فيديو السؤال: حل معادلة خطية في متغيرين تتضمن معاملات مركبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ زائد ﺹﺕ يساوي أربعة زائد اثنين ﺕ على واحد ناقص اثنين ﺕ الكل أس نصف، فأوجد جميع قيم ﺱ، وﺹ الحقيقية.

لدينا العدد المركب ﻉ يساوي ﺱ زائد ﺹﺕ. وعلمنا أن هذا يساوي الجذر التربيعي لعدد مركب آخر، وهو أربعة زائد اثنين ﺕ على واحد ناقص اثنين ﺕ. علينا أولًا تبسيط العدد المركب داخل القوسين. ولفعل ذلك، نضرب كلًّا من بسط العدد المركب ومقامه في مرافق العدد المركب الموجود في المقام. يمكننا فعل ذلك لأن هذا يساوي واحدًا بالفعل، وأي عدد مضروب في واحد يساوي نفسه. نلاحظ أن المقام يساوي واحدًا ناقص اثنين ﺕ. إذن، مرافق العدد المركب يساوي واحدًا زائد اثنين ﺕ.

الآن، بضرب البسطين، يصبح لدينا أربعة في واحد، وهو ما يساوي أربعة، زائد أربعة في اثنين ﺕ، وهو ما يساوي ثمانية ﺕ، زائد اثنين ﺕ في واحد، وهو ما يساوي اثنين ﺕ، زائد اثنين ﺕ في اثنين ﺕ، وهو ما يساوي أربعة ﺕ تربيع. وفي المقام، لدينا واحد في واحد زائد واحد في اثنين ﺕ زائد سالب اثنين ﺕ في واحد زائد سالب اثنين ﺕ في موجب اثنين ﺕ. وهذا يساوي سالب أربعة ﺕ تربيع.

يمكننا أن نتذكر الآن أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد؛ أي إن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد؛ ومن ثم في البسط، نجد أن أربعة ﺕ تربيع يساوي سالب أربعة. وفي المقام، سالب أربعة ﺕ تربيع يساوي سالب أربعة في سالب واحد، وهو ما يساوي أربعة. في البسط، لدينا ثمانية ﺕ زائد اثنين ﺕ؛ أي ١٠ﺕ. وفي المقام، لدينا اثنان ﺕ ناقص اثنين ﺕ يساوي صفرًا. إذن، لدينا أربعة زائد ١٠ﺕ ناقص أربعة على واحد زائد أربعة؛ أي ١٠ﺕ على خمسة، وهو ما يساوي اثنين ﺕ. هذا يعني أن لدينا اثنين ﺕ بين القوسين؛ ومن ثم ﻉ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺕ. وهذا يعني أن ﻉ تربيع يساوي اثنين ﺕ.

لكن تذكر أن ﻉ يساوي ﺱ زائد ﺹﺕ. إذن، ﻉ تربيع يساوي ﺱ زائد ﺹﺕ تربيع، وهذا يساوي اثنين ﺕ. بفك الأقواس في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱﺹﺕ زائد ﺹ تربيع في ﺕ تربيع يساوي اثنين ﺕ. مرة أخرى، بتذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فهذا يعطينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱﺹﺕ ناقص ﺹ تربيع يساوي اثنين ﺕ.

يمكننا الآن أن نفرغ بعض المساحة، ثم نقارن بين الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين؛ فنجد أن ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا؛ لأنه لا يوجد جزء حقيقي في الطرف الأيسر. وبالنسبة إلى الجزء التخيلي، لدينا اثنان ﺱﺹ يساوي اثنين.

دعونا الآن نتذكر أنه بالنسبة إلى العدد المركب ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع؛ وعليه فإن مقياس ﻉ الكل تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا يساوي مقياس ﻉ تربيع. إذا طبقنا ذلك الآن على ﻉ تربيع، الذي لدينا، فسنجد أن مقياس ﻉ تربيع يساوي مقياس اثنين ﺕ. وهذا يساوي مقياس ﻉ الكل تربيع، وهو ما يساوي مقياس ﺱ زائد ﺹﺕ الكل تربيع. وبما أن ﺱ يناظر ﺃ، وﺹ يناظر ﺏ، فإن مقياس ﻉ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع.

وهنا، مقياس اثنين ﺕ يساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع؛ لأنه لا يوجد جزء حقيقي، زائد اثنين تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي الموجب لأربعة، وهو ما يساوي اثنين. إذن، لدينا ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي اثنين. ويمكننا إضافة ذلك إلى مجموعة المعادلات لدينا.

نطلق على المعادلة ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا «المعادلة الأولى»، وعلى المعادلة الأخرى ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي اثنين «المعادلة الثانية»، وهاتان معادلتان في المتغيرين ﺱ، وﺹ يمكننا حلهما. إذا جمعنا المعادلتين الأولى والثانية، نحصل على اثنين ﺱ تربيع يساوي اثنين؛ إذن ﺱ تربيع يساوي واحدًا. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد.

إذا عدنا الآن إلى المعادلة الأولى، وهي ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا، فسنجد أن ﺱ تربيع يساوي ﺹ تربيع. وإذا كان ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد، فإن ﺱ تربيع يساوي واحدًا. وهذا يعني أن ﺹ تربيع يساوي واحدًا. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن ﺹ يساوي موجب أو سالب واحد.

إذا نظرنا الآن إلى المعادلة الثالثة وهي اثنان ﺱﺹ يساوي اثنين، نجد أنه بالقسمة على اثنين، نحصل على ﺱ في ﺹ يساوي واحدًا. نستنتج من ذلك أن ﺱ، وﺹ لا بد أن تكون لهما الإشارة نفسها؛ لأن حاصل ضرب عدد موجب في آخر موجب يساوي عددًا موجبًا، وحاصل ضرب عدد سالب في آخر سالب يساوي عددًا موجبًا أيضًا. ومن ثم، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد، وأن ﺹ يساوي موجب أو سالب واحد، وكلاهما يجب أن تكون لهما الإشارة نفسها. هذا يعني أنه عندما يكون ﺱ موجب واحد، فإن ﺹ يساوي موجب واحد. وعندما يكون ﺱ سالب واحد، فإن ﺹ يساوي سالب واحد أيضًا.

إذن، إذا كان ﺱ زائد ﺹﺕ يساوي العدد المركب أربعة زائد اثنين ﺕ على واحد ناقص اثنين ﺕ الكل أس نصف، فإن جميع قيم ﺱ، وﺹ الحقيقية هي واحد، واحد، وسالب واحد، سالب واحد.