نسخة الفيديو النصية
إذا كان ل وﻡ جذري المعادلة اثنان ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ل على ثلاثة وﻡ على ثلاثة في أبسط صورة.
سنبدأ باسترجاع بعض الحقائق الأساسية عن المعادلات التربيعية المكتوبة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا. إذا كان جذرا المعادلة التربيعية هما ر واحد ور اثنين، فإن مجموعهما يساوي سالب ﺏ على ﺃ. وحاصل ضرب الجذرين، أي ر واحد مضروبًا في ر اثنين، يساوي ﺟ على ﺃ.
في هذا السؤال، لدينا المعادلة اثنان ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. قيم ﺃ وﺏ وﺟ هنا هي اثنان وسالب ١٠ وواحد. علمنا من السؤال أيضًا أن ل وﻡ هما جذرا المعادلة. وعليه، فإن مجموعهما، ل زائد ﻡ، يساوي سالب سالب ١٠ على اثنين. وهذا يساوي خمسة. وحاصل ضرب الجذرين ل وﻡ يساوي واحدًا على اثنين أو نصف. يمكننا الآن استخدام هاتين القيمتين لإيجاد المعادلة التربيعية التي جذراها ل على ثلاثة وﻡ على ثلاثة.
دعونا نبدأ بتناول مجموع هذين الجذرين. لدينا ل على ثلاثة زائد ﻡ على ثلاثة. بما أن المقامين متساويان، يمكننا ببساطة جمع البسطين، وهذا يعطينا ل زائد ﻡ على ثلاثة. لقد أوجدنا بالفعل أن قيمة ل زائد ﻡ تساوي خمسة. هذا يعني أن مجموع الجذرين يساوي خمسة على ثلاثة أو خمسة أثلاث. إذن، سالب ﺏ على ﺃ يساوي خمسة على ثلاثة.
سنتناول الآن حاصل ضرب الجذرين. علينا ضرب ل على ثلاثة في ﻡ على ثلاثة. يمكننا فعل ذلك بضرب البسطين معًا والمقامين معًا، وهذا يعطينا لﻡ على تسعة. بما أن لﻡ يساوي نصفًا، يصبح لدينا نصف على تسعة أو نصف مقسومًا على تسعة. وهذا يساوي واحدًا على ١٨. إذن، حاصل ضرب الجذرين، ﺟ على ﺃ، يساوي واحدًا على ١٨.
يمكننا الآن حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. نلاحظ هنا أن المقامين في الطرف الأيسر لكلتا المعادلتين مختلفان. لكن في الطرف الأيمن من كلتا المعادلتين، المقام هو ﺃ. ومن ثم، يمكننا ضرب بسط ومقام الطرف الأيسر من المعادلة الأولى في ستة. خمسة على ثلاثة أو خمسة أثلاث يكافئ ٣٠ على ١٨.
خطوتنا التالية هي جعل ﺃ يساوي ١٨. في المعادلة الأولى، نجد أن سالب ﺏ يساوي ٣٠، ما يعني أن ﺏ يساوي سالب ٣٠. وفي المعادلة الثانية، إذا كان ﺟ على ﺃ يساوي واحدًا على ١٨، وﺃ يساوي ١٨، فإن ﺟ لا بد أن يساوي واحدًا. إذن، المعادلة التربيعية التي جذراها ل على ثلاثة وﻡ على ثلاثة هي ١٨ﺱ تربيع ناقص ٣٠ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا.
