في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر للحصول على المتطابقات المثلثية.
باستخدام نظرية ذات الحدين ونظرية ديموافر، يمكننا التعبير عن ، بدلالة قوى ، . هيا نبدأ بتذكُّر نظرية ديموافر.
نظرية: نظرية ديموافر
لأيِّ عدد صحيح :
نلاحظ أن الطرف الأيمن من المعادلة مقدار ذو حدين؛ لأنه على الصورة . إذن، هيا نتذكَّر نظرية ذات الحدين التي يمكننا استخدامها لإيجاد قيم المقادير من هذا النوع مباشرةً.
نظرية: نظرية ذات الحدين
لأيِّ عدد صحيح :
حيث . أحيانًا يرمز إلى بالصورة .
باستخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين معًا، يمكننا التعبير عن قوى دالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة القوى الأدنى. هيا نُلقِ نظرةً على الصورة العامة لهذه الطريقة.
خطوات: استنتاج تعبيرات لقوى الدوال المثلثية
افترض أننا نريد إيجاد علاقة بين وحدود القوى الأدنى لجيب التمام في أحد الطرفين، وفي الطرف الآخر . إذن، يمكننا القيام بالآتي:
- باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا:
- نستخدم نظرية ذات الحدين في الطرف الأيسر، لنحصل على:
- بفك الحدود التي تتضمَّن ، ونقل الحدود التي تتضمَّن إلى الأمام، نحصل على:
- نستخدم حقيقة أن لإيجاد قيم قوى . ونتيجةً لذلك يصبح نصف حدود المفكوك حقيقيًّا، والنصف الآخر تخيُّليًّا، كما هو موضَّح:
- يمكننا بعد ذلك مساواة الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية من المعادلة السابقة معًا. وبما أننا نريد فقط إيجاد ، إذن نتناول الأجزاء الحقيقية فقط (لو أردنا إيجاد ، لكان علينا تناول الأجزاء التخيُّلية بناءً على إذا ما كان حقيقيًّا أم تخيليًّا). هذا يُعطينا:
- نستخدم المتطابقة للتخلُّص من الحدود التي تتضمَّن دالة الجيب: ونلاحظ أن طريقة إيجاد هي نفس الطريقة، إلا أننا نريد التخلُّص من الحدود التي تتضمَّن .
بعد أن رأينا الصورة العامة لهذه الطريقة، هيا نتناول مثالًا يمكننا فيه توضيح طريقة استنتاج المتطابقات المثلثية عمليًّا.
مثال ١: حساب قوى دالة الجيب باستخدام صيغ مضاعفات الزواية
- استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن بدلالة قوى .
- بإيجاد حلول ، أوجد القيمة الدقيقة للدالة .
الحل
الجزء الأول
باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا:
بتطبيق نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر، نحصل على:
بالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:
بإيجاد قيم قوى ، نحصل على:
بمساواة الجزأين التخيُّليين، نحصل على:
لحذف قوى ، نستخدم المتطابقة . وبالتعويض بذلك، يصبح لدينا:
بفك الأقواس والتبسيط، نحصل على:
وبتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا:
الجزء الثاني
نبدأ بدراسة حلول . نعرف أن جيب الزاوية يساوي صفرًا للمضاعفات الصحيحة لـ . ومن ثم، عندما تكون: لكل . باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يصبح لدينا ، عندما تكون لكل . بإخراج العامل المشترك ، يصبح لدينا:
ندرس الآن الحالة التي فيها . نعرف أن ، إذن يمكننا استنتاج أن . وهي معادلة تربيعية في . ومن ثم، عند جعل ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:
باستخدام القانون العام:
ونحصل على الحلين:
إذن، لدينا احتمالان: أو . نحن نعلم أن دالة تزايدية لـ ، وأن في هذه الفترة. ومن ثم، يصبح لدينا:
كما نعرف أن ، وهذا يعني أن:
وبالمقارنة بين هاتين الإجابتين المحتملتين و، نجد أن في حين أن ، وهذا يعني أن الإجابة الأولى فقط صحيحة. إذن:
يمكننا أيضًا استخدام نظرية ديموافر لاستنتاج متطابقات لكلٍّ من ، . لفعل ذلك، نبدأ بتعريف عدد مركب . بعد ذلك، يمكننا اعتبار أن:
وبتطبيق نظرية ديموافر، يصبح لدينا:
وباستخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام: ، ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
إذن:
وبالمثل، يمكننا اعتبار ؛ حيث . باستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: . وبطريقة مماثلة، يمكننا اعتبار:
باستخدام نظرية ديموافر، يمكننا إعادة صياغة هذه المعادلة في صورة:
وبتطبيق متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام، نحصل على:
ومن ثم، بجمع الاستنتاجين السابقين أو طرحهما، نحصل على الزوج التالي من المتطابقات المفيدة.
متطابقة: صيغ مضاعفات الزاوية بدلالة الأعداد المركبة
افترض أن . إذن، لأي ، يكون لدينا:
تكافئ هاتان المعادلتان، في الواقع، الصيغتين الآتيتين للتعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة الدالة الأسية:
باستخدام المتطابقتين السابقتين لدالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة ، يمكننا استنتاج العديد من المتطابقات المثلثية الأخرى. يجب أن تتذكَّر كلًّا من الطريقة المستخدَمة هنا وصيغتَي دالتَي الجيب وجيب التمام بدلالة .
والآن، في الأمثلة القليلة التالية، سنوضِّح تطبيقات لهذه المتطابقة على مسائل مختلفة تتضمَّن دوال مثلثية.
مثال ٢: حساب قوى دالة جيب التمام باستخدام متطابقات مضاعفات الزاوية
عبِّر عن بدلالة ، ، ، ، ، ، وأي حد ثابت.
الحل
بافتراض أن ، يمكننا كتابة:
برفع كلا الطرفين للقوة السادسة، يصبح لدينا:
إذن:
سنطبِّق الآن نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر كالآتي:
بالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:
يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، على النحو الآتي:
باستخدام ، يمكننا التعبير عن ذلك في صورة:
وأخيرًا نبسِّط لنحصل على:
إن التعبير عن قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة مضاعفات الزوايا أمر مفيد للغاية لإيجاد قيم التكاملات، مثلما سيوضِّح المثال الآتي.
مثال ٣: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيم تكاملات الدوال المثلثية
باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الدقيقة للآتي:
الحل
بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا كتابة بدلالة مضاعفات الزاوية، وهو ما يسهِّل إيجاد تكاملها. نبدأ بجعل . ثم باستخدام ، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية على الصورة:
برفع كلا الطرفين للقوة السابعة، يصبح لدينا:
بما أن ، ، إذن يمكننا قسمة الطرفين على للحصول على:
بتطبيق نظرية ذات الحدين، يصبح لدينا:
وبالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:
يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، كالآتي:
باستخدام ، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة:
بالتبسيط، نحصل على:
وبالتعويض بذلك في التكامل، يصبح لدينا:
إذن:
لا تقتصر تطبيقات نظرية ديموافر على القوى البسيطة للجيب وجيب التمام، فيمكننا أيضًا إيجاد تعبيرات لحاصل ضرب قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية.
مثال ٤: حل معادلات الدوال المثلثية باستخدام حواصل ضرب قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية
- عبِّر عن بالصورة ؛ بحيث يكون ، ثوابت مطلوبًا إيجادها.
- بعد ذلك، أوجد جميع الحلول الناتجة عن على الفترة . اكتب إجابتك بصورة دقيقة.
الحل
الجزء الأول
بافتراض أن ، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة ، على النحو الآتي:
إذن:
باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكننا فك كل قوس على حدة كالآتي:
بضرب حدَّي القوس الأول في حدود القوس الثاني، نحصل على:
وبتجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، يكون لدينا:
باستخدام ، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة:
الجزء الثاني
باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يمكننا ملاحظة أن:
ومن ثم، فإن تكافئ:
بتحليل هذا المقدار، يصبح لدينا:
وهو ما يُعَد صحيحًا في حالة أو . بالنسبة إلى الحالة الأولى، بما أن ، إذن عندما تكون .
والآن، نتناول الحالة . باستخدام صيغة ضعف الزاوية لجيب الزاوية، نحصل على:
يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
إذن:
بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، نحصل على:
هيا نبدأ بالجذر التربيعي الموجب، إذا كانت في النطاق ، فإن عندما تكون أو . وبالمثل، بالنسبة إلى الجذر التربيعي السالب، فإن عندما تكون أو .
إذن، حلول لكل في النطاق هي:
يمكن تطبيق الطرق المستخدَمة لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية على دوال مثلثية أخرى مثل دالتَي الظل وظل التمام. سيوضِّح المثال التالي كيفية إيجاد صيغ مضاعفات الزاوية لدالة الظل.
مثال ٥: استنتاج متطابقات الدوال المثلثية التي تتضمَّن دالة الظل
- اكتب بدلالة قوى ، .
- اكتب بدلالة قوى ، .
- بناءً على ذلك، اكتب بدلالة قوى .
الحل
الجزء الأول
باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا:
وبتطبيق نظرية ذات الحدين، نحصل على:
وبالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:
بإيجاد قيم قوى ، نحصل على:
بمساواة الجزأين التخيُّليين، يصبح لدينا:
الجزء الثاني
بمساواة الجزأين الحقيقيين بالمعادلة، (١) نحصل على المعادلة:
الجزء الثالث
باستخدام تعريف دالة الظل بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام، يصبح لدينا:
باستخدام الإجابات التي حصلنا عليها من الجزأين الأول والثاني، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على ، نحصل على:
هيا نختتم بتلخيص النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- باستخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين، يمكننا استنتاج صيغ مضاعفات الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل المختلفة.
- إذا عرَّفنا ، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة ، كالآتي: كما يمكننا التعبير عن ، بدلالة على الصورة: باستخدام هاتين المعادلتين، يمكننا إيجاد تعبيرات لقوى الجيب وجيب التمام، وحواصل ضربهما.
- باستخدام هذه الطرق لاستنتاج متطابقات الدوال المثلثية، يمكننا تبسيط التكاملات وحل المعادلات.