فيديو: تطبيقات نظرية ديموافر على المتطابقات المثلثية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق نظرية ديموافر لاستنتاج المتطابقات المثلثية.

١٤:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإثبات المتطابقات المثلثية. على الأرجح كنت تستخدم بعض هذه المتطابقات لمدة زمنية طويلة دون أن تدرك مصدرها. وسيقدم لك هذا الدرس لمحة عن هذا الموضوع. سنبدأ بتلخيص كيفية استخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين لفك الأقواس، ثم سنتناول استنتاج عدد من المتطابقات ومعرفة كيفية استخدامها لحل معادلات تتضمن دوال مثلثية.

تذكر أن نظرية ديموافر تنص على أنه لقيم ‪𝑛‬‏ الصحيحة، فإن العدد المركب المكتوب على الصورة القطبية ‪𝑟 cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ في ‪cos 𝑛𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. وبالمثل، توضح لنا نظرية ذات الحدين كيف نحسب قيمة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ الكل أس ‪𝑛‬‏. ولعلك تعرف أيضًا متسلسلة ذات الحدين باعتبارها مفكوك واحد زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، لكننا لن نطبق هذه الطريقة في هذا الفيديو. لنر كيف يمكننا استخدام هذين المفهومين لاستنتاج صيغة ضعف الزاوية.

‏ ‏

للإجابة عن الجزء الأول من هذا السؤال، سنستخدم عكس نظرية ديموافر لحساب قيمة ‪cos‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏. وفقًا لنظرية ديموافر، هذا يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل أس خمسة. لنبدأ باستخدام نظرية ذات الحدين لفك هذه الأقواس. سنقارن ‪𝜃 cos‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس خمسة بنظرية ذات الحدين. نلاحظ أن ‪𝑎‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏، و‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑖 sin 𝜃‬‏، و‪𝑛‬‏ يساوي خمسة.

بالتالي، الحد الأول في مفكوك ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل أس خمسة هو ‪cos 𝜃‬‏ أس خمسة. الحد الثاني هو خمسة توافيق واحد في ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة في ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. الحد الثالث هو خمسة توافيق اثنين ‪cos 𝜃‬‏ تكعيب في ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ تربيع. ويمكن أن نحسب الحدود المتبقية كما هو موضح. بعد ذلك، نتذكر أن خمسة توافيق واحد يساوي خمسة، وخمسة توافيق اثنين يساوي ‪10‬‏، وخمسة توافيق ثلاثة يساوي ‪10‬‏ مرة أخرى، وخمسة توافيق أربعة يساوي خمسة أيضًا. كما نعلم أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، و‪𝑖‬‏ تكعيب يساوي سالب ‪𝑖‬‏، و‪𝑖‬‏ أس أربعة يساوي واحدًا، و‪𝑖‬‏ أس خمسة يساوي ‪𝑖‬‏. ونبسط هذه المقادير كما هو موضح.

وحيث إننا قلنا بداية إن ‪cos‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس خمسة، يمكن أن نساوي هذا المقدار كله بـ ‪cos‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏. والآن تذكر أننا نحاول إيجاد مقدار يعبر عن ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏. لذلك سنحاول أن نساوي الأجزاء التخيلية في كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيسر، لدينا ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا خمسة ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة في ‪sin 𝜃‬‏ ناقص ‪cos 10‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ في ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ زائد ‪sin 𝜃‬‏ أس خمسة.

سنحتاج إلى أن نفرغ بعض المساحة هنا. وفي هذه المرحلة علينا أن نتذكر أن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا دائمًا. وبإعادة ترتيب ذلك، نجد أن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. وقمنا بذلك لنتمكن من التعويض عن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة في المقدار الذي لدينا، لأننا نحاول كتابته بدلالة قوى دالة الجيب.

وعندما نفعل ذلك، نجد أن ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ يساوي خمسة في واحد ناقص ‪sin 𝜃‬‏ تربيع الكل تربيع في ‪sin 𝜃‬‏ ناقص ‪10‬‏ في واحد ناقص ‪sin 𝜃‬‏ تربيع ‪sin 𝜃‬‏ تكعيب زائد ‪sin 𝜃‬‏ أس خمسة. وبفك هذه الأقواس بالتوزيع والتبسيط، نجد أن ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ يساوي ‪𝜃 sin 16‬‏ أس خمسة ناقص ‪𝜃 sin 20‬‏ تكعيب زائد خمسة ‪sin 𝜃‬‏.

والآن بعد أن كتبنا ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ بدلالة قوى ‪sin 𝜃‬‏، يمكننا الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. علينا التفكير في حلول ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا. نعلم أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا لها حلول عند المضاعفات الصحيحة لـ ‪𝜋‬‏. هذا يعني أن ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا لها حلول عند ‪𝜃‬‏ يساوي ‪𝑛𝜋‬‏ على خمسة، أو المضاعفات الصحيحة لـ ‪𝜋‬‏ على خمسة. وبمقارنة ذلك بالمعادلة التي حصلنا عليها في الجزء الأول، نجد أن ‪𝜃 sin 16‬‏ أس خمسة ناقص ‪𝜃 sin 20‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ زائد خمسة ‪sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا يجب أن يكون لها حلول أيضًا عند ‪𝜃‬‏ يساوي ‪𝑛𝜋‬‏ على خمسة.

لنجر بعض العمليات على المقدار في الطرف الأيسر للمعادلة، مع تذكر أن هدفنا هو إيجاد القيمة الفعلية لـ ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة. سنبدأ بأخذ ‪sin 𝜃‬‏ عاملًا مشتركًا. ونجد أن ‪sin 𝜃‬‏ في ‪𝜃 sin 16‬‏ أس أربعة ناقص ‪sin 20‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد خمسة يجب أن يساوي صفرًا. لنفترض أن قيمة ‪𝜃‬‏ هي ‪𝜋‬‏ على خمسة. بعبارة أخرى، ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا. ‏‏‪sin 𝜋‬‏ على خمسة لا يساوي صفرًا. لكي يكون حاصل ضرب هذين القوسين صفرًا، فهذا يعني أن ‪𝜋 sin 16‬‏ على خمسة أس أربعة ناقص ‪sin 20‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة زائد خمسة يجب أن يساوي صفرًا. ولاحظ أن هذا يشبه المعادلة التربيعية. سنفترض أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة.

وها هي المعادلة التربيعية: ‪𝑥16‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥20‬‏ زائد خمسة يساوي صفرًا. ويمكن أن نحل هذه المعادلة باستخدام أي طريقة نفضلها لحل المعادلات التربيعية، مثل إكمال المربع أو القانون العام. وعندما نقوم بذلك، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة زائد أو ناقص جذر خمسة الكل مقسوم على ثمانية. وبالطبع، سبق وأن قلنا إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة. إذن أوجدنا حلين لـ ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة هما خمسة زائد أو ناقص جذر خمسة على ثمانية. وإذا تحققنا من هذين الحلين باستخدام الآلة الحاسبة، سنجد أن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة يساوي خمسة ناقص جذر خمسة مقسومًا على ثمانية. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من هذا السؤال. إذن، القيمة الفعلية لـ ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜋‬‏ على خمسة هي خمسة ناقص جذر خمسة على ثمانية.

رأينا كيف نستخدم نظرية ديموافر لحساب قيمة ‪sin‬‏ لمضاعفات ‪𝜃‬‏. لكن يمكننا أيضًا استخدام النظرية لاستنتاج متطابقات لـ ‪sin 𝜃‬‏ أس ‪𝑛‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ أس ‪𝑛‬‏. لنفترض أن لدينا عددًا مركبًا ‪𝑧‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. نعلم أن مقلوب ‪𝑧‬‏ هو ‪𝑧‬‏ أس سالب واحد. ويمكن أن نستخدم نظرية ديموافر لحساب قيمته. إنها ‪cos‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ سالب ‪𝜃‬‏.

والآن تذكر أن دالة جيب التمام دالة زوجية. لذا ‪cos‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ هو نفسه ‪cos 𝜃‬‏. لكن دالة الجيب دالة فردية. لذلك ‪sin‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ هو نفسه سالب ‪sin 𝜃‬‏. وعلى ذلك يمكن أن نكتب مقلوب ‪𝑧‬‏ باعتباره ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. لكن ما أهمية ذلك؟ حسنًا، إنه يتيح لنا حساب قيمة ‪𝑧‬‏ زائد مقلوب ‪𝑧‬‏. ‏‏‪𝑧‬‏ زائد مقلوب ‪𝑧‬‏ يساوي ببساطة اثنين ‪cos 𝜃‬‏. بالمثل، يتيح لنا ذلك حساب الفرق بينهما. ‏‏‪𝑧‬‏ ناقص مقلوب ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. ويمكن في الواقع تعميم ذلك على القوى الأعلى لـ ‪𝑧‬‏.

باستخدام نظرية ديموافر وتطبيق متطابقات الدوال الفردية والزوجية للجيب وجيب التمام، نحصل على هاتين المعادلتين. وبإعادة ترتيبهما بقسمة المعادلة الأولى على اثنين، والمعادلة الثانية على اثنين ‪𝑖‬‏؛ حيث العدد المركب ‪𝑧‬‏ مكتوب على الصورة الأسية، نجد أن ‪cos 𝑛𝜃‬‏ يساوي نصف ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝑛𝜃‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝑛𝜃‬‏. و‪sin 𝑛𝜃‬‏ يساوي واحدًا على اثنين ‪𝑖‬‏ مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝑛𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝑛𝜃‬‏. هذه الصيغ مفيدة للغاية في استنتاج عدد من المتطابقات المثلثية. وعليك أن تحفظها عن ظهر قلب لتتذكرها بسهولة. لنلق نظرة على بعض الأمثلة التي توضح أهمية هذه الصيغ.

باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الفعلية لتكامل ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة بالنسبة إلى ‪𝜃‬‏ بين الحدين ‪𝜋‬‏ على اثنين وصفر.

سنبدأ بكتابة ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة بدلالة مضاعفات الزوايا لأن ذلك يسهل إجراء التكامل. سنستخدم أيضًا حقيقة أن ‪𝑧‬‏ ناقص مقلوب ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. وبما أن تركيزنا هنا على ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة، فسنرفع هذه المعادلة كلها للأس سبعة. نحصل على ‪𝑧‬‏ ناقص واحد على ‪𝑧‬‏ الكل أس سبعة، وهو ما يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس سبعة.

اثنان أس سبعة يساوي ‪128‬‏، و‪𝑖‬‏ أس سبعة يساوي سالب ‪𝑖‬‏. نقسم طرفي هذه المعادلة على سالب ‪𝑖128‬‏. سنحسب قيمة سالب واحد على ‪𝑖128‬‏ عن طريق ضرب البسط والمقام في ‪𝑖‬‏. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ‪𝑖‬‏ على ‪𝑖128‬‏ تربيع. لكن بما أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، نبسط هذا المقدار ليصبح ‪𝑖‬‏ على ‪128‬‏.

في الخطوة التالية نطبق نظرية ذات الحدين على ‪𝑧‬‏ ناقص واحد على ‪𝑧‬‏ الكل أس سبعة. عندما نستخدم نظرية ذات الحدين، يصبح ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة كما هو موضح. بعد ذلك نتذكر أن ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد على ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. ونجد أنه يمكن أن نكتب هذا المقدار بدلالة مضاعفات الزوايا عن طريق تجميع قوى ‪𝑧‬‏.

هذا يعني أن ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة يساوي ‪𝑖‬‏ على ‪128‬‏ في اثنين ‪𝑖 sin‬‏ سبعة ‪𝜃‬‏ ناقص سبعة في اثنين ‪𝑖 sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ زائد ‪21‬‏ في اثنين ‪𝑖 sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪35‬‏ في اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. وبتبسيط المقدار بالكامل، نجد أنه يساوي واحدًا على ‪64‬‏ في ‪𝜃 sin 35‬‏ ناقص ‪sin 21‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ زائد سبعة ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ سبعة ‪𝜃‬‏.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونعوض بهذا المقدار عن ‪sin 𝜃‬‏ أس سبعة في التكامل الذي لدينا. بعد ذلك نتذكر أن تكامل ‪sin 𝑛𝜃‬‏ بالنسبة إلى ‪𝜃‬‏ يساوي سالب واحد على ‪𝑛‬‏ في ‪cos 𝑛𝜃‬‏ زائد ثابت التكامل. وهذا يعني أن التكامل يساوي سالب ‪𝜃 cos 35‬‏ زائد سبعة ‪cos‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ ناقص سبعة أخماس في ‪cos‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ زائد سبع ‪cos‬‏ سبعة ‪𝜃‬‏. وبما أننا سنحسب قيمة التكامل بين الحدين ‪𝜋‬‏ على اثنين وصفر، فلسنا بحاجة إلى ثابت التكامل. وبذلك نحصل على واحد على ‪64‬‏ في ‪35‬‏ ناقص سبعة زائد سبعة أخماس ناقص سبع، وهو ما يساوي ‪16‬‏ على ‪35‬‏.

