜃، 𞸍𝜃 بدلالة 𞸏 على الصورة: 𞸏+١𞸏=٢𞸍𝜃،𞸏١𞸏=٢𞸕𞸍𝜃.𞸍𞸍𞸍𞸍 باستخدام هاتين المعادلتين، يمكننا إيجاد تعبيرات لقوى الجيب وجيب التمام، وحواصل ضربهما.
  • باستخدام هذه الطرق لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية، يمكننا تبسيط التكاملات وحل المعادلات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.