شارح الدرس: سعة العدد المركب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد سعة عدد مركب بالراديان

أوجد سعة العدد المركب بالراديان. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

تذكَّر أن سعة العدد المركب هي الزاوية، بالراديان، بين المحور الحقيقي الموجب لمخطط أرجاند والقطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والعدد المركب، المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب تُعطى عادةً في المدى .

نبدأ بتمثيل العدد المركب على مخطط أرجاند.

لقد أسمينا سعة العدد المركب في مخطط أرجاند السابق . ويمكننا أن نلاحظ أن سعة هذا العدد المركب عبارة عن زاوية في المثلث القائم الزاوية، الذي تمثِّل القطع المستقيمة الزرقاء والخضراء والبنفسجية أضلاعه. بتطبيق حساب مثلثات المثلث القائم الزاوية، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تطبيق الدالة العكسية للظل على طرفَي هذه المعادلة، لنجد أن:

ومن ثمَّ، لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٢: إيجاد السعة الأساسية لعدد مركب

إذا كان ، فأوجد السعة الأساسية لـ .

الحل

تذكَّر أن سعة العدد المركب هي الزاوية، بالراديان، بين المحور الحقيقي الموجب لمخطط أرجاند والقطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والعدد المركب، المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. بالإضافة إلى ذلك، نتذكَّر أن السعة الأساسية لعدد مركب هي السعة التي تقع في المدى .

نبدأ بتمثيل العدد المركب على مخطط أرجاند، كما هو موضَّح في الآتي.

لقد أسمينا سعة العدد المركب في مخطط أرجاند السابق والزاوية المكمِّلة . يمكننا أن نلاحظ أن زاوية في المثلث القائم الزاوية، الذي تمثِّل القطع المستقيمة الزرقاء والخضراء والبنفسجية أضلاعه. بتطبيق حساب مثلثات المثلث القائم الزاوية، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تطبيق الدالة العكسية للظل على طرفَي هذه المعادلة، لنجد أن:

يمكننا بعد ذلك حساب السعة بطرح من :

نلاحظ أن هذه السعة تقع في المدى ؛ ومن ثمَّ، فهي السعة الأساسية.

إذن نستنتج أن السعة الأساسية للعدد المركب المُعطى تساوي .

مثال ٣: العلاقة بين مرافق العدد المركب والسعة

افترض أن العدد المركب .

1. احسب مقرِّبًا إجابتك الصحيحة لأقرب منزلتين عشريتين في الفترة من إلى .
2. احسب مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين في الفترة من إلى .

الحل

تذكَّر أن سعة العدد المركب هي الزاوية، بالراديان، بين المحور الحقيقي الموجب لمخطط أرجاند والقطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والعدد المركب، المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب تُعطى عادةً في المدى .

الجزء الأول

نبدأ بتمثيل العدد المركب على مخطط أرجاند، كما هو موضَّح في الآتي.

لقد أسمينا الزاوية الحادة التي ترتبط بسعة العدد المركب . إذا كان يمكننا إيجاد الزاوية ، فإنه يمكن الحصول على سعة هذا العدد من خلال إضافة إلى هذه الزاوية. لكننا نلاحظ أن هذه السعة لن تقع في المدى . علينا بعد ذلك طرح الدورة الكاملة من هذه الزاوية الناتجة، وهو ما يؤدي إلى العلاقة:

يمكننا أن نلاحظ أن زاوية في المثلث القائم الزاوية، الذي تمثِّل القطع المستقيمة الزرقاء والخضراء والبنفسجية أضلاعه. بتطبيق حساب مثلثات المثلث القائم الزاوية، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تطبيق الدالة العكسية للظل على طرفَي هذه المعادلة، لنجد أن:

ومن ثمَّ، لحساب ، نطرح من ، وهو ما يُعطينا:

الجزء الثاني

تذكَّر أن المرافق يتم الحصول عليه بتبديل إشارة الجزء التخيُّلي للعدد المركب . ومن ثمَّ، . نُمثِّل الآن على مخطط أرجاند.

وكما هو الحال في الجزء السابق، نوجد سعة بحساب أولًا:

بما أن ، زاويتان متكاملتان، إذن يمكننا الحصول على بطرح من :

مثال ٤: سعة حاصل الضرب وخارج القسمة

افترض أن العددين المركبين ، .

1. أوجد و.
2. احسب . كيف يُقارَن ذلك بـ و؟
3. احسب . كيف يُقارَن ذلك بـ و؟

الحل

تذكَّر أن سعة العدد المركب هي الزاوية، بالراديان، بين المحور الحقيقي الموجب لمخطط أرجاند والقطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والعدد المركب، المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب تُعطى عادةً في المدى .

الجزء الأول

هيا نبدأ بتمثيل ، على مخطط أرجاند.

تذكَّر أن سعة العدد المركب ، الذي يقع في الربع الأول أو الرابع، تُعطى بالعلاقة:

بما أن ، يقعان في الربعين الأول والرابع، على الترتيب، إذن يمكننا استخدام الدالة العكسية للظل لإيجاد سعتهما كالآتي: و:

الجزء الثاني

نبدأ بحساب كالآتي:

بفك الأقواس، نحصل على:

باستخدام وتجميع الحدود الحقيقية والتخيُّلية، نحصل على:

بما أن الجزأين الحقيقي والتخيُّلي موجبان، إذن يقع في الربع الأول من مخطط أرجاند، ويمكننا حساب السعة بإيجاد قيمة الدالة العكسية للظل كالآتي:

بحذف العامل ٢ من البسط والمقام، يصبح لدينا:

يمكننا تبسيط الكسر بضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

بفك الأقواس، نحصل على:

وبمقارنة هذا بـ ، ، نجد أن .

الجزء الثالث

نبدأ بحساب كالآتي:

لكتابة هذا العدد المركب على الصورة الكارتيزية، ، علينا ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مرافق المقام؛ أي :

بفك الأقواس، يصبح لدينا:

باستخدام وتجميع الحدود الحقيقية والتخيُّلية، نحصل على:

بما أن ، و، إذن العدد المركب يقع في الربع الثاني. تذكَّر أنه إذا كان العدد المركب يقع في الربع الثاني، فإن:

ومن ثمَّ، نحصل على:

بحذف العامل المشترك ، يصبح لدينا:

وبإيجاد قيمة الدالة العكسية للظل، نحصل على:

وأخيرًا، بمقارنة هذا بـ ، نجد أن .

مثال ٥: استخدام ضرب الأعداد المركبة لإيجاد السعة

ضُرِب عدد مركب في عدد مركب آخر ، ثم في المرافق المركب . كيف تأثَّرت سعة العدد المُركَّب الأصلي؟

الحل

تذكَّر أن سعة حاصل ضرب عددين مركبين تساوي مجموع سعتَي العددين المركبين.

نبدأ بعدد مركب ؛ ثم نضربه في ، . ومن ثمَّ، يكون الناتج . المطلوب في السؤال هو تحديد كيف تأثَّرت سعة العدد المُركَّب الأصلي. ومن ثمَّ، علينا أن نفكِّر في . باستخدام خواص الضرب للسعة، يمكننا إعادة كتابة ذلك كالآتي:

نعلم أيضًا أن سعة العدد المركب تساوي سالب سعة مرافقه. ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض عن في المعادلة السابقة بـ ، فنحصل على:

ومن ثمَّ، فإن سعة العدد المركب بعد ضربه في عدد مركب آخر ، ثم في المرافق المركب ، لا تتغيَّر.

مثال ٦: إيجاد سعة قوى الأعداد المركبة في الصورة الجبرية

عدد مركب.

1. أوجد سعة .
2. بناءً على ذلك، أوجد سعة .

الحل

تذكَّر أن سعة العدد المركب هي الزاوية، بالراديان، بين المحور الحقيقي الموجب لمخطط أرجاند والقطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والعدد المركب، المقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب تُعطى عادة في المدى .

الجزء الأول

نتذكَّر أن سعة العدد المركب ، الذي يقع في الربع الأول أو الرابع، تُعطى بالعلاقة:

بما أن العدد المركب يقع في الربع الأول، إذن يمكننا حساب سعته بإيجاد قيمة الدالة العكسية للظل لجزئه التخيُّلي على جزئه الحقيقي كالآتي:

الجزء الثاني

إننا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى أي عددين مركبين ، لا يساويان صفرًا، يكون:

إذا كان كلا العددين المركبين يساوي ، فهذا يعنى أن:

وباستخدام منطق مشابه، نجد أن:

ومن ثمَّ: