شارح الدرس: كتابة معادلة تربيعية بمعلومية جذرَيْ معادلة تربيعية أخرى الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تكوين معادلة تربيعية باستخدام معادلة تربيعية أخرى وجذريها

إذا كان ، جذري المعادلة ، فأوجد في أبسط صورة المعادلة التربيعية التي يكون جذراها ، .

الحل

نعرف أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، حيث ، يكون مجموع جذريها مساويًا أو سالب معامل ، وحاصل ضربهما مساويًا ، أو مساويًا الحد الثابت.

في المعادلة التربيعية ، نرى أن قيمة تساوي ١، قيمة تساوي ٨، قيمة تساوي ١٢. وهذا يعني أنه بما أن جذري هذه المعادلة هما ، فنعلم بذلك أن

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة تربيعية أخرى في أبسط صورة لها، ويكون جذراها ، . لنفترض أن المعادلة التربيعية الأخرى على الصورة . فإذا افترضنا أن ، فإننا نعلم أن يجب أن يساوي ، وأن يجب أن يساوي . أولًا، دعونا نستخدم المعادلة للمساعدة في إيجاد قيمة التعبير :

بما أن قيمة تساوي ، ونحن نعلم أن هذه هي قيمة ، لذا فإن قيمة يجب أن تساوي ١٤.

دعونا بعد ذلك نستخدم المعادلة لتساعدنا في إيجاد قيمة التعبير :

نلاحظ أنه في الحد الثاني بالطرف الأيمن من المعادلة، لدينا التعبير مضروبًا في ٣. نحن نعلم بالفعل أن التعبير يساوي ، وعليه يمكننا التعويض بـ عن ثم عزل في طرف بمفرده كما يلي:

بما أن يساوي ٤٥، نعلم إذن أن هذه هي قيمة . وبناء على ذلك، بما أن ، ، ، نكون قد أوضحنا أن المعادلة التربيعية جذريها هما ،.

مثال ٢: تكوين معادلة تربيعية باستخدام معادلة تربيعية أخرى وجذريها

إذا كان ، جذري المعادلة ، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ، في أبسط صورة.

الحل

لعلنا نتذكر أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، حيث ، يكون مجموع جذريها مساويًا أو سالب معامل ، وحاصل ضرب جذريها مساويًا ، أو مساويًا الحد الثابت.

نلاحظ، أنه في المعادلة التربيعية ، قيمة تساوي ١، قيمة تساوي ، قيمة تساوي ٥. علمنا أن جذري هذه المعادلة هما ،، لذا نعرف أن

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة تربيعية أخرى جذراها ، في أبسط صورة. نفترض أن هذه المعادلة التربيعية الأخرى على الصورة . إذا افترضنا أن فإننا نعلم أن يجب أن يساوي ، وأن يجب أن يساوي . ولإيجاد قيمة التعبير لا بد أن نبدأ بتربيع طرفي المعادلة ثم فك الطرف الأيمن:

نلاحظ أنه في الحد الثاني بالطرف الأيمن للمعادلة، لدينا التعبير مضروبًا في ٢. بما أننا نعلم بالفعل أن قيمة التعبير يساوي ٥، يمكننا الآن التعويض بـ ٥ عن ، ثم عزل في طرف بمفرده:

بما أن قيمة تساوي ، ونحن نعلم أن هذه هي قيمة ، لذا فإن قيمة يجب أن تساوي ٦.

والآن، دعونا نوجد قيمة التعبير . يمكننا فعل ذلك بتربيع طرفي المعادلة ثم توزيع الأس:

بما أن يساوي ٢٥، فنحن نعلم أن هذه هي قيمة . ومن ثم، بما أن ، ، ، نكون قد أوضحنا أن المعادلة التربيعية جذريها هما ،.

مثال ٣: استخدام العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها لإيجاد قيمة تعبير

إذا كان ، جذري المعادلة ، فما قيمة ؟

الحل

المعادلة معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة ، حيث ، ، . بما أن قيمة تساوي ١، فإننا نعلم أن مجموع جذري المعادلة يساوي أو يساوي سالب معامل ، وأن حاصل ضرب الجذرين يساوي ، أو يساوي الحد الثابت. علمنا أن جذري المعادلة هما ، ، إذن يمكننا كتابة المعادلتين

المطلوب منا في المسألة هو إيجاد قيمة . ولإجراء ذلك، علينا إعادة كتابة الكسرين في التعبير بمقام مشترك ثم جمع الكسرين معًا. يمكننا أن نبدأ بضرب كل من بسط ومقام كل كسر في مقام الآخر لنحصل على . وبالتبسيط، نحصل على وبعد جمع الكسرين معًا، نحصل على .

نلاحظ أن بسط التعبير الناتج هو مجموع جذري المعادلة ، وأن مقام التعبير هو حاصل ضرب الجذرين. لقد أوجدنا بالفعل أن مجموع الجذرين، أو يساوي ، وأن حاصل ضرب الجذرين، أو ، يساوي ١٥، ومن ثم فإن قيمة يجب أن تكون أو .

مثال ٤: كتابة معادلة تربيعية باستخدام معادلة تربيعية أخرى وجذريها

إذا كان ، هما جذرا المعادلة ، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ، في أبسط صورة .

الحل

نتذكر أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، حيث ، يكون مجموع جذريها مساويًا أو سالب معامل ، وحاصل ضرب جذريها مساويًا ، أو مساويًا الحد الثابت.

في المعادلة التربيعية ، نلاحظ أن قيمة تساوي ١، قيمة تساوي ، قيمة تساوي ١٢. وبذلك، بما أن جذري هذه المعادلة هما ، ، نعرف إذن أن

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة تربيعية أخرى في أبسط صورة يكون جذراها ،. نفترض أن هذه المعادلة التربيعية الأخرى مكتوبة على الصورة . إذا افترضنا أن ، نعرف إذن أن يجب أن يساوي ، وأن يجب أن يساوي .

ولإيجاد قيمة التعبير ، يجب أن نبدأ بإيجاد مقام مشترك للكسرين في التعبير ثم جمع الكسرين معاً لنحصل على ، أو .

والآن، لنقوم بتربيع طرفي المعادلة ثم فك الطرف الأيمن:

لاحظ أنه في الحد الثاني بالطرف الأيمن في المعادلة، لدينا التعبير مضروبًا في ٢. وبما أننا نعلم بالفعل أن التعبير يساوي ١٢، يمكننا التعويض بـ ١٢ عن ، وعزل في طرف بمفرده:

بعد ذلك، دعونا نوجد قيمة التعبير . يمكننا إجراء ذلك بتربيع طرفي المعادلة ، ثم توزيع الأس:

والآن، نعوض بـ ، في التعبير لنحصل على الذي هو قيمة أو الذي هو قيمة ، وهو معامل في المعادلة التي نبحث عنها.

نعوض أيضاً بـ في التعبير ، لنحصل على ، الذي هو قيمة ، وهو الحد الثابت في المعادلة. وهذا يعطينا المعادلة .

وأخيرًا، للتخلص من الكسرين، يمكننا ضرب الطرفين في ١٤٤ لنحصل على المعادلة ، أو .

مثال ٥: تكوين معادلة تربيعية باستخدام معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي 1 وجذريها

إذا كان ، جذري المعادلة ، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ، في أبسط صورة.

الحل

نعرف أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، يكون مجموع جذريها مساويًا ، وحاصل ضرب جذريها يساوي . في المعادلة ، قيمة تساوي ٣، قيمة تساوي ١٦، قيمة تساوي . ومن ثم، بما أن جذري هذه المعادلة هما ، ، فنعرف إذن أن

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة تربيعية أخرى في أبسط صورة، يكون جذراها ،. نفترض أن هذه المعادلة التربيعية الأخرى على الصورة: . نتذكر أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، حيث ، يكون مجموع جذريها مساويًا أو سالب معامل ، وحاصل ضرب جذريها مساويًا ، أو مساويًا الحد الثابت.

وعليه، فإذا افترضنا أن ، فإننا نعلم أن يجب أن يساوي ، أو ، وأن يجب أن يساوي أو .

نعوض بـ في التعبير لنحصل على وهو قيمة أو الذي هو قيمة ، وهو معامل في المعادلة التي نريد إيجادها.

نعوض أيضاً بـ في التعبير لنحصل على الذي هو قيمة ، وهو الحد الثابت في المعادلة. وهذا يعطينا المعادلة .

وأخيرًا، للتخلص من الكسرين، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ١٢ لنحصل على المعادلة ، أو .

مثال ٦: تكوين المعادلات التربيعية في أبسط صورة باستخدام العلاقة بين المعادلة التربيعية وجذريها

إذا كان ، جذري المعادلة ، فأوجد في أبسط صورة المعادلة التربيعية التي جذراها ، .

الحل

نعرف أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، يكون مجموع جذريها مساويًا ، وحاصل ضرب جذريها مساويًا . في المعادلة ، قيمة تساوي ٢، قيمة تساوي ، قيمة تساوي ١. وبما أن جذري هذه المعادلة هما ، ، فإننا نعلم أن

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة تربيعية أخرى في أبسط صورة يكون جذراها ،. نفترض أن هذه المعادلة التربيعية الأخرى على الصورة . نتذكر أن أي معادلة تربيعية على الصورة ، حيث ، يكون مجموع جذريها مساويًا أو سالب معامل ، وحاصل ضرب جذريها مساويًا ، أو مساويًا الحد الثابت.

لذلك، إذا افترضنا أن ، فإننا نعلم أن يجب أن يساوي ، وأن يجب أن يساوي ، أو .

لكي نوجد قيمة التعبير ، فلنبدأ بتربيع طرفي المعادلة ثم فك الطرف الأيمن:

لاحظ أنه في الحد الثاني بالطرف الأيمن من المعادلة، لدينا التعبير مضروبًا في ٢. وبما أننا نعلم بالفعل أن قيمة التعبير تساوي يمكننا التعويض الآن بـ عن ، ثم عزل في طرف بمفرده:

بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ٢، لنحصل على

بما أن قيمة تساوي ، فإننا نعلم أن هذه هي قيمة ، ومن ثم فإن قيمة يجب أن تساوي .

والآن، دعونا نوجد قيمة التعبير . يمكننا البدء بتربيع طرفي المعادلة ثم توزيع الأس:

بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ٤، ونحصل على

بما أن قيمة تساوي ١، فنحن نعلم أن هذه هي قيمة .

وبذلك يمكننا التعويض بـ ، ، في لنحصل على المعادلة . وأخيرًا، للتخلص من الكسر، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ٢ لنحصل على المعادلة ، أو .