شارح الدرس: الجذور المختلفة للأعداد المركَّبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة بالصورة الكارتيزية

إذا كان ، فأوجد الجذور التربيعية للعدد دون تحويله إلى الصورة المثلثية.

الحل

في هذا المثال، علينا حساب الجذور التربيعية لعدد مركب دون تحويله إلى الصورة المثلثية. يمكننا البدء بالإشارة إلى الجذر التربيعي لـ بـ للمتغيِّرَيْن ، ذوَي القيم الحقيقية. بما أن هذا العدد المركب جذر تربيعي لـ ، إذن يمكننا كتابة:

يمكننا توزيع التربيع في الطرف الأيمن من هذه المعادلة كالآتي:

ومن ثَمَّ:

تذكَّر أن العددين المركبين متساويان إذا كان كلٌّ من الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين للعددين المركبين متساويين. ومن ثَمَّ، تؤدي المعادلة السابقة إلى:

ومع أن هاتين المعادلتين تكفيان لإيجاد المجهولين ، ، فإن هاتين المعادلتين الآنيتين معقَّدتان بعض الشيء. ويمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام معادلة أخرى تتضمَّن ، . نتذكَّر أن خاصية المقياس تُشير إلى أنه لأي عدد مركب ، . بما أن لدينا ، إذن نعلم من ذلك أن:

نتذكَّر أن مقياس العدد المركب مُعطى من خلال . ومن ثَمَّ:

والآن، يمكننا استخدام المعادلتين الآنيتين:

وبجمع المعادلتين نحصل على ، وهي نفسها . ومن ثَمَّ، . بطرح هاتين المعادلتين نحصل على ، وهو ما يعني أن ؛ ومن ثَمَّ، .

للوهلة الأولى، يبدو أن لدينا أربعة حلول؛ حيث ، . لكن علينا تذكُّر أن ، يجب أن يحقِّقا المعادلة السابقة . على وجه التحديد، حاصل ضرب ، يجب أن يكون موجبًا. وهذا يقصر أزواج الحلول على:

يمكننا التحقُّق من أن هذين الزوجين يحقِّقان المعادلة . وهذا يُعطينا الجذرين ، .

ومن ثَمَّ، فإن الجذرين التربيعيين لـ هما:

مثال ٢: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر

استخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين للمقدار .

الحل

في هذا المثال، علينا حساب الجذر التربيعي للعدد المركب المُعطى على الصورة القطبية. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب ، تُعطى الجذور لـ من خلال:

يمكننا استخدام نظرية ديموافر لحساب الجذور، لكن أولًا، علينا التأكد من أننا بدأنا بالصورة الصحيحة ، وهي الصورة القطبية للعدد المركب. الصورة المُعطاة تُشبه هذه الصورة، لكنها تختلف عن الصورة القطبية بسبب الإشارة السالبة داخل القوسين. لحل هذا الاختلاف، نتذكَّر متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لدالتَي الجيب وجيب التمام:

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة الصورة المُعطاة للعدد المركب كالآتي:

والآن، بعد أن أصبحت لدينا الصورة القطبية للعدد المركب، يمكننا استخدام القيمتين ، و. وبما أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي، يمكننا استخدام ، وهو ما يعني أن . بالتعويض بهذه القيم في نظرية ديموافر السابقة، نحصل على الجذرين التربيعيين:

هيا نحوِّل هذين الجذرين التربيعيين إلى الصورة الكارتيزية. ونحن نعلم أن . وكذلك، باستخدام دائرة الوحدة، يمكننا إيجاد النسب المثلثية:

بالتعويض بهذه القيم في الجذرين، نحصل على:

بتوزيع الضرب على الأقواس، نحصل على الجذرين التربيعيين و.

ومن ثَمَّ، فإن الجذرين التربيعيين للمقدار هما .

مثال ٣: جذور العدد المركب

1. أوجد حل المعادلة .
2. بعد تمثيل الحلول التي حصلت عليها على مخطط أرجاند أو غيره، صِف الخواص الهندسية للحلول.

الحل

الجزء الأول

في هذا الجزء، علينا حساب الجذر الخماسي للعدد المركب ، وهي الصورة الكارتيزية للعدد المركب. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب على الصورة الأسية ، تُعطى الجذور لـ من خلال:

يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور الخماسية، لكن أولًا، علينا تحويل العدد المركب المُعطى إلى الصورة الأسية. تذكَّر أن الصورة الأسية للعدد المركب الذي له المقياس والسعة هي .

نبدأ بإيجاد مقياس وسعة حتى يمكننا التعبير عنه على الصورة القطبية. نتذكَّر أن مقياس العدد المركب يُعطى من خلال . يمكننا إيجاد مقياس العدد المركب المُعطى بالتعويض بـ ، ، وهو ما يُعطينا:

ومن ثَمَّ، . نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب الواقع في الربع الأول من مخطط أرجاند تُعطى من خلال . بما أن ، كلاهما موجب للعدد المركب المُعطى، فإننا نعلم أن العدد المركب يقع في الربع الأول. إذن نحصل على سعته من خلال:

ومن ثَمَّ، . إذن تكون الصورة الأسية لـ هي:

يمكننا الآن إيجاد حلول المعادلة:

يمكننا إيجاد الجذور الخماسية عن طريق تطبيق نظرية ديموافر للجذور؛ حيث ، ، ، وهو ما يُعطينا:

ومن ثَمَّ، بالنظر إلى كل قيمة لـ ، فإن الحلول هي:

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي . الجذران الخماسيان الأخيران لهما سعتان، و، لا تقعان في هذا المدى. بما أن هاتين السعتين تقعان أعلى الحد العلوي ، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح دورة كاملة راديان من هذه القيمة:

باستخدام هاتين السعتين في المدى القياسي، يمكن كتابة الجذرين الخماسيين الأخيرين على صورة: ، . ومن ثَمَّ، فإن الجذور الخماسية لـ هي:

الجزء الثاني

في هذا الجزء، علينا تمثيل الجذور الخماسية التي حصلنا عليها في الجزء السابق على مخطط أرجاند. توجد الجذور الخماسية في الجزء السابق على الصورة الأسية، ونتذكَّر أن العدد المركب على الصورة الأسية له مقياس وسعة . بالنظر إلى الجذور الخماسية من الجزء السابق، يمكننا أن نلاحظ أن مقياس جميع الجذور الخماسية يساوي ٢. هذا يعني أن جميع الجذور الخماسية تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي ٢ على مخطط أرجاند.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن سعاتها تمثِّل متتابعة حسابية:

بالبدء بالحد الابتدائي ، تزداد السعات بمقدار الفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية) . وهذا يعني أنه بالبدء من النقطة على الدائرة عند الزاوية راديان، وهي زاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة قياسها راديان بدءًا من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي لمخطط أرجاند، يمكننا الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على الدائرة بمقدار أربع مرات للحصول على جميع الجذور الخماسية.

يوجد بالأسفل تمثيل لهذه الأعداد المركبة على مخطط أرجاند.

من مخطط أرجاند السابق، نلاحظ أن الجذور تقع على رءوس شكل خماسي منتظم مرسوم داخل دائرة نصف قطرها ٢، ومركزها عند نقطة الأصل.

مثال ٤: العلاقة بين الجذور المختلفة وجذور العدد واحد

1. أوجد حلول المعادلة . ما خواصها الهندسية؟
2. حدِّد الجذور السداسية للعدد واحد.
3. ما العلاقة بين الجذور السداسية للعدد واحد وحلول المعادلة ؟

الحل

الجزء الأول

نحن نعلم أن حلول المعادلة هي الجذور السداسية للعدد المركب في الطرف الأيسر من المعادلة. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أن الجذور لعدد مركب مُعطاة من خلال:

بتطبيق نظرية ديموافر؛ حيث ، تُعطى جذور المعادلة من خلال:

ونحن نعلم أن ، وهو ما يُعطينا . بالتعويض بكل قيمة لـ ، والتبسيط حتى تقع سعة كل عدد مركب في المدى القياسي ، نحصل على:

الآن، هيا نرسم هذه الأعداد على مخطط أرجاند. نتذكَّر أن العدد المركب على الصورة الأسية له مقياس وسعة . عند النظر إلى الجذور السداسية السابقة، يمكننا ملاحظة أن مقياس جميع الجذور يساوي . هذا يعني أن جميع الجذور السداسية تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها في مخطط أرجاند.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن السعات تمثِّل متتابعة حسابية:

بالبدء بالحد الابتدائي ، تزداد السعات بمقدار الفرق المشترك . وهذا يعني أنه بالبدء من النقطة على الدائرة عند الزاوية راديان، وهي زاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة قياسها راديان بدءًا من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي لمخطط أرجاند، يمكننا الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على الدائرة بمقدار خمس مرات للحصول على جميع الجذور السداسية.

برسم هذه الجذور على مخطط أرجاند، نجد أنها تقع عند رءوس شكل سداسي منتظم مركزه نقطة الأصل، ومرسوم داخل دائرة نصف قطرها .

الجزء الثاني

تذكَّر أن الجذور للعدد واحد في الصورة الأسية تُعطى من خلال:

بالتعويض بـ ، وإيجاد السعات المكافئة في المدى ، نحصل على الجذور السداسية للعدد واحد:

الجزء الثالث

هندسيًّا، نتذكَّر أن الجذور السداسية للعدد واحد تُكوِّن رءوس شكل سداسي منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة؛ حيث يوجد رأس واحد عند العدد الحقيقي ١. وبمقارنة هذه الخاصية بشكل الجذر السداسي المُعطى في الجزء الأول، يمكننا أن نلاحظ أن الجذور متمدِّدة بمعامل قياس مقداره ، ودوِّرَت عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بمقدار راديان.

لعلنا نتذكَّر الخاصية الهندسية لضرب عددين مركبين: إذا كان لدينا عددان مركبان غير صفريين ، ، فإن:

• ،
• .

ومن ثَمَّ، فإن تمدُّد العدد المركب بمعامل قياس مقداره ، والدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بمقدار راديان، يكافئان ضرب عدد مركب في عدد آخر له مقياس وسعة . يمكن كتابة هذا العدد على الصورة الأسية .

وهذا يُشير إلى أنه يمكننا الحصول على الجذور السداسية للعدد لدينا بضرب الجذور السداسية للعدد واحد في . يمكننا التحقُّق من ذلك باستخدام خاصية ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية. لعلنا نتذكَّر أن:

وهكذا، بضرب كل جذر من الجذور السداسية للعدد واحد في ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن حلول المعادلة هي الجذور السداسية للعدد واحد مضروبة في .

مثال ٥: إحداثيات المضلعات المنتظمة التي مركزها نقطة الأصل

أوجد إحداثيات رءوس شكل خماسي منتظم يقع مركزه عند نقطة الأصل وأحد رءوسه عند النقطة . أعطِ أجابتك في صورة إحداثيات كارتيزية دقيقة.

الحل

في هذه المسألة، علينا تحديد الإحداثيات الكارتيزية لرءوس مضلع منتظم. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام الخاصية الهندسية للجذور المختلفة لعدد مركب. تذكَّر أنه في مخطط أرجاند، الجذور التي عددها لعدد مركب مقياسه وسعته تُكوِّن رءوس مضلع منتظم له عدد من الأضلاع مرسوم داخل دائرة نصف قطرها ؛ حيث أحد الرءوس هو النقطة التي على الدائرة عند السعة .

