تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التقاطع بين المستويات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد نقطة التقاطع أو الخط المستقيم الناتج عن التقاطع بين مستقيمات ومستويات في الفضاء.

تعريف: الصورة العامة لمعادلة المستوى

يُمكن وصْف المستوى في الفضاء الثلاثي الأبعاد، 𞹇٣، بعدَّة طُرق مختلفة. على سبيل المثال، المعادلة العامَّة للمستوى تُعطَى بواسطة: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠.

هذا المستوى له المتَّجه العمودي 󰄮𞸍=(󰏡،𞸁،𞸢) الذي يحدِّد اتجاه المستوى في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وهذا المتَّجه العمودي ليس وحيدًا. فأيُّ مضاعف قياسي غير صفري لهذا المتَّجه، 𝜆󰄮𞸍، يكون عموديًّا أيضًا على المستوى.

ولا يؤثِّر الثابت 𞸃 على دوران المستوى، لكنَّه ينقل المستوى بمقدار 𞸃 من الوحدات في اتجاه المتَّجه العمودي 󰄮𞸍.

على سبيل المثال: بالنسبة إلى المستوى الذي توضِّحه المعادلة 𞸎+٢𞸑+٣𞸏+٠١=٠: ١𞸎+٢𞸑+٣𞸏+٠١=٠، المتَّجه العمودي 󰄮𞸍 على المستوى هو (١،٢،٣). وأيُّ مضاعف قياسي غير صفري لهذا المتَّجه يكون أيضًا متَّجهًا عموديًّا على المستوى، مثل (١،٢،٣)، أو (٥،٠١،٥١).

تعريف: تقاطع المستويات

أيُّ مستويين في 𞹇٣ ليس لهما متَّجهان عموديان غير متوازيين سيكون ناتج تقاطعهما خطًّا مستقيمًا.

هذا المستقيم هو مجموعة حلول المعادلتين الآنيتين للمستويين: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠،󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠.١١١١٢٢٢٢

هذا النظام المكوَّن من معادلتين يحتوي على ثلاثة مجاهيل هي: 𞸎، 𞸑، 𞸏. ومن ثَمَّ، فإن النظام سيحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو لا حلول على الإطلاق. تَصِف الحالة الأولى عندما يكون المستويان متقاطعين، وتَصِف الحالة الثانية عندما يكون المستويان متوازيين لا يتقاطعان أبدًا.

خطوات: إيجاد المعادلة العامَّة لمستقيم التقاطع بين مستويين

  1. نحذف أحد المتغيِّرات الثلاثة من المعادلتين (لا يُهِمُّ أيُّ متغيِّر منها، ولْيَكنْ 𞸏 مثلًا)، ثم نعبِّر عن أحد المتغيِّرين المتبقِّيين صراحة بدلالة الآخَر، على سبيل المثال: 𞸎=󰎨(𞸑).
  2. نحذف المتغيِّر التابع 𞸑، من المعادلتين الأصليتين، ونعبِّر عن المتغيِّر المستقلِّ 𞸎، بدلالة المتغيِّر المتبقِّي 𞸏؛ أيْ 𞸎=𞸆(𞸏).
  3. ومن ثَمَّ، تُعطَى المعادلة العامَّة لمستقيم التقاطع بواسطة: 𞸎=󰎨(𞸑)=𞸆(𞸏).

سنتناول مثالًا لإيجاد مستقيم التقاطع بين المستويين الآتيين:

𞸎٤𞸑+٣𞸏٤=٠،٢𞸎+٢𞸑٩𞸏+٧=٠.()()١٢

بدايةً: علينا حذْف أحد المتغيِّرات الثلاثة. يُمكننا حذْف 𞸏 عن طريق ضرب المعادلة (١) في ٣، ثم الجمع مع المعادلة (٢)، وهو ما يُعطينا: ٠٢١+٩𞸏٢١𞸑=٣𞸎+٠+٧٩𞸏+٢𞸑=٢𞸎٠٥٠١𞸑=٥𞸎

يُمكننا إعادة الترتيب للحصول على 𞸎 بإضافة ٠١𞸑+٥ إلى كلا الطرفين والقسمة على ٥، وهو ما يُعطينا:

𞸎=٢𞸑+١.()٣

والآن: علينا التخلُّص من المتغيِّر التابع 𞸑، من المعادلتين الأصليتين لإيجاد مقدار يعبِّر عن 𞸎 بدلالة 𞸏. يُمكننا ضرب المعادلة الثانية في ٢، وجمعها مع المعادلة الأولى، وهو ما يُعطينا: ٠٤+٣𞸏٤𞸑=𞸎+٠+٤١٨١𞸏+٤𞸑=٤𞸎٠+٠١٥١𞸏=٥𞸎

نُعيد الترتيب للحصول على 𞸎 بإضافة (٥١𞸏٠١) إلى كلا الطرفين والقسمة على ٥، وهو ما يُعطينا: 𞸎=٣𞸏٢.

تُعطينا المعادلة السابقة إضافة إلى المعادلة (٣)، مقدارين لـ 𞸎، أحدهما بدلالة 𞸑، والآخَر بدلالة 𞸏: 𞸎=٢𞸑+١،𞸎=٣𞸏٢.

يُمكن إعادة كتابة هاتين المعادلتين على صورة معادلة واحدة بعلامتَيْ تساوي: 𞸎=٢𞸑+١=٣𞸏٢.

هذه هي المعادلة العامَّة لمستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد.

ولا يُمكننا اختزال نظام المعادلات أكثر من ذلك، ولا إيجاد قِيَم 𞸎، 𞸑، 𞸏 الوحيدة التي تحلُّ المعادلات؛ لأن لدينا أكثر من مجهول. ومع ذلك، لدينا الحرية في اختيار أيِّ قيمة لمتغيِّر واحد، وهي التي ستُعطينا القيمتين المقابلتين للمتغيِّرين الآخَرين اللتين تحلَّان المعادلتين.

على سبيل المثال: بفرض 𞸎=١ في المعادلة السابقة، نحصل على: ١=٢𞸑+١=٣𞸏٢.

يُمكننا إعادة ترتيب الجزء الأول من المعادلة، لنحصل على: 𞸑=٠، وبإعادة ترتيب الجزء الثاني، نحصل على: 𞸏=١.

إذن بفرض 𞸎=١، حصلنا على 𞸑=٠، 𞸏=١، وهو ما يُعطينا إحدى نقاط التقاطع بين المستويين وهي: (١،٠،١).

وبالمثل يُمكننا كتابة 𞸎=٢؛ ومن ثَمَّ نحصل على 𞸑=١٢، 𞸏=٤٣، وهو ما يُعطينا نقطة تقاطع أخرى بين المستويين وهي: 󰂔٢،١٢،٤٣󰂓.

لكنْ ليس بالضرورة أن نختار المتغيِّر 𞸎 ليكون البارامتر. يُمكننا أن نختار بحُرِّية أن يكون 𞸑، أو 𞸏. على سبيل المثال: عند اختيار 𞸑=١ في المعادلة الرئيسية السابقة نحصل على: 𞸎=٢(١)+١=٣𞸏٢، التي يُمكن إعادة ترتيبها لتُعطينا 𞸎=٣، 𞸏=٥٣، وبهذا تكون 󰂔٣،١،٥٣󰂓 نقطة أخرى على مستقيم التقاطع بين المستويين.

هذا فقط بعضٌ من العديد من الحلول اللانهائية لنظام المعادلات الذي يكوِّن مستقيم التقاطع بين المستويين.

ليست الصورة العامَّة هي الطريقة الوحيدة لوصْف مستقيم التقاطع بين مستويين. هناك طريقة أخرى، وهي استخدام مجموعة من المعادلات البارامترية، باستخدام بارامتر خارجي يُعرِّف المتغيِّرات الثلاثة 𞸎، 𞸑، 𞸏 كلًّا على حِدة.

تعريف: الصورة البارامترية لمعادلة مستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد

يُمكن تعريف المستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد بالمجموعة العامَّة للمعادلات البارامترية الآتية: 𞸎=󰎨(𞸊)=𞸎+󰏡𞸊،𞸑=𞸆(𞸊)=𞸑+𞸁𞸊،𞸏=𞸇(𞸊)=𞸏+𞸢𞸊،٠٠٠ حيث 𞸊 بارامتر، وحيث 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸏٠ إحداثيات نقطة تقع على المستقيم، وحيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 هي مركِّبات متَّجه الاتجاه للمستقيم، أو مركِّبات متَّجه الاتجاه لمستقيم آخَر يوازي المستقيم.

وحيث إن هناك عددًا لا نهائيًّا من النقاط على المستقيم، فهناك عدد لا نهائيٌّ من الخيارات للنقاط (𞸎،𞸑،𞸏)٠٠٠ للمعادلة البارامترية للمستقيم.

خطوات: إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين مستويين

  1. التعبير عن أحد المتغيِّرات الثلاثة في معادلتَيِ المستويين على صورة دالة خطية بها المتغيِّر 𞸊، على سبيل المثال: 𞸎=𞸎+󰏡𞸊٠.
  2. التعويض بهذا المقدار في المعادلتين الأصليتين للمستويين، وحلُّ النظام المكوَّن من المعادلتين للتعبير عن المتغيِّرين الآخَرين بدلالة البارامتر 𞸊.

هيَّا نتناول مثالًا على تكوين مجموعة من المعادلات البارامترية لمستقيم تقاطع بمعلومية المعادلتين العامَّتين لمستويين.

مثال ١: إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين مستويين

أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين 𞸎+𞸏=٣، ٢𞸎𞸑𞸏=٢.

  1. 𞸎=٣+𞸊،𞸑=٤+٣𞸊،𞸏=𞸊
  2. 𞸎=٣+𞸊،𞸑=٨٣𞸊،𞸏=𞸊
  3. 𞸎=٣+𞸊،𞸑=٨+٣𞸊،𞸏=𞸊
  4. 𞸎=١+𞸊،𞸑=٣+٣𞸊،𞸏=٢𞸊
  5. 𞸎=٣+𞸊،𞸑=٤٣𞸊،𞸏=𞸊

الحل

إحدى طُرق حلِّ هذا السؤال هي اختيار معادلة بارامترية لتمثيل أحد المتغيِّرات. يُمكننا فعل ذلك حيث إن لدينا بالفعل «متغيِّرًا حرًّ». فيما يتعلَّق بطريقة اختيار المعادلة البارامترية للمتغيِّر، يُمكننا فعل ذلك بطريقتين مختلفتين. يُمكننا اختيار مقدار عامٍّ لمتغيِّر بدلالة بارامتر، مثل: 𞸎=𞸎+󰏡𞸊٠، ثم نُعيِّن قِيَمًا لـ 𞸎٠، 󰏡 عند المرحلة المناسِبة لإجراء عملية حسابية، أو يُمكننا تعيين مقدار لمتغيِّر بدلالة بارامتر في بداية العملية الحسابية، على سبيل المثال: 𞸏=𞸊، ونعدِّل الإجابة في النهاية كما هو مطلوب. سنشرح كلتا الطريقتين هنا.

الطريقة الأولى: اختيار مقدار لمتغيِّر بدلالة بارامتر مباشرةً

بالرجوع إلى الخيارات الموضَّحة في السؤال، نجد أنه من المنطقي أن نختار 𞸏=𞸊؛ حيث إنه من المحتمل أن يوصِّلنا هذا إلى الإجابة الصحيحة. لكننا سنجعل 𞸏=𞸊؛ ومن ثَمَّ سنوضِّح أن هذا سيُعطينا مستقيم تقاطع مكافئًا، يُمكننا بعد ذلك تعديلُه لتحديد الإجابة الصحيحة من بين الخيارات المُعطاة.

إذا عوَّضنا عن 𞸏 بالمتغيِّر الذي اخترناه في معادلة المستوى الأول، نحصل على: 𞸎+𞸊=٣، وهو ما يُعطينا 𞸎=٣𞸊. إذا عوَّضنا الآن عن 𞸎، 𞸏، في معادلة المستوى الثاني، فسنحصل على: ٢(٣𞸊)𞸑𞸊=٢.

بفكِّ القوسين والتبسيط، نحصل على: ٦٢𞸊𞸊+٢=𞸑، وهو ما يُمكن تبسيطه إلى 𞸑=٨٣𞸊. إذن المعادلات البارامترية لـ 𞸎، 𞸑، 𞸏 هي: 𞸎=٣𞸊،𞸑=٨٣𞸊،𞸏=𞸊.

وكما نرى في السؤال، هذه المعادلات ليستْ ضمْن الخيارات، لكن يجب أن تكافئ أحد الخيارات. هذا المستقيم يمرُّ بالنقطة (٣،٨،٠)، ومتَّجه اتجاهه (١،٣،١)، وعلينا أن نحدِّد أيٌّ من الخيارات يُكافئ المستقيم الذي على هذه الصورة. للقيام بذلك، يُمكننا أولًا مقارنة متَّجهات الاتجاه لكلِّ مستقيم، ثم تحديد أيٌّ من النقاط الموضَّحة يقع أيضًا على المستقيم.

في هذه الحالة تحديدًا، ليس من الصعب فعل ذلك. يُمكننا سريعًا استبعاد الخيارين (ب) و(هـ) بسبب إشارتَيْ ٣𞸊، 𞸊؛ حيث إنهما غير متَّسِقتين مع الإشارات في متَّجه الاتجاه للمستقيم. أمَّا الخيارات المتبقية، فهي تحتوي على متَّجه اتجاه نحصل عليه بضرب المستقيم في ١، وهو ما يعني أنه مكافئ.

يُمكننا بعد ذلك استبعاد الخيار (أ)، فهو يمرُّ بنفس الإحداثي 𞸎، لكنه يمرُّ بإحداثي 𞸑 مختلف، وبهذا يتبقَّى أمامنا الخياران (ج) و(د). الخيار (ج) يوضِّح النقطة نفسها (٣،٨،٠)؛ لذلك لا بدَّ أنه أحد الحلول.

وأخيرًا: علينا التأكُّد إذا ما كان الخيار (د) حلًّا أيضًا. يُمكننا فعل ذلك عن طريق التحقُّق إذا ما كانت الإحداثيات (٣،٨،٠) تمثِّل نقطةً على هذا المستقيم تحديدًا: بالتعويض بالقيمة 𞸊=٢ في كلِّ معادلة من المعادلات البارامترية نحصل على النقطة (٣،٩،٠). ومن ثَمَّ، هذه ليستْ معادلة صحيحة لمستقيم التقاطع.

وعليه فإن الإجابة هي الخيار (ج).

الطريقة الثانية: استخدام معادلات عامَّة لمتغيِّر بدلالة بارامتر

تذكَّر أن الصورة العامَّة لمجموعة المعادلات البارامترية لخطٍّ مستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد تُعطَى بواسطة: 𞸎=󰎨(𞸊)=𞸎+󰏡𞸊،𞸑=𞸆(𞸊)=𞸑+𞸁𞸊،𞸏=𞸇(𞸊)=𞸏+𞸢𞸊،٠٠٠ حيث 𞸊 بارامتر، وحيث 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸏٠ إحداثيات نقطة تقع على المستقيم، وحيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 مركِّبات متَّجه الاتجاه للمستقيم، أو مركِّبات متَّجه الاتجاه لمستقيم يوازي المستقيم.

لإيجاد مجموعة المعادلات البارامترية لمستقيم التقاطع، نُعيِّن مقدارًا لمتغيِّر واحد بدلالة البارامتر، ونعوِّض بهذا المقدار في معادلة المستوى، ثم نُعيد ترتيب المعادلات الناتجة لإيجاد مقدارين للمتغيِّرين الآخَرين بدلالة البارامتر.

نُعيِّن: 𞸎=𞸎+󰏡𞸊.٠

بالتعويض بهذا المقدار في معادلتَيِ المستويين نحصل على:

𞸎+󰏡𞸊+𞸏=٣،٢󰁓𞸎+󰏡𞸊󰁒𞸑𞸏=٢.٠٠()()٤٥

لدينا الآن معادلتان آنيتان لـ 𞸑، 𞸏 يُمكن حلُّهما لإيجاد مقدارين لـ 𞸑، 𞸏 بدلالة 𞸊.

يُمكننا إعادة ترتيب المعادلة (٤) لنحصل على مقدار لـ 𞸏 بدلالة 𞸊: 𞸏=٣𞸎󰏡𞸊.٠

ثم نعوِّض بمقدار 𞸏 هذا في المعادلة (٥) فنحصل على: ٢󰁓𞸎+󰏡𞸊󰁒𞸑󰁓٣𞸎󰏡𞸊󰁒=٢.٠٠

بفكِّ الأقواس وإعادة الترتيب للحصول على 𞸑 نحصل على مقدار لـ 𞸑 بدلالة 𞸊: 𞸑=٣󰁓𞸎+󰏡𞸊󰁒١.٠

يُمكننا اختيار قِيَم لـ 𞸎٠، 󰏡، بحسب ما نراه ملائمًا، لنجعل المعادلات بسيطة قدْر الإمكان.

لا يُمكننا اختيار 󰏡=٠؛ لأن البارامتر سيكون ثابتًا، ولا يعرِّف كلَّ نقطة على المستقيم بشكل مختلف، لكنْ يُمكننا اختيار أيِّ قيمة نريدها لـ 𞸎٠.

إذن من بين الإجابات المحتملة، أربع منها لها المعادلة البارامترية لـ 𞸎 على الصورة: 𞸎=٣+𞸊، إذن نجربها. هذا يعني أن لدينا: 𞸎=٣،󰏡=١.٠

نعوِّض بهاتين القيمتين عن 𞸎٠، 󰏡 في مقدارَيْ 𞸑، 𞸏 فنحصل على: 𞸑=٣(٣+𞸊)١=٨+٣𞸊.

ونحصل على: 𞸑=٣٣𞸊=𞸊.

وبهذا يصبح لدينا مجموعة مُمكِنة من المعادلات البارامترية لكلٍّ من 𞸎، 𞸑، 𞸏: 𞸎=٣+𞸊،𞸑=٨+٣𞸊،𞸏=𞸊، وهذا يتوافق مع الإجابة (ج).

وهذا يؤكِّد الإجابة التي حصلنا عليها في الطريقة الأولى، الخيار (ج).

ثَمَّة طريقة أخيرة لوصْف خط التقاطع بين مستويين، وهي استخدام معادلة متَّجهة.

تعريف: الصورة المتَّجهة لمعادلة المستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد

يُمكن تعريف المستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد على الصورة المتَّجهة باستخدام المعادلة العامَّة الآتية: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤،٠ حيث 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ متَّجه الموضع لنقطة معلومة على المستقيم، 󰄮󰄮𞸤 متَّجهٌ لا يساوي صفرًا يوازي المستقيم، 𞸊 كمية قياسية.

خطوات: إيجاد المعادلة المتَّجهة لمستقيم التقاطع بين مستويين

  1. إيجاد نقطة واحدة، 󰄮𞸓٠، متَّجه موضعها، يقع على كلا المستويين. ويُمكن فعل ذلك عن طريق تحديد قيمة لمتغيِّر واحد، على سبيل المثال: 𞸎=𞸎٠، وحلِّ معادلتَيِ المستويين لإيجاد القيمتين المناظرتين للمتغيِّرين الآخَرين، 𞸑=𞸑٠، 𞸏=𞸏٠
  2. تحديد المتَّجهين العموديين على المستويين، 󰄮𞸍١، 󰄮𞸍٢، بقراءة المعاملات من معادلتَيْهما.
  3. إجراء الضرب الاتجاهي للمتَّجهين العموديين، 󰄮󰄮𞸤=󰄮𞸍×󰄮𞸍١٢؛ لنحصل على المتَّجه 󰄮󰄮𞸤، الذي يوازي مستقيم التقاطع بين المستويين.
  4. ومن ثَمَّ، تُعطَى المعادلة المتَّجهة لمستقيم التقاطع بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤٠؛ حيث 𞸊 كمية قياسية.

لنتناول مثالًا على استخدام الضرب الاتجاهي لإيجاد متَّجه الاتجاه لمستقيم التقاطع بين مستويين، ثم إيجاد المعادلة المتَّجهة لهذا المستقيم.

مثال ٢: إيجاد المعادلة المتَّجهة لمستقيم التقاطع بين مستويين

أوجد المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم الناتج من تقاطع المستويين 𞸎+٣𞸑+٢𞸏٦=٠، ٢𞸎𞸑+𞸏+٢=٠.

  1. 󰄮𞸓=(٠،٢،٢١)+𞸊(٥،٣،٧)
  2. 󰄮𞸓=(٠،٤١،٢١)+𞸊(٢،٣،٢)
  3. 󰄮𞸓=(٠،٢،٠)+𞸊(٢،٣،٢)
  4. 󰄮𞸓=(٠،٢،٠)+𞸊(٥،٣،٧)
  5. 󰄮𞸓=(٠،٤١،٢١)+𞸊(٥،٣،٧)

الحل

لإيجاد المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم الناتج من تقاطع المستويين، علينا إيجاد متَّجه الموضع، 󰄮𞸓٠، لنقطة تقع على كلا المستويين، ثم إيجاد متَّجه اتجاه لا يساوي صفرًا، 󰄮󰄮𞸤، يوازي المستقيم الناتج عن التقاطع. ومن ثَمَّ، تُعطَى المعادلة المتَّجهة للمستقيم بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤،٠ حيث 𞸊 كمية قياسية.

نبدأ بإيجاد متَّجه الموضع، 󰄮𞸓٠، لنقطة تقع على كلا المستويين. نختار أولًا متغيِّرًا واحدًا، بوصفه بارامترًا، ونحدِّد له قيمة من اختيارنا.

وبما أنه في جميع الإجابات المُمكِنة المُعطاة، لدينا متَّجه ثابت مركِّبة 𞸎 له تساوي صفرًا، فمِن المنطقي أن نجعل 𞸎=٠.

نُعيِّن 𞸎=٠.

في معادلتَيِ المستويين، هذا يعطينا: ٣𞸑+٢𞸏٦=٠،𞸑+𞸏+٢=٠.

إذا لم يكن مُعطًى لنا إجابات محتملة، فمِن المُمكِن أن تكون القيمة التي نختارها للمتغيِّر غير صحيحة. على سبيل المثال: إذا كان مستقيم التقاطع موازيًا للمستوى 𞸑𞸏، فإن قيمة 𞸎 ستكون ثابتة على طول المستقيم، وقد لا تساوي القيمة المختارة. ولكنْ إذا كان الأمر كذلك، فسيتَّضِح الأمر عند التعويض عن القيمة التي اخترناها في معادلتَيِ المستويين؛ حيث لن يكون هناك حلول لنقطةٍ تقع في كلا المستويين وتقع أيضًا على مستقيم التقاطع.

الأمر ليس كذلك هنا، فلدينا معادلتان لـ 𞸑، 𞸏 يُمكن حلُّهما في آنٍ واحد. ومن معادلة المستوى الثاني، نجد أن: 𞸑=𞸏+٢.

نعوِّض بمقدار 𞸑 هذا في معادلة المستوى الأول، فنحصل على الآتي: ٣(𞸏+٢)+٢𞸏٦=٠.

بفكِّ القوسين، وإعادة الترتيب لإيجاد 𞸏 نحصل على الآتي: 𞸏=٠.

من المعادلة السابقة، 𞸑=𞸏+٢، إذن يكون: 𞸑=٢.

إذن متَّجه الموضع لنقطة واحدة على المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين هو 󰄮𞸓=(٠،٢،٠)٠.

علينا الآن إيجاد متَّجه اتجاه يوازي المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين. يُمكننا فعل ذلك بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتَّجهين العموديين على المستويين.

يُمكننا إيجاد المتَّجهين العموديين على المستويين ببساطة من خلال أخْذ معاملات المتغيِّرات في معادلتَيْهما: ١𞸎+٣𞸑+٢𞸏٦=٠،٢𞸎١𞸑+١𞸏+٢=٠.

وبناءً على ذلك، لدينا متَّجهان عموديان على المستويين هما: 󰄮𞸍=(١،٣،٢)١، 󰄮𞸍=(٢،١،١)٢، على الترتيب.

يُمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي 󰄮𞸍×󰄮𞸍١٢ عن طريق حساب محدِّد المصفوفة: 󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١٣٢٢١١.

بحساب قيمة المحدِّد، نحصل على الآتي: ||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١٣٢٢١١||||=󰄮󰄮󰄮𞹎󰍻٣٢١١󰍻󰄮󰄮󰄮𞹑󰍻١٢٢١󰍻+󰄮󰄮𞹏󰍻١٣٢١󰍻=󰄮󰄮󰄮𞹎(٣×١٢×(١))󰄮󰄮󰄮𞹑(١×١٢×٢)+󰄮󰄮𞹏(١×(١)٣×٢)=󰄮󰄮󰄮𞹎(٣+٢)󰄮󰄮󰄮𞹑(١٤)+󰄮󰄮𞹏(١٦)=٥󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮𞹏=(٥،٣،٧).

وبذلك نجد أن متَّجه الاتجاه للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين هو: 󰄮󰄮𞸤=(٥،٣،٧).

ومن ثَمَّ، يُمكن الحصول على المعادلة المتَّجهة للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤=(٠،٢،٠)+𞸊(٥،٣،٧).٠

وهذا هو الخيار (د).

تعريف: نقطة التقاطع بين مستقيم ومستوًى

يتقاطع المستقيم والمستوى غير الموازي له عند نقطة واحدة.

هذه النقطة هي الحلُّ الوحيد لمعادلة المستقيم ومعادلة المستوى.

معادلة المستوى: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠،١١١١ تكون معادلة واحدة، ومعادلة الخط المستقيم: 󰏡𞸎+𞸎=𞸁𞸑+𞸑=𞸢𞸏+𞸏،٢٠٢٠٢٠ يُمكن إعادة كتابتها على صورة معادلتين مختلفتين: 󰏡𞸎+𞸎=𞸁𞸑+𞸑،󰏡𞸎+𞸎=𞸢𞸏+𞸏.٢٠٢٠٢٠٢٠

يتكوَّن هذا النظام من ثلاث معادلات مختلفة، ويحتوي على ثلاثة مجاهيل؛ ومن ثَمَّ فلن يكون له أيُّ حلول (وذلك إذا كان الخط المستقيم والمستوى متوازيَيْن لا يتقاطعان)، أو يكون له حلٌّ واحدٌ فقط (وذلك إذا كان الخط المستقيم والمستوى ليسا في مستوًى واحد ويتقاطعان)، أو يكون له عدد لا نهائيٌّ من الحلول (وذلك إذا كان الخط المستقيم يقع في المستوى).

كما هو الحال مع أيِّ نظام به العدد 𞸍 من المعادلات، ويحتوي على العدد 𞸍 من المجاهيل، تُوجَد طُرق متعدِّدة لحلِّه.

مثال ٣: إيجاد نقطة التقاطع بين خط مستقيم ومستوًى بمعلومية معادلتَيْهما العامَّتين

أوجد نقطة تقاطع الخط المستقيم ٣𞸎=٤𞸑٢=𞸏+١، والمستوى ٣𞸎+𞸑+𞸏=٣١.

الحل

نقطة التقاطع (𞸎،𞸑،𞸏) بين خط مستقيم ومستوًى نحصل عليها من الحلِّ الوحيد للنظام المكوَّن من معادلتَيِ الخط المستقيم والمستوى. هناك طُرق متعدِّدة للحلِّ. في هذا المثال، سنحلُّ المعادلات جبريًّا.

نبدأ بإعادة كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة معادلتين مختلفتين، تتضمَّن كلٌّ منها 𞸏: ٣𞸎=𞸏+١،٤𞸑٢=𞸏+١.

نُعيد ترتيب هاتين المعادلتين فنحصل على 𞸎، 𞸑، صراحةً بدلالة 𞸏: 𞸎=١٣(𞸏+١)،𞸑=١٤(𞸏+٣).

نعوِّض بمقدارَيْ 𞸎، 𞸑 هذين في معادلة المستوى فنحصل على معادلة في 𞸏 فقط يُمكن حلُّها لإيجاد قيمة 𞸏: ٣󰂔١٣(𞸏+١)󰂓+١٤(𞸏+٣)+𞸏=٣١.

بفكِّ القوسين والتبسيط، نحصل على الآتي: 𞸏+١+𞸏٤+٣٤+𞸏=٣١٩𞸏٤=٥٤٤𞸏=٥.

نعوِّض بقيمة 𞸏 هذه في معادلتَيْ 𞸎، 𞸑، فنحصل على الآتي: 𞸎=١٣(٥+١)=٢.𞸑=١٤(٥+٣)=٢.

ومن ثَمَّ، فإن نقطة تقاطع الخط المستقيم والمستوى هي (٢،٢،٥).

ويُمكن أيضًا إيجاد نقطة التقاطع بين خط مستقيم ومستوًى بمعلومية معادلتَيْهما المتَّجهتين.

تعريف: الصورة المتَّجهة لمعادلة المستوى

يُمكن تعريف المستوى عن طريق المعادلة المتَّجهة على الصورة: 󰄮𞸍󰄮𞸓=𞸢، حيث 󰄮𞸓 متَّجه الموضع لنقطة عامَّة على المستوى، 󰄮𞸍 متَّجه ثابت عمودي على المستوى، 𞸢 عدد ثابت.

نتذكَّر أيضًا أن المعادلة المتَّجهة لخط مستقيم في 𞹇𞸍 تُعطَى بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤،٠ حيث 󰄮𞸓٠ هو متَّجه الموضع لنقطة على المستقيم، 󰄮󰄮𞸤 أيُّ متَّجه لا يساوي صفرًا موازٍ للمستقيم، 𞸊 عدد ثابت.

قيمة البارامتر القياسي 𞸊 تُعرِّف بشكلٍ مختلف كلَّ نقطة على الخط المستقيم؛ لذا سنحصل على نقطة التقاطع بين المستقيم والمستوى بواسطة قيمة وحيدة لـ 𞸊. ويُمكن إيجاد قيمة 𞸊 هذه بمساواة متَّجه الموضع العامِّ 󰄮𞸓 في معادلة المستوى بمتَّجه الموضع العامِّ 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤٠ في معادلة الخط المستقيم؛ بحيث إنه عند نقطة التقاطع (إذا كانت موجودة) يتساوى متَّجها الموضع.

إذن علينا إيجاد قيمة 𞸊 التي تحلُّ المعادلة: 󰄮𞸍󰁓󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸤󰁒=𞸢.٠

لنتناول مثالًا على استخدام هذه الطريقة لإيجاد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوًى في فضاء ثلاثي الأبعاد بمعلومية المعادلة المتَّجهة لكلٍّ منهما.

مثال ٤: إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع مستقيم مع مستوًى

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم 󰄮𞸓=(٨،٢،٥)+𞸊(٧،٩،٣١) مع المستوى (٩،٤،٥)󰄮𞸓=٩٥.

الحل

إذا تَقاطَع المستقيم مع المستوى، فلا بدَّ أن تكون هناك قيمة وحيدة لـ 𞸊؛ بحيث يتساوى المتَّجه 󰄮𞸓 في معادلة المستقيم والمستوى.

نبدأ بإعادة كتابة المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم بدلالة متَّجه واحد: 󰄮𞸓=(٨٧𞸊،٢٩𞸊،٥+٣١𞸊).

عند نقطة التقاطع، سيكون متَّجه الموضع 󰄮𞸓 هو نفسه في كلتا المعادلتين؛ وعليه يُمكننا التعويض بالمتَّجه 󰄮𞸓 من معادلة الخط المستقيم في معادلة المستوى. هذا يُعطينا الآتي: (٩،٤،٥)(٨٧𞸊،٢٩𞸊،٥+٣١𞸊)=٩٥.

بفكِّ الضرب القياسي: ٩(٨٧𞸊)+٤(٢٩𞸊)٥(٥+٣١𞸊)=٩٥.

بالتبسيط والحلِّ لإيجاد قيمة 𞸊: ٢٧٣٦𞸊+٨٦٣𞸊+٥٢٥٦𞸊=٩٥٤٦١𞸊=٤٦١𞸊=١.

هذه هي قيمة 𞸊 عند نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى. بالتعويض بهذه القيمة في معادلة الخط المستقيم: 󰄮𞸓=(٨٧،٢٩،٥+٣١)=(١،٧،٨).

ومن ثَمَّ، فإن نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى هي (١،٧،٨).

عندما يكون لدينا ثلاثة مستويات مختلفة في الفضاء الثلاثي الأبعاد، ستكون هناك مجموعة أوسع من الحالات المُمكِنة.

  1. إذا كانت المستويات الثلاثة جميعها متوازية، فلن يَتقاطَع أيٌّ منها.
  2. إذا كان مستويان متوازيين والمستوى الثالث غير موازٍ لهما، فسيَتقاطَع هذا المستوى الثالث مع المستويين الآخَرين، ويكون ناتج التقاطع مستقيمين منفصلين.
  3. إذا كانت المستويات الثلاثة لا يوازي أيٌّ منها الآخَر، فقد تَتقاطَع عند نقطة واحدة.
  4. وأيضًا، إذا كانت جميع المستويات غير متوازية، فقد تَتقاطَع في خطٍّ مستقيم.
  5. إذا كانت المستويات الثلاثة كلُّها غير متوازية، فقد يَتقاطَع المستوى الثالث أيضًا مع المستويين الآخَرين كلٍّ على حِدة، وهو ما يُعطينا ثلاثة مستقيمات تقاطع متوازية.

سنتناول مثالًا على إيجاد نقطة التقاطع الوحيدة بين ثلاثة مستويات، كما في الحالة 𞸢 السابقة.

مثال ٥: إيجاد نقطة التقاطع بين ثلاثة مستويات

أوجد نقطة تقاطع المستويات ٥𞸎٢𞸑+٦𞸏١=٠، ٧𞸎+٨𞸑+𞸏٦=٠، 𞸎٣𞸑+٣𞸏+١١=٠.

الحل

في هذا المثال، نعلم أن هناك نقطة واحدة للتقاطع بين المستويات الثلاثة. وبما أن نقطة التقاطع تحقِّق معادلات المستويات الثلاثة جميعًا، إذن هناك حلٌّ وحيدٌ للنظام المكوَّن من المعادلات الثلاث.

وكما هو الحال مع أيِّ نظام مُكوَّن من معادلات خطية، تُوجَد عدَّة طُرق للحلِّ.

الطريقة الأولى: الطريقة الهندسية

إحدى طُرق إيجاد نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة هي أن نبدأ بإيجاد المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين الأوَّلين، ثم إيجاد نقطة التقاطع بين هذا المستقيم والمستوى الثالث.

يُمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين المستويين الأوَّلين، بالتعبير عن 𞸎، 𞸑، 𞸏 بدلالة البارامتر 𞸊. يُمكننا بعد ذلك التعويض بمقادير 𞸎، 𞸑، 𞸏 هذه في معادلة المستوى الثالث، وحلُّ المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة 𞸊. نعوِّض بقيمة 𞸊 هذه في المعادلة البارامترية للخط المستقيم فنحصل على الإحداثيات 𞸎، 𞸑، 𞸏 لنقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة.

نكتب المعادلتين العامَّتين للمستويين الأوَّلين: ٥𞸎٢𞸑+٦𞸏١=٠،٧𞸎+٨𞸑+𞸏٦=٠.

يُمكننا إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين هذين المستويين بأن نساوي متغيِّرًا واحدًا بالبارامتر 𞸊؛ ومن ثَمَّ نحلُّ المعادلتين الناتجتين لإيجاد مقدارين للمتغيِّرين الآخَرين بدلالة 𞸊.

نكتب 𞸏=𞸊.

نعوِّض بمقدار 𞸏 هذا في معادلتَيِ المستويين:

٥𞸎٢𞸑+٦𞸊١=٠،٧𞸎+٨𞸑+𞸊٦=٠.()()٦٧

علينا الآن التخلُّص من متغيِّر واحد من المعادلتين. بضرب المعادلة (٦) في ٤، والجمع مع المعادلة (٧)، نحصل على: ٧٢𞸎+٥٢𞸊٠١=٠.

نحلُّ لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎=٥٢𞸊٠١٧٢.

والآن يُمكننا التعويض بمقدار 𞸎 هذا في المعادلة (٦)، ونحلُّ لإيجاد قيمة 𞸑: ٥󰂔٥٢𞸊٠١٧٢󰂓٢𞸑+٦𞸊١=٠𞸑=٥󰂔󰂓+٦𞸊١٢𞸑=٧٣𞸊+٣٢٤٥.٥٢𞸊٠١٧٢

حصلنا الآن على مجموعة لقِيَم 𞸎، 𞸑، 𞸏 التي تقع على خط التقاطع بين المستويين الأوَّلين مُعبَّرًا عنها بدلالة البارامتر 𞸊. إذا عوَّضنا الآن بهذه المقادير عن 𞸎، 𞸑، 𞸏 في معادلة المستوى الثالث، يُمكننا الحلُّ لإيجاد 𞸊؛ وبذلك نحصل على قيمة 𞸊 عند نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة كلِّها.

معادلة المستوى الثالث هي: 𞸎٣𞸑+٣𞸏+١١=٠.

بالتعويض بالمقادير البارامترية لكلٍّ من 𞸎، 𞸑، 𞸏، نحصل على: ٥٢𞸊٠١٧٢٣󰂔٧٣𞸊+٣٢٤٥󰂓+٣𞸊+١١=٠.

والآن نحلُّ لإيجاد 𞸊: ٠٥𞸊٠٢٤٥󰂔١١١𞸊+٩٦٤٥󰂓+٢٦١𞸊٤٥+٤٩٥٤٥=٠٠٥𞸊٠٢(١١١𞸊+٩٦)+٢٦١𞸊+٤٩٥=٠١٠١𞸊+٥٠٥=٠𞸊=٥.

بالتعويض بقيمة 𞸊 هذه في المعادلات البارامترية لـ 𞸎، 𞸑، 𞸏، نحصل على: 𞸎=٥٢𞸊٠١٧٢=٥٢١٠١٧٢=٥،𞸑=٧٣𞸊+٣٢٤٥=٥٨١+٣٢٤٥=٣،𞸏=𞸊=٥.

ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة كلِّها هي (٥،٣،٥).

الطريقة الثانية: قاعدة كرامر

نبدأ بإعادة كتابة نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية على الصورة: 󰏡𞹎=𞸁: ٥𞸎٢𞸑+٦𞸏١=٠،٧𞸎+٨𞸑+𞸏٦=٠،𞸎٣𞸑+٣𞸏+١١=٠.

ننقل الثوابت ١، ٦، ١١ إلى الطرف الأيسر، ونُعيد كتابة الطرف الأيمن على صورة حاصل ضرب المصفوفة 󰏡 في مصفوفة الحلِّ: 𞹎=󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬، يصبح لدينا إذن: 󰃭٥٢٦٧٨١١٣٣󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭١٦١١󰃬.

والآن تُخبرنا قاعدة كرامر أن: 𞸎=ΔΔ،𞸑=ΔΔ،𞸏=ΔΔ𞸎𞸑𞸏 هو الحلُّ الوحيدُ لهذا النظام من المعادلات؛ حيث Δ هو محدِّد مصفوفة المعاملات 󰏡، Δ𞸎 هو محدِّد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود الموجود في 󰏡 الذي يتعلَّق بالمتغيِّر 𞸎 (العمود الأول) بالمصفوفة 𞸁.

تجدر الإشارة هنا إلى أن المستويات الثلاثة ستَتقاطَع عند نقطة واحدة إذا، وفقط إذا، كان محدِّد مصفوفة العوامل، Δ، لا يساوي صفرًا. وهذا يُكافئ وجود حلٍّ وحيدٍ لنظام المعادلات.

بما أن Δ، محدِّد المصفوفة 󰏡 التي لن تتغيَّر، مُشترَكٌ في المعادلات الثلاث جميعِها، فدعونا نُوجِد قيمته أولًا: Δ=󰎁٥٢٦٧٨١١٣٣󰎁=٥󰍻٨١٣٣󰍻+٢󰍻٧١١٣󰍻+٦󰍻٧٨١٣󰍻=٥(٤٢(٣))+٢(١٢١)+٦(١٢٨)=٥٣١٤٤+٨٧=١٠١.

على الرغم من أننا نعرف ذلك من مُعطيات السؤال، فقد تأكَّدنا الآن أن المستويات الثلاثة يجب أن تَتقاطَع عند نقطة واحدة؛ لأن المحدِّد Δ لا يساوي صفرًا.

الآن، لإيجاد Δ𞸎، نحسب قيمة محدِّد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود في 󰏡 الذي يتعلَّق بالمتغيِّر 𞸎 بالمصفوفة 𞸁 في الطرف الأيسر: Δ=󰎁١٢٦٦٨١١١٣٣󰎁=١󰍻٨١٣٣󰍻+٢󰍻٦١١١٣󰍻+٦󰍻٦٨١١٣󰍻=(٨×٣١×(٣))+٢(٦×٣١×(١١))+٦(٦×(٣)٨×(١١))=٧٢+٨٥+٠٢٤=٥٠٥.𞸎

نعوِّض بقيمة Δ𞸎 هذه في قاعدة كرامر، فنحصل على: 𞸎=ΔΔ=٥٠٥١٠١=٥.𞸎

يُمكننا اتِّباع الخطوات نفسها لإيجاد 𞸑، 𞸏: Δ=󰎁٥١٦٧٦١١١١٣󰎁=٥󰍻٦١١١٣󰍻١󰍻٧١١٣󰍻+٦󰍻٧٦١١١󰍻=٥(٦×٣١×(١١))(٧×٣١×١)+٦(٧×(١١)٦×١)=٥٤١+٢٢+٦٢٤=٣٠٣.𞸑

نعوِّض بقيمةΔ𞸑 هذه في قاعدة كرامر، إذن: 𞸑=ΔΔ=٣٠٣١٠١=٣.𞸑

وأخيرًا: بالنسبة إلى 𞸏: Δ=󰎁٥٢١٧٨٦١٣١١󰎁=٥󰍻٨٦٣١١󰍻+٢󰍻٧٦١١١󰍻+١󰍻٧٨١٣󰍻=٥(٨×(١١)٦×(٣))+٢(٧×(١١)٦×١)+(٧×(٣)٨×١)=٠٥٣+٢٤١+٣١=٥٠٥.𞸏

نعوِّض بقيمة Δ𞸏 هذه في قاعدة كرامر، إذن: 𞸏=ΔΔ=٥٠٥١٠١=٥.𞸏

وبذلك حصلنا على 𞸎=٥، 𞸑=٣، 𞸏=٥. هذا هو الحلُّ الوحيدُ لمعادلات المستويات الثلاثة. ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة هي (٥،٣،٥).

نختتم مناقشتنا عن النقاط وخطوط التقاطع بين المستقيمات والمستويات في 𞹇٣ بالإشارة إلى بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يَتقاطَع المستويان غير المتوازيين في 𞹇٣، ويكون ناتج تقاطعهما خطًّا مستقيمًا يُكافئ مجموعة الحلول البارامترية الوحيدة البُعد لمعادلتَيْ كلا المستويين.
  • متَّجه الاتجاه، 󰄮󰄮𞸤، للمستقيم الناتج عن تقاطع مستويين يُمكن الحصول عليه بواسطة الضرب الاتجاهي للمتَّجهين العموديين على المستويين، 󰄮𞸍×󰄮𞸍١٢.
  • يَتقاطَع المستقيم مع المستوى غير الموازي له في 𞹇٣ في نقطة واحدة، وهي الحلُّ الوحيد لمعادلة المستقيم ومعادلة المستوى.
  • تَتقاطَع المستويات الثلاثة غير المتوازية عند نقطة وحيدة فقط، إذا كان هناك حلٌّ وحيدٌ لنظام معادلات المستويات الثلاثة. عند كتابة هذا في صورة معادلة مصفوفية، فإن هذا يساوي قيمة محدِّد مصفوفة المعاملات القابِلة للعكس؛ أيْ إن Δ٠. إذا كان محدِّد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا، فإن المستويات، إذا تقاطعتْ، لن تَتقاطَع عند نقطة وحيدة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.