نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل متجه الاتجاه لخط التقاطع بين المستويين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ﻉ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ زائد اثنين يساوي صفرًا؟ أ: سالب ثلاثة، سالب واحد، صفر. ب: سالب ثلاثة، سالب واحد، ثلاثة. ج: سالب ثلاثة، واحد، ثلاثة. د: واحد، تسعة، سالب ثلاثة. هـ: سالب ثلاثة، واحد، صفر.
لدينا هنا معادلتان لمستويين في الصورة العامة. سنشير إليهما بـ ﺭ واحد وﺭ اثنين. نعلم أنه إذا كان هناك مستويان في ﺡ ثلاثة لهما متجهان عموديان غير متوازيين، فسيكون ناتج تقاطعهما خطًّا مستقيمًا، وهذا المستقيم هو مجموعة حلول المعادلتين ﺭ واحد وﺭ اثنين. مطلوب منا في هذا السؤال تحديد أي من الخيارات المعطاة (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ) هو متجه اتجاه خط التقاطع، حيث متجه الاتجاه هو متجه مواز لخط التقاطع وفي اتجاهه. نوجد متجه الاتجاه هذا بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين العموديين على المستويين. ويمكننا إيجاد المتجهين العموديين ﻥ واحد وﻥ اثنين بقراءة معاملات المتغيرات في معادلتي المستويين. إذن، ﻥ واحد له المركبات واحد، وثلاثة، وواحد. وﻥ اثنان له المركبات واحد، وثلاثة، وسالب ثلاثة.
يمكننا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي عن طريق حساب قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وصفها الأول هو متجهات الوحدة ﺱ، وﺹ، وﻉ، ويمثل صفاها الثاني والثالث المتجهين العموديين. ويمكننا حساب ذلك عن طريق الفك باستخدام الصف الأول لنحصل على محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي ثلاثة، واحد، ثلاثة، سالب ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها هي واحد، واحد، واحد، سالب ثلاثة مضروبًا في ﺹ زائد محدد المصفوفة التي عناصرها هي واحد، ثلاثة، واحد، ثلاثة مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ.
وبتذكر أن قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها هي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، نحصل على ثلاثة في سالب ثلاثة ناقص واحد في ثلاثة في ﺱ ناقص واحد في سالب ثلاثة ناقص واحد في واحد في ﺹ زائد واحد في ثلاثة ناقص ثلاثة في واحد مضروبًا في ﻉ. وهذا يساوي سالب تسعة ناقص ثلاثة ﺱ ناقص سالب ثلاثة ناقص واحد ﺹ زائد ثلاثة ناقص ثلاثة ﻉ. وهذا يساوي سالب ١٢ﺱ زائد أربعة ﺹ. وبما أن ثلاثة ناقص ثلاثة يساوي صفرًا، فمعامل ﻉ يساوي صفرًا. بذلك نكون قد أوجدنا متجه الاتجاه ﻫ في الصورة الإحداثية. وبإفراغ بعض المساحة، يمكننا كتابة ذلك في الصورة المتجهة: سالب ١٢، أربعة، صفر، وبالمثل في صورة متجه.
ونلاحظ أن هذا لا يتطابق في الواقع مع أي من الخيارات الخمسة (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ). ولكن بملاحظة وجود عامل مشترك، وهو أربعة، في أول مركبتين، يمكننا إخراج هذا العامل الثابت ليصبح لدينا ﻫ يساوي أربعة في المتجه الذي له المركبات سالب ثلاثة، واحد، صفر. وبما أن العدد أربعة كمية قياسية ثابتة، وأي مضاعف قياسي لا يساوي صفرًا لهذا المتجه هو متجه اتجاه للخط المستقيم، نلاحظ أن متجه الاتجاه لدينا يتطابق في الواقع مع الخيار هـ. ومن ثم، فإن متجه الاتجاه لخط التقاطع بين المستويين هو الخيار هـ. وهو المتجه سالب ثلاثة، واحد، صفر.
