شارح الدرس: الجذور المختلفة للأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور ا لعدد مركَّب واستكشاف خواصها.

نحن نهتم بإيجاد الحلول 𞸏 ذات القيم المركبة لمعادلات على الصورة 𞸏=𞸏𞸍٠؛ حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، 𞸏٠ عدد مركب مُعطى. وتُعرَف حلول المعادلات بهذه الصورة بأنها الجذور ا لـ 𞸏٠. على وجه التحديد، عندما يكون 𞸏=١٠، نتذكَّر أن المعادلة 𞸏=١𞸍 تحتوي على عدد 𞸍 من الحلول المختلفة 𞸏 ذات القيم المركبة، التي تُسمَّى الجذور ا للعدد واحد. في هذا الشارح، نريد التعويض عن الطرف الأيسر من هذه المعادلة بعدد مركب عام 𞸏٠ وإيجاد جذور عدد مركب اختياري.

هيا نبدأ بمثال نحسب فيه الجذر التربيعي لعدد مركب باستخدام الطرق الجبرية.

مثال ١: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة بالصورة الكارتيزية

إذا كان 𞸏=٨٢+٦٩𞸕، فأوجد الجذور التربيعية للعدد 𞸏 دون تحويله إلى الصورة المثلثية.

الحل

في هذا المثال، علينا حساب الجذور التربيعية لعدد مركب دون تحويله إلى الصورة المثلثية. يمكننا البدء بالإشارة إلى الجذر التربيعي لـ 𞸏 بـ 𞸎+𞸑𞸕 للمتغيِّرَيْن 𞸎، 𞸑 ذوَي القيم الحقيقية. بما أن هذا العدد المركب جذر تربيعي لـ 𞸏، إذن يمكننا كتابة: (𞸎+𞸑𞸕)=٨٢+٦٩𞸕.٢

يمكننا توزيع التربيع في الطرف الأيمن من هذه المعادلة كالآتي: 𞸎+(𞸑𞸕)+٢𞸎𞸑𞸕=𞸎𞸑+٢𞸎𞸑𞸕.٢٢٢٢

ومن ثَمَّ: 󰁓𞸎𞸑󰁒+٢𞸎𞸑𞸕=٨٢+٦٩𞸕.٢٢

تذكَّر أن العددين المركبين متساويان إذا كان كلٌّ من الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين للعددين المركبين متساويين. ومن ثَمَّ، تؤدي المعادلة السابقة إلى: 𞸎𞸑=٨٢،٢𞸎𞸑=٦٩.٢٢

ومع أن هاتين المعادلتين تكفيان لإيجاد المجهولين 𞸎، 𞸑، فإن هاتين المعادلتين الآنيتين معقَّدتان بعض الشيء. ويمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام معادلة أخرى تتضمَّن 𞸎، 𞸑. نتذكَّر أن خاصية المقياس تُشير إلى أنه لأي عدد مركب 𞸏، 󰍸𞸏󰍸=|𞸏|٢٢. بما أن لدينا (𞸎+𞸑𞸕)=𞸏٢، إذن نعلم من ذلك أن: |𞸎+𞸑𞸕|=|٨٢+٦٩𞸕|.٢

نتذكَّر أن مقياس العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 مُعطى من خلال 󰋴󰏡+𞸁٢٢. ومن ثَمَّ: 󰂔󰋴𞸎+𞸑󰂓=󰋴(٨٢)+٦٩𞸎+𞸑=٠٠١.٢٢٢٢٢٢٢

والآن، يمكننا استخدام المعادلتين الآنيتين: 𞸎+𞸑=٠٠١،𞸎𞸑=٨٢.٢٢٢٢

وبجمع المعادلتين نحصل على ٢𞸎=٢٧٢، وهي نفسها 𞸎=٦٣٢. ومن ثَمَّ، 𞸎=±٦. بطرح هاتين المعادلتين نحصل على ٢𞸑=٨٢١٢، وهو ما يعني أن 𞸑=٤٦٢؛ ومن ثَمَّ، 𞸑=±٨.

للوهلة الأولى، يبدو أن لدينا أربعة حلول؛ حيث 𞸎=±٦، 𞸑=±٨. لكن علينا تذكُّر أن 𞸎، 𞸑 يجب أن يحقِّقا المعادلة السابقة ٢𞸎𞸑=٦٩. على وجه التحديد، حاصل ضرب 𞸎، 𞸑 يجب أن يكون موجبًا. وهذا يقصر أزواج الحلول على: (𞸎،𞸑)=(٦،٨)(٦،٨).أو

يمكننا التحقُّق من أن هذين الزوجين يحقِّقان المعادلة ٢𞸎𞸑=٦٩. وهذا يُعطينا الجذرين ٦+٨𞸕، ٦٨𞸕.

ومن ثَمَّ، فإن الجذرين التربيعيين لـ ٨٢+٦٩𞸕 هما: (٦+٨𞸕)،(٦+٨𞸕).

في المثال السابق، استخدمنا الطريقة الجبرية لإيجاد الجذرين التربيعيين لعدد مركب مُعطى. على الرغم من أن هذه الطريقة تصلح لإيجاد الجذور التربيعية، لا يمكن تعميمها لإيجاد جذور القوى العليا. لحساب الجذور ذات القوى العليا، من الأفضل تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية أو الصورة الأسية، وتطبيق نظرية ديموافر للجذور.

نظرية: نظرية ديموافر للجذور

لأي عدد مركب على الصورة القطبية 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، تكون الجذور ا هي: 𞸍󰋴𞸓󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀𞸊=٠،١،،𞸍١.

بالمثل، لأي عدد مركب في الصورة الأسية 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃، يمكن كتابة جذوره ا على الصورة: 𞸍𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰋴𞸓𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

في المثال الآتي، سنطبِّق نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين لعدد مركب مُعطى.

مثال ٢: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر

استخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين للمقدار ٦١󰂔٥𝜋٣𞸕٥𝜋٣󰂓.

الحل

في هذا المثال، علينا حساب الجذر التربيعي للعدد المركب المُعطى على الصورة القطبية. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، تُعطى الجذور ا لـ 𞸏 من خلال: 𞸍󰋴𞸓󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀𞸊=٠،١،،𞸍١.

يمكننا استخدام نظرية ديموافر لحساب الجذور، لكن أولًا، علينا التأكد من أننا بدأنا بالصورة الصحيحة 𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، وهي الصورة القطبية للعدد المركب. الصورة المُعطاة ٦١󰂔٥𝜋٣𞸕٥𝜋٣󰂓 تُشبه هذه الصورة، لكنها تختلف عن الصورة القطبية بسبب الإشارة السالبة داخل القوسين. لحل هذا الاختلاف، نتذكَّر متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية لدالتَي الجيب وجيب التمام: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة الصورة المُعطاة للعدد المركب كالآتي: ٦١󰂔٥𝜋٣𞸕٥𝜋٣󰂓=٦١󰂔٥𝜋٣+𞸕󰂔٥𝜋٣󰂓󰂓=٦١󰂔󰂔٥𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٣󰂓󰂓.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا الصورة القطبية للعدد المركب، يمكننا استخدام القيمتين 𞸓=٦١، و𝜃=٥𝜋٣. وبما أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي، يمكننا استخدام 𞸍=٢، وهو ما يعني أن 𞸊=٠،١. بالتعويض بهذه القيم في نظرية ديموافر السابقة، نحصل على الجذرين التربيعيين: 󰋴٦١󰂔󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓󰂓،󰋴٦١󰂔󰂔𝜋٦󰂓+𞸕󰂔𝜋٦󰂓󰂓.

هيا نحوِّل هذين الجذرين التربيعيين إلى الصورة الكارتيزية. ونحن نعلم أن 󰋴٦١=٤. وكذلك، باستخدام دائرة الوحدة، يمكننا إيجاد النسب المثلثية: 󰂔٥𝜋٦󰂓=󰋴٣٢،󰂔٥𝜋٦󰂓=١٢،󰂔𝜋٦󰂓=󰋴٣٢،󰂔𝜋٦󰂓=١٢.

بالتعويض بهذه القيم في الجذرين، نحصل على: ٤󰃭󰋴٣٢𞸕١٢󰃬،٤󰃭󰋴٣٢+𞸕١٢󰃬.

بتوزيع الضرب على الأقواس، نحصل على الجذرين التربيعيين ٢󰋴٣𞸕٢ و٢󰋴٣+𞸕٢.

ومن ثَمَّ، فإن الجذرين التربيعيين للمقدار ٦١󰂔٥𝜋٣𞸕٥𝜋٣󰂓 هما ±󰂔٢󰋴٣+٢𞸕󰂓.

في المثال السابق، أوجدنا الجذرين التربيعيين لعدد مركب مُعطى باستخدام نظرية ديموافر للجذور. يمكن تعميم هذه الطريقة على جذور القوى العليا؛ لأن نظرية ديموافر يمكن تطبيقها على الجذور العامة.

في المعادلة الآتية، سنُوجد الجذور الخماسية لعدد مركب ونرسم الجذور على مخطط أرجاند.

مثال ٣: جذور العدد المركب

  1. أوجد حل المعادلة 𞸏=٦١󰋴٢+٦١𞸕󰋴٢٥.
  2. بعد تمثيل الحلول التي حصلت عليها على مخطط أرجاند أو غيره، صِف الخواص الهندسية للحلول.

الحل

الجزء الأول

في هذا الجزء، علينا حساب الجذر الخماسي للعدد المركب ٦١󰋴٢+٦١𞸕󰋴٢، وهي الصورة الكارتيزية للعدد المركب. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب على الصورة الأسية 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃، تُعطى الجذور ا لـ 𞸏 من خلال: 𞸍𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰋴𞸓𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور الخماسية، لكن أولًا، علينا تحويل العدد المركب المُعطى إلى الصورة الأسية. تذكَّر أن الصورة الأسية للعدد المركب الذي له المقياس 𞸓 والسعة 𝜃 هي 𞸓𞸤𞸕𝜃.

نبدأ بإيجاد مقياس وسعة ٦١󰋴٢+٦١𞸕󰋴٢ حتى يمكننا التعبير عنه على الصورة القطبية. نتذكَّر أن مقياس العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 يُعطى من خلال 󰋴󰏡+𞸁٢٢. يمكننا إيجاد مقياس العدد المركب المُعطى بالتعويض بـ 󰏡=٦١󰋴٢، 𞸁=٦١󰋴٢، وهو ما يُعطينا: 󰋺󰂔٦١󰋴٢󰂓+󰂔٦١󰋴٢󰂓=󰋴٤٢٠١=٢٣.٢٢

ومن ثَمَّ، 𞸓=٢٣. نتذكَّر أيضًا أن سعة العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 الواقع في الربع الأول من مخطط أرجاند تُعطى من خلال ١𞸁󰏡. بما أن 󰏡=٦١󰋴٢، 𞸁=٦١󰋴٢ كلاهما موجب للعدد المركب المُعطى، فإننا نعلم أن العدد المركب يقع في الربع الأول. إذن نحصل على سعته من خلال: ١١󰃭٦١󰋴٢٦١󰋴٢󰃬=(١)=𝜋٤.

ومن ثَمَّ، 𝜃=𝜋٤. إذن تكون الصورة الأسية لـ ٦١󰋴٢+٦١𞸕󰋴٢ هي: ٢٣𞸤.𝜋٤𞸕

يمكننا الآن إيجاد حلول المعادلة: 𞸏=٢٣𞸤.٥𞸕𝜋٤

يمكننا إيجاد الجذور الخماسية عن طريق تطبيق نظرية ديموافر للجذور؛ حيث 𞸍=٥، 𞸓=٢٣، 𝜃=𝜋٤، وهو ما يُعطينا: ٢٣𞸤𞸊=٠،١،٤.١٥𝜋٤+٢𝜋𞸊٥𞸕

ومن ثَمَّ، بالنظر إلى كل قيمة لـ 𞸊، فإن الحلول هي: ٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤.𝜋٠٢٩𝜋٠٢٧١𝜋٠٢٥٢𝜋٠٢٣٣𝜋٠٢𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]. الجذران الخماسيان الأخيران لهما سعتان، ٥٢𝜋٠٢ و٣٣𝜋٠٢، لا تقعان في هذا المدى. بما أن هاتين السعتين تقعان أعلى الحد العلوي 𝜋، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح دورة كاملة ٢𝜋 راديان من هذه القيمة: ٥٢𝜋٠٢٢𝜋=٥١𝜋٠٢=٣𝜋٤،٣٣𝜋٠٢٢𝜋=٧𝜋٠٢.

باستخدام هاتين السعتين في المدى القياسي، يمكن كتابة الجذرين الخماسيين الأخيرين على صورة: 𞸤٣𝜋٤، 𞸤٧𝜋٠٢. ومن ثَمَّ، فإن الجذور الخماسية لـ ٦١󰋴٢+٦١𞸕󰋴٢ هي: ٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤،٢𞸤.𝜋٠٢٩𝜋٠٢٧١𝜋٠٢٧𝜋٠٢٣𝜋٤𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

الجزء الثاني

في هذا الجزء، علينا تمثيل الجذور الخماسية التي حصلنا عليها في الجزء السابق على مخطط أرجاند. توجد الجذور الخماسية في الجزء السابق على الصورة الأسية، ونتذكَّر أن العدد المركب على الصورة الأسية 𞸓𞸤𞸕𝜃 له مقياس 𞸓 وسعة 𝜃. بالنظر إلى الجذور الخماسية من الجزء السابق، يمكننا أن نلاحظ أن مقياس جميع الجذور الخماسية يساوي ٢. هذا يعني أن جميع الجذور الخماسية تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي ٢ على مخطط أرجاند.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن سعاتها تمثِّل متتابعة حسابية: ٣𝜋٤،٧𝜋٠٢،𝜋٠٢،٩𝜋٠٢،٧١𝜋٠٢.

بالبدء بالحد الابتدائي ٣𝜋٤، تزداد السعات بمقدار الفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية) ٨𝜋٠٢=٢𝜋٥رادن. وهذا يعني أنه بالبدء من النقطة على الدائرة عند الزاوية ٣𝜋٤ راديان، وهي زاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة قياسها ٣𝜋٤ راديان بدءًا من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي لمخطط أرجاند، يمكننا الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على الدائرة بمقدار ٢𝜋٥ أربع مرات للحصول على جميع الجذور الخماسية.

يوجد بالأسفل تمثيل لهذه الأعداد المركبة على مخطط أرجاند.

من مخطط أرجاند السابق، نلاحظ أن الجذور تقع على رءوس شكل خماسي منتظم مرسوم داخل دائرة نصف قطرها ٢، ومركزها عند نقطة الأصل.

في المثال السابق، أوجدنا الجذور الخماسية لعدد مركب، ولاحظنا أن هذه الجذور تُكوِّن رءوس مضلع منتظم مرسوم داخل دائرة في مخطط أرجاند. نتذكَّر أن هذه الخاصية بالتحديد تنطبق أيضًا على الجذور ا للعدد واحد؛ حيث يقع رأس واحد عند الجذر البديهي للعدد واحد؛ أي ١.

في المثال الآتي، سنوضِّح العلاقة بين الجذور ا للعدد واحد والجذور المختلفة لعدد مركب.

مثال ٤: العلاقة بين الجذور المختلفة وجذور العدد واحد

  1. أوجد حلول المعادلة 𞸏=٥٢١𞸤٦𞸕٢𝜋٣. ما خواصها الهندسية؟
  2. حدِّد الجذور السداسية للعدد واحد.
  3. ما العلاقة بين الجذور السداسية للعدد واحد وحلول المعادلة 𞸏=٥٢١𞸤٦𞸕٢𝜋٣؟

الحل

الجزء الأول

نحن نعلم أن حلول المعادلة 𞸏=٥٢١𞸤٦𞸕٢𝜋٣ هي الجذور السداسية للعدد المركب في الطرف الأيسر من المعادلة. نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أن الجذور ا لعدد مركب 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃 مُعطاة من خلال: 𞸍𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰋴𞸓𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

بتطبيق نظرية ديموافر؛ حيث 𞸍=٦، تُعطى جذور المعادلة من خلال: ٦٢𝜋٣+٢𝜋𞸊٦󰋴٥٢١𞸤𞸊=٠،١،،٥.𞸕

ونحن نعلم أن ٥٢١=٥٣، وهو ما يُعطينا ٦󰋴٥٢١=󰋴٥. بالتعويض بكل قيمة لـ 𞸊، والتبسيط حتى تقع سعة كل عدد مركب في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، نحصل على: 󰋴٥𞸤،󰋴٥𞸤،󰋴٥𞸤،󰋴٥𞸤،󰋴٥𞸤،󰋴٥𞸤.𝜋٩٤𝜋٩٧𝜋٩٢𝜋٩٥𝜋٩٨𝜋٩𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

الآن، هيا نرسم هذه الأعداد على مخطط أرجاند. نتذكَّر أن العدد المركب على الصورة الأسية 𞸓𞸤𞸕𝜃 له مقياس 𞸓 وسعة 𝜃. عند النظر إلى الجذور السداسية السابقة، يمكننا ملاحظة أن مقياس جميع الجذور يساوي 󰋴٥. هذا يعني أن جميع الجذور السداسية تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 󰋴٥ في مخطط أرجاند.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن السعات تمثِّل متتابعة حسابية: ٨𝜋٩،٥𝜋٩،٢𝜋٩،𝜋٩،٤𝜋٩،٧𝜋٩.

بالبدء بالحد الابتدائي ٨𝜋٩، تزداد السعات بمقدار الفرق المشترك ٣𝜋٩=𝜋٣رادن. وهذا يعني أنه بالبدء من النقطة على الدائرة عند الزاوية ٨𝜋٩ راديان، وهي زاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة قياسها ٨𝜋٩ راديان بدءًا من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي لمخطط أرجاند، يمكننا الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على الدائرة بمقدار 𝜋٣ خمس مرات للحصول على جميع الجذور السداسية.

برسم هذه الجذور على مخطط أرجاند، نجد أنها تقع عند رءوس شكل سداسي منتظم مركزه نقطة الأصل، ومرسوم داخل دائرة نصف قطرها 󰋴٥.

الجزء الثاني

تذكَّر أن الجذور ا للعدد واحد في الصورة الأسية تُعطى من خلال: ١،𞸤،،𞸤.٢𝜋𞸍٢𝜋(𞸍١)𞸍𞸕𞸕

بالتعويض بـ 𞸍=٦، وإيجاد السعات المكافئة في المدى ]𝜋،𝜋]، نحصل على الجذور السداسية للعدد واحد: ١،𞸤،𞸤،١،𞸤،𞸤.𝜋٣٢𝜋٣𝜋٣٢𝜋٣𞸕𞸕𞸕𞸕

الجزء الثالث

هندسيًّا، نتذكَّر أن الجذور السداسية للعدد واحد تُكوِّن رءوس شكل سداسي منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة؛ حيث يوجد رأس واحد عند العدد الحقيقي ١. وبمقارنة هذه الخاصية بشكل الجذر السداسي المُعطى في الجزء الأول، يمكننا أن نلاحظ أن الجذور متمدِّدة بمعامل قياس مقداره 󰋴٥، ودوِّرَت عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بمقدار 𝜋٩ راديان.

لعلنا نتذكَّر الخاصية الهندسية لضرب عددين مركبين: إذا كان لدينا عددان مركبان غير صفريين 𞸏١، 𞸏٢، فإن:

  • 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸١٢١٢،
  • 󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏+𞸏١٢١٢.

ومن ثَمَّ، فإن تمدُّد العدد المركب بمعامل قياس مقداره 󰋴٥، والدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بمقدار 𝜋٩ راديان، يكافئان ضرب عدد مركب في عدد آخر له مقياس 󰋴٥ وسعة 𝜋٩. يمكن كتابة هذا العدد على الصورة الأسية 󰋴٥𞸤𝜋٩𞸕.

وهذا يُشير إلى أنه يمكننا الحصول على الجذور السداسية للعدد لدينا بضرب الجذور السداسية للعدد واحد في 󰋴٥𞸤𝜋٩𞸕. يمكننا التحقُّق من ذلك باستخدام خاصية ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية. لعلنا نتذكَّر أن: 𞸓𞸤×𞸓𞸤=𞸓𞸓𞸤.١𞸕𝜃٢𞸕𝜃١٢𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒١٢١٢

وهكذا، بضرب كل جذر من الجذور السداسية للعدد واحد في 󰋴٥𞸤𝜋٩𞸕، نحصل على: ١×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤،𞸤×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤،𞸤×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤،١×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤،𞸤×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤،𞸤×󰋴٥𞸤=󰋴٥𞸤.𝜋٩𝜋٩𝜋٣𝜋٩٤𝜋٩٢𝜋٣𝜋٩٧𝜋٩𝜋٩𝜋٩٨𝜋٩𝜋٣𝜋٩٢𝜋٩٢𝜋٣𝜋٩٥𝜋٩𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

ومن ثَمَّ، فإن حلول المعادلة هي الجذور السداسية للعدد واحد مضروبة في 󰋴٥𞸤𝜋٩𞸕.

في الأمثلة السابقة، لاحظنا أن الجذور ا لبعض الأعداد المركبة كوَّنت رءوس شكل سداسي منتظم مركزه عند نقطة الأصل. يمكننا تعميم هذه الملاحظة على أي جذور ا لعدد مركب. تنص نظرية ديموافر للجذور على أن الجذور ا للعدد المركب في الصورة الأسية 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃 تُعطى من خلال: 𞸍𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰋴𞸓𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

ومن خلال هذا التعبير، يمكننا ملاحظة أن جميع هذه الجذور ا له المقياس نفسه، وهو 𞸍󰋴𞸓. وهذا يُشير إلى أن جميع هذه الأعداد المركبة يقع على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي 𞸍󰋴𞸓 على مخطط أرجاند. ونلاحظ أيضًا أن سعات هذه الأعداد المركبة تُكوِّن متتابعة حسابية بها عدد 𞸍 من الحدود؛ حيث الحد الابتدائي هو 𝜃𞸍، والفرق المشترك هو ٢𝜋𞸍. لتمثيل هذه الجذور على مخطط أرجاند، يمكننا إيجاد النقطة الأولى ذات السعة 𝜃𞸍 على الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 𞸍󰋴𞸓. بعد ذلك، يمكننا الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة عدد 𞸍١ من المرات بمقدار ٢𝜋𞸍 لرسم الجذور المتبقية. نلاحظ أن هذه الطريقة تؤدي دائمًا إلى تكوين مضلع منتظم مرسوم داخل الدائرة. سنلخِّص هذه الحقيقة فيما يلي.

خاصية: الجذور المختلفة لعدد مركب في مخططات أرجاند

في مخطط أرجاند، الجذور 𞸍 لعدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 تُكوِّن رءوس مضلع منتظم له عدد 𞸍 من الأضلاع مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 𞸍󰋴𞸓؛ حيث أحد الرءوس هو النقطة التي على الدائرة عند السعة 𝜃𞸍.

وباستخدام المنطق نفسه، كما في المثال السابق، يمكننا استخدام هذه الخاصية الهندسية للربط بين الجذور ا المختلفة لعدد مركب والجذور ا للعدد واحد. ونحن نعلم أن الجذور ا للعدد واحد تُكوِّن مضلعًا منتظمًا له عدد 𞸍 من الأضلاع مرسومًا داخل دائرة الوحدة؛ حيث يَكون أحد الرءوس عند الجذر البديهي للعدد واحد؛ أي ١. ومن ثَمَّ، يمكن الحصول على المضلع الذي له عدد 𞸍 من الأضلاع ويمثِّل الجذور النونية للعدد المركب الذي مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 عن طريق تمدُّد المضلع الذي له عدد 𞸍 من الأضلاع من الجذور ا للعدد واحد بمعامل قياس مقداره 𞸍󰋴𞸓، والدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بزاوية 𝜃𞸍 راديان. هذا هو التأثير الناتج عن ضرب كلٍّ من الجذور ا للعدد واحد في العدد المركب 𞸍𝜃𞸍󰋴𞸓𞸤𞸕.

وهذا يقودنا إلى العبارة الآتية.

خاصية: الجذور المختلفة للعدد المركب والجذور النونية للعدد واحد

يمكن الحصول على الجذور ا لعدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 بضرب كلٍّ من الجذور ا للعدد واحد في 𞸍𝜃𞸍󰋴𞸓𞸤𞸕.

هيا ننظر إلى تطبيق هندسي لخاصية الجذور المختلفة لعدد مركب.

مثال ٥: إحداثيات المضلعات المنتظمة التي مركزها نقطة الأصل

أوجد إحداثيات رءوس شكل خماسي منتظم يقع مركزه عند نقطة الأصل وأحد رءوسه عند النقطة (٣،٣). أعطِ أجابتك في صورة إحداثيات كارتيزية دقيقة.

الحل

في هذه المسألة، علينا تحديد الإحداثيات الكارتيزية لرءوس مضلع منتظم. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام الخاصية الهندسية للجذور المختلفة لعدد مركب. تذكَّر أنه في مخطط أرجاند، الجذور التي عددها 𞸍 لعدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 تُكوِّن رءوس مضلع منتظم له عدد 𞸍 من الأضلاع مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 𞸍󰋴𞸓؛ حيث أحد الرءوس هو النقطة التي على الدائرة عند السعة 𝜃𞸍.

لحل هذه المسألة، نفترض أن الشكل الخماسي المنتظم يقع على مستوى أرجاند وليس على مستوًى كارتيزي؛ حيث تناظر الإحداثيات الكارتيزية (𞸎،𞸑) العدد المركب 𞸎+𞸑𞸕 في مخطط أرجاند. سنوجد أولًا الأعداد المركبة التي تناظر الرءوس الخمسة للشكل الخماسي المنتظم على مخطط أرجاند. بعد ذلك، يمكننا تحويل الأعداد المركبة إلى إحداثيات المستوى الكارتيزي باستخدام هذه العلاقة. وبما أن لدينا شكلًا خماسيًّا منتظمًا مركزه عند نقطة الأصل، إذن هذا الشكل الخماسي يمكن رسمه داخل دائرة.

ووفقًا لخاصية الجذور المختلفة للعدد المركب، تناظر رءوس هذا الشكل الخماسي على مخطط أرجاند الجذور الخماسية لعدد مركب. هيا نوجد هذا العدد المركب.

نعلم أن أحد الرءوس له الإحداثيات الكارتيزية (٣،٣)، وهو ما يناظر العدد المركب ٣+٣𞸕 في مخطط أرجاند. هذا يعني أن ٣+٣𞸕 جذر خماسي للعدد المركب لدينا، وأن الرءوس الأخرى للشكل الخماسي تمثِّل الجذور الخماسية الأخرى للعدد نفسه. يمكننا إيجاد الجذور الخماسية الأخرى عن طريق حساب (٣+٣𞸕)٥، ثم تطبيق نظرية ديموافر للجذور لإيجاد الجذر الخماسي لهذا العدد، ولكن من السهل استخدام خاصية جذور الأعداد المركبة.

نحن نعلم أن هناك عدد 𞸍 من الأعداد المركبة المختلفة، وهي الجذور ا للعدد المركب المُعطى. مقاييس جميع الجذور ا متساوية، وسعات الجذور ا للعدد المركب تُكوِّن متتابعة حسابية بفرق مشترك ٢𝜋𞸍. في هذا المثال، نعلم أن أحد الجذور الخماسية للعدد المركب يساوي ٣+٣𞸕. ومن ثَمَّ، فإن مقياس هذا العدد المركب هو أيضًا مقياس الجذور الخماسية الأربعة الأخرى للعدد المركب نفسه. وأيضًا، بدءًا من سعة ٣+٣𞸕، يمكننا تكوين متتابعة حسابية ذات فرق مشترك ٢𝜋٥، وتتكوَّن من ٥ حدود للحصول على سعات الجذور الخماسية الأربعة الأخرى.

هيا نوجد مقياس وسعة ٣+٣𞸕. نتذكَّر أن مقياس العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 يُعطى من خلال 󰋴󰏡+𞸁٢٢. يمكننا إيجاد مقياس العدد المركب المُعطى بالتعويض بـ 󰏡=٣، 𞸁=٣، وهو ما يُعطينا: 󰋴٣+٣=󰋴٨١=٣󰋴٢.٢٢

ومن ثَمَّ، فإن مقياس ٣+٣𞸕 يساوي ٣󰋴٢، وهو أيضًا مقياس الجذور الخماسية الأربعة الأخرى.

بعد ذلك، هيا نحسب سعة هذا العدد. نتذكَّر أن سعة العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 الذي يقع في الربع الأول من مخطط أرجاند مُعطاة من خلال ١𞸁󰏡. بما أن 󰏡=٣، 𞸁=٣ كلاهما موجب للعدد المركب المُعطى، فإننا نعلم أن العدد المركب يقع في الربع الأول. بعد ذلك، نحصل على سعته من خلال: ١١󰂔٣٣󰂓=(١)=𝜋٤.

ومن ثَمَّ، فإن سعة ٣+٣𞸕 تساوي 𝜋٤ راديان. يمكننا حساب سعات الجذور الخماسية الأربعة الأخرى بتكوين متتابعة حسابية بدءًا من هذه السعة بفرق مشترك ٢𝜋٥. يمكننا كتابة: 𝜋٤،٣١𝜋٠٢،١٢𝜋٠٢،٩٢𝜋٠٢،٧٣𝜋٠٢.

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع في المدى القياسي ]𝜋،𝜋]. آخر ثلاث سعات أكبر من 𝜋؛ لذا، نطرح دورة كاملة ٢𝜋 راديان من هذه السعات، لكتابة السعات المكافئة ٩١𝜋٠٢ و١١𝜋٠٢ و٣𝜋٠٢ على الترتيب.

وأخيرًا، نتذكَّر أن العدد المركب الذي مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 يمكن التعبير عنه على الصورة القطبية: 𞸓(𝜃+𞸕𝜃).

ومن ثَمَّ، تكون الجذور الخماسية كالآتي: ٣󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓،٣󰋴٢󰂔󰂔٣١𝜋٠٢󰂓+𞸕󰂔٣١𝜋٠٢󰂓󰂓،٣󰋴٢󰂔󰂔٩١𝜋٠٢󰂓+𞸕󰂔٩١𝜋٠٢󰂓󰂓،٣󰋴٢󰂔󰂔١١𝜋٠٢󰂓+𞸕󰂔١١𝜋٠٢󰂓󰂓،٣󰋴٢󰂔󰂔٣𝜋٠٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٠٢󰂓󰂓.

يمكن تبسيط الجذر الأول باستخدام 𝜋٤=𝜋٤=󰋴٢٢. عندما نعوِّض بهذه القيم في الجذر الأول، نحصل على: ٣󰋴٢󰃭󰋴٢٢+𞸕󰋴٢٢󰃬=٣+٣𞸕، وهو الجذر الأول الذي بدأنا به. أما الجذور الأخرى فلا يمكن تبسيطها؛ لأن سعاتها لا تنتمي إلى الزوايا الخاصة بدائرة الوحدة. يمكننا توزيع الضرب على الأقواس لكلٍّ من هذه الجذور لكتابتها على صورة: ٣+٣𞸕،٣󰋴٢󰂔٣١𝜋٠٢󰂓+٣󰋴٢𞸕󰂔٣١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔٩١𝜋٠٢󰂓+٣󰋴٢𞸕󰂔٩١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔١١𝜋٠٢󰂓+٣󰋴٢𞸕󰂔١١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔٣𝜋٠٢󰂓+٣󰋴٢𞸕󰂔٣𝜋٠٢󰂓.

هذه هي رءوس الشكل الخماسي المنتظم على مخطط أرجاند. يمكننا إيجاد الإحداثيات الكارتيزية المكافئة لهذه النقاط بربط كل عدد مركب 𞸎+𞸑𞸕 بالإحداثيات الكارتيزية (𞸎،𞸑).

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات رءوس الشكل الخماسي المنتظم الذي يقع مركزه عند نقطة الأصل ويوجد أحد رءوسه عند (٣،٣) هي: (٣،٣)،󰂔٣󰋴٢󰂔٣١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔٣١𝜋٠٢󰂓󰂓،󰂔٣󰋴٢󰂔٩١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔٩١𝜋٠٢󰂓󰂓،󰂔٣󰋴٢󰂔١١𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔١١𝜋٠٢󰂓󰂓،󰂔٣󰋴٢󰂔٣𝜋٠٢󰂓،٣󰋴٢󰂔٣𝜋٠٢󰂓󰂓.

حتى الآن، تناولنا خواص الجذور المختلفة للعدد المركب. من الأمثلة السابقة، يتضح أنه لأي عدد مركب 𞸏، يكون للمقدار 𞸏١𞸍 عدة قيم ممكنة. وفي الأعداد المركبة، نقول إن هذه المقادير متعددة القيم.

في المثال الأخير، سنحدِّد جميع القيم الممكنة لمقدار متعدد القيم.

مثال ٦: المقادير التي تتضمَّن جذورًا نونية

أوجد القيم الممكنة للمقدار: ١󰋴٣󰂔(𞸕)+(𞸕)󰂓.١٣١٣

الحل

من المقدار المُعطى، نلاحظ الحدين (𞸕)١٣، (𞸕)١٣، وهما الجذران الثلاثيان لـ 𞸕 ومقلوباهما. ونحن نعلم أنه إذا كان لدينا عدد مركب 𞸏، فإن هناك عدد 𞸍 من القيم المختلفة، التي تمثِّل الجذور ا له. وهذا يعني أن المقدار (𞸕)١٣ له ثلاث قيم ممكنة، وأيضًا مقلوبه (𞸕)١٣ له ثلاث قيم ممكنة. هيا أولًا نتعرَّف على جميع القيم الممكنة لهذين المقدارين.

لإيجاد الجذر الثلاثي لـ 𞸕، نتذكَّر نظرية ديموافر للجذور، التي تنص على أنه لأي عدد مركب على الصورة الأسية 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃، تُعطى الجذور ا لـ 𞸏 من خلال: 𞸍𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰋴𞸓𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

لتطبيق هذه الصيغة، علينا أولًا كتابة 𞸕 بالصورة الأسية. تذكَّر أن الصورة الأسية للعدد المركب الذي مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 هي 𞸓𞸤𞸕𝜃. ونحن نعلم أن العدد المركب 𞸕 مقياسه يساوي ١. ونعلم أيضًا أنه يقع على الجزء الموجب من المحور التخيلي في مخطط أرجاند، وهو ما يعني أن سعته تساوي 𝜋٢. ومن ثَمَّ: 𞸕=𞸤.𝜋٢𞸕

بعد ذلك، يمكننا تطبيق نظرية ديموافر؛ حيث 𞸍=٣، لإيجاد القيم الممكنة لـ (𞸕)١٣: ٣𝜋٢+٢𝜋𞸊٣󰋴١𞸤𞸊=٠،١،،𞸍١.𞸕

هذا يُعطينا: (𞸕)󰂚𞸤،𞸤،𞸤󰂙.١٣𝜋٦٥𝜋٦٩𝜋٦𞸕𞸕𞸕

بعد ذلك، هيا نوجد جميع قيم المقدار (𞸕)١٣ الممكنة. يمكننا كتابة: (𞸕)=󰂔(𞸕)󰂓١٣١٣١؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد جميع القيم الممكنة لهذا المقدار برفع كل قيمة لـ (𞸕)١٣ للأس ١. نتذكَّر نظرية ديموافر الخاصة بالقوى الصحيحة للعدد المركب، التي تنص على أن القوة ا للعدد المركب 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃 تُعطى من خلال: 𞸏=𞸓𞸤.𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

بتطبيق هذه النظرية؛ حيث 𞸍=١، لكل ناتج ممكن لـ (𞸕)١٣، نحصل على: (𞸕)󰂚𞸤،𞸤،𞸤󰂙.١٣𝜋٦٥𝜋٦٣𝜋٢𞸕𞸕𞸕

ومن ثَمَّ، توجد ثلاث قيم ممكنة لـ (𞸕)١٣، وثلاث قيم ممكنة لـ (𞸕)١٣. للوهلة الأولى، قد يبدو أن لدينا تسعة احتمالات مختلفة لمجموع هذين المقدارين، لكن قد يكون للمجاميع القيمة نفسها.

لجمع عددين مركبين، يكون من السهل تحويلهما أولًا إلى الصورة الكارتيزية. تذكَّر أنه يمكننا تحويل عدد مركب على الصورة الأسية 𞸓𞸤𞸕𝜃 إلى الصورة الكارتيزية بحساب: 𞸓𝜃+𞸕𞸓𝜃.

ومن ثَمَّ: (𞸕)󰂚𝜋٦+𞸕𝜋٦،٥𝜋٦+𞸕٥𝜋٦،٣𝜋٢+𞸕٣𝜋٢󰂙،(𞸕)󰂚󰂔𝜋٦󰂓+𞸕󰂔𝜋٦󰂓،󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓،󰂔٣𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٢󰂓󰂙.١٣١٣

يمكننا تبسيط مقادير (𞸕)١٣ بتذكَّر المتطابقتين: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

يمكننا كتابة: (𞸕)󰂚𝜋٦𞸕𝜋٦،٥𝜋٦𞸕٥𝜋٦،٣𝜋٢𞸕٣𝜋٢󰂙.١٣

باستخدام دائرة الوحدة، يمكننا إيجاد النسب المثلثية: 𝜋٦=󰋴٣٢،𝜋٦=١٢،٥𝜋٦=󰋴٣٢،٥𝜋٦=١٢،٣𝜋٢=٠،٣𝜋٢=١.

بالتعويض بهذه القيم، نحصل على: (𞸕)󰃳󰋴٣٢+𞸕١٢،󰋴٣٢+𞸕١٢،𞸕󰃲،(𞸕)󰃳󰋴٣٢𞸕١٢،󰋴٣٢𞸕١٢،𞸕󰃲.١٣١٣

يمكننا كتابة التوافيق التسعة المختلفة لإيجاد القيم الممكنة لـ (𞸕)+(𞸕)١٣١٣. يجب أن نتذكَّر أن نضرب الناتج في ١󰋴٣ في النهاية. بعد ذلك، يمكننا حساب المجموع عن طريق إنشاء جدول يحتوي صفه الأول على القيم الممكنة لـ (𞸕)١٣، ويحتوي عموده الأول على القيم الممكنة لـ (𞸕)١٣:

󰋴٣٢+𞸕١٢󰋴٣٢+𞸕١٢𞸕
󰋴٣٢𞸕١٢󰋴٣صفر󰋴٣٢𞸕٣٢
󰋴٣٢𞸕١٢صفر󰋴٣󰋴٣٢𞸕٣٢
𞸕󰋴٣٢+𞸕٣٢󰋴٣٢+𞸕٣٢صفر

هذا يُعطينا سبع قيم مختلفة للمجموع، وهي: ٠،󰋴٣،󰋴٣،󰋴٣٢+𞸕٣٢،󰋴٣٢𞸕٣٢،󰋴٣٢+𞸕٣٢،󰋴٣٢𞸕٣٢.

بضرب كل عدد في ١󰋴٣، فإن جميع القيم الممكنة للمقدار المتعدد القيم المُعطى هي: ٠،١،١،١٢+𞸕󰋴٣٢،١٢𞸕󰋴٣٢،١٢+𞸕󰋴٣٢،١٢𞸕󰋴٣٢.

هيا نلخِّص الآن النقاط التي تعلَّمناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • أي عدد مركب غير صفري 𞸏 له عدد 𞸍 من القيم المختلفة للمقدار 𞸏١𞸍، التي تُسمَّى الجذور ا لـ 𞸏. يمكننا إيجاد الجذور ا لعدد مركب عن طريق تطبيق نظرية ديموافر للجذور.
  • في مخطط أرجاند، الجذور التي عددها 𞸍 لعدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 تُكوِّن رءوس مضلع منتظم له عدد 𞸍 من الأضلاع مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 𞸍󰋴𞸓؛ حيث أحد الرءوس هو النقطة التي عند السعة 𝜃𞸍 على الدائرة.
  • يمكن الحصول على الجذور ا لعدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 بضرب كلٍّ من الجذور ا للعدد واحد في 𞸍𝜃𞸍󰋴𞸓𞸤𞸕.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.