فيديو الدرس: نظرية ديموافر للمتطابقات المثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإثبات المتطابقات المثلثية. على الأرجح كنت تستخدم بعض هذه المتطابقات لمدة زمنية طويلة دون أن تدرك مصدرها. وسيقدم لك هذا الدرس لمحة عن هذا الموضوع. سنبدأ بتلخيص كيفية استخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين لفك الأقواس، ثم سنتناول استنتاج عدد من المتطابقات ومعرفة كيفية استخدامها لحل معادلات تتضمن دوال مثلثية.

تذكر أن نظرية ديموافر تنص على أنه لقيم ﻥ الصحيحة، فإن العدد المركب المكتوب على الصورة القطبية ﺭ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس ﻥ يساوي ﺭ أس ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. وبالمثل، توضح لنا نظرية ذات الحدين كيف نحسب قيمة ﺃ زائد ﺏ الكل أس ﻥ. ولعلك تعرف أيضًا متسلسلة ذات الحدين باعتبارها مفكوك واحد زائد ﺱ أس ﻥ، لكننا لن نطبق هذه الطريقة في هذا الفيديو. لنر كيف يمكننا استخدام هذين المفهومين لاستنتاج صيغة ضعف الزاوية.

‏‏(١) استخدم نظرية ديموافر لكتابة جا خمسة 𝜃 بدلالة قوى جا 𝜃. ‏‏(٢) بالنظر إلى حلول جا خمسة 𝜃 يساوي صفرًا، أوجد القيمة الفعلية لـ جا تربيع 𝜋 على خمسة.

للإجابة عن الجزء الأول من هذا السؤال، سنستخدم عكس نظرية ديموافر لحساب قيمة جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃. وفقًا لنظرية ديموافر، هذا يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس خمسة. لنبدأ باستخدام نظرية ذات الحدين لفك هذه الأقواس. سنقارن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس خمسة بنظرية ذات الحدين. نلاحظ أن ﺃ يساوي جتا 𝜃، وﺏ يساوي ﺕ جا 𝜃، وﻥ يساوي خمسة.

بالتالي، الحد الأول في مفكوك جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس خمسة هو جتا 𝜃 أس خمسة. الحد الثاني هو خمسة توافيق واحد في جتا 𝜃 أس أربعة في ﺕ جا 𝜃. الحد الثالث هو خمسة توافيق اثنين جتا 𝜃 تكعيب في ﺕ جا 𝜃 تربيع. ويمكن أن نحسب الحدود المتبقية كما هو موضح. بعد ذلك، نتذكر أن خمسة توافيق واحد يساوي خمسة، وخمسة توافيق اثنين يساوي ١٠، وخمسة توافيق ثلاثة يساوي ١٠ مرة أخرى، وخمسة توافيق أربعة يساوي خمسة أيضًا. كما نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، وﺕ تكعيب يساوي سالب ﺕ، وﺕ أس أربعة يساوي واحدًا، وﺕ أس خمسة يساوي ﺕ. ونبسط هذه المقادير كما هو موضح.

وحيث إننا قلنا بداية إن جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس خمسة، يمكن أن نساوي هذا المقدار كله بـ جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃. والآن تذكر أننا نحاول إيجاد مقدار يعبر عن جا خمسة 𝜃. لذلك سنحاول أن نساوي الأجزاء التخيلية في كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، لدينا جا خمسة 𝜃. وفي الطرف الأيسر، لدينا خمسة جتا 𝜃 أس أربعة في جا 𝜃 ناقص ١٠ جتا 𝜃 تربيع جا 𝜃 تكعيب زائد جا 𝜃 أس خمسة.

سنحتاج إلى أن نفرغ بعض المساحة هنا. وفي هذه المرحلة علينا أن نتذكر أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا دائمًا. وبإعادة ترتيب ذلك، نجد أن جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جا تربيع 𝜃. وقمنا بذلك لنتمكن من التعويض عن جتا تربيع 𝜃 وجتا 𝜃 أس أربعة في المقدار الذي لدينا، لأننا نحاول كتابته بدلالة قوى دالة الجيب.

وعندما نفعل ذلك، نجد أن جا خمسة 𝜃 يساوي خمسة في واحد ناقص 𝜃 جا تربيع الكل تربيع في جا 𝜃 ناقص ١٠ في واحد ناقص جا 𝜃 تربيع جا 𝜃 تكعيب زائد جا 𝜃 أس خمسة. وبفك هذه الأقواس بالتوزيع والتبسيط، نجد أن جا خمسة 𝜃 يساوي ١٦ جا 𝜃 أس خمسة ناقص ٢٠ جا 𝜃 تكعيب زائد خمسة جا 𝜃.

والآن بعد أن كتبنا جا خمسة 𝜃 بدلالة قوى جا 𝜃، يمكننا الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. علينا التفكير في حلول جا خمسة 𝜃 يساوي صفرًا. نعلم أن جا 𝜃 يساوي صفرًا لها حلول عند المضاعفات الصحيحة لـ 𝜋. هذا يعني أن جا خمسة 𝜃 يساوي صفرًا لها حلول عند 𝜃 يساوي ﻥ𝜋 على خمسة، أو المضاعفات الصحيحة لـ 𝜋 على خمسة. وبمقارنة ذلك بالمعادلة التي حصلنا عليها في الجزء الأول، نجد أن ١٦ جا 𝜃 أس خمسة ناقص ٢٠ جا تكعيب 𝜃 زائد خمسة جا 𝜃 يساوي صفرًا يجب أن يكون لها حلول أيضًا عند 𝜃 يساوي ﻥ𝜋 على خمسة.

لنجر بعض العمليات على المقدار في الطرف الأيمن للمعادلة، مع تذكر أن هدفنا هو إيجاد القيمة الفعلية لـ جا تربيع 𝜋 على خمسة. سنبدأ بأخذ جا 𝜃 عاملًا مشتركًا. ونجد أن جا 𝜃 في ١٦ جا 𝜃 أس أربعة ناقص ٢٠ جا تربيع 𝜃 زائد خمسة يجب أن يساوي صفرًا. لنفترض أن قيمة 𝜃 هي 𝜋 على خمسة. بعبارة أخرى، ﻥ يساوي واحدًا. ‏‏جا 𝜋 على خمسة لا يساوي صفرًا. لكي يكون حاصل ضرب هذين القوسين صفرًا، فهذا يعني أن ١٦ جا 𝜋 على خمسة أس أربعة ناقص ٢٠ جا تربيع 𝜋 على خمسة زائد خمسة يجب أن يساوي صفرًا. ولاحظ أن هذا يشبه المعادلة التربيعية. سنفترض أن ﺱ يساوي جا تربيع 𝜋 على خمسة.

وها هي المعادلة التربيعية: ١٦ﺱ تربيع ناقص ٢٠ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. ويمكن أن نحل هذه المعادلة باستخدام أي طريقة نفضلها لحل المعادلات التربيعية، مثل إكمال المربع أو القانون العام. وعندما نقوم بذلك، نجد أن ﺱ يساوي خمسة زائد أو ناقص جذر خمسة الكل مقسوم على ثمانية. وبالطبع، سبق وأن قلنا إن ﺱ يساوي جا تربيع 𝜋 على خمسة. إذن أوجدنا حلين لـ جا تربيع 𝜋 على خمسة هما خمسة زائد أو ناقص جذر خمسة على ثمانية. وإذا تحققنا من هذين الحلين باستخدام الآلة الحاسبة، سنجد أن جا تربيع 𝜋 على خمسة يساوي خمسة ناقص جذر خمسة مقسومًا على ثمانية. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من هذا السؤال. إذن، القيمة الفعلية لـ جا تربيع 𝜋 على خمسة هي خمسة ناقص جذر خمسة على ثمانية.

رأينا كيف نستخدم نظرية ديموافر لحساب قيمة جا لمضاعفات 𝜃. لكن يمكننا أيضًا استخدام النظرية لاستنتاج متطابقات لـ جا 𝜃 أس ﻥ وجتا 𝜃 أس ﻥ. لنفترض أن لدينا عددًا مركبًا ﻉ يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. نعلم أن مقلوب ﻉ هو ﻉ أس سالب واحد. ويمكن أن نستخدم نظرية ديموافر لحساب قيمته. إنها جتا سالب 𝜃 زائد ﺕ جا سالب 𝜃.

والآن تذكر أن دالة جيب التمام دالة زوجية. لذا جتا سالب 𝜃 هو نفسه جتا 𝜃. لكن دالة الجيب دالة فردية. لذلك جا سالب 𝜃 هو نفسه سالب جا 𝜃. وعلى ذلك يمكن أن نكتب مقلوب ﻉ باعتباره جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃. لكن ما أهمية ذلك؟ حسنًا، إنه يتيح لنا حساب قيمة ﻉ زائد مقلوب ﻉ. ‏‏ﻉ زائد مقلوب ﻉ يساوي ببساطة اثنين جتا 𝜃. بالمثل، يتيح لنا ذلك حساب الفرق بينهما. ‏‏ﻉ ناقص مقلوب ﻉ يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃. ويمكن في الواقع تعميم ذلك على القوى الأعلى لـ ﻉ.

باستخدام نظرية ديموافر وتطبيق متطابقات الدوال الفردية والزوجية للجيب وجيب التمام، نحصل على هاتين المعادلتين. وبإعادة ترتيبهما بقسمة المعادلة الأولى على اثنين، والمعادلة الثانية على اثنين ﺕ؛ حيث العدد المركب ﻉ مكتوب على الصورة الأسية، نجد أن جتا ﻥ𝜃 يساوي نصف ﻫ أس ﺕﻥ𝜃 زائد ﻫ أس سالب ﺕﻥ𝜃. وجا ﻥ𝜃 يساوي واحدًا على اثنين ﺕ مضروبًا في ﻫ أس ﺕﻥ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕﻥ𝜃. هذه الصيغ مفيدة للغاية في استنتاج عدد من المتطابقات المثلثية. وعليك أن تحفظها عن ظهر قلب لتتذكرها بسهولة. لنلق نظرة على بعض الأمثلة التي توضح أهمية هذه الصيغ.

باستخدام نظرية ديموافر، أوجد القيمة الفعلية لتكامل جا 𝜃 أس سبعة بالنسبة إلى 𝜃 بين الحدين 𝜋 على اثنين وصفر.

سنبدأ بكتابة جا 𝜃 أس سبعة بدلالة مضاعفات الزوايا لأن ذلك يسهل إجراء التكامل. سنستخدم أيضًا حقيقة أن ﻉ ناقص مقلوب ﻉ يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃. وبما أن تركيزنا هنا على جا 𝜃 أس سبعة، فسنرفع هذه المعادلة كلها للأس سبعة. نحصل على ﻉ ناقص واحد على ﻉ الكل أس سبعة، وهو ما يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃 أس سبعة.

اثنان أس سبعة يساوي ١٢٨، وﺕ أس سبعة يساوي سالب ﺕ. نقسم طرفي هذه المعادلة على سالب ١٢٨ﺕ. سنحسب قيمة سالب واحد على ١٢٨ﺕ عن طريق ضرب البسط والمقام في ﺕ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ﺕ على ١٢٨ﺕ تربيع. لكن بما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، نبسط هذا المقدار ليصبح ﺕ على ١٢٨.

في الخطوة التالية نطبق نظرية ذات الحدين على ﻉ ناقص واحد على ﻉ الكل أس سبعة. عندما نستخدم نظرية ذات الحدين، يصبح جا 𝜃 أس سبعة كما هو موضح. بعد ذلك نتذكر أن ﻉ أس ﻥ ناقص واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين ﺕ جا ﻥ𝜃. ونجد أنه يمكن أن نكتب هذا المقدار بدلالة مضاعفات الزوايا عن طريق تجميع قوى ﻉ.

هذا يعني أن جا 𝜃 أس سبعة يساوي ﺕ على ١٢٨ في اثنين ﺕ جا سبعة 𝜃 ناقص سبعة في اثنين ﺕ جا خمسة 𝜃 زائد ٢١ في اثنين ﺕ جا ثلاثة 𝜃 ناقص ٣٥ في اثنين ﺕ جا 𝜃. وبتبسيط المقدار بالكامل، نجد أنه يساوي واحدًا على ٦٤ في ٣٥ جا 𝜃 ناقص ٢١ جا ثلاثة 𝜃 زائد سبعة جا خمسة 𝜃 ناقص جا سبعة 𝜃.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونعوض بهذا المقدار عن جا 𝜃 أس سبعة في التكامل الذي لدينا. بعد ذلك نتذكر أن تكامل جا ﻥ𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 يساوي سالب واحد على ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ثابت التكامل. وهذا يعني أن التكامل يساوي سالب ٣٥ جتا 𝜃 زائد سبعة جتا ثلاثة 𝜃 ناقص سبعة أخماس في جتا خمسة 𝜃 زائد سبع جتا سبعة 𝜃. وبما أننا سنحسب قيمة التكامل بين الحدين 𝜋 على اثنين وصفر، فلسنا بحاجة إلى ثابت التكامل. وبذلك نحصل على واحد على ٦٤ في ٣٥ ناقص سبعة زائد سبعة أخماس ناقص سبع، وهو ما يساوي ١٦ على ٣٥.

لاحظ كيف أن هذه الطريقة سهلت علينا للغاية حساب قيمة تكامل صعب إلى حد ما. وهذه الطريقة لا تقتصر على قوى دوال الجيب وجيب التمام. حيث يمكن أن نستخدمها أيضًا لإيجاد المقادير الناتجة عن ضرب قوى هذه الدوال. ويمكن أن نستخدمها أيضًا مع دالة الظل. بتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃، يمكن أن نكتب ظل مضاعف صحيح لـ 𝜃 بدلالة قوى ظا. لنر كيف يكون ذلك.

اكتب ظا ستة 𝜃 بدلالة قوى ظا 𝜃.

أولًا نتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. وهذا بدوره يعني أن ظا ستة 𝜃 يساوي جا ستة 𝜃 مقسومًا على جتا ستة 𝜃. إذن، سنحسب قيمة جا ستة 𝜃 وجتا ستة 𝜃 بدلالة قوى الجيب وجيب التمام. تنص نظرية ديموافر على أن جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ستة. سنفك هذه الأقواس باستخدام نظرية ذات الحدين ونقوم بالتبسيط عن طريق حساب قيم قوى ﺕ. ونجد أن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس ستة كما هو موضح. وذكرنا بالطبع أن جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس ستة. إذن، يمكن أن نساوي هذا المفكوك بـ جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃.

ونلاحظ الآن أنه يمكننا مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية في هذه المعادلة. الجزء الحقيقي في الطرف الأيمن هو جتا ستة 𝜃. وفي الطرف الأيسر، لدينا جتا 𝜃 أس ستة، وسالب ١٥ جتا 𝜃 أس أربعة جا تربيع 𝜃، و١٥ جتا تربيع 𝜃 في جا 𝜃 أس أربعة، وسالب جا 𝜃 أس ستة. بعد ذلك نساوي الأجزاء التخيلية، لدينا في الطرف الأيمن جا ستة 𝜃. وفي الطرف الأيسر، لدينا ستة جتا 𝜃 أس خمسة في جا 𝜃، وسالب ٢٠ جتا 𝜃 تكعيب جا تكعيب 𝜃، وستة جتا 𝜃 في جا 𝜃 أس خمسة.

والآن نحن مستعدون لحساب قيمة ظا ستة 𝜃. إنها ستة جتا 𝜃 أس خمسة في جا 𝜃 ناقص ٢٠ جتا 𝜃 تكعيب جا تكعيب 𝜃 زائد ستة جتا 𝜃 في جا 𝜃 أس خمسة الكل على جتا 𝜃 أس ستة ناقص ١٥ جتا 𝜃 أس أربعة في جا تربيع 𝜃 زائد ١٥ جتا تربيع 𝜃 في جا 𝜃 أس أربعة ناقص جا 𝜃 أس ستة. ولكتابة ذلك بدلالة ظا، سنقسم الكل على جتا 𝜃 أس ستة.

في البسط، ستة جتا 𝜃 أس خمسة في جا 𝜃 على جتا 𝜃 أس ستة يساوي ستة ظا 𝜃. لدينا سالب ٢٠ ظا تكعيب 𝜃 وستة في ظا 𝜃 أس خمسة. في المقام، لدينا واحد ناقص ١٥ ظا تربيع 𝜃 زائد ١٥ ظا 𝜃 أس أربعة ناقص ظا 𝜃 أس ستة. وبذلك نكون قد نجحنا في كتابة ظا ستة 𝜃 بدلالة قوى ظا 𝜃.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام نظرية ديموافر ونظرية ذات الحدين لاستنتاج صيغ ضعف الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل المختلفة. كما عرفنا أن العدد المركب ﻉ يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، وﻉ زائد مقلوب ﻉ يساوي اثنين جتا 𝜃، وﻉ ناقص مقلوب ﻉ يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃. كما عممنا هذه الفكرة لتشمل ﻉ أس ﻥ.

واستخدمنا هذه المعادلات لإيجاد مقادير تعبر عن قوى دوال الجيب وجيب التمام. وقلنا إنه يمكن أيضًا إيجاد حواصل ضربها. وعلمنا أنه يمكننا استخدام هذه الأساليب لاستنتاج متطابقات مثلثية لتبسيط تكاملات أكثر تعقيدًا.