نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سنتعلم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور النونية لعدد مركب، ونتعرف على خصائصها. في هذه المرحلة، لا بد أنك أصبحت تستطيع إيجاد الجذور النونية للعدد واحد دون عناء. ونسعى في هذا الدرس إلى توسيع نطاق هذا المفهوم ليشمل إيجاد الجذر النوني لأي عدد مركب.
سنتناول أيضًا العلاقة بين الجذور النونية لعدد مركب والجذور النونية للعدد واحد، ثم نلقي نظرة على التفسير الهندسي لهذه الجذور وتطبيقها. دعونا نبدأ هذا الدرس بتذكر نظرية ديموافر للجذور. تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي عدد مركب على الصورة ل جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، تساوي الجذور ل أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. ويكون ذلك للقيم الصحيحة لـ ﻙ من صفر إلى ﻥ ناقص واحد.
في هذا الفيديو، سنستخدم هذه النظرية للجذور على كل من الصورة القطبية والأسية. لنلق نظرة على مثال حول كيفية استخدام هذه الصيغة لحل معادلة تتضمن إيجاد جذور عدد مركب.
(١) أوجد حل المعادلة ﻉ أس خمسة يساوي ١٦ جذر اثنين زائد ١٦ ﺕ جذر اثنين. (٢) بعد تمثيل الحلول التي حصلت عليها على مخطط أرجاند أو غيره، صف الخصائص الهندسية للحلول.
في الجزء الأول من السؤال، علينا حل معادلة تتضمن إيجاد جذور عدد مركب مكتوب على الصورة الجبرية. لكن تذكر أن نظرية ديموافر للجذور تستخدم الصورة القطبية والأسية للعدد المركب بدلًا من الصورة الجبرية. لذا، علينا البدء بحساب المقياس والسعة للعدد المركب الذي نرمز له بالرمز ﻉ أس خمسة.
الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب هو ١٦ جذر اثنين. وبالمثل، الجزء التخيلي هو ١٦ جذر اثنين. لذا يمكن حساب قيمة المقياس بطريقة سهلة ومباشرة. وهي الجذر التربيعي لمجموع مربعي هذين الجزأين. هذا يعني أنها الجذر التربيعي لـ ١٦ جذر اثنين تربيع زائد ١٦ جذر اثنين تربيع، وهو ما يساوي ٣٢. إذن، مقياس ﻉ أس خمسة يساوي ٣٢.
وفي الصورة الأسية، يمثل ذلك قيمة ﻝ. يمكن أيضًا حساب سعة هذا العدد المركب بطريقة سهلة ومباشرة. فالجزآن الحقيقي والتخيلي من العدد المركب كلاهما موجبان. لذا لا بد وأنه يقع في الربع الأول على مخطط أرجاند. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام صيغة الدالة العكسية لـ ظا لـ ﺏ على ﺃ، حيث ﺏ الجزء التخيلي وﺃ الجزء الحقيقي، لإيجاد سعة ﻉ أس خمسة. وهو ما يساوي الدالة العكسية لـ ظا ١٦ جذر اثنين على ١٦ جذر اثنين.
و ١٦ جذر اثنين مقسومًا على ١٦ جذر اثنين يساوي واحدًا. لذا، علينا إيجاد الدالة العكسية لـ ظا للواحد. وهذه قيمة من المفترض أن نعرفها عن ظهر قلب. فنحن نعلم أن ظا لـ 𝜋 على أربعة يساوي واحدًا. وبالتالي، فإن الدالة العكسية لـ ظا للواحد لا بد وأن تساوي 𝜋 على أربعة. وسعة ﻉ أس خمسة تساوي 𝜋 على أربعة. ويمكننا القول إنه، في الصورة الأسية، يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة ﻉ أس خمسة يساوي ٣٢ﻫ أس 𝜋 على أربعة ﺕ.
لحل هذه المعادلة، علينا إيجاد الجذر الخماسي لكلا الطرفين. الجذر الخماسي لـ ﻉ أس خمسة هو ﻉ. ويمكننا قول إن الجذر الخماسي لـ ٣٢ﻫ أس 𝜋 على أربعة ﺕ يساوي ٣٢ﻫ أس 𝜋 على أربعة ﺕ الكل أس واحد على خمسة. عند مقارنة ذلك بصيغة نظرية ديموافر، نلاحظ أن ﻝ، وهو المقياس، يساوي ٣٢. و𝜃، وهي السعة، تساوي 𝜋 على أربعة. وﻥ لا بد وأن يساوي خمسة، وهو ما يعني أن ﻙ سيأخذ القيم صفر، وواحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة.
عند تطبيق هذه النظرية، حيث ﻥ يساوي خمسة، نحصل على ﻉ يساوي ٣٢ أس خمس في ﻫ أس 𝜋 على أربعة زائد اثنين 𝜋ﻙ على خمسة ﺕ. و ٣٢ أس خمس يساوي اثنين. عند التعويض بـ ﻙ يساوي صفرًا في المعادلة، نجد أن الحل الأول لا بد وأن يكون اثنين ﻫ أس 𝜋 على ٢٠ﺕ.
والحل الثاني هو اثنان ﻫ أس تسعة 𝜋 على ٢٠ﺕ. وبالتعويض بـ ﻙ يساوي اثنين، نحصل على اثنين ﻫ أس ١٧𝜋 على ٢٠ﺕ. وبالتعويض بـ ﻙ يساوي ثلاثة في المعادلة، ثم طرح اثنين 𝜋 من السعة، كي تكون في نطاق السعة الأساسية، نجد أن الحل الرابع هو اثنان ﻫ أس سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة ﺕ. وبالمثل، يكون الحل الأخير هو اثنان ﻫ أس سالب سبعة 𝜋 على ٢٠ﺕ.
وبذلك نكون قد حصلنا على الحلول الخمسة للمعادلة ﻉ أس خمسة يساوي ١٦ جذر اثنين زائد ١٦ﺕ جذر اثنين. وعبرنا عنها في الصورة الأسية.
للإجابة عن الجزء الثاني من السؤال، سنحتاج إلى تمثيل هذه الحلول على مخطط أرجاند. إحدى طرق القيام بذلك هي إعادة تحويل هذه الأعداد إلى صورتها الجبرية. فما إن نعرف الأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذه الأعداد، حتى يمكننا تمثيلها بسهولة على مخطط أرجاند. وبدلًا من ذلك، يمكننا ملاحظة أن مقياس هذه الأعداد يساوي اثنين، ومن ثم نستخدم السعة لتمثيل الجذور. في الحالتين، نلاحظ أن هذه الأعداد تكون رءوس خماسي أضلاع منتظم مرسوم داخل دائرة نصف قطرها يساوي اثنين، ومركزها نقطة الأصل.
هندسيًا، يمكننا أن نقول إن الجذور النونية لعدد مركب، شأنها شأن الجذور النونية للعدد واحد، تكون رءوس مضلع منتظم يحتوي على عدد ﻥ من الأضلاع. يوجد المزيد من العلاقات بين هذه الجذور المختلفة وجذور العدد واحد. دعونا نلق نظرة على هذه الخصائص بمزيد من التفصيل.
(١) أوجد حلول المعادلة ﻉ أس ستة يساوي ١٢٥ﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ما خصائصها الهندسية؟ (٢) حدد الجذور السداسية للعدد واحد. (٣) ما العلاقة بين الجذور السداسية للعدد واحد وحلول المعادلة ﻉ أس ستة يساوي ١٢٥ﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ؟
في هذا المثال، لدينا معادلة تتضمن إيجاد جذور عدد مركب. في هذا المثال، لدينا معادلة تتضمن إيجاد جذور عدد مركب. وللقيام بذلك، علينا تطبيق نظرية ديموافر للجذور. تخبرنا هذه النظرية أنه يمكن إيجاد حلول هذه المعادلة عن طريق ١٢٥ أس سدس في ﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد اثنين 𝜋ﻙ على ستة ﺕ، حيث ﻙ يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر إلى خمسة.
نعوض بقيم ﻙ في هذه الصيغة ثم نطرح مضاعفات اثنين 𝜋 من السعة، حيثما يلزم ذلك، للتعبير عن السعة في نطاق السعة الأساسية. فنجد أن حلول هذه المعادلة هي جذر خمسة ﻫ أس 𝜋 على تسعة ﺕ، وجذر خمسة ﻫ أس أربعة 𝜋 على تسعة ﺕ، وجذر خمسة ﻫ أس سبعة 𝜋 على تسعة ﺕ، وجذر خمسة ﻫ أس سالب ثمانية 𝜋 على تسعة ﺕ، وجذر خمسة ﻫ أس سالب خمسة 𝜋 على تسعة ﺕ، وجذر خمسة ﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على تسعة ﺕ.
كما هو متوقع، عند تمثيل هذه القيم على مخطط أرجاند، نلاحظ أنها تكون رءوس سداسي أضلاع منتظم. سداسي الأضلاع هذا مرسوم داخل دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي جذر خمسة.
مع انتقالنا إلى حل الجزأين الثاني والثالث من هذا السؤال، سنترك مخطط أرجاند كما هو. لأنه سيفيدنا بعد قليل. بطريقة مماثلة، يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور السداسية للعدد واحد. أو يمكننا ببساطة تذكر أنها تساوي واحدًا، وﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وسالب واحد، وﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس سالب 𝜋 على ثلاثة ﺕ.
لإيجاد العلاقة بين الجذور السداسية للعدد واحد وحلول المعادلة الموجودة في السؤال، دعونا نتذكر التفسير الهندسي للجذور السداسية للعدد واحد. تمثل الجذور السداسية للعدد واحد هندسيًا برءوس سداسي أضلاع منتظم. هذه المرة، يكون سداسي الأضلاع مرسومًا داخل دائرة وحدة. ويكون مركز هذه الدائرة نقطة الأصل أيضًا. يمكننا ملاحظة أنه يمكننا تحويل الجذور السداسية للعدد واحد إلى جذور المعادلة الموجودة في هذا السؤال عن طريق استخدام معامل قياس للتمدد والدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 𝜋 على تسعة راديان.
ثمة طريقة أخرى للتفكير في ذلك الحل، وهي أنه يماثل ضرب هذه القيم في عدد مركب مقياسه الجذر التربيعي لخمسة وسعته 𝜋 على تسعة، أي جذر خمسة ﻫ أس 𝜋 على تسعة ﺕ. هذا يعني أنه إذا كانت الجذور السداسية للعدد واحد هي واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع، وهكذا حتى 𝜔 أس خمسة، فإنه يمكن التعبير عن جذور المعادلة على صورة جذر خمسة ﻫ أس 𝜋 على تسعة ﺕ، و𝜔 في جذر خمسة ﻫ أس 𝜋 على تسعة ﺕ، وهكذا حتى 𝜔 أس خمسة في جذر خمسة ﻫ أس 𝜋 على تسعة ﺕ. وكنا لنتوصل إلى هذه النتائج أيضًا لو كنا استخدمنا أيًا من الجذور الأخرى لـ ﻉ أس ستة يساوي ١٢٥ﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ.
دعونا نعمم ذلك. إذا كان ﻉ واحد هو جذر للمعادلة ﻉ أس ﻥ ناقص ﻑ يساوي صفرًا، وكانت القيم واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع، وهكذا حتى 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد هي الجذور النونية للعدد واحد، فإن جذور ﻉ أس ﻥ ناقص ﻑ يساوي صفرًا هي ﻉ واحد، وﻉ واحد مضروبًا في 𝜔، وﻉ واحد مضروبًا في 𝜔 تربيع، وهكذا حتى نصل إلى ﻉ واحد مضروبًا في 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد.
يمكننا التفكير في ذلك بطريقة هندسية. فنحن نعلم أن الضرب في عدد مركب مقياسه واحد يمثل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار سعة ذلك العدد المركب. لذا، إذا بدأنا من جذر ﻉ أس ﻥ ناقص ﻑ يساوي صفرًا، فإن كل دوران بزاوية قياسها اثنان 𝜋 على ﻥ سيوضح العلاقة بين الرأس الموجود عند هذا الجذر ورءوس الجذور الأخرى. دعونا نلق نظرة على مثال لهذا التفسير الهندسي.
أوجد إحداثيات رءوس خماسي أضلاع منتظم يقع مركزه عند نقطة الأصل وأحد رءوسه عند النقطة ثلاثة، وثلاثة.
بما أننا نتعامل مع خماسي أضلاع، فدعونا نر كيف يمكننا ربط ذلك بالجذر الخماسي لعدد مركب. نعلم أنه، على مخطط أرجاند، تكون الجذور الخماسية للعدد واحد خماسي أضلاع منتظمًا. ويكون خماسي الأضلاع ذلك مرسومًا داخل دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل. ويقع أحد رءوسه عند النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين واحد وصفر. لذا، لنعتبر المستوى الإحداثي مخطط أرجاند يحتوي على خماسي الأضلاع المنتظم.
يمكننا تحويل خماسي الأضلاع ذلك إلى خماسي أضلاع منتظم يقع مركزه عند نقطة الأصل وأحد رءوسه عند ﻉ واحد عن طريق ضرب كل من الجذور الخماسية للعدد واحد في ﻉ واحد. وهو ما يعادل إيجاد الجذر الخماسي لـ ﻉ واحد أس خمسة.
يمكننا هنا استخدام نظرية ديموافر أو تذكر أن الجذور الخماسية للعدد واحد هي واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع، و𝜔 تكعيب، و𝜔 أس أربعة، حيث 𝜔 يساوي ﻫ أس اثنين 𝜋 على خمسة ﺕ. وبما أن أحد رءوس خماسي الأضلاع يقع عند النقطة ثلاثة، ثلاثة التي تمثل العدد المركب ثلاثة زائد ثلاثة ﺕ، يمكننا قول إن ﻉ واحد يساوي ثلاثة زائد ثلاثة ﺕ.
نعلم الآن أنه إذا كان ﻉ واحد هو جذر المعادلة ﻉ أس ﻥ ناقص ﻑ يساوي صفرًا، وواحد، و𝜔، و𝜔 تربيع، وهكذا حتى 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد هي الجذور النونية للعدد واحد، فإن جذور ﻉ أس ﻥ ناقص ﻑ يساوي صفرًا هي ﻉ واحد، وﻉ واحد في 𝜔، وﻉ واحد في 𝜔 تربيع، وهكذا حتى ﻉ واحد في 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد. وبالتالي يمكننا إيجاد إحداثيات كل رءوس خماسي الأضلاع المنتظم عن طريق ضرب ﻉ واحد في الجذور الخماسية للعدد واحد.
لكن قبل القيام بذلك، ينبغي علينا كتابته بالصورة الأسية. مقياس ﻉ واحد هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد ثلاثة تربيع، أي ثلاثة جذر اثنين. وبما أن الجزأين الحقيقي والتخيلي موجبان، فإننا نعرف أن العدد يقع في الربع الأول. وبالتالي، فإن سعته هي الدالة العكسية لـ ظا ثلاثة مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يساوي 𝜋 على أربعة. ويمكننا قول إن ﻉ واحد يساوي ثلاثة جذر اثنين ﻫ أس 𝜋 على أربعة ﺕ.
ونحصل على بقية الجذور، ومن ثم على الرءوس الأخرى لخماسي الأضلاع المنتظم، من خلال حساب ﻉ واحد في 𝜔، وﻉ واحد في 𝜔 تربيع، وهكذا حتى ﻉ واحد في 𝜔 أس أربعة. لإيجاد ﻉ واحد في 𝜔، نحسب ثلاثة جذر اثنين ﻫ أس 𝜋 على أربعة ﺕ في ﻫ أس اثنين 𝜋 على خمسة ﺕ. وتذكر أنه، لضرب الأعداد المركبة في الصورة الأسية، نضرب مقاييسها، ثم نجمع سعاتها. يعني ذلك أن الجذر الثاني يساوي ثلاثة جذر اثنين ﻫ أس ١٣𝜋 على ٢٠ﺕ.
وبما أننا نحاول إيجاد الإحداثيات، علينا تمثيل ذلك في الصورة الجبرية. للتحويل من الصورة الأسية إلى الصورة الجبرية، علينا التحويل إلى الصورة القطبية أولًا. وهو ما يساوي ثلاثة جذر اثنين في جتا ١٣𝜋 على ٢٠ زائد ﺕ جا ١٣𝜋 على ٢٠. وبفك الأقواس، نجد أن ذلك يساوي ثلاثة جذر اثنين جتا ١٣𝜋 على ٢٠ زائد ثلاثة جذر اثنين ﺕ جا ١٣𝜋 على ٢٠. ويمكننا ملاحظة أن الرأس الثاني لخماسي الأضلاع سيقع عند النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ثلاثة جذر اثنين جتا ١٣𝜋 على ٢٠، وثلاثة جذر اثنين جا ١٣𝜋 على ٢٠.
نكرر هذه العملية لإيجاد الرأس الثالث. ونطرح اثنين 𝜋 من السعة كي نتمكن من التعبير عن السعة في نطاق السعة الأساسية. ونجد أن الحل الثالث هو ثلاثة جذر اثنين ﻫ أس سالب ١٩ على ٢٠𝜋ﺕ. مرة أخرى، عند تمثيل هذا الحل في الصورة القطبية وفك الأقواس، نجد أن الإحداثيين هنا هما ثلاثة جذر اثنين جتا سالب ١٩𝜋 على ٢٠، وثلاثة جذر اثنين جا سالب ١٩𝜋 على ٢٠.
يمكننا تكرار هذه العملية لإيجاد ﻉ واحد في 𝜔 تكعيب، وﻉ واحد في 𝜔 أس أربعة. عندئذ، سنجد أن رءوس خماسي الأضلاع تقع عند النقاط ذات الإحداثيات الكارتيزية ثلاثة، وثلاثة؛ وثلاثة جذر اثنين جتا ١٣𝜋 على ٢٠ وثلاثة جذر اثنين جا ١٣𝜋 على ٢٠، وثلاثة جذر اثنين جتا سالب ١٩𝜋 على ٢٠ وثلاثة جذر اثنين جا سالب ١٩𝜋 على ٢٠. وثلاثة جذر اثنين جتا سالب ١١𝜋 على ٢٠ وثلاثة جذر اثنين جا سالب ١١𝜋 على ٢٠، وثلاثة جذر اثنين جتا سالب ثلاثة 𝜋 على ٢٠ وثلاثة جذر اثنين جا سالب ثلاثة 𝜋 على ٢٠.
ثمة خصائص هندسية أخرى مثيرة للاهتمام للجذور النونية للأعداد المركبة. دعونا نتناول هذا المثال الأخير.
(١) أوجد جذور ﻉ أس ثمانية زائد ١٦ يساوي صفرًا. (٢) تم تربيع كل من الأعداد المركبة التي تمثل جذور ﻉ أس ثمانية زائد ١٦ يساوي صفرًا لتكوين رءوس شكل جديد. ما مساحة هذا الشكل؟
لنبدأ بالجزء الأول من السؤال. لحل هذه المعادلة، نطرح ١٦ من كلا الطرفين للحصول على ﻉ أس ثمانية يساوي سالب ١٦. بعد ذلك، سنوجد الجذر الثماني لكلا الطرفين. لكن، لتطبيق نظرية ديموافر للجذور، سنحتاج إلى التعبير عن سالب ١٦ في الصورة الأسية أو القطبية.
لنكتبه في الصورة الأسية. مقياسه يساوي ١٦. وبما أنه عدد حقيقي بحت يقع على محور الأعداد الحقيقية السالبة على مخطط أرجاند، فإن سعته تساوي 𝜋 راديان. وبالتالي، فإن حلول هذه المعادلة هي الجذور الثمانية لـ ١٦ﻫ أس 𝜋ﺕ. عند تطبيق نظرية ديموافر، نجد أنه يمكننا الحصول على الجذور من خلال حساب ١٦ أس ثمن في ﻫ أس 𝜋 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ثمانية ﺕ، حيث ﻙ يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر إلى سبعة.
وبالتالي، فإن الجذور المعبر عن سعاتها في نطاق السعة الأساسية هي جذر اثنين ﻫ أس 𝜋 على ثمانية ﺕ، وجذر اثنين ﻫ أس ثلاثة 𝜋 على ثمانية ﺕ، وهكذا حتى جذر اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على ثمانية ﺕ. وبما أن هذه الجذور الثمانية لعدد مركب، فستكون رءوس ثماني أضلاع منتظم مرسوم داخل دائرة نصف قطرها يساوي جذر اثنين ومركزها نقطة الأصل.
وماذا عن الجزء الثاني من السؤال؟ حسنًا، لتربيع عدد مركب على الصورة الأسية، نقوم بتربيع مقياسه ومضاعفة سعته. لاحظ كيف تناقصت الجذور الثمانية إلى أربعة فقط. هذه المرة، هذه الجذور تمثل رءوس مربع مرسوم داخل دائرة نصف قطرها يساوي وحدتين. ويمكن إيجاد مساحته باستخدام نظرية فيثاغورس. وبهذه الطريقة يكون طول الضلع مساويًا لاثنين الجذر التربيعي لوحدتين. وبالتالي، تكون المساحة اثنين جذر اثنين تربيع. وهو ما يساوي ثماني وحدات مربعة.
والآن هل تتوقع ما قد يحدث عند تربيع الجذور؟ من المنطقي أن يقل عدد الجذور إلى النصف عند فعل ذلك. في الأساس، يشبه ذلك بعض الشيء إيجاد الجذور الرابعة للمعادلة الأصلية، والتي نعلم أنها ستكون رءوس المربع.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور المختلفة للأعداد المركبة. ورأينا أنه إذا كان ﻉ واحد هو أحد الجذور النونية لعدد مركب، فإن الجذور الأخرى تكون ﻉ واحد 𝜔، وﻉ واحد 𝜔 تربيع، وهكذا حتى ﻉ واحد 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد. وذلك عندما يكون 𝜔 هو الجذر البدائي للعدد واحد. تعلمنا كذلك أنه يمكننا استخدام الخصائص الهندسية لجذور الأعداد المركبة لمساعدتنا في إيجاد إحداثيات المضلعات المنتظمة الممثلة في المستوى الإحداثي.
