نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نكتب معادلة تربيعية بمعلومية جذري معادلة تربيعية أخرى. لنبدأ بتذكر العلاقة بين جذري معادلة تربيعية ومعاملات حدودها.
بالنسبة إلى المعادلة التربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، ووفقًا للقانون العام، سيكون حلا المعادلة باعتبار أن جذريها هما ﺭ واحد وﺭ اثنين، هما ﺭ واحد يساوي سالب ﺏ زائد الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ على اثنين ﺃ. وﺭ اثنان يساوي سالب ﺏ ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ على اثنين ﺃ. وسنوجد الآن مجموع هذين الجذرين، بصورتهما العامة، وحاصل ضربهما.
مجموعهما هو ﺭ واحد زائد ﺭ اثنين. وفيما يلي المقدار الذي يعبر عن هذا المجموع. ولكن يمكننا بالطبع تقسيم الكسر الأول إلى سالب ﺏ على اثنين ﺃ زائد الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ على اثنين ﺃ. بعد ذلك، يمكننا تقسيم الكسر الثاني إلى سالب ﺏ على اثنين ﺃ ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ على اثنين ﺃ. والآن يمكننا ملاحظة أن مجموع الحد الثاني والحد الرابع يساوي صفرًا، لذا، سنحذفهما. وبالتالي، يصبح لدينا سالب ﺏ على اثنين ﺃ زائد سالب ﺏ على اثنين ﺃ، وهو ما يساوي سالب اثنين ﺏ على اثنين ﺃ. وأخيرًا، يمكننا التبسيط بقسمة كل من بسط الكسر ومقامه على اثنين، ليتبقى لنا سالب ﺏ على ﺃ. إذن، مجموع الجذرين هو سالب ﺏ على ﺃ. بعبارة أخرى، إنه سالب معامل ﺱ على معامل ﺱ تربيع.
سنكرر هذه العملية الآن لإيجاد حاصل الضرب. حاصل الضرب يعني إجراء عملية الضرب؛ أي سنضرب ﺭ واحد في ﺭ اثنين. مرة أخرى، سنقسم الكسر الأول، ثم نقسم الكسر الثاني. والآن، سنقوم بفك القوسين بضرب الحدين الأولين، ثم الطرفين، ثم الوسطين، ثم الحدين الأخيرين. بضرب الحدين الأولين، نحصل على ﺏ تربيع على أربعة ﺃ تربيع. وبضرب الطرفين والوسطين، نحصل على الصورتين الموجبة والسالبة لـ ﺏ في الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسومًا على أربعة ﺃ تربيع. وهذا بالطبع يساوي صفرًا. إذن، سنحذف هذين الحدين.
بعد ذلك، عند ضرب الحدين الأخيرين، نحصل على سالب ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسومًا على أربعة ﺃ تربيع. والآن، سنقسم الكسر الثاني هذا، وهنا، نتذكر أنه بما أننا سنطرح سالب أربعة ﺃﺟ على أربعة ﺃ تربيع، فإن هذا بمثابة جمعه. وسنلاحظ أن ﺏ تربيع على أربعة ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع على أربعة ﺃ تربيع يساوي صفرًا. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا قسمة البسط والمقام على ﺃ وعلى أربعة في هذا الكسر الأخير، وهو ما يعطينا ببساطة ﺟ على ﺃ. وبذلك، يمكننا القول إن حاصل ضرب جذري المعادلة التربيعية هو الحد الثابت مقسومًا على معامل ﺱ تربيع.
قد تبدو هذه النتيجة غير مفيدة بقدر كبير، لكن إذا عدنا إلى المعادلة الأصلية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا وقسمنا طرفيها على ﺃ - ويمكننا القيام بذلك لأن ﺃ لن يساوي صفرًا - فسنلاحظ أن المعادلة التربيعية تصبح ﺱ تربيع زائد ﺏ على ﺃﺱ زائد ﺟ على ﺃ يساوي صفرًا. والآن، ينبغي علينا أن نلاحظ ارتباط هذين الحدين بالنتيجتين السابقتين. فسالب ﺏ على ﺃ هو الصورة السالبة لمعامل ﺱ، وﺟ على ﺃ هو الحد الثابت. وبذلك، يمكننا القول إن المعادلة التربيعية، التي معاملها الرئيس واحد، يمكن كتابتها على الصورة: ﺱ تربيع ناقص مجموع الجذرين مضروبًا في ﺱ زائد حاصل ضرب الجذرين يساوي صفرًا.
هيا نلق نظرة على مثال حول كيفية تطبيق هذه النتائج.
إذا كان ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا، فأوجد في أبسط صورة المعادلة التربيعية التي يكون جذراها ﻝ وﻡ.
لنبدأ بتذكر العلاقة بين المعادلة التربيعية، التي معاملها الرئيس واحد، وجذراها. يمكننا كتابة المعادلة على الصورة ﺱ تربيع ناقص مجموع الجذرين في ﺱ زائد حاصل ضرب الجذرين يساوي صفرًا. وعليه، إذا نظرنا إلى المعادلة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا، فسنجد أن مجموع الجذرين لا بد أن يكون سالب ثمانية. وهو سالب ثمانية وليس موجب ثمانية؛ لأن في الصورة العامة يكون معامل ﺱ هو سالب مجموع الجذرين، وفي هذا المثال، المعامل موجب. يمكننا أيضًا القول إن حاصل الضرب، وهو الحد الثابت، لا بد أن يساوي ١٢.
وعادة ما نستخدم الجذرين المعطيين في السؤال بدلًا من هذين الجذرين. والجذران هنا هما ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة. لكن في الواقع، يمكننا إيجاد عددين مجموعهما سالب ثمانية وحاصل ضربهما ١٢. العددان اللذان يحققان هذه النتيجة هما سالب ستة وسالب اثنين؛ وذلك لأن سالب في سالب يساوي قيمة موجبة. سالب ستة في سالب اثنين يساوي موجب ١٢. وسالب ستة زائد سالب اثنين يساوي سالب ثمانية. إذن، بتحديد الجذرين ليصبحا ﺭ واحد وﺭ اثنين، نجد أنهما يساويان سالب ستة وسالب اثنين.
لكننا نعرف أن جذري هذه المعادلة هما ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة. إذن، يمكننا تكوين معادلتين، إحداهما بدلالة ﻝ والأخرى بدلالة ﻡ. المعادلة الأولى هي ﻝ زائد ثلاثة يساوي سالب ستة، والثانية هي ﻡ زائد ثلاثة يساوي سالب اثنين. وسنحل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة المتغير في كل منهما بطرح ثلاثة من كلا الطرفين. سالب ستة ناقص ثلاثة يساوي سالب تسعة. وعليه، فإن ﻝ يساوي سالب تسعة. وبالمثل، ﻡ يساوي سالب خمسة. وسيساعدنا هذا كثيرًا لأننا نعرف الآن جذري المعادلة الجديدة. يمكننا تكوين هذه المعادلة بإيجاد مجموع هذين الجذرين وحاصل ضربهما. مجموعهما هو سالب تسعة زائد سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٤. وحاصل الضرب يساوي سالب تسعة في سالب خمسة، وهو ما يساوي ٤٥.
والآن بعد أن علمنا أن مجموع الجذرين سالب ١٤ وحاصل ضربهما ٤٥، يمكننا التعويض بهما في الصورة العامة. وهذا يعطينا ﺱ تربيع ناقص سالب ١٤ في ﺱ زائد ٤٥ يساوي صفرًا، ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٤٥ يساوي صفرًا.
والآن سنلقي نظرة على مثال مشابه. لكن هذه المرة، لن نتمكن من إيجاد جذري المعادلة الأصلية بسهولة؛ ولذلك سنستخدم الطرق الجبرية لإيجاد المعادلة الجديدة.
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ تربيع وﻡ تربيع، في أبسط صورة.