لاحظ كيف أن هذه الطريقة سهلت علينا للغاية حساب قيمة تكامل صعب إلى حد ما. وهذه الطريقة لا تقتصر على قوى دوال الجيب وجيب التمام. حيث يمكن أن نستخدمها أيضًا لإيجاد المقادير الناتجة عن ضرب قوى هذه الدوال. ويمكن أن نستخدمها أيضًا مع دالة الظل. بتذكر أن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪sin 𝜃‬‏ مقسومًا على ‪cos 𝜃‬‏، يمكن أن نكتب ظل مضاعف صحيح لـ ‪𝜃‬‏ بدلالة قوى ‪tan‬‏. لنر كيف يكون ذلك.

اكتب ‪tan‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ بدلالة قوى ‪tan 𝜃‬‏.

أولًا نتذكر أن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪sin 𝜃‬‏ مقسومًا على ‪cos 𝜃‬‏. وهذا بدوره يعني أن ‪tan‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ يساوي ‪sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ مقسومًا على ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. إذن، سنحسب قيمة ‪sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ و‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ بدلالة قوى الجيب وجيب التمام. تنص نظرية ديموافر على أن ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل أس ستة. سنفك هذه الأقواس باستخدام نظرية ذات الحدين ونقوم بالتبسيط عن طريق حساب قيم قوى ‪𝑖‬‏. ونجد أن ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس ستة كما هو موضح. وذكرنا بالطبع أن ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس ستة. إذن، يمكن أن نساوي هذا المفكوك بـ ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏.

ونلاحظ الآن أنه يمكننا مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية في هذه المعادلة. الجزء الحقيقي في الطرف الأيسر هو ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا ‪cos 𝜃‬‏ أس ستة، وسالب ‪𝜃 cos 15‬‏ أس أربعة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏، و‪cos 15‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ أس أربعة، وسالب ‪sin 𝜃‬‏ أس ستة. بعد ذلك نساوي الأجزاء التخيلية، لدينا في الطرف الأيسر ‪sin‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا ستة ‪cos 𝜃‬‏ أس خمسة في ‪sin 𝜃‬‏، وسالب ‪𝜃 cos 20‬‏ تكعيب ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏، وستة ‪cos 𝜃‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ أس خمسة.

والآن نحن مستعدون لحساب قيمة ‪tan‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. إنها ستة ‪cos 𝜃‬‏ أس خمسة في ‪sin 𝜃‬‏ ناقص ‪𝜃 cos 20‬‏ في ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ زائد ستة ‪cos 𝜃‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ أس خمسة الكل على ‪cos 𝜃‬‏ أس ستة ناقص ‪𝜃 cos 15‬‏ أس أربعة في ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪cos 15‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ أس أربعة ناقص ‪sin 𝜃‬‏ أس ستة. ولكتابة ذلك بدلالة ‪tan‬‏، سنقسم الكل على ‪cos 𝜃‬‏ أس ستة.

في البسط، ستة ‪cos 𝜃‬‏ أس خمسة في ‪sin 𝜃‬‏ على ‪cos 𝜃‬‏ أس ستة يساوي ستة ‪tan 𝜃‬‏. لدينا سالب ‪tan 20‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ وستة في ‪tan 𝜃‬‏ أس خمسة. في المقام، لدينا واحد ناقص ‪tan 15‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝜃 tan 15‬‏ أس أربعة ناقص ‪tan 𝜃‬‏ أس ستة. وبذلك نكون قد نجحنا في كتابة ‪tan‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ بدلالة قوى ‪tan 𝜃‬‏.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين لاستنتاج صيغ ضعف الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل المختلفة. كما عرفنا أن العدد المركب ‪𝑧‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏، و‪𝑧‬‏ زائد مقلوب ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝜃‬‏، و‪𝑧‬‏ ناقص مقلوب ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. كما عممنا هذه الفكرة لتشمل ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

واستخدمنا هذه المعادلات لإيجاد مقادير تعبر عن قوى دوال الجيب وجيب التمام. وقلنا إنه يمكن أيضًا إيجاد حواصل ضربها. وعلمنا أنه يمكننا استخدام هذه الأساليب لاستنتاج متطابقات مثلثية لتبسيط تكاملات أكثر تعقيدًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.