الشارح للدرس: الدوال الأحادية | نجوى الشارح للدرس: الدوال الأحادية | نجوى

الشارح للدرس: الدوال الأحادية الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد إذا ما كانت الدالة دالة أحادية (دالة واحد لواحد).

نتذكر أن تعريف الدالة يتطلب اقتران كل عنصر من عناصر مجالها بعنصر واحد فقط من مداها. ولكي تكون الدالة أحادية، يجب أن يتحقق هذا الشرط أيضًا لكن مع عكس أدوار عناصر المجال والمدى.

تعريف: الدالة الأحادية

تكون الدالة أحادية، أو دالة واحد لواحد، إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر مجالها.

إذن، بالإضافة إلى شرط تعريف الدالة، يمكننا القول إنه لا بد أن توجد علاقة تناظر أحادي بين كل عنصر من عناصر المجال وعنصر واحد فقط من عناصر مدى الدالة الأحادية. ولهذا السبب نشير إلى الدالة الأحادية أيضًا بدالة واحد لواحد.

في الشكل بالأعلى لدينا دالتان 󰎨، 𞸓 يصفهما المخططان السهميان. الدالة 󰎨 يتكون مداها من العنصرين (٤، ٥). وفي حين أن عنصر المدى ٤ يشير إليه سهم واحد فقط؛ حيث يناظر عنصر المجال ٣، فإن عنصر المدى ٥ يشير إليه سهمان مختلفان؛ حيث يناظر عنصري المجال ١، ٢. وبما أن كل عنصر من عناصر المدى يجب أن يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر مجال الدالة في حالة الدالة الأحادية، إذن يمكننا القول إن 󰎨 ليست دالة أحادية. على الجانب الآخر، كل عنصر من عناصر مدى الدالة 𞸓 يشير إليه سهم واحد فقط؛ أي يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. إذن، الدالة 𞸓 دالة أحادية.

هيا نتناول ذلك من خلال مثال نستخدم فيه المخططات السهمية للدوال لتحديد ما إذا كانت أحادية أم لا.

مثال ١: مجموع دالتين أحاديتين

صواب أم خطأ: إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين أحاديتين، فإن 󰎨+𞸓 يجب أن تكون دالة أحادية؟

الحل

سنثبت أن العبارة خاطئة من خلال مثال معاكس.

نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. على المخططات السهمية، يعني هذا أن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط.

انظر إلى الدالتين 󰎨، 𞸓 اللتين يمثلهما المخططان السهميان أدناه:

الدالتان 󰎨، 𞸓 أحاديتان لأن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط من عناصر المجال. وبجمع 󰎨، 𞸓 نحصل على المخطط التالي.

بملاحظة أن عناصر المدى الثلاثة متساوية، يبدو المخطط السهمي للدالة 󰎨+𞸓 بالشكل أدناه.

نرى أن عنصر المدى ١٠ يشير إليه ٣ أسهم، وهذا يعني أن عنصر المدى يناظر أكثر من عنصر من عناصر المجال. ومن ثم، فإن الدالة 󰎨+𞸓 ليست أحادية.

وبذلك نكون قد أثبتنا باستخدام مثال معاكس أن العبارة المعطاة خاطئة.

يمكننا أن نُحدِّد ما إذا كانت الدوال أحادية بسهولة من مخططاتها السهمية، ولكن كيف يمكننا تحديد ذلك من تمثيلاتها البيانية على المستوى 𞸎𞸑؟ نعلم أن مدى الدالة هو القيم المقابلة لمنحنى الدالة على المحور الرأسي، بينما المجال هو القيم المقابلة للمنحنى على المحور الأفقي. وبما أنه في الدالة الأحادية يجب أن يقترن كل عنصر من عناصر المدى بعنصر واحد من عناصر المجال، إذن لا بد أن تقترن كل نقطة من نقاط مجال الدالة على المحور الأفقي بنقطة واحدة فقط من نقاط مداها على المحور الرأسي.

ويمكننا اختبار تحقق هذا الشرط عن طريق رسم خط مستقيم أفقي لكل عنصر من عناصر المدى وملاحظة عدد المرات التي يتقاطع فيها المنحنى مع هذا المستقيم. إذا تقاطع الخط الأفقي مع منحنى الدالة أكثر من مرة واحدة، فإن عنصر المدى هذا يقترن بأكثر من عنصر من عناصر المجال. في هذه الحالة، لن تكون الدالة أحادية. هيا نلق نظرة على مثالين.

للدالة 󰎨 في الشكل الأول، يمكننا رسم خط مستقيم أفقي لعنصر المدى ٢ وهو يتقاطع مع منحنى الدالة 󰎨 أكثر من مرة. بتعبير أدق، عنصر المدى ٢ يناظر ٣ عناصر مختلفة من عناصر المجال وهي ٢، ٠، ٣. ومن ثم، الدالة 󰎨 ليست أحادية. من ناحية أخرى، نلاحظ أن أي خط أفقي مرسوم يمر بمنحنى الدالة 𞸓 في الشكل الثاني يتقاطع مع المنحنى عند نقطة واحدة فقط. بتحريك مسطرة أفقيًا لأعلى التمثيل البياني ولأسفله، نتأكد من أنه لا يوجد خط أفقي يتقاطع مع المنحنى أكثر من مرة واحدة. وهذا يعني أن كل عنصر من عناصر مدى الدالة 𞸓 يناظر عنصر مجال واحد فقط. وعليه، فإن الدالة 𞸓 أحادية. تسمى هذه العملية اختبار الخط الأفقي.

نظرية: اختبار الخط الأفقي

تكون الدالة أحادية، أو دالة واحد لواحد، إذا كان كل خط أفقي يتقاطع مع منحنى الدالة مرة واحدة على الأكثر.

تكون الدالة غير أحادية، أو ليست دالة واحد لواحد، