شارح الدرس: نظرية ديموافر للمتطابقات المثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: حساب قوى دالة الجيب باستخدام صيغ مضاعفات الزواية

1. استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن بدلالة قوى .
2. بإيجاد حلول ، أوجد القيمة الدقيقة للدالة .

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا:

بتطبيق نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر، نحصل على:

بالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:

بإيجاد قيم قوى ، نحصل على:

بمساواة الجزأين التخيُّليين، نحصل على:

لحذف قوى ، نستخدم المتطابقة . وبالتعويض بذلك، يصبح لدينا:

بفك الأقواس والتبسيط، نحصل على:

وبتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا:

الجزء الثاني

نبدأ بدراسة حلول . نعرف أن جيب الزاوية يساوي صفرًا للمضاعفات الصحيحة لـ . ومن ثم، عندما تكون: لكل . باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يصبح لدينا ، عندما تكون لكل . بإخراج العامل المشترك ، يصبح لدينا:

ندرس الآن الحالة التي فيها . نعرف أن ، إذن يمكننا استنتاج أن . وهي معادلة تربيعية في . ومن ثم، عند جعل ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:

باستخدام القانون العام:

ونحصل على الحلين:

إذن، لدينا احتمالان: أو . نحن نعلم أن دالة تزايدية لـ ، وأن في هذه الفترة. ومن ثم، يصبح لدينا:

كما نعرف أن ، وهذا يعني أن:

وبالمقارنة بين هاتين الإجابتين المحتملتين و، نجد أن في حين أن ، وهذا يعني أن الإجابة الأولى فقط صحيحة. إذن:

مثال ٢: حساب قوى دالة جيب التمام باستخدام متطابقات مضاعفات الزاوية

عبِّر عن بدلالة ، ، ، ، ، ، وأي حد ثابت.

الحل

بافتراض أن ، يمكننا كتابة:

برفع كلا الطرفين للقوة السادسة، يصبح لدينا:

إذن:

سنطبِّق الآن نظرية ذات الحدين على الطرف الأيسر كالآتي:

بالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:

يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، على النحو الآتي:

باستخدام ، يمكننا التعبير عن ذلك في صورة:

وأخيرًا نبسِّط لنحصل على:

مثال ٣: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيم تكاملات الدوال المثلثية

باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الدقيقة للآتي:

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا كتابة بدلالة مضاعفات الزاوية، وهو ما يسهِّل إيجاد تكاملها. نبدأ بجعل . ثم باستخدام ، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية على الصورة:

برفع كلا الطرفين للقوة السابعة، يصبح لدينا:

بما أن ، ، إذن يمكننا قسمة الطرفين على للحصول على:

بتطبيق نظرية ذات الحدين، يصبح لدينا:

وبالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:

يمكننا الآن تجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، كالآتي:

باستخدام ، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة:

بالتبسيط، نحصل على:

وبالتعويض بذلك في التكامل، يصبح لدينا:

إذن:

مثال ٤: حل معادلات الدوال المثلثية باستخدام حواصل ضرب قوى جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية

1. عبِّر عن بالصورة ؛ بحيث يكون ، ثوابت مطلوبًا إيجادها.
2. بعد ذلك، أوجد جميع الحلول الناتجة عن على الفترة . اكتب إجابتك بصورة دقيقة.

الحل

الجزء الأول

بافتراض أن ، يمكننا التعبير عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية بدلالة ، على النحو الآتي:

إذن:

باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكننا فك كل قوس على حدة كالآتي:

بضرب حدَّي القوس الأول في حدود القوس الثاني، نحصل على:

وبتجميع الحدود التي تتضمَّن مع الحدود التي تتضمَّن ، يكون لدينا:

باستخدام ، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة:

الجزء الثاني

باستخدام إجابتنا من الجزء الأول، يمكننا ملاحظة أن:

ومن ثم، فإن تكافئ:

بتحليل هذا المقدار، يصبح لدينا:

وهو ما يُعَد صحيحًا في حالة أو . بالنسبة إلى الحالة الأولى، بما أن ، إذن عندما تكون .

والآن، نتناول الحالة . باستخدام صيغة ضعف الزاوية لجيب الزاوية، نحصل على:

يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

إذن:

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، نحصل على:

هيا نبدأ بالجذر التربيعي الموجب، إذا كانت في النطاق ، فإن عندما تكون أو . وبالمثل، بالنسبة إلى الجذر التربيعي السالب، فإن عندما تكون أو .

إذن، حلول لكل في النطاق هي:

مثال ٥: استنتاج متطابقات الدوال المثلثية التي تتضمَّن دالة الظل

1. اكتب بدلالة قوى ، .
2. اكتب بدلالة قوى ، .
3. بناءً على ذلك، اكتب بدلالة قوى .

الحل

الجزء الأول

باستخدام نظرية ديموافر، يصبح لدينا:

وبتطبيق نظرية ذات الحدين، نحصل على:

وبالتعويض بقيم ، ثم التبسيط، يصبح لدينا:

بإيجاد قيم قوى ، نحصل على:

بمساواة الجزأين التخيُّليين، يصبح لدينا:

الجزء الثاني

بمساواة الجزأين الحقيقيين بالمعادلة، (١) نحصل على المعادلة:

الجزء الثالث

باستخدام تعريف دالة الظل بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام، يصبح لدينا:

باستخدام الإجابات التي حصلنا عليها من الجزأين الأول والثاني، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على ، نحصل على: