شارح الدرس: التقاطع بين المستويات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين مستويين

أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ، .

الحل

إحدى طُرق حلِّ هذا السؤال هي اختيار معادلة بارامترية لتمثيل أحد المتغيِّرات. يُمكننا فعل ذلك حيث إن لدينا بالفعل «متغيِّرًا حرًّ». فيما يتعلَّق بطريقة اختيار المعادلة البارامترية للمتغيِّر، يُمكننا فعل ذلك بطريقتين مختلفتين. يُمكننا اختيار مقدار عامٍّ لمتغيِّر بدلالة بارامتر، مثل: ، ثم نُعيِّن قِيَمًا لـ ، عند المرحلة المناسِبة لإجراء عملية حسابية، أو يُمكننا تعيين مقدار لمتغيِّر بدلالة بارامتر في بداية العملية الحسابية، على سبيل المثال: ، ونعدِّل الإجابة في النهاية كما هو مطلوب. سنشرح كلتا الطريقتين هنا.

الطريقة الأولى: اختيار مقدار لمتغيِّر بدلالة بارامتر مباشرةً

بالرجوع إلى الخيارات الموضَّحة في السؤال، نجد أنه من المنطقي أن نختار ؛ حيث إنه من المحتمل أن يوصِّلنا هذا إلى الإجابة الصحيحة. لكننا سنجعل ؛ ومن ثَمَّ سنوضِّح أن هذا سيُعطينا مستقيم تقاطع مكافئًا، يُمكننا بعد ذلك تعديلُه لتحديد الإجابة الصحيحة من بين الخيارات المُعطاة.

إذا عوَّضنا عن بالمتغيِّر الذي اخترناه في معادلة المستوى الأول، نحصل على: وهو ما يُعطينا . إذا عوَّضنا الآن عن ، ، في معادلة المستوى الثاني، فسنحصل على:

بفكِّ القوسين والتبسيط، نحصل على: وهو ما يُمكن تبسيطه إلى . إذن المعادلات البارامترية لـ ، ، هي:

وكما نرى في السؤال، هذه المعادلات ليستْ ضمْن الخيارات، لكن يجب أن تكافئ أحد الخيارات. هذا المستقيم يمرُّ بالنقطة ، ومتَّجه اتجاهه ، وعلينا أن نحدِّد أيٌّ من الخيارات يُكافئ المستقيم الذي على هذه الصورة. للقيام بذلك، يُمكننا أولًا مقارنة متَّجهات الاتجاه لكلِّ مستقيم، ثم تحديد أيٌّ من النقاط الموضَّحة يقع أيضًا على المستقيم.

في هذه الحالة تحديدًا، ليس من الصعب فعل ذلك. يُمكننا سريعًا استبعاد الخيارين (ب) و(هـ) بسبب إشارتَيْ ، ؛ حيث إنهما غير متَّسِقتين مع الإشارات في متَّجه الاتجاه للمستقيم. أمَّا الخيارات المتبقية، فهي تحتوي على متَّجه اتجاه نحصل عليه بضرب المستقيم في ، وهو ما يعني أنه مكافئ.

يُمكننا بعد ذلك استبعاد الخيار (أ)، فهو يمرُّ بنفس الإحداثي ، لكنه يمرُّ بإحداثي مختلف، وبهذا يتبقَّى أمامنا الخياران (ج) و(د). الخيار (ج) يوضِّح النقطة نفسها ؛ لذلك لا بدَّ أنه أحد الحلول.

وأخيرًا: علينا التأكُّد إذا ما كان الخيار (د) حلًّا أيضًا. يُمكننا فعل ذلك عن طريق التحقُّق إذا ما كانت الإحداثيات تمثِّل نقطةً على هذا المستقيم تحديدًا: بالتعويض بالقيمة في كلِّ معادلة من المعادلات البارامترية نحصل على النقطة . ومن ثَمَّ، هذه ليستْ معادلة صحيحة لمستقيم التقاطع.

وعليه فإن الإجابة هي الخيار (ج).

الطريقة الثانية: استخدام معادلات عامَّة لمتغيِّر بدلالة بارامتر

تذكَّر أن الصورة العامَّة لمجموعة المعادلات البارامترية لخطٍّ مستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد تُعطَى بواسطة: حيث بارامتر، وحيث ، ، إحداثيات نقطة تقع على المستقيم، وحيث ، ، مركِّبات متَّجه الاتجاه للمستقيم، أو مركِّبات متَّجه الاتجاه لمستقيم يوازي المستقيم.

لإيجاد مجموعة المعادلات البارامترية لمستقيم التقاطع، نُعيِّن مقدارًا لمتغيِّر واحد بدلالة البارامتر، ونعوِّض بهذا المقدار في معادلة المستوى، ثم نُعيد ترتيب المعادلات الناتجة لإيجاد مقدارين للمتغيِّرين الآخَرين بدلالة البارامتر.

نُعيِّن:

بالتعويض بهذا المقدار في معادلتَيِ المستويين نحصل على:

لدينا الآن معادلتان آنيتان لـ ، يُمكن حلُّهما لإيجاد مقدارين لـ ، بدلالة .

يُمكننا إعادة ترتيب المعادلة (٤) لنحصل على مقدار لـ بدلالة :

ثم نعوِّض بمقدار هذا في المعادلة (٥) فنحصل على:

بفكِّ الأقواس وإعادة الترتيب للحصول على نحصل على مقدار لـ بدلالة :

يُمكننا اختيار قِيَم لـ ، ، بحسب ما نراه ملائمًا، لنجعل المعادلات بسيطة قدْر الإمكان.

لا يُمكننا اختيار ؛ لأن البارامتر سيكون ثابتًا، ولا يعرِّف كلَّ نقطة على المستقيم بشكل مختلف، لكنْ يُمكننا اختيار أيِّ قيمة نريدها لـ .

إذن من بين الإجابات المحتملة، أربع منها لها المعادلة البارامترية لـ على الصورة: ، إذن نجربها. هذا يعني أن لدينا:

نعوِّض بهاتين القيمتين عن ، في مقدارَيْ ، فنحصل على:

ونحصل على:

وبهذا يصبح لدينا مجموعة مُمكِنة من المعادلات البارامترية لكلٍّ من ، ، : وهذا يتوافق مع الإجابة (ج).

وهذا يؤكِّد الإجابة التي حصلنا عليها في الطريقة الأولى، الخيار (ج).

مثال ٢: إيجاد المعادلة المتَّجهة لمستقيم التقاطع بين مستويين

أوجد المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم الناتج من تقاطع المستويين ، .

الحل

لإيجاد المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم الناتج من تقاطع المستويين، علينا إيجاد متَّجه الموضع، ، لنقطة تقع على كلا المستويين، ثم إيجاد متَّجه اتجاه لا يساوي صفرًا، ، يوازي المستقيم الناتج عن التقاطع. ومن ثَمَّ، تُعطَى المعادلة المتَّجهة للمستقيم بواسطة: حيث كمية قياسية.

نبدأ بإيجاد متَّجه الموضع، ، لنقطة تقع على كلا المستويين. نختار أولًا متغيِّرًا واحدًا، بوصفه بارامترًا، ونحدِّد له قيمة من اختيارنا.

وبما أنه في جميع الإجابات المُمكِنة المُعطاة، لدينا متَّجه ثابت مركِّبة له تساوي صفرًا، فمِن المنطقي أن نجعل .

نُعيِّن .

في معادلتَيِ المستويين، هذا يعطينا:

إذا لم يكن مُعطًى لنا إجابات محتملة، فمِن المُمكِن أن تكون القيمة التي نختارها للمتغيِّر غير صحيحة. على سبيل المثال: إذا كان مستقيم التقاطع موازيًا للمستوى ، فإن قيمة ستكون ثابتة على طول المستقيم، وقد لا تساوي القيمة المختارة. ولكنْ إذا كان الأمر كذلك، فسيتَّضِح الأمر عند التعويض عن القيمة التي اخترناها في معادلتَيِ المستويين؛ حيث لن يكون هناك حلول لنقطةٍ تقع في كلا المستويين وتقع أيضًا على مستقيم التقاطع.

الأمر ليس كذلك هنا، فلدينا معادلتان لـ ، يُمكن حلُّهما في آنٍ واحد. ومن معادلة المستوى الثاني، نجد أن:

نعوِّض بمقدار هذا في معادلة المستوى الأول، فنحصل على الآتي:

بفكِّ القوسين، وإعادة الترتيب لإيجاد نحصل على الآتي:

من المعادلة السابقة، ، إذن يكون:

إذن متَّجه الموضع لنقطة واحدة على المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين هو .

علينا الآن إيجاد متَّجه اتجاه يوازي المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين. يُمكننا فعل ذلك بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتَّجهين العموديين على المستويين.

يُمكننا إيجاد المتَّجهين العموديين على المستويين ببساطة من خلال أخْذ معاملات المتغيِّرات في معادلتَيْهما:

وبناءً على ذلك، لدينا متَّجهان عموديان على المستويين هما: ، ، على الترتيب.

يُمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي عن طريق حساب محدِّد المصفوفة:

بحساب قيمة المحدِّد، نحصل على الآتي:

وبذلك نجد أن متَّجه الاتجاه للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين هو:

ومن ثَمَّ، يُمكن الحصول على المعادلة المتَّجهة للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين بواسطة:

وهذا هو الخيار (د).

مثال ٣: إيجاد نقطة التقاطع بين خط مستقيم ومستوًى بمعلومية معادلتَيْهما العامَّتين

أوجد نقطة تقاطع الخط المستقيم ، والمستوى .

الحل

نقطة التقاطع بين خط مستقيم ومستوًى نحصل عليها من الحلِّ الوحيد للنظام المكوَّن من معادلتَيِ الخط المستقيم والمستوى. هناك طُرق متعدِّدة للحلِّ. في هذا المثال، سنحلُّ المعادلات جبريًّا.

نبدأ بإعادة كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة معادلتين مختلفتين، تتضمَّن كلٌّ منها :

نُعيد ترتيب هاتين المعادلتين فنحصل على ، ، صراحةً بدلالة :

نعوِّض بمقدارَيْ ، هذين في معادلة المستوى فنحصل على معادلة في فقط يُمكن حلُّها لإيجاد قيمة :

بفكِّ القوسين والتبسيط، نحصل على الآتي:

نعوِّض بقيمة هذه في معادلتَيْ ، ، فنحصل على الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة تقاطع الخط المستقيم والمستوى هي .

مثال ٤: إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع مستقيم مع مستوًى

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المستوى .

الحل

إذا تَقاطَع المستقيم مع المستوى، فلا بدَّ أن تكون هناك قيمة وحيدة لـ ؛ بحيث يتساوى المتَّجه في معادلة المستقيم والمستوى.

نبدأ بإعادة كتابة المعادلة المتَّجهة للخط المستقيم بدلالة متَّجه واحد:

عند نقطة التقاطع، سيكون متَّجه الموضع هو نفسه في كلتا المعادلتين؛ وعليه يُمكننا التعويض بالمتَّجه من معادلة الخط المستقيم في معادلة المستوى. هذا يُعطينا الآتي:

بفكِّ الضرب القياسي:

بالتبسيط والحلِّ لإيجاد قيمة :

هذه هي قيمة عند نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى. بالتعويض بهذه القيمة في معادلة الخط المستقيم:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى هي .

مثال ٥: إيجاد نقطة التقاطع بين ثلاثة مستويات

أوجد نقطة تقاطع المستويات ، ، .

الحل

في هذا المثال، نعلم أن هناك نقطة واحدة للتقاطع بين المستويات الثلاثة. وبما أن نقطة التقاطع تحقِّق معادلات المستويات الثلاثة جميعًا، إذن هناك حلٌّ وحيدٌ للنظام المكوَّن من المعادلات الثلاث.

وكما هو الحال مع أيِّ نظام مُكوَّن من معادلات خطية، تُوجَد عدَّة طُرق للحلِّ.

الطريقة الأولى: الطريقة الهندسية

إحدى طُرق إيجاد نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة هي أن نبدأ بإيجاد المستقيم الناتج عن التقاطع بين المستويين الأوَّلين، ثم إيجاد نقطة التقاطع بين هذا المستقيم والمستوى الثالث.

يُمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين المستويين الأوَّلين، بالتعبير عن ، ، بدلالة البارامتر . يُمكننا بعد ذلك التعويض بمقادير ، ، هذه في معادلة المستوى الثالث، وحلُّ المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة . نعوِّض بقيمة هذه في المعادلة البارامترية للخط المستقيم فنحصل على الإحداثيات ، ، لنقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة.

نكتب المعادلتين العامَّتين للمستويين الأوَّلين:

يُمكننا إيجاد المعادلة البارامترية لمستقيم التقاطع بين هذين المستويين بأن نساوي متغيِّرًا واحدًا بالبارامتر ؛ ومن ثَمَّ نحلُّ المعادلتين الناتجتين لإيجاد مقدارين للمتغيِّرين الآخَرين بدلالة .

نكتب .

نعوِّض بمقدار هذا في معادلتَيِ المستويين:

علينا الآن التخلُّص من متغيِّر واحد من المعادلتين. بضرب المعادلة (٦) في ٤، والجمع مع المعادلة (٧)، نحصل على:

نحلُّ لإيجاد قيمة :

والآن يُمكننا التعويض بمقدار هذا في المعادلة (٦)، ونحلُّ لإيجاد قيمة :

حصلنا الآن على مجموعة لقِيَم ، ، التي تقع على خط التقاطع بين المستويين الأوَّلين مُعبَّرًا عنها بدلالة البارامتر . إذا عوَّضنا الآن بهذه المقادير عن ، ، في معادلة المستوى الثالث، يُمكننا الحلُّ لإيجاد ؛ وبذلك نحصل على قيمة عند نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة كلِّها.

معادلة المستوى الثالث هي:

بالتعويض بالمقادير البارامترية لكلٍّ من ، ، ، نحصل على:

والآن نحلُّ لإيجاد :

بالتعويض بقيمة هذه في المعادلات البارامترية لـ ، ، ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة كلِّها هي .

الطريقة الثانية: قاعدة كرامر

نبدأ بإعادة كتابة نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية على الصورة: :

ننقل الثوابت ، ، ١١ إلى الطرف الأيسر، ونُعيد كتابة الطرف الأيمن على صورة حاصل ضرب المصفوفة في مصفوفة الحلِّ: يصبح لدينا إذن:

والآن تُخبرنا قاعدة كرامر أن: هو الحلُّ الوحيدُ لهذا النظام من المعادلات؛ حيث هو محدِّد مصفوفة المعاملات ، هو محدِّد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود الموجود في الذي يتعلَّق بالمتغيِّر (العمود الأول) بالمصفوفة .

تجدر الإشارة هنا إلى أن المستويات الثلاثة ستَتقاطَع عند نقطة واحدة إذا، وفقط إذا، كان محدِّد مصفوفة العوامل، ، لا يساوي صفرًا. وهذا يُكافئ وجود حلٍّ وحيدٍ لنظام المعادلات.

بما أن ، محدِّد المصفوفة التي لن تتغيَّر، مُشترَكٌ في المعادلات الثلاث جميعِها، فدعونا نُوجِد قيمته أولًا:

على الرغم من أننا نعرف ذلك من مُعطيات السؤال، فقد تأكَّدنا الآن أن المستويات الثلاثة يجب أن تَتقاطَع عند نقطة واحدة؛ لأن المحدِّد لا يساوي صفرًا.

الآن، لإيجاد ، نحسب قيمة محدِّد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود في الذي يتعلَّق بالمتغيِّر بالمصفوفة في الطرف الأيسر:

نعوِّض بقيمة هذه في قاعدة كرامر، فنحصل على:

يُمكننا اتِّباع الخطوات نفسها لإيجاد ، :

نعوِّض بقيمة هذه في قاعدة كرامر، إذن:

وأخيرًا: بالنسبة إلى :

نعوِّض بقيمة هذه في قاعدة كرامر، إذن:

وبذلك حصلنا على ، ، . هذا هو الحلُّ الوحيدُ لمعادلات المستويات الثلاثة. ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع بين المستويات الثلاثة هي .