فيديو السؤال: إيجاد السعة الأساسية لعدد مركب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ عددًا مركبًا، والسعة الأساسية لـ ﻉ هي 𝜃 يساوي ١١‏𝜋‏ على ١٢، فأوجد السعة الأساسية لـ ١٠ﻉ.

تذكر أن سعة العدد المركب تصف الزاوية التي تكونها القطعة المستقيمة التي تصل بين العدد المركب ونقطة الأصل مع المحور الحقيقي الموجب. وبما أن هذا يقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن سعة ١١‏𝜋‏ على ١٢ راديان ستناظر عددًا مركبًا مرسومًا في الربع الثاني. إذن ما الذي نعنيه عندما نتحدث عن السعة الأساسية لعدد مركب؟ تقتصر السعة الأساسية لأي عدد مركب على الفترة المفتوحة-المغلقة من سالب ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏ راديان. إذن بمعلومية أي سعة، خاصة تلك الأكبر من ‏𝜋‏ أو أقل من سالب ‏𝜋‏، فيمكننا جمع مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ أو طرحها للتأكد من أن السعة تقع ضمن مدى السعة الأساسية.

علمنا من المعطيات أن السعة الأساسية لـ ﻉ تساوي ١١‏𝜋‏ على ١٢. لكن ما المقصود بالسعة الأساسية لـ ١٠ﻉ؟ هيا نبدأ بالنظر إلى الطريقة الجبرية ثم سنتناول التمثيل الهندسي. هيا نتخيل أن لدينا العدد المركب على الصورة الأسية: ﻉ يساوي ﻝﻫ أس ﺕ𝜃. والآن 𝜃 هنا هي السعة، وﻝ هو مقدار العدد المركب أو مقياسه. وهذا يمثل ببساطة المسافة التي تقع عندها النقطة على المستوى المركب من نقطة الأصل. ماذا يحدث عند ضرب هذا العدد المركب في ١٠؟ نضرب التعبير كله ﻝﻫ أس ﺕ𝜃 في ١٠. إذن ١٠ﻉ يساوي ١٠ﻝﻫ أس ﺕ𝜃.

نلاحظ أن قيمة 𝜃 تظل كما هي دون تغيير بضرب التعبير بالكامل في ١٠. وبالتالي، إذا كانت سعة العدد المركب ﻉ هي قيمة 𝜃، فإن ضرب التعبير بالكامل في ثابت لا يغير السعة. إذن سعة ١٠ﻉ تساوي ١١‏𝜋‏ على ١٢. سيكون هذا منطقيًّا للغاية إذا فكرنا في ذلك هندسيًّا. تخيل أننا سنرسم العدد المركب ١٠ﻉ على المستوى المركب. وهذا في الواقع هو تمدد على المستوى المركب بمعامل قياس يساوي ١٠. ولا يؤثر هذا على السعة، بل يؤثر على مقدار العدد المركب أو مقياسه. في كلتا الحالتين، أوضحنا أن سعة ١٠ﻉ تساوي ١١‏𝜋‏ على ١٢.