نسخة الفيديو النصية
ما سعة العدد المركب ﺏﺕ؛ حيث ﺏ أقل من صفر؟
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد سعة عدد مركب. ومعطى لنا الصورة التي عليها هذا العدد المركب. إنه على الصورة ﺏﺕ؛ حيث القيمة ﺏ سالبة. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تذكر ما نعنيه بسعة العدد المركب. بداية، نتذكر أن سعة العدد المركب ﻉ هي الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند. وتجدر الإشارة إلى عدة أمور حول هذا التعريف.
الأمر الأول هو أنها فعليًّا ليست الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند. ولكنها في الواقع الزاوية التي يصنعها الخط الممتد من نقطة الأصل إلى ﻉ مع هذا المحور. لكن قد يكون من المفيد التفكير في الأمر بهذه الطريقة. الأمر الثاني هو أننا نقيس هذه الزاوية عادة بالراديان. ولكن يمكننا أيضًا قياسها بالدرجات إذا أردنا. وعندما يكون قياس الزاوية موجبًا، فهذا يعني أن قياسها عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. أما إذا كان قياس الزاوية سالبًا، فهذا يعني أن القياس كان في اتجاه دوران عقارب الساعة.
وكما هو الحال مع أي زاوية أخرى تقاس بهذه الطريقة، سيكون هناك عدة زوايا مختلفة تكافئ قياسها. على سبيل المثال، الصفر، واثنان 𝜋، وأربعة 𝜋، كل ذلك يمثل الزاوية نفسها. ولذلك عادة ما نختار السعة لتكون أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋.
إذن لإيجاد سعة العدد المركب المعطى في السؤال، علينا أولًا رسم مخطط أرجاند. نتذكر أنه في مخطط أرجاند، المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي من العدد المركب. في هذه الحالة، نريد تمثيل العدد ﺏﺕ على مخطط أرجاند. نلاحظ أن ﺏﺕ عدد تخيلي. فهو لا يحتوي على أي مركبة حقيقية. إذن الجزء الحقيقي من ﺏﺕ يساوي صفرًا. وبالمثل، الجزء التخيلي من ﺏﺕ هو معامل ﺕ، وهو في هذه الحالة ﺏ. وتجدر الإشارة هنا إلى أننا نعرف أن القيمة ﺏ سالبة.
نسترجع أنه في مخطط أرجاند، الإحداثي الأفقي يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والإحداثي الرأسي يمثل الجزء التخيلي من العدد المركب. وعليه، بالنسبة إلى العدد ﺏﺕ، الذي الجزء الحقيقي له هو صفر والجزء التخيلي له هو ﺏ، فإن إحداثياته على مخطط أرجاند ستكون صفر، ﺏ؛ حيث القيمة ﺏ بالطبع سالبة. لذا، علينا تمثيل هذا العدد على الجزء السالب من المحور التخيلي.
نريد إيجاد سعة هذا العدد المركب، وقد يساعدنا في هذا رسم القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى العدد ﺏﺕ على مخطط أرجاند. وبذلك فإن سعة ﻉ هي الزاوية المحصورة بين هذه القطعة المستقيمة والاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. وسنقيس هذه الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ لأنه يجعلنا نحصل على القياس الأصغر للزاوية. في الأعداد المركبة، عادة ما نحتاج إلى استخدام حساب المثلثات لمساعدتنا في إيجاد السعة. لكن هذا ليس ضروريًّا في هذه الحالة. إذ نلاحظ أن هذه مجرد زاوية قائمة.
وعند القياس بالراديان، فإن قياس الزاوية القائمة يساوي 𝜋 على اثنين. لكن تذكر أننا نقيس هذه الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، لذا يجب أن يساوي قياسها سالب 𝜋 على اثنين. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. سعة ﺏﺕ تساوي سالب 𝜋 على اثنين. والآن يمكننا التوقف هنا، لكننا أثبتنا نتيجة مفيدة جدًّا. لقد أثبتنا أنه إذا كان ﺏ أقل من صفر، فإن سعة ﺏﺕ تساوي سالب 𝜋 على اثنين. وعليه، يمكننا استخدام هذه النتيجة لإيجاد سعة أي عدد مركب معطى لنا على هذه الصورة. لن نحتاج إلى رسم ذلك على مخطط أرجاند ثم إيجاد قياس الزاوية الناتجة. لكن لا تزال هذه فكرة جيدة على كل حال.
إذن في هذا السؤال، تمكنا من إثبات نتيجة عن إيجاد سعة نوع محدد من الأعداد المركبة. فقد تمكنا من توضيح أن سعة أي عدد مركب على الصورة ﺏﺕ؛ حيث القيمة ﺏ أقل من صفر، تساوي سالب 𝜋 على اثنين.
مصر
المملكة العربية السعودية