هيا نبدأ بتذكر العلاقة بين المعادلة التربيعية، التي معاملها الرئيس واحد، وجذراها. يمكننا التعبير عن ذلك بالصورة ﺱ تربيع ناقص مجموع الجذرين في ﺱ زائد حاصل ضرب الجذرين يساوي صفرًا. ويعني هذا أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية تساوي صفرًا وكان معاملها الرئيس واحدًا، أي إن معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، فإن سالب معامل ﺱ سيعطينا مجموع الجذرين، أما الحد الثابت فسيعطينا حاصل ضربهما.
حسنًا، لنطبق هذا على المعادلة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. معامل ﺱ هو سالب اثنين. ومن ثم، يجب أن يكون المجموع سالب سالب اثنين؛ أي إن مجموع الجذرين لا بد أن يساوي موجب اثنين. الحد الثابت هو خمسة. إذن، حاصل ضرب الجذرين يجب أن يكون خمسة. هل يمكننا إيجاد عددين مجموعهما اثنان وحاصل ضربهما خمسة؟ حسنًا، الأمر ليس بهذه السهولة. فلن نتمكن هنا من إيجاد عددين صحيحين. إذن، بدلًا من ذلك، سنكون معادلتين باستخدام ﻝ وﻡ. بما أن مجموع الجذرين يساوي اثنين وﻝ وﻡ هما الجذران، فيمكننا القول إن ﻝ زائد ﻡ يجب أن يساوي اثنين. كما يمكننا القول إن ﻝ في ﻡ يساوي خمسة.
جذرا المعادلة الجديدة هما ﻝ تربيع وﻡ تربيع. وبما أن مجموعهما سيكون ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع، فعلينا إعادة صياغة المعادلتين لإيجاد مقدار يعبر عن ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع ومقدار آخر يعبر عن حاصل ضربهما؛ ﻝ تربيع في ﻡ تربيع. دعونا نسم المعادلتين واحدًا واثنين. سنقوم بتربيع المعادلة واحد بالكامل. بعبارة أخرى، سنقوم بتربيع طرفيها. في الطرف الأيسر، لدينا اثنان تربيع، وهو ما يساوي أربعة. وفي الطرف الأيمن، لدينا ﻝ زائد ﻡ تربيع، وهو ما يمكننا اعتباره ﻝ زائد ﻡ في ﻝ زائد ﻡ.
وعند فك هذين القوسين، نحصل على ﻝ تربيع زائد اثنين ﻝﻡ زائد ﻡ تربيع يساوي أربعة. وبطرح اثنين ﻝﻡ من كلا الطرفين، فإننا نحصل على مقدار يعبر عن مجموع الجذرين ﻝ تربيع وﻡ تربيع. وهو أربعة ناقص اثنين ﻝﻡ. ولكننا نعرف مقدارًا يعبر عن ﻝﻡ؛ إذ توضح لنا المعادلة اثنين أن ﻝﻡ يساوي خمسة. وبذلك، يصبح ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع مساويًا لأربعة ناقص اثنين في خمسة، أي أربعة ناقص ١٠، أو ببساطة سالب ستة. وبهذا نكون قد أوجدنا مجموع جذري المعادلة الجديدة، وبالتالي سالب معامل ﺱ.
سنكرر الآن هذه العملية في المعادلة الثانية؛ أي سنقوم بتربيع الطرفين. وهذا يعني أنه سيصبح لدينا ﻝﻡ تربيع يساوي خمسة تربيع. خمسة تربيع يساوي ٢٥ بالطبع. ويمكننا توزيع الأس اثنين على كلا الحدين. ليصبح لدينا ﻝ تربيع في ﻡ تربيع يساوي ٢٥. وبهذا نكون قد أوجدنا مجموع جذري المعادلة الجديدة وهو سالب ستة، وحاصل ضربهما وهو ٢٥. فلنعوض بهاتين القيمتين في الصورة العامة. وعند القيام بذلك، نحصل على ﺱ تربيع ناقص سالب ستة ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا. وعليه، فإن المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ تربيع وﻡ تربيع هي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا.
في المثال التالي، سنتعرف على كيفية الاستفادة من العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها لتساعدنا في إيجاد قيمة مقدار.
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ١٥ يساوي صفرًا، فما قيمة واحد على ﻡ زائد واحد على ﻝ؟
سنبدأ بتذكير أنفسنا بالعلاقة بين معامل المعادلة التربيعية وجذريها. في المعادلة التربيعية التي يكون معاملها الرئيس واحدًا، أي يكون معامل ﺱ تربيع واحدًا، يخبرنا سالب معامل ﺱ بمجموع الجذرين، ويخبرنا الحد الثابت بحاصل ضربهما. وسيفيدنا هذا كثيرًا؛ لأن معامل ﺱ هنا هو ٢٠ والحد الثابت ١٥. إذن، سيكون مجموع الجذرين سالب ٢٠. تذكر أننا قلنا إن هذا هو سالب معامل ﺱ. أما حاصل الضرب، وهو الحد الثابت، فلا بد أن يساوي ١٥.
ولكن السؤال يخبرنا أن ﻝ وﻡ هما جذرا المعادلة. ومن ثم، يمكننا القول إن ﻝ زائد ﻡ يجب أن يساوي سالب ٢٠ وﻝ في ﻡ يجب أن يساوي ١٥. كيف سيساعدنا هذا؟ إننا نريد إيجاد قيمة واحد على ﻡ زائد واحد على ﻝ، ولا يمكننا بسهولة إيجاد عددين مجموعهما سالب ٢٠ وحاصل ضربهما ١٥. ولذلك، علينا إعادة صياغة المقادير. هيا نفكر في المقدار واحد على ﻡ زائد واحد على ﻝ.
نحن نعرف أنه لجمع كسرين، علينا إيجاد مقام مشترك. وأسهل طريقة لفعل ذلك عند التعامل مع الكسور الجبرية هي ضرب جزأي كل كسر في مقام الآخر. إذن، سنضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ﻝ ونضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ﻡ. ومن ذلك نحصل على ﻝ على ﻝﻡ زائد ﻡ على ﻝﻡ. وبما أن المقامين متساويان، يمكننا ببساطة جمع البسطين، وهو ما يعطينا ﻝ زائد ﻡ على ﻝﻡ.
وهذه نتيجة مفيدة جدًا؛ لأننا نعرف أن البسط ﻝ زائد ﻡ يساوي سالب ٢٠، والمقام ﻝﻡ يساوي ١٥. وهذا بدوره يعني أن واحدًا على ﻡ زائد واحد على ﻝ يساوي سالب ٢٠ على ١٥، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب أربعة على ثلاثة. وبالتالي، إذا كان ﻝ وﻡ هما جذري المعادلة، فإن واحدًا على ﻡ زائد واحد على ﻝ يجب أن يساوي سالب أربعة على ثلاثة.
سنوسع نطاق استخدام هذه الفكرة الآن لتكوين معادلات تربيعية.
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، فأوجد، المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ على اثنين وﻡ على اثنين في أبسط صورة.
لنبدأ بتذكر العلاقة بين المعادلة التربيعية وجذريها. في المعادلة التربيعية التي معاملها الرئيس واحد، يمكننا القول إن معامل ﺱ هو سالب مجموع جذري المعادلة، في حين أن الثابت هو حاصل ضرب الجذرين. وبمقارنة هذا بالمعادلة لدينا، نرى أن لدينا مشكلة صغيرة. المعامل الرئيس، أي معامل ﺱ تربيع، هو ثلاثة. ومن ثم، سنقسم كل حد على ثلاثة. ثلاثة ﺱ تربيع على ثلاثة يساوي ﺱ تربيع. ١٦ﺱ مقسومًا على ثلاثة يعني ١٦ﺱ على ثلاثة، أو ١٦ على ثلاثة في ﺱ. وسيصبح الحد الثابت سالب ثلث.
حسنًا، بمقارنة الناتج بالصورة العامة، نجد أن مجموع جذري المعادلة هو سالب معامل ﺱ. إذن، فهو يساوي سالب ١٦ على ثلاثة. وحاصل ضربهما يساوي سالب ثلث. لكننا نعلم أيضًا أن ﻝ وﻡ هما جذرا المعادلة، لذا يمكننا التعويض عن المجموع بـ ﻝ زائد ﻡ وعن حاصل الضرب بـ ﻝ في ﻡ. علينا إيجاد المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ على اثنين وﻡ على اثنين. حسنًا، ما سنفعله هو إيجاد مقدار يعبر عن مجموع هذين الجذرين؛ أي ﻝ على اثنين زائد ﻡ على اثنين. وبالمثل، سنوجد حاصل ضرب هذين الجذرين؛ أي ﻝ على اثنين في ﻡ على اثنين، أي ﻝﻡ على أربعة.
إذن، كيف يمكننا الربط بين المعادلتين لدينا؟ حسنًا، دعونا نسم المعادلة الأولى واحدًا. لدينا ﻝ زائد ﻡ يساوي سالب ١٦ على ثلاثة. إذا قسمنا المقدار بالكامل على اثنين، أي ﻝ زائد ﻡ على اثنين، فسنجد أنه يساوي ﻝ على اثنين زائد ﻡ على اثنين. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة ﻝ على اثنين زائد ﻡ على اثنين بقسمة قيمة ﻝ زائد ﻡ على اثنين. وهو ما يساوي سالب ١٦ على ثلاثة مقسومًا على اثنين؛ أي سالب ثمانية على ثلاثة.
ويمكننا تكرار هذه العملية مع المعادلة الثانية. هذه المرة، نريد قسمة ﻝﻡ على أربعة. أي إننا سنقسم سالب ثلث على أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد على ١٢. والآن، بعد أن أصبح لدينا مجموع الجذرين وحاصل ضربهما، يمكننا التعويض بهما في المعادلة السابقة. وعندما نفعل ذلك، سنجد أن المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ على اثنين وﻡ على اثنين هي ﺱ تربيع ناقص سالب ثمانية على ثلاثة ﺱ زائد سالب واحد على ١٢ يساوي صفرًا.
دعونا نبسط المقدار بعض الشيء بالتعامل مع الإشارات. بعبارة أخرى، سالب سالب ثمانية أثلاث يساوي ثمانية أثلاث. وجمع سالب واحد على ١٢ هو نفسه طرح واحد على ١٢. الخطوة الأخيرة هي الحصول على معاملات صحيحة. وللقيام بذلك، سنضرب البسط والمقام في ١٢. ﺱ تربيع في ١٢ يساوي ١٢ﺱ تربيع. وإذا ضربنا ثمانية أثلاث في ١٢، فسنحذف ثلاثة. وسيصبح الناتج ثمانية في أربعة، وهو ما يساوي ٣٢. سالب واحد على ١٢ في ١٢ يساوي سالب واحد. وبالطبع، صفر في ١٢ يساوي صفرًا. إذن، المعادلة التربيعية هي ١٢ﺱ تربيع زائد ٣٢ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا.
هيا نلخص الآن النقاط الأساسية التي وردت في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه لأي معادلة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، يكون مجموع الجذرين هو سالب ﺏ على ﺃ. أي سالب معامل ﺱ مقسومًا على معامل ﺱ تربيع. وحاصل الضرب يساوي ﺟ على ﺃ. إنه الحد الثابت مقسومًا على معامل ﺱ تربيع. يمكننا استخدام هذه المعلومات للتعبير عن العلاقة بين جذري معادلة تربيعية، معاملها الرئيس واحد، ومعاملات حدودها. عند كتابة المعادلة بهذه الصورة، يخبرنا سالب معامل ﺱ بمجموع الجذرين، في حين يخبرنا الحد الثابت بحاصل ضربهما.
