فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت الدالة المعطاة دالة أحادية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

هل الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد سبعة ﺱ تربيع زائد خمسة؛ حيث ﺱ عنصر ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، دالة أحادية؟

في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩﺱ، وهي دالة تكعيبية كثيرة الحدود. لدينا أيضًا مجال هذه الدالة. وهو جميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. علينا استخدام هذه المعطيات لتحديد إذا ما كانت الدالة ﺩﺱ دالة أحادية. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالدالة الأحادية. إنها دالة يناظر فيها كل عنصر من عناصر مدى الدالة عنصرًا واحدًا من مجال الدالة.

هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أنه إذا كان لدينا ﺩ عند ﺱ واحد يساوي ﺩ عند ﺱ اثنين لأي قيمتين ﺱ واحد وﺱ اثنين في مجال ﺩ، فلا بد أن يكون ﺱ واحد مساويًا لـ ﺱ اثنين. نريد تحديد إذا ما كانت هذه الخاصية تنطبق على الدالة ﺩﺱ من خلال المجال المعطى في السؤال. وهناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا اتباعها. على سبيل المثال، يمكننا جعل ﺩ عند ﺱ واحد يساوي ﺩ عند ﺱ اثنين. وعندئذ، يمكننا إما محاولة توضيح أن ﺱ واحدًا لا بد أن يساوي ﺱ اثنين، أو محاولة إيجاد قيمتين لا ينطبق عليهما ذلك.

وعلى الرغم من أن هذه الطريقة صحيحة، فإنها ستكون صعبة جدًّا لأن الدالة لدينا دالة تكعيبية كثيرة الحدود. لذا، بدلًا من ذلك، سنقوم بتمثيل ﺩﺱ بيانيًّا. لتمثيل الدالة ﺩﺱ، نلاحظ أنها دالة تكعيبية كثيرة الحدود بمعامل رئيسي موجب. لكن هذه المعطيات غير كافية لرسم المنحنى بالكامل. يمكننا، على سبيل المثال، أن نحلل كثيرة الحدود هذه لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ، لكن هذا ليس ضروريًّا.

بدلًا من ذلك، سنوجد النقاط الحرجة للدالة باستخدام الاشتقاق. ونتذكر أن هذه هي الحالة التي تكون فيها مشتقة الدالة تساوي صفرًا. وبما أن ﺩﺱ كثيرة حدود، يمكننا إجراء هذا حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، التي تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، فإن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب ذلك في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. ونطبق ذلك على كل حد على حدة. في الحد الأول، أس ﺱ هو ثلاثة. نضرب في هذا الأس، ونطرح واحدًا من الأس. فنحصل على ستة ﺱ تربيع. في الحد الثاني، أس ﺱ هو اثنان. نضرب في الأس اثنين هذا، ونطرح واحدًا من الأس. وبذلك نحصل على ١٤ﺱ أس واحد، وهو ما يساوي ١٤ﺱ فقط.

يمكننا اشتقاق الحد الثالث والأخير باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. لكن هذا الحد عبارة عن ثابت. فهو لا يتغير بتغير ﺱ. إذن، مشتقته تساوي صفرًا. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ يساوي ستة ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ. نريد إيجاد النقاط الحرجة. لذا، علينا إيجاد قيم ﺱ التي تساوي صفرًا. علينا حل صفر يساوي ستة ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ. ويمكننا فعل ذلك من خلال أخذ العامل المشترك اثنين ﺱ من حدي الطرف الأيسر من هذه المعادلة. هذا يعطينا صفرًا يساوي اثنين ﺱ مضروبًا في ثلاثة ﺱ زائد سبعة.

وأخيرًا، لكي يكون حاصل الضرب مساويًا لصفر، يجب أن يكون أحد العوامل مساويًا لصفر. إذن، إما ﺱ يساوي صفرًا، أو ﺱ يساوي سالب سبعة على ثلاثة. هذه المعطيات كافية لرسم الشكل العام للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. فهو دالة تكعيبية كثيرة الحدود بحد رئيسي موجب، ولها نقطتان حرجتان فقط. النقطة الحرجة على اليسار عند ﺱ يساوي سالب سبعة على ثلاثة ستكون قيمة عظمى محلية، والنقطة الحرجة عند ﺱ يساوي صفرًا ستكون قيمة صغرى محلية. وهذا يكفي لإثبات أن ﺩﺱ ليست دالة أحادية. ويمكننا فعل ذلك مباشرة عن طريق هذا الشكل.

يمكننا فعل ذلك باختيار أي قيمة بين ﺩ عند صفر، وﺩ عند سالب سبعة على ثلاثة. على سبيل المثال، يمكننا رسم الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺩ عند صفر على هذا الشكل. نلاحظ أن الخط المستقيم يقطع المنحنى عند نقطتين مختلفتين. وفي الواقع، نحن نعلم أن هذا صحيح. فعند ﺱ يساوي صفرًا، يكون للدالة قيمة صغرى محلية، وتصل إلى قيمة عظمى محلية عند ﺱ يساوي سالب سبعة على ثلاثة. ولكنها دالة تكعيبية كثيرة الحدود. إذن، عندما يقترب ﺱ من سالب ∞، فإن مخرجات الدالة تقترب من سالب ∞. لذا، لا بد من وجود نقطتي تقاطع بين الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺩ عند صفر، والمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ.

هذا مجرد تطبيق لاختبار الخط الأفقي. لذا دعونا نسم الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع الأولى ﺱ واحدًا، والإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع الثانية ﺱ اثنين. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن ﺩ عند ﺱ واحد تساوي ﺩ عند ﺱ اثنين؛ لأن إحداثيات ﺹ لها متساوية في الشكل. لكن ﺱ واحدًا لا يساوي ﺱ اثنين؛ لأنهما نقطتان مختلفتان.

إذن، استطعنا الإجابة عن السؤال بـ «لا»؛ فليس صحيحًا أن الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد سبعة ﺱ تربيع زائد خمسة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ دالة أحادية.