لحل هذه المسألة، نفترض أن الشكل الخماسي المنتظم يقع على مستوى أرجاند وليس على مستوًى كارتيزي؛ حيث تناظر الإحداثيات الكارتيزية العدد المركب في مخطط أرجاند. سنوجد أولًا الأعداد المركبة التي تناظر الرءوس الخمسة للشكل الخماسي المنتظم على مخطط أرجاند. بعد ذلك، يمكننا تحويل الأعداد المركبة إلى إحداثيات المستوى الكارتيزي باستخدام هذه العلاقة. وبما أن لدينا شكلًا خماسيًّا منتظمًا مركزه عند نقطة الأصل، إذن هذا الشكل الخماسي يمكن رسمه داخل دائرة.

ووفقًا لخاصية الجذور المختلفة للعدد المركب، تناظر رءوس هذا الشكل الخماسي على مخطط أرجاند الجذور الخماسية لعدد مركب. هيا نوجد هذا العدد المركب.

نعلم أن أحد الرءوس له الإحداثيات الكارتيزية ، وهو ما يناظر العدد المركب في مخطط أرجاند. هذا يعني أن جذر خماسي للعدد المركب لدينا، وأن الرءوس الأخرى للشكل الخماسي تمثِّل الجذور الخماسية الأخرى للعدد نفسه. يمكننا إيجاد الجذور الخماسية الأخرى عن طريق حساب ، ثم تطبيق نظرية ديموافر للجذور لإيجاد الجذر الخماسي لهذا العدد، ولكن من السهل استخدام خاصية جذور الأعداد المركبة.

نحن نعلم أن هناك عدد من الأعداد المركبة المختلفة، وهي الجذور للعدد المركب المُعطى. مقاييس جميع الجذور متساوية، وسعات الجذور للعدد المركب تُكوِّن متتابعة حسابية بفرق مشترك . في هذا المثال، نعلم أن أحد الجذور الخماسية للعدد المركب يساوي . ومن ثَمَّ، فإن مقياس هذا العدد المركب هو أيضًا مقياس الجذور الخماسية الأربعة الأخرى للعدد المركب نفسه. وأيضًا، بدءًا من سعة ، يمكننا تكوين متتابعة حسابية ذات فرق مشترك ، وتتكوَّن من ٥ حدود للحصول على سعات الجذور الخماسية الأربعة الأخرى.

هيا نوجد مقياس وسعة . نتذكَّر أن مقياس العدد المركب يُعطى من خلال . يمكننا إيجاد مقياس العدد المركب المُعطى بالتعويض بـ ، ، وهو ما يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن مقياس يساوي ، وهو أيضًا مقياس الجذور الخماسية الأربعة الأخرى.

بعد ذلك، هيا نحسب سعة هذا العدد. نتذكَّر أن سعة العدد المركب الذي يقع في الربع الأول من مخطط أرجاند مُعطاة من خلال . بما أن ، كلاهما موجب للعدد المركب المُعطى، فإننا نعلم أن العدد المركب يقع في الربع الأول. بعد ذلك، نحصل على سعته من خلال:

ومن ثَمَّ، فإن سعة تساوي راديان. يمكننا حساب سعات الجذور الخماسية الأربعة الأخرى بتكوين متتابعة حسابية بدءًا من هذه السعة بفرق مشترك . يمكننا كتابة:

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي . آخر ثلاث سعات أكبر من ؛ لذا، نطرح دورة كاملة راديان من هذه السعات، لكتابة السعات المكافئة و و على الترتيب.

