فيديو الدرس: التقاطع بين المستويات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نقطة التقاطع أو الخط المستقيم الناتج عن التقاطع بين مستقيمات ومستويات في الفضاء الثلاثي الأبعاد.

إننا نعلم أن المستوى في الفضاء الثلاثي الأبعاد، ﺡ ثلاثة، يمكن التعبير عنه بالمعادلة العامة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ جميعها ثوابت. قد يبدو ذلك المستوى بهذا الشكل عند تمثيله في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يتكون المستوى من إحداثيات جميع النقاط الممكنة ﺱ، ﺹ، ﻉ التي تحقق المعادلة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا. وكما هو الحال مع المستقيمات التي تكون في الفضاء الثنائي الأبعاد، فإن المستويات في الفضاء الثلاثي الأبعاد تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. بافتراض أن هذا المستوى لا يوازي أيًّا من المستويات الإحداثية ﺱﺹ أو ﺹﻉ أو ﺱﻉ، فإنه لأي قيمة معطاة لأحد المتغيرات، يمكننا دائمًا إيجاد قيمتي المتغيرين الآخرين اللذين سيحققان معادلة المستوى.

يعرف اتجاه المستوى في الفضاء بمعاملات المتغيرات الموجودة في معادلته؛ ﺃ وﺏ وﺟ. بتعبير أدق، تعرف المعاملات المتجه ﻥ العمودي على المستوى، والذي يمكننا معرفته بمجرد قراءة معاملات معادلة المستوى. ‏ﻥ يساوي ﺃ، ﺏ، ﺟ. وأي مضاعف قياسي غير صفري لهذا المتجه، 𝛼ﻥ، يكون عموديًّا أيضًا على المستوى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المستوى اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻉ ناقص خمسة يساوي صفرًا، يمكننا معرفة متجه واحد عمودي ﻥ بقراءة معاملات المتغيرات في المعادلة. إذن، ﻥ يساوي اثنين، ثلاثة، أربعة. كما أن أي مضاعف قياسي لـ ﻥ يكون عموديًّا أيضًا على المستوى، على سبيل المثال، اثنان ﻥ يساوي أربعة، ستة، ثمانية، أو سالب ﻥ يساوي سالب اثنين، سالب ثلاثة، سالب أربعة.

إذا كان لدينا مستويان مختلفان لهما المتجهان المتعامدان ﻥ واحد وﻥ اثنان على الترتيب، حيث ﻥ اثنان مضاعف قياسي لـ ﻥ واحد، فإن هذين المستويين يكونان متوازيين. أي مستويين ليس لهما متجهين عموديين متوازيين، سيتقاطعان في مستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد. تذكر أنه في الفضاء الثنائي الأبعاد يتقاطع المستقيمان غير المتوازيين في نقطة واحدة فقط؛ وهي ﺱ صفر، ﺹ صفر. هذه النقطة هي الحل الوحيد لمعادلتي المستقيمين. عدد المعادلات لدينا يساوي عدد المجاهيل؛ ومن ثم يكون لدينا حل وحيد.

في الفضاء الثلاثي الأبعاد، تختلف الأمور قليلًا. يتقاطع مستويان غير متوازيين في خط مستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يتضمن هذا المستقيم عددًا لا نهائيًّا من النقاط التي إحداثياتها ﺱ، ﺹ، ﻉ والتي تحقق معادلتي المستويين. حسنًا، عدد المجاهيل لدينا أكبر من عدد المعادلات بمقدار واحد. ولذلك، يوجد عدد لا نهائي من الحلول لهاتين المعادلتين اللتين تمثلان الخط المستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد. هذا المستقيم أحادي البعد؛ ومن ثم يمكن تعريفه بارامتريًّا باستخدام بارامتر واحد. دعونا نتناول مثالًا على كيفية إيجاد المعادلة العامة للمستقيم الناتج عن التقاطع بين مستويين.

أوجد المعادلة العامة للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ﺱ ناقص أربعة ﺹ زائد ثلاثة ﻉ ناقص أربعة يساوي صفرًا، واثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص تسعة ﻉ زائد سبعة يساوي صفرًا.

دعونا نبدأ بما نفعله عادة عند حل معادلتين آنيتين؛ وهو محاولة حذف أحد المتغيرات. يمكننا حذف ﻉ بضرب المعادلة الأولى في ثلاثة، ثم إضافتها إلى المعادلة الثانية. هذا يعطينا خمسة ﺱ ناقص ١٠ﺹ ناقص خمسة يساوي صفرًا. بإضافة ١٠ﺹ زائد خمسة إلى الطرفين والقسمة على خمسة، نحصل على ﺱ فقط بدلالة ﺹ؛ ﺱ يساوي اثنين ﺹ زائد واحد. سننقل هذه المعادلة هنا لحفظها. يمكننا الآن العودة إلى معادلتي المستويين وحذف أحد المتغيرات الأخرى. يمكننا حذف ﺹ من خلال جمع المعادلة الأولى مع المعادلة الثانية مضروبة في اثنين. هذا يعطينا خمسة ﺱ ناقص ١٥ﻉ زائد ١٠ يساوي صفرًا. عند جمع ١٥ﻉ وطرح ١٠ من الطرفين ثم القسمة على خمسة، نحصل على ﺱ فقط بدلالة ﻉ؛ ﺱ يساوي ثلاثة ﻉ ناقص اثنين.

لدينا الآن تعبيران لـ ﺱ؛ أحدهما بدلالة ﺹ والآخر بدلالة ﻉ. وبما أن هذين التعبيرين يساويان ﺱ، فهما متساويان أيضًا. يمكننا إذن إعادة كتابة هاتين المعادلتين في صورة معادلة واحدة متساوية الطرفين؛ ﺱ يساوي اثنين ﺹ زائد واحد يساوي ثلاثة ﻉ ناقص اثنين. هذه هي المعادلة العامة لمستقيم التقاطع بين المستويين.

لا يمكننا اختزال نظام المعادلات أكثر من ذلك أو إيجاد قيم ﺱ وﺹ وﻉ التي توجد الحل الوحيد للمعادلات؛ لأن عدد المجاهيل أكبر من عدد المعادلات بمقدار واحد؛ ومن ثم يكون لدينا عدد لا نهائي من الحلول. ومع ذلك، لدينا حرية تحديد قيمة أحد المتغيرات، وهو ما يعطينا القيمتين المناظرتين للمتغيرين الآخرين. وهذا سيعطينا حلًّا واحدًا من الحلول غير النهائية للمعادلتين، وهو نقطة واحدة على مستقيم التقاطع.

على سبيل المثال، يمكننا أن نجعل ﻉ يساوي واحدًا. في الجزء الثاني من المعادلة، لدينا اثنان ﺹ زائد واحد يساوي واحدًا. بإعادة الترتيب لجعل ﺹ في طرف بمفرده، نجد أن ﺹ يساوي صفرًا. ومن الجزء الآخر من المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي اثنين ﺹ زائد واحد. وبما أن ﺹ يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي واحدًا. وعليه، نجد أن ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي صفرًا، وﻉ يساوي واحدًا هو واحد من عدد لا نهائي من الحلول لمعادلتي المستويين. والنقطة واحد، صفر، واحد تقع على مستقيم التقاطع.

حسنًا، المعادلة العامة ليست الطريقة الوحيدة للتعبير عن مستقيم التقاطع بين مستويين. ثمة طريقة أخرى باستخدام مجموعة من المعادلات البارامترية، حيث يعرف كل من ﺱ وﺹ وﻉ بشكل منفصل من خلال بارامتر خارجي. دعونا نتناول مثالًا على كيفية فعل ذلك.

أوجد المعادلات البارامترية للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ﺱ زائد ﻉ يساوي ثلاثة، واثنين ﺱ ناقص ﺹ ناقص ﻉ يساوي سالب اثنين.

حسنًا، تذكر أن الخط المستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد يمكن التعبير عنه بمجموعة المعادلات البارامترية ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﺏﻙ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻙ. يمكن لـ ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر أن تكون أي نقطة على الخط المستقيم ﻡ صفر، وﺃ، ﺏ، ﺟ لدينا هو متجه اتجاه مواز للمستقيم. هذه المعادلات البارامترية اختيارية؛ لأن ﻡ صفر يمكن أن يكون أي نقطة على المستقيم الذي نختاره، وﺩ هو متجه اتجاه واحد مواز للمستقيم. وأي مضاعف قياسي غير صفري لـ ﺩ، مثل 𝛼ﺩ، يوازي أيضًا الخط المستقيم.

لإيجاد مجموعة المعادلات البارامترية لمستقيم التقاطع، فإننا نحدد أحد هذه البارامترات الاختيارية لأحد المتغيرات ثم نعوض به في معادلتي المستويين، ثم نعيد ترتيب المعادلات الناتجة لإيجاد تعبيرين للمتغيرين الآخرين بدلالة البارامتر أيضًا. بالنسبة إلى المستويين هنا، لدينا المعادلتان ﺱ زائد ﻉ يساوي ثلاثة، واثنان ﺱ ناقص ﺹ ناقص ﻉ يساوي سالب اثنين. إذا عوضنا بالمعادلة البارامترية الاختيارية لـ ﺱ، فسيصبح لدينا ﺱ صفر زائد ﺃﻙ زائد ﻉ يساوي ثلاثة، واثنين في ﺱ صفر زائد ﺃﻙ ناقص ﺹ ناقص ﻉ يساوي سالب اثنين. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لنحصل على ﻉ فقط بدلالة البارامتر؛ حيث يكون لدينا ﻉ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ صفر ناقص ﺃﻙ.

تذكر أن ﺱ صفر وﺃ كلاهما ثابتين، لذا فإن ﻉ دالة في البارامتر ﻙ فقط. يمكننا التعويض بهذا التعبير عن ﻉ في المعادلة الثانية، وهذا يعطينا اثنين في ﺱ صفر زائد ﺃﻙ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة ناقص ﺱ صفر ناقص ﺃﻙ يساوي سالب اثنين. بإعادة الترتيب لجعل ﺹ في طرف بمفرده، نحصل على ﺹ فقط بدلالة البارامتر؛ ﺹ يساوي ثلاثة في ﺱ صفر زائد ﺃﻙ ناقص واحد. لدينا الآن ﺱ وﺹ وﻉ معبرًا عنها على صورة دوال في البارامتر ﻙ فقط. إذن، لدينا المجموعة الاختيارية من المعادلات البارامترية. ولنا حرية اختيار أي قيمتين لـ ﺱ صفر وﺃ باستثناء أن ﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا؛ وذلك لأن تغيير قيمة ﻙ لن يغير الموضع على الخط.

حسنًا، إذا نظرنا إلى قائمة الإجابات الممكنة، فسنجد أن أربعة منها تحتوي على ﻉ يساوي سالب ﻙ. إذا افترضنا أن هذه هي المعادلة البارامترية لـ ﻉ، فهذا يعني أن ثلاثة ناقص ﺱ صفر ناقص ﺃﻙ يساوي سالب ﻙ. وهذا يعني أن ﺱ صفر يساوي ثلاثة، وأن ﺃ يساوي واحدًا. يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين عن ﺱ صفر وﺃ في معادلتي ﺱ وﺹ. بالنسبة إلى ﺱ، لدينا ﺱ يساوي ثلاثة زائد ﻙ، وبالنسبة إلى ﺹ، لدينا ﺹ يساوي ثلاثة في ثلاثة زائد ﻙ ناقص واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثمانية زائد ثلاثة ﻙ. إذن، مجموعة المعادلات البارامترية لدينا تطابق الإجابة (ج)؛ ﺱ يساوي ثلاثة زائد ﻙ، وﺹ يساوي ثمانية زائد ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي سالب ﻙ.

كما رأينا في السؤال السابق، يمكن تعريف المستقيم الموجود في الفضاء الثلاثي الأبعاد بنقطة على المستقيم وبمتجه اتجاه مواز للمستقيم. يشير هذا إلى وجود طريقة أخرى لوصف المستقيم الموجود في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام معادلة المتجه. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا، واثنين ﺱ ناقص ﺹ زائد ﻉ زائد اثنين يساوي صفرًا.

حسنًا، تذكر أن المعادلة المتجهة للمستقيم في الفضاء الثلاثي الأبعاد هي ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙﺩ. ‏ﺭصفر هو متجه موضع نقطة على المستقيم ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر. وﻙ كمية قياسية. وﺩ هو متجه اتجاه مواز للمستقيم. هذه المعادلة ليس لها حل وحيد؛ وذلك لأن لنا حرية اختيار أي نقطة نريدها على الخط لإيجاد قيمة ﺭ صفر، وأي متجه يعد مضاعفًا قياسيًّا غير صفري لـ ﺩ سيكون موازيًا للمستقيم أيضًا. إذن، لإيجاد المعادلة المتجهة للمستقيم الناتج عن تقاطع المستويين، كل ما علينا فعله هو إيجاد نقطة في كلا المستويين لها متجه الموضع ﺭ صفر، ومتجه الاتجاه ﺩ الذي يكون موازيًا لمستقيم التقاطع.

دعونا نبدأ بإيجاد نقطة تقع في كلا المستويين لـ ﺭ صفر. بافتراض أن مستقيم التقاطع لا يوازي أيًّا من المستويات الإحداثية، يمكننا اختيار أي قيمة نريدها لإيجاد أي متغير وإيجاد قيمتين مناظرتين للمتغيرين الآخرين. وهذا يعطينا نقطة واحدة تقع في كلا المستويين. وبما أن كل الإجابات المحتملة تحتوي على ﺱ يساوي صفرًا في متجه ثابت، دعونا نجرب ﺱ يساوي صفرًا. إذا كان مستقيم التقاطع موازيًا للمستوى ﺹﻉ، فإن قيمة ﺱ ستكون ثابتة وربما لا تساوي صفرًا. في هذه الحالة، جعل ﺱ يساوي صفرًا يعني أننا لن نتمكن من إيجاد حلول للمعادلتين. إذا كان الأمر كذلك، فسنحتاج إلى أن نجعل متغيرًا آخر يساوي قيمة أخرى.

لحسن الحظ، هذا لا ينطبق على هذه المعادلة. وبجعل ﺱ يساوي صفرًا، يصبح لدينا ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا، وسالب ﺹ زائد ﻉ زائد اثنين يساوي صفرًا. يمكننا ببساطة إعادة ترتيب المعادلة الثانية ليصبح لدينا ﺹ يساوي ﻉ زائد اثنين. وبالتعويض بهذا التعبير عن ﺹ في المعادلة الأولى، نحصل على ثلاثة في ﻉ زائد اثنين زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا. وبإعادة الترتيب لجعل ﻉ في طرف بمفرده، نحصل على ﻉ يساوي صفرًا. وبما أن ﺹ يساوي ﻉ زائد اثنين، فإن ﺹ يساوي اثنين. إذن، بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في معادلتي المستويين، نجد أن ﺹ يساوي اثنين وﻉ يساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن النقطة صفر، اثنين، صفر تقع في كلا المستويين. وعليه، يكون لدينا متجه الموضع ﺭ صفر لنقطة تقع على مستقيم التقاطع صفر، اثنين، صفر.

علينا الآن إيجاد متجه الاتجاه ﺩ الذي يوازي مستقيم التقاطع. وبما أن مستقيم التقاطع يقع على كلا المستويين، فإن متجه اتجاهه يوازي كلا المستويين. إذا نظرنا لأسفل إلى محور تقاطع المستويين، فسنجد أن اتجاه مستقيم التقاطع يكون إلى خارج الشاشة‎‎. لكن متجهيهما المتعامدين، ﻥ واحد وﻥ اثنين، يقعان في مستوى الشاشة. وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين المتعامدين، ﻥ واحد في ﻥ اثنين، عمودي على كل من ﻥ واحد وﻥ اثنين؛ ومن ثم يكون اتجاهه إلى خارج الشاشة أيضًا أو إلى داخل الشاشة مباشرة. لذا، يمكننا استخدام ذلك كمتجه الاتجاه لمستقيم التقاطع.

يمكننا معرفة المتجهين العموديين ﻥ واحد وﻥ اثنين ببساطة عن طريق قراءة معاملات المتغيرات في معادلتي المستويين. ومن ثم، نجد أن ﻥ واحد يساوي واحدًا، ثلاثة، اثنين، وﻥ اثنين يساوي اثنين، سالب واحد، واحد. وحاصل الضرب الاتجاهي لهما، أي ﻥ واحد في ﻥ اثنين، يساوي محدد المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، تليها مركبات ﻥ واحد؛ وهي واحد، ثلاثة، اثنين، ثم مركبات ﻥ اثنين؛ وهي اثنين، سالب واحد، واحد، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب. بفك المحدد باستخدام الصف العلوي، نحصل على ﺱ في ثلاثة ناقص سالب اثنين ناقص ﺹ في واحد ناقص أربعة زائد ﻉ في سالب واحد ناقص ستة. بالتبسيط، نحصل على خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص سبعة ﻉ، وهو ما يساوي خمسة، ثلاثة، سالب سبعة.

وبذلك، أصبح لدينا متجه الاتجاه لمعادلة الاتجاه للخط المستقيم الناتج عن التقاطع؛ وهو خمسة، ثلاثة، سالب سبعة. إذن، معادلة المتجه الكاملة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين هي ﺭ يساوي صفرًا، اثنين، صفرًا، زائد ﻙ في خمسة، ثلاثة، سالب سبعة، وهو ما يطابق الإجابة (د).

أحيانًا بدلًا من إيجاد الخط المستقيم الناتج عن تقاطع مستويين، قد نرغب في إيجاد نقطة تقاطع مستقيم ومستوى في الفضاء الثلاثي الأبعاد. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.

أوجد نقطة تقاطع الخط المستقيم سالب ثلاثة ﺱ يساوي أربعة ﺹ ناقص اثنين يساوي ﻉ زائد واحد، والمستوى سالب ثلاثة ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ يساوي ١٣.

حسنًا، إذا لم يكن المستقيم والمستوى متوازيين أو في المستوى نفسه، فإنهما يتقاطعان في الفضاء الثلاثي الأبعاد في نقطة واحدة؛ وهي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر. هذه النقطة هي الحل الوحيد لمعادلة المستقيم ومعادلة المستوى. لدينا هنا ثلاثة مجاهيل؛ وهي ﺱ وﺹ وﻉ. ولدينا معادلة واحدة؛ وهي معادلة المستوى. ومعادلة المستقيم هي عبارة عن معادلتين بما أن لدينا قيمتين متساويتين. يمكننا إعادة كتابة معادلة المستقيم في صورة معادلتين مختلفتين؛ وهما سالب ثلاثة ﺱ يساوي ﻉ زائد واحد، وأربعة ﺹ ناقص اثنين يساوي ﻉ زائد واحد. وبذلك، يكون لدينا بالفعل ثلاث معادلات مختلفة لثلاثة مجاهيل. إذن، ما دام الخط المستقيم والمستوى غير متوازيين أو في نفس المستوى، يجب أن يكون هناك حل وحيد لهذه المعادلات الثلاثة، وهو النقطة التي يتقاطعان فيها.

يمكننا إعادة كتابة هاتين المعادلتين لنحصل على ﺱ وﺹ بدلالة ﻉ. ‏ﺱ يساوي سالب ثلث في ﻉ زائد واحد، وﺹ يساوي ربعًا في ﻉ زائد ثلاثة. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذين التعبيرين عن ﺱ وﺹ في معادلة المستوى التي سنحصل من خلالها على معادلة واحدة في متغير واحد ﻉ، والتي يمكن حلها لإيجاد قيمة ﻉ؛ ومن ثم إيجاد القيمتين المناظرتين لـ ﺱ وﺹ. بالتعويض إذن بهذين التعبيرين في معادلة المستوى، نحصل على سالب ثلاثة في سالب ثلث في ﻉ زائد واحد زائد ربع في ﻉ زائد ثلاثة زائد ﻉ يساوي ١٣.

وبتوزيع الأقواس، نحصل على ﻉ زائد واحد زائد ﻉ على أربعة زائد ثلاثة أرباع زائد ﻉ يساوي ١٣. بإعادة ترتيب المعادلة وتجميع الحدود التي يوجد بها ﻉ في الطرف الأيمن، يصبح لدينا تسعة ﻉ على أربعة يساوي ٤٥ على أربعة. بالضرب في أربعة والقسمة على تسعة، نحصل على ﻉ يساوي خمسة. إننا لدينا بالفعل تعبير لكل من ﺱ وﺹ بدلالة ﻉ، لذا يمكننا التعويض بقيمة ﻉ هذه لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. ‏ﺱ يساوي سالب ثلث في خمسة زائد واحد، وهو ما يساوي سالب اثنين، وﺹ يساوي ربعًا في خمسة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين. وبذلك، نجد أن نقطة التقاطع بين المستقيم والمستوى هي سالب اثنين، اثنان، خمسة.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. أي مستويين غير متوازيين في الفضاء الثلاثي الأبعاد يتقاطعان في خط مستقيم. يحتوي هذا الخط على عدد لا نهائي من النقاط، ﺱ، ﺹ، ﻉ، التي تحقق معادلتي المستويين. الخط المستقيم الناتج عن التقاطع يكون أحادي البعد. إذا لم يكن موازيًا لأي من المستويات الإحداثية، فإن تعيين قيمة أحد المتغيرات سيعطينا قيمتين مناظرتين للمتغيرين الآخرين. وأخيرًا، يتقاطع الخط المستقيم والمستوى غير المتوازيين في الفضاء الثلاثي الأبعاد في نقطة واحدة، وهي الحل الوحيد لمعادلة المستقيم ومعادلة المستوى.