نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺃ إحداثياتها سالب سبعة، ﺱ، وﺏ إحداثياتها تسعة، ١٤ ؛ حيث ﺃﺏ يساوي أربعة جذر ١٧ وحدة طول، فأوجد جميع قيم ﺱ الممكنة.
دعونا نبدأ بالتفكير في الإجابة عن هذا السؤال هندسيًّا. لدينا هنا النقطة ﺏ وإحداثياتها هي تسعة، ١٤. وهي تقع في الربع الأول. نحن نعلم من المعطيات أن الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ يساوي سالب سبعة. هذا يعني أن النقطة ﺃ تقع في موضع ما على المستقيم ﺱ يساوي سالب سبعة. ولكي تبعد النقطة ﺃ مسافة مقدارها أربعة جذر ١٧ عن ﺏ، فهذا يعني أن هناك موضعين ممكنين تقع فيهما النقطة. من المحتمل أن يكون أحدهما أعلى قليلًا من النقطة ﺏ في الاتجاه ﺹ، والآخر أسفلها على الأرجح. في هذه المرحلة، نحن لا نعرف إذا ما كانت إحدى هاتين النقطتين تقع أسفل المحور ﺱ. هذا مجرد تخمين. لكننا نعرف أننا نبحث عن قيمتين ممكنتين لـ ﺱ. إذن، كيف نوجد هاتين القيمتين الممكنتين؟
سنفترض أن لدينا نقطتين على المستوى الإحداثي، وإحداثياتهما هي ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. وولإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين، سنستخدم أحد تطبيقات نظرية فيثاغورس. وهو ينص على أن ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. ولا يهم بأي ترتيب سنختار هذه الإحداثيات. دعونا نفترض أن ﺱ واحد، ﺹ واحد يساوي سالب سبعة، ﺱ؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين يساوي تسعة، ١٤. حسنًا، المسافة بين هاتين النقطتين هي الجذر التربيعي لتسعة ناقص سالب سبعة تربيع زائد ١٤ ناقص ﺱ تربيع. في الحقيقة، يمكننا التبسيط قليلًا هنا بمعلومية أن تسعة ناقص سالب سبعة يساوي ١٦. وبذلك، يصبح لدينا داخل الجذر ٢٥٦، أي ١٦ تربيع، زائد ١٤ ناقص ﺱ تربيع. بعد ذلك، نلاحظ أيضًا أن طول المسافة بين ﺃ وﺏ يساوي أربعة جذر ١٧ وحدة طول. ومن ثم، فإن هذا المقدار بأكمله يجب أن يساوي أربعة جذر ١٧.
والآن، علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمتي ﺱ. دعونا نبدأ بتربيع الطرفين. عندما نفعل ذلك، نجد أن أربعة جذر ١٧ تربيع يساوي ١٦ في ١٧، وهو ما يساوي ٢٧٢. وفي الطرف الأيسر، لدينا ٢٥٦ زائد ١٤ ناقص ﺱ تربيع. ولدينا طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذه المعادلة. يمكننا مساواة هذه المعادلة بالصفر وحلها كما نحل أي معادلة تربيعية أخرى. أو بدلًا من ذلك، دعونا نر ما سيحدث إذا طرحنا ٢٥٦ من الطرفين. إذا طرحنا ٢٥٦ من الطرفين، فستصبح المعادلة لدينا ١٦ يساوي ١٤ ناقص ﺱ تربيع. ولإيجاد قيمتي ﺱ، علينا أخذ الجذر التربيعي للطرفين. ولكن هذا يعني أن علينا أخذ موجب وسالب الجذر التربيعي للعدد ١٦. وبذلك، يصبح لدينا موجب أو سالب جذر ١٦ يساوي ١٤ ناقص ﺱ. وبالطبع جذر ١٦ يساوي أربعة. إذن، نجد أن موجب أو سالب أربعة يساوي ١٤ ناقص ﺱ.
علينا الآن تقسيم هذه المعادلة إلى معادلتين منفصلتين. المعادلة الأولى ستكون أربعة يساوي ١٤ ناقص ﺱ، والمعادلة الثانية ستكون سالب أربعة يساوي ١٤ ناقص ﺱ. سنطرح ١٤ من كلا الطرفين بكلتا المعادلتين. هذا يعطينا سالب ١٠ يساوي سالب ﺱ وسالب ١٨ يساوي سالب ﺱ، على الترتيب. وأخيرًا، سنضرب كلا الطرفين بكلتا المعادلتين في سالب واحد، وهو ما يعطينا قيمتي ﺱ. سنجد بذلك أن ﺱ يساوي ١٠، وﺱ يساوي ١٨. وبهذا، نكون قد أوجدنا قيمتي ﺱ الممكنتين. وهما ﺱ يساوي ١٠ وﺱ يساوي ١٨.