وأخيرًا، نتذكَّر أن العدد المركب الذي مقياسه وسعته يمكن التعبير عنه على الصورة القطبية:

ومن ثَمَّ، تكون الجذور الخماسية كالآتي:

يمكن تبسيط الجذر الأول باستخدام . عندما نعوِّض بهذه القيم في الجذر الأول، نحصل على: وهو الجذر الأول الذي بدأنا به. أما الجذور الأخرى فلا يمكن تبسيطها؛ لأن سعاتها لا تنتمي إلى الزوايا الخاصة بدائرة الوحدة. يمكننا توزيع الضرب على الأقواس لكلٍّ من هذه الجذور لكتابتها على صورة:

هذه هي رءوس الشكل الخماسي المنتظم على مخطط أرجاند. يمكننا إيجاد الإحداثيات الكارتيزية المكافئة لهذه النقاط بربط كل عدد مركب بالإحداثيات الكارتيزية .

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات رءوس الشكل الخماسي المنتظم الذي يقع مركزه عند نقطة الأصل ويوجد أحد رءوسه عند هي:

مثال ٦: المقادير التي تتضمَّن جذورًا نونية

أوجد القيم الممكنة للمقدار:

الحل

من المقدار المُعطى، نلاحظ الحدين ، ، وهما الجذران الثلاثيان لـ ومقلوباهما. ونحن نعلم أنه إذا كان لدينا عدد مركب ، فإن هناك عدد من القيم المختلفة، التي تمثِّل الجذور له. وهذا يعني أن المقدار له ثلاث قيم ممكنة، وأيضًا مقلوبه له ثلاث قيم ممكنة. هيا أولًا نتعرَّف على جميع القيم الممكنة لهذين المقدارين.

لإيجاد الجذر الثلاثي لـ ، نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب على الصورة الأسية ، تُعطى الجذور لـ من خلال:

لتطبيق هذه الصيغة، علينا أولًا كتابة بالصورة الأسية. تذكَّر أن الصورة الأسية للعدد المركب الذي مقياسه وسعته هي . ونحن نعلم أن العدد المركب مقياسه يساوي ١. ونعلم أيضًا أنه يقع على الجزء الموجب من المحور التخيلي في مخطط أرجاند، وهو ما يعني أن سعته تساوي . ومن ثَمَّ:

بعد ذلك، يمكننا تطبيق نظرية ديموافر؛ حيث ، لإيجاد القيم الممكنة لـ :

هذا يُعطينا:

بعد ذلك، هيا نوجد جميع قيم المقدار الممكنة. يمكننا كتابة: ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد جميع القيم الممكنة لهذا المقدار برفع كل قيمة لـ للأس . نتذكَّر نظرية ديموافر الخاصة بالقوى الصحيحة للعدد المركب، التي تنص على أن القوة للعدد المركب تُعطى من خلال:

بتطبيق هذه النظرية؛ حيث ، لكل ناتج ممكن لـ ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، توجد ثلاث قيم ممكنة لـ ، وثلاث قيم ممكنة لـ . للوهلة الأولى، قد يبدو أن لدينا تسعة احتمالات مختلفة لمجموع هذين المقدارين، لكن قد يكون للمجاميع القيمة نفسها.

لجمع عددين مركبين، يكون من السهل تحويلهما أولًا إلى الصورة الكارتيزية. تذكَّر أنه يمكننا تحويل عدد مركب على الصورة الأسية إلى الصورة الكارتيزية بحساب:

ومن ثَمَّ:

يمكننا تبسيط مقادير بتذكَّر المتطابقتين:

يمكننا كتابة:

باستخدام دائرة الوحدة، يمكننا إيجاد النسب المثلثية:

بالتعويض بهذه القيم، نحصل على:

يمكننا كتابة التوافيق التسعة المختلفة لإيجاد القيم الممكنة لـ . يجب أن نتذكَّر أن نضرب الناتج في في النهاية. بعد ذلك، يمكننا حساب المجموع عن طريق إنشاء جدول يحتوي صفه الأول على القيم الممكنة لـ ، ويحتوي عموده الأول على القيم الممكنة لـ :

هذا يُعطينا سبع قيم مختلفة للمجموع، وهي:

بضرب كل عدد في ، فإن جميع القيم الممكنة للمقدار المتعدد القيم المُعطى هي: