فيديو: سعة العدد المركب

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد سعة العدد المركب وكيف نفسرها، وسنفهم بعضًا من خصائصها الأساسية.

٢٢:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نحسب سعة عدد مركب. وسنتعرف على المقصود بمصطلحي السعة والسعة الأساسية وكيف نحسبهما. كما سنتناول خصائص السعة بالنسبة للمرافق المركب، ونتعلم كيفية إيجاد سعة حاصل ضرب الأعداد المركبة أو خارج قسمتها.

نعرف أنه يمكننا تمثيل الأعداد المركبة على مستوى ثنائي الأبعاد. نطلق على هذا المستوى اسم مخطط أرجاند أو مستوى أرجاند، نسبة إلى عالم الرياضيات الهاوي الذي اكتشفه. ويمكننا استخدام هذا المخطط لتمثيل عدد مركب في صورة ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. تذكر أن الجزء الحقيقي من هذا العدد هو ﺃ والجزء التخيلي هو ﺏ. ويجب علينا تحديد موقع الجزء الحقيقي ﺃ على محور الأعداد الحقيقية. وهو المحور الأفقي. ننتقل بعد ذلك لأعلى أو لأسفل لتحديد موقع الجزء التخيلي ﺏ على محور الأعداد التخيلية. وهو المحور الرأسي. يمكن إذن تمثيل ﺃ زائد ﺏﺕ بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ﺃ، ﺏ، كما هو موضح.

وإذا كان ثمة خط مستقيم يصل هذه النقطة بنقطة الأصل، فسنرى أنه يمكننا التوصل إلى المزيد من المعلومات. فيمكننا إيجاد قياس الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية. وهذا ما نسميه، في الواقع، سعة العدد المركب. ونرمز لها كما هو موضح. من المهم أن نتذكر أنه علينا قياس هذه الزاوية من الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية عكس اتجاه عقارب الساعة. وهي تقاس عادة بالراديان. ثمة تعريف آخر مطلوب هنا. السعة الأساسية تعرف بأنها الزاوية 𝜃 بالراديان، عندما تكون 𝜃 أكبر من سالب 𝜋 وأصغر من أو تساوي 𝜋. وإن كان ليس من المستبعد الحديث عن السعة خارج هذا النطاق.

فبما أنه يمكن تمثيل العدد المركب في أربعة الأرباع، يمكننا ملاحظة أن الأعداد المركبة التي تقع في الربعين الثالث والرابع ستقاس سعتها في الاتجاه المعاكس. وفي هذه الحالة، ستكون السعة الأساسية للعدد المركب سالبة. كيف نحسب إذن قيمة السعة؟ لنقل إن لدينا عددًا مركبًا في صورة أربعة زائد ثلاثة ﺕ. نلاحظ هنا أنه يمكننا تمثيل هذا العدد على مخطط أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين أربعة، ثلاثة. سعة هذا العدد المركب هي الزاوية 𝜃 الموضحة. وهي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية.

ما يمكننا فعله بعد ذلك هو رسم مثلث قائم الزاوية زاويته المحصورة هي 𝜃. تذكر أن هذه هي السعة. طول الضلع المقابل لهذه الزاوية ثلاث وحدات. وطول الضلع المجاور لها أربع وحدات. بتحديد الأضلاع كما فعلنا، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب قياس الزاوية المحصورة، أي السعة. نعرف أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إذن في هذا المثلث القائم الزاوية، ظا 𝜃 يساوي ثلاثة على أربعة.

نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃 بإيجاد الدالة العكسية للظل أو الدالة العكسية لـ ظا لكلا الطرفين. نلاحظ أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لثلاثة أرباع. هذا يعطينا قيمة تساوي ٠٫٦٤ راديان، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين. ومن ثم، فإن سعة هذا العدد المركب تساوي ٠٫٦٤ راديان. في الواقع، الدالة العكسية الحقيقية لـ ظا ﺱ هي دالة متعددة القيم لقيم ﺱ الحقيقية. لا يمكننا إذن تعميم هذه الصيغة على كل الأعداد المركبة. لنر مثالًا قد تواجهنا فيه مشكلة في الحل.

إذا كان ﻉ يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، فأوجد السعة الأساسية لـ ﻉ.

لدينا عدد مركب ممثل بصورة جبرية أو إحداثية نحاول حساب سعته الأساسية. تذكر أن السعة الأساسية هي قيمة السعة الأكبر من سالب 𝜋 والأصغر من أو تساوي 𝜋. من المنطقي دائمًا البدء بتمثيل هذا العدد المركب على مخطط أرجاند. وسيساعدنا ذلك على تحديد الربع الذي يقع فيه العدد المركب. تذكر أن المحور الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي، بينما يمثل المحور الرأسي الجزء التخيلي. الجزء الحقيقي من العدد المركب في المسألة هو سالب نصف. والجزء التخيلي هو جذر ثلاثة على اثنين.

يمكننا إذن تمثيل العدد المركب على مخطط أرجاند في صورة نقطة، الإحداثيان الكارتيزيان لها سالب نصف، جذر ثلاثة على اثنين. وتقع هذه النقطة في الربع الثاني كما هو موضح. سنرسم قطعة مستقيمة تصل هذه النقطة بنقطة الأصل. ثم نسترجع تعريف السعة. إنها الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية عكس اتجاه عقارب الساعة. بما أن الزوايا الواقعة على خط مستقيم مجموع قياساتها 𝜋 راديان، فمن المنطقي أن نبدأ بإيجاد قياس الزاوية الحادة التي أسميتها 𝛼. ومن الجيد، في الواقع، أن نختار الزاوية الحادة وبعدها نبدأ الحل في أي مثال.

طول الضلع المقابل لهذه الزاوية الحادة 𝛼 يساوي جذر ثلاثة على اثنين من الوحدات. وطول الضلع المجاور لها هو نصف وحدة. تذكر أننا نتعامل مع طول. وبالتالي، لا يعنينا سوى القيم الموجبة فقط. لذا يمكننا اعتبار هذين الطولين مقياسي الجزأين الحقيقي والتخيلي. ‏ ظا 𝛼 يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور. وهو ما يساوي جذر ثلاثة على اثنين مقسومًا على نصف. يمكننا تبسيط ذلك إلى ظا 𝛼 يساوي جذر ثلاثة. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝛼 بإيجاد الدالة العكسية للظل. وبالتالي 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ ظا جذر ثلاثة، وهو ما يساوي 𝜋 على ثلاثة راديان.

ذكرنا أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم هو 𝜋 راديان. إذن، يمكننا إيجاد قيمة سعة ﻉ بطرح 𝜋 على ثلاثة راديان من 𝜋. وبالطبع ثمة طريقة أخرى للنظر إلى 𝜋، وهي أن 𝜋 يساوي ثلاثة 𝜋 على ثلاثة. سيسمح لنا ذلك بطرح هذين الكسرين بالطريقة العادية. ثلاثة 𝜋 على ثلاثة ناقص 𝜋 على ثلاثة يساوي اثنين 𝜋 على ثلاثة راديان. وإذا قارنا ذلك بقيمة السعة الأساسية الأكبر من سالب 𝜋 والأصغر من أو تساوي 𝜋، فسنجد أن قيمة سعة ﻉ تحقق هذا المعيار بالفعل. فهي تساوي اثنين 𝜋 على ثلاثة راديان.

في الحقيقة، إذا حاولنا تعميم الصيغة المستخدمة في المثال السابق وقلنا إن سعة ﻉ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ، أي الدالة العكسية لـ ظا جذر ثلاثة على اثنين مقسومًا على سالب نصف، فسنحصل على سالب 𝜋 على ثلاثة، وهو خطأ بالطبع.

لنر الآن ما إذا كان يمكننا التوصل إلى قاعدة عامة لإيجاد سعة عدد مركب ممثل في أي ربع من الأرباع.

لدينا هنا أربعة مخططات أرجاند، موضح في كل منها عدد مركب يقع في ربع مختلف من الأرباع. في كل مثال من هذه الأمثلة، يمكننا البدء بإيجاد قياس الزاوية الحادة. يمكننا إيجاد سعة عدد مركب ممثل في الربع الأول بإيجاد الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ. إنها الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي. وهذا يكفي، في الحقيقة، لإيجاد سعة عدد مركب يقع في الربع الأول.

في الربع الثاني، نعرف أنه يمكننا إيجاد الزاوية الحادة بإيجاد الدالة العكسية لـ ظا مقياس ﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ. تذكر أننا قلنا، في المثال السابق، إننا نتعامل مع أطوال. ومن ثم، يجب أن تكون القيم موجبة. نستخدم بعد ذلك حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم هو 𝜋 راديان. ويمكننا إيجاد السعة بطرح الدالة العكسية لـ ظا مقياس ﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ من 𝜋.

والآن، بالنسبة للعدد المركب الذي يقع في الربع الثالث، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الحادة. لكن الطريقة المتبعة هنا شبه مطابقة، في الواقع، للطريقة التي اتبعناها لإيجاد سعة العدد المركب الواقع في الربع الثاني. الفرق الوحيد هو أنها أشبه بانعكاس حول المحور الأفقي. فنحن نتحرك في الحقيقة في الاتجاه المعاكس. يمكننا القول إذن إن السعة تساوي سالب 𝜋 ناقص الدالة العكسية لـ ظا مقياس ﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ. وعند فك الأقواس، نلاحظ أن سعة العدد المركب الواقع في الربع الثالث تساوي الدالة العكسية لـ ظا مقياس ﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ ناقص 𝜋.

وبطريقة مشابهة، يمكن القول إن سعة العدد المركب الواقع في الربع الرابع تساوي سالب الدالة العكسية لـ ظا مقياس ﺏ مقسومًا على مقياس ﺃ. جدير بالملاحظة أنه إذا كان العدد المركب تخيليًا صرفًا وكان الجزء التخيلي أكبر من صفر، فإن السعة ستكون 𝜋 على اثنين راديان. وإذا كان الجزء التخيلي أصغر من صفر، فإن السعة ستساوي سالب 𝜋 على اثنين راديان. أما إذا كان الجزء الحقيقي والتخيلي يساويان صفرًا، فإن سعة ﻉ غير معرفة.

هناك قاعدة بديلة يمكننا تذكرها. في الربع الأول، السعة تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ. وفي الربع الثاني، تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ زائد 𝜋. اللطيف في الأمر هنا أنه يمكننا أخذ الجزء الحقيقي والتخيلي من العدد المركب. ولن نضطر للانشغال بتحويلهما إلى أعداد موجبة. بالنسبة للعدد المركب الذي يقع في الربع الثالث، فالسعة تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ ناقص 𝜋. وفي الربع الرابع، تساوي ببساطة الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ.

من المفيد إذن أن تكون لدينا قاعدة. لكنه من الأفضل دائمًا رسم مخطط أرجاند لنتأكد من اختيارنا القيم الصحيحة لسعة العدد المركب. لنتمرن على إيجاد سعة عدد مركب يقع خارج الربع الأول ثم نتوسع في التمارين لإيجاد العلاقة بين سعة عدد مركب وسعة مرافقه.

إذا كان العدد المركب ﻉ يساوي سالب أربعة ناقص خمسة ﺕ. ‏‏(١) احسب سعة ﻉ مقربًا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. ‏‏(٢) احسب سعة العدد المرافق للعدد ﻉ مقربًا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

لكي نحسب سعة العدد المركب ﻉ، سنبدأ بوضعه على مخطط أرجاند. هذا العدد المركب ممثل بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين سالب أربعة، سالب خمسة. ويقع في الربع الثالث. بما أن السعة الأساسية تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية، فإن ما يعنينا هنا هو هذه الزاوية. ويمكننا البدء بإيجاد قياس الزاوية الحادة. وسنسميها 𝛼. لدينا إذن مثلث قائم الزاوية طول ضلعه المقابل للزاوية المحصورة خمس وحدات، وطول ضلعه المجاور لهذه الزاوية أربع وحدات.

يمكننا بالتالي إيجاد قياس الزاوية 𝛼 باستخدام صيغة الدالة العكسية لـ ظا خمسة مقسومًا على أربعة. تذكر أن إحدى طرق التفكير في الحل هي إيجاد الدالة العكسية لظل مقياس الجزء التخيلي مقسومًا على مقياس الجزء الحقيقي. وهو ما يساوي ٠٫٨٩٦٠ راديان. ومجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم هو 𝜋 راديان. إذن لإيجاد قياس الزاوية التي أشرنا إليها بـ 𝜃، نطرح ٠٫٨٩٦٠ وهكذا مع توالي الأرقام من 𝜋. وهو ما يساوي ٢٫٢٤٥٥. وبما أننا نقيس في الاتجاه المعاكس، سنقيس في اتجاه عقارب الساعة وليس عكس اتجاه عقارب الساعة. يمكن أن نقول إن سعة العدد المركب ﻉ تساوي سالب ٢٫٢٥ راديان، لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

وبدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام صيغة تنص على أن سعة العدد المركب الواقع في الربع الثالث تساوي الدالة العكسية لـ ظا الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي ناقص 𝜋. والجزء التخيلي للعدد المركب في مسألتنا هو سالب خمسة. والجزء الحقيقي هو سالب أربعة. وإذا كتبنا الدالة العكسية لـ ظا سالب خمسة مقسومًا على سالب أربعة ناقص 𝜋 على الآلة الحاسبة، فسنحصل مرة أخرى على سالب ٢٫٢٤٥٥ وهكذا مع توالي الأرقام. الطريقتان مناسبتان. والاختيار بينهما يتعلق بالتفضيل الشخصي.

بالنسبة للجزء الثاني، علينا حساب سعة مرافق العدد ﻉ. تذكر أننا نوجد مرافق العدد المركب عن طريق تغيير إشارة جزئه التخيلي. وبالتالي، فإن مرافق العدد المركب في مسألتنا يساوي سالب أربعة زائد خمسة ﺕ. فلنوضح ذلك على مخطط أرجاند نفسه. من الواضح أن ثمة طريقة مختصرة هنا. لكن دعونا نجر الحسابات على الآلة الحاسبة لنتأكد من الأمر. سنستخدم صيغة هذه المرة. سعة العدد المركب الواقع في الربع الثاني تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ زائد 𝜋. بالنسبة لمرافق ﻉ، فإن قيمة ﺏ هي خمسة وقيمة ﺃ سالب أربعة. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٫٢٤٥٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لثلاثة أرقام معنوية، سيكون الناتج ٢٫٢٥.

في الواقع، يمكننا أن نقول إن التفسير الهندسي للمرافق هو أنه انعكاس للعدد المركب ﻉ حول المحور الأفقي. من المنطقي إذن أن سعة ﻉ تساوي سالب سعة مرافق ﻉ، والعكس بالعكس.

لكن ماذا عن العلاقة بين الجمع والسعة. في الواقع، لا توجد علاقة وثيقة بين جمع عددين مركبين والسعة. إلا أنه هناك علاقة بالفعل بين حاصل ضربهما وخارج قسمتهما وبين السعة. لنر كيف يكون ذلك.

لدينا العددان المركبان ﻉ واحد يساوي واحد زائد جذر ثلاثة ﺕ وﻉ اثنين يساوي اثنين ناقص اثنين ﺕ. ‏‏(١) أوجد سعة ﻉ واحد وسعة ﻉ اثنين. ‏‏(٢) احسب سعة ﻉ واحد ﻉ اثنين. ما الفرق بين هذه السعة وسعة ﻉ واحد وسعة ﻉ اثنين؟ ‏‏(٣) احسب سعة ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين. ما الفرق بين هذه السعة وسعة ﻉ واحد وسعة ﻉ اثنين؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ بتمثيل العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين على مخطط أرجاند. العدد ﻉ واحد تمثله النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين واحد، جذر ثلاثة. والعدد ﻉ اثنين تمثله النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين اثنين، سالب اثنين. لنستخدم إحدى القواعد التي ناقشناها من قبل. ذكرنا أنه بالنسبة للعدد المركب الواقع في الربع الأول أو الرابع، يمكننا استخدام صيغة الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ لإيجاد السعة. الجزء التخيلي من العدد ﻉ واحد هو جذر ثلاثة والجزء الحقيقي هو واحد. إذن سعة ﻉ واحد تساوي الدالة العكسية لـ ظا جذر ثلاثة على واحد. وهو ما يساوي 𝜋 على ثلاثة راديان. الجزء التخيلي من العدد ﻉ اثنين هو سالب اثنين والجزء الحقيقي هو اثنان. إذن سعة ﻉ اثنين تساوي الدالة العكسية لـ ظا سالب اثنين على اثنين. وبالتالي، فإن سعة ﻉ اثنين تساوي سالب 𝜋 على أربعة راديان.

بالنسبة للجزء الثاني، سيكون علينا البدء بحساب العدد المركب ﻉ واحد ﻉ اثنين. إنه حاصل ضرب واحد زائد جذر ثلاثة ﺕ واثنين ناقص اثنين ﺕ. لنفك هذه الأقواس. بضرب الحد الأول في كل قوس، نحصل على اثنين. وبضرب الحدين الخارجيين، نحصل على سالب اثنين ﺕ. وبضرب الحدين الداخليين نحصل على اثنين جذر ثلاثة ﺕ. وبضرب الحدين الأخيرين، نحصل على سالب اثنين جذر ثلاثة ﺕ تربيع. لكن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. يصبح إذن هذا الحد الأخير موجب اثنين جذر ثلاثة. نجمع الأجزاء الحقيقية معًا. وهما اثنان، واثنان جذر ثلاثة. ثم نجمع الأجزاء التخيلية معًا. يمكننا أن نرى أن ﻉ واحد ﻉ اثنين يساوي اثنين زائد اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين جذر ثلاثة ناقص اثنين ﺕ.

لا يتبقى سوى حساب سعة هذا العدد المركب. كلا الجزأين الحقيقي والتخيلي لهذا العدد المركب أكبر من صفر. سيقع إذن ﻉ واحد ﻉ اثنين في الربع الأول. بالتالي فإن السعة ستساوي الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي. ويمكننا حساب ذلك باستخدام قواعد قسمة الأعداد المركبة. علينا ضرب كل من البسط والمقام في مرافق اثنين زائد اثنين جذر ثلاثة. عندما نفعل ذلك، سنرى أن سعة ﻉ واحد ﻉ اثنين تساوي الدالة العكسية لـ ظا اثنين ناقص جذر ثلاثة، وهو ما يساوي 𝜋 على ١٢. وإذا قارنا ذلك بسعة ﻉ واحد وسعة ﻉ اثنين، فسنرى أن سعة حاصل ضرب العددين تساوي مجموع سعتيهما.

لنلق نظرة على الجزء الثالث. علينا حساب ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين. أي واحد زائد جذر ثلاثة ﺕ على اثنين ناقص اثنين ﺕ. وكالسابق، علينا إيجاد قيمة ذلك بضرب كل من البسط والمقام في مرافق اثنين ناقص اثنين ﺕ. أي اثنين زائد اثنين ﺕ. عندما نفعل ذلك، سنرى أن ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين يساوي ربع واحد ناقص جذر ثلاثة، وهو الجزء الحقيقي، زائد ربع واحد زائد جذر ثلاثة، وهو الجزء التخيلي، ﺕ. هذه المرة، الجزء الحقيقي لـ ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين أصغر من صفر. لكن الجزء التخيلي أكبر من صفر. إنه يقع في الربع الثاني.

إذن يمكننا استخدام صيغة الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ زائد 𝜋 لإيجاد السعة. وهو ما يعطينا سبعة 𝜋 على ١٢. نرى هذه المرة أن سعة ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين تساوي سعة ﻉ واحد ناقص سعة ﻉ اثنين. هذه قواعد عامة تنطبق على أي عددين مركبين. سعة حاصل ضربهما تساوي مجموع سعتيهما. وسعة خارج قسمتهما تساوي الفرق بين سعتيهما. ويمكننا استخدام هاتين الحقيقتين لحل المسائل التي تتضمن خصائص سعة عددين مركبين. ويمكننا استخدام هاتين الحقيقتين لحل المسائل التي تتضمن خصائص السعات.

‏‏ﻉ يساوي سبعة زائد سبعة ﺕ عدد مركب. ‏‏(١) أوجد سعة ﻉ. ‏‏(٢) بناء على ذلك، أوجد سعة ﻉ أس أربعة.

لدينا هنا عدد مركب ذو جزء حقيقي وجزء تخيلي موجبين. وهذا يعني أننا سنمثل هذا العدد المركب في الربع الأول على مخطط أرجاند. وبالتالي يمكننا إيجاد السعة باستخدام صيغة الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ، حيث ﺏ الجزء التخيلي وﺃ الجزء الحقيقي. إنها في هذه الحالة الدالة العكسية لـ ظا سبعة مقسومًا على سبعة. وهو ما يساوي 𝜋 على أربعة راديان.

كيف نوجد سعة ﻉ أس أربعة؟ ما لن نفعله هنا هو حساب قيمة العدد المركب ﻉ أس أربعة. وبدلًا من ذلك، سنتذكر حقيقة أن سعة حاصل ضرب عددين مركبين تساوي مجموع سعتيهما. سنتوسع في ذلك ونقول إنه إذا كان لدينا ﻉ في ﻉ في ﻉ في ﻉ، فإن السعة ستساوي سعة ﻉ زائد سعة ﻉ زائد سعة ﻉ زائد سعة ﻉ. وهو ما يساوي في الواقع أربعة أمثال سعة ﻉ. وهذا يساوي في هذا المثال، أربعة في 𝜋 على أربعة، أي ببساطة 𝜋 راديان. يمكننا تعميم هذه الفكرة لنقول إن سعة ﻉ أس ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في سعة ﻉ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.