شارح الدرس: الدوال الأحادية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: مجموع دالتين أحاديتين

صواب أم خطأ: إذا كانت ، دالتين أحاديتين، فإن يجب أن تكون دالة أحادية؟

الحل

سنثبت أن العبارة خاطئة من خلال مثال معاكس.

نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. على المخططات السهمية، يعني هذا أن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط.

انظر إلى الدالتين ، اللتين يمثلهما المخططان السهميان أدناه:

الدالتان ، أحاديتان لأن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط من عناصر المجال. وبجمع ، نحصل على المخطط التالي.

بملاحظة أن عناصر المدى الثلاثة متساوية، يبدو المخطط السهمي للدالة بالشكل أدناه.

نرى أن عنصر المدى ١٠ يشير إليه ٣ أسهم، وهذا يعني أن عنصر المدى يناظر أكثر من عنصر من عناصر المجال. ومن ثم، فإن الدالة ليست أحادية.

وبذلك نكون قد أثبتنا باستخدام مثال معاكس أن العبارة المعطاة خاطئة.

مثال ٢: تحديد الدوال الأحادية من خلال تمثيلها البياني

هل الدالة الموضَّحة في التمثيل البياني التالي دالة أحادية؟

الحل

نتذكر اختبار الخط الأفقي، الذي ينص على أن الدالة تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إذا كان منحناها يتقاطع مع كل خط أفقي مرة واحدة على الأكثر. هيا نطبق اختبار الخط الأفقي على التمثيل البياني المُعطى.

في الشكل أعلاه، رسمنا خطًا أفقيًا يتقاطع مع المنحنى عند ثلاث نقاط مختلفة، وهي عندما ، وعندما يقترب من ٠، وعندما . وهذا يعني أن الدالة لا تحقق اختبار الخط الأفقي.

إذن، الدالة المعطاة ليست أحادية.

مثال ٣: تحديد الدوال الأحادية من خلال تمثيلها البياني

أيُّ المنحنيات الموضَّحة على التمثيل البياني التالي يُمثِّل دالة أحادية؟

الحل

نتذكر اختبار الخط الأفقي الذي ينص على أن الدالة لا تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إلا إذا تقاطع منحناها مع كل خط مستقيم أفقي مرة واحدة على الأكثر.

لنبدأ بالمنحنى الأحمر. هدفنا هنا رسم خط أفقي يقطع المنحنى أكثر من مرة، إن أمكن، كي نوضح بذلك أن الدالة ليست أحادية.

في الشكل أعلاه، رسمنا خطًا أفقيًا يقطع المنحنى الأحمر مرتين. إذن، الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأحمر ليست دالة أحادية.

وبالمثل، في الشكل الثاني، تمكننا من رسم خط أفقي يقطع المنحنى الأخضر ثلاث مرات. ومن ثم، فإن الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأخضر ليست دالة أحادية أيضًا.

في الشكل الثالث، رسمنا خطًا أفقيًا يقطع المنحنى الأصفر مرتين، إذن وفقًا لاختبار الخط الأفقي، الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأصفر ليست دالة أحادية.

وأخيرًا، في الشكل الرابع، رسمنا العديد من الخطوط الأفقية بحثًا عن خط يقطع المنحنى الأزرق أكثر من مرة، لكننا لم نتمكن من إيجاد أي خط يحقق ذلك. وبتحريك مسطرة أفقيًا أعلى المنحنى وأسفله، تأكدنا من عدم وجود مثل هذا الخط الأفقي. فكل خط أفقي يقطع المنحنى الأزرق مرة واحدة على الأكثر، إذن وفقًا لاختبار الخط الأفقي، فإن الدالة التي يُمثِّلها المنحنى الأزرق دالة أحادية.

ومن ثم، فإن المنحنى الأزرق فقط هو الذي يُمثِّل دالة أحادية.

مثال ٤: تحديد الدوال الأحادية

أيُّ ممَّا يلي دالة أحادية؟

الحل

نتذكر أن الدالة تكون غير أحادية إذا كان هناك قيمتا مختلفتين من قيم المجال، لنفترض أنهما ، ، تحققان

هيا نطبق هذا الشرط على كل خيار من الخيارات الممكنة.

1. هي دالة القيمة المطلقة. ونحن نعلم أن العددين المتساويين لكن لهما إشارتين مختلفتين يكون لهما القيمة المطلقة نفسها. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن ، ، فإن وبما أن ، إذن ليست دالة أحادية.
2. دالة مربعة. وكما هو الحال في دالة القيمة المطلقة، فإن العددين المتساويين لكن لهما إشارتين مختلفتين يكون مربعيهما متساويين. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن ، ، فإن: وبما أن ، إذن ليست دالة أحادية.
3. دالة ثابتة. أيًا كان العدد الذي ندخله في الدالة الثابتة، فإن القيمة المخرجة تظل دائمًا كما هي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن ، ، فإن: وبما أن ، إذن ليست دالة أحادية.
4. نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان الشرطان ، وأن ، ينتميان إلى مجال ، يعنيان ضمنيًا أن .
   نفترض أن للدالة .إذن،
   وبطرح ٢ من كلا طرفي المعادلة، نجد أن هذا الشرط يعني ضمنيًا أن .ويخبرنا هذا أن العلاقة غير ممكنة إلا عند .إذن في هذه الحالة، هي دالة أحادية.

ومن ثم، الدالة الأحادية الوحيدة من بين الدوال المعطاة هي (د).

مثال ٥: تحديد الدوال الأحادية ذات المجالات المحددة

أيُّ الاختيارات الآتية لا يُعَدُّ دالة أحادية على الفترة ؟

الحل

نتذكر أن الدالة تكون دالة أحادية إذا كان الشرطان الآتيان:

• ،
• ، ينتميان إلى مجال

يعنيان ضمنيًا أن . من ناحية أخرى، يمكننا قول أن دالة غير أحادية إذا وجدنا قيمتي ، مختلفتين في مجالها، حيث ، تحققان:

هيا نرى مدى تحقق هذا الشرط في الخيارات المعطاة.

1. هي دالة القيمة المطلقة. لاحظ أن مجال الدالة محدد على الفترة في هذا المثال؛ حيث .إذا كان فسنلاحظ أن: ومن ثم إذا كان ، ، فلا بد أن يكون . وهذا يعني ضمنيًا أن دالة أحادية على الفترة .
2. دالة مربعة. إذا كان ، فإن: يمكننا تحليل هذه المعادلة باستخدام صيغة الفرق بين مربعين، لأي ثابت ، : إذن، المعادلة يمكن كتابتها على الصورة: ولكي تكون المعادلة الأخيرة صحيحة، لا بد أن يكون: وبما أن ، يقعان ضمن الفترة ، وبالتالي فهما ليسا سالبين، تكون المعادلة الثانية ممكنة فقط إذا كان ، يساويان صفرًا. من ناحية أخرى، المعادلة الأولى تعني ضمنيًا أن .وفي كلتا الحالتين، لا بد أن يكون .ومن ثم، تكون دالة أحادية على الفترة.
3. دالة ثابتة. وأيًا كان العدد الذي ندخله في دالة ثابتة، تظل القيمة المخرجة دائمًا كما هي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن ، ، فإن: وبما أن ، و فإن الدالة ليست دالة أحادية على الفترة .
4. افترض أن للدالة.إذن، بطرح ٤ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على: بقسمة طرفي هذه المعادلة على ٢، نحصل على. وهذا صحيح لأي ، في ، إذن، لا بد أن ينطبق ذلك على .وعليه، تكون الدالة دالة أحادية على الفترة .
5. افترض أن للدالة.إذن، بما أن ، إذن مقامي طرفي المعادلة موجبان. بضرب المعادلة تبادليًا نحصل على: بطرح ١ من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا: ومن ثم، فإن دالة أحادية على الفترة .

وبذلك، تكون الدالة غير الأحادية على الفترة من ضمن الدوال المعطاة هي ؛ أي الاختيار (ج).

مثال ٦: تحديد ما إذا كانت دالة مثلثية أحادية أم لا

حدِّد إذا ما كانت الدالة أحادية في كلٍّ من الحالات الآتية.

الحل

لعلنا نتذكر اختبار الخط الأفقي، الذي ينص على أن الدالة تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إذا تقاطع منحناها مع كل خط أفقي مرة واحدة على الأكثر.

نبدأ بتمثيل الدالة بيانيًا بدقة. نعرف أن دالة دورية دورتها . ونعرف أيضًا أن عند ، عند . إذن، منحنى سيكون بهذا الشكل.

هيا نطبق اختبار الخط الأفقي على هذا المنحنى.

بما أن الخط الأفقي المرسوم يقطع المنحنى أكثر من مرة في الفترة الموضحة، نستنتج أن الدالة غير أحادية لكل . في الحقيقة، نلاحظ أن الخط المستقيم على يقطع المنحنى عدد لا نهائي من المرات لأن دالة دورية.

من ناحية أخرى، إذا حددنا المجال ليكون ، فسيكون لدينا المنحنى التالي.

نطبق اختبار الخط الأفقي على هذا المنحنى.

بتحريك مسطرة أفقيًا لأعلى المنحنى وأسفله، يمكننا ملاحظة أن أي خط أفقي يقطع المنحنى مرة واحدة على الأكثر. ومن ثم تكون الدالة دالة أحادية لكل .

وعليه، تكون الدالة غير أحادية لكل ولكنها أحادية لكل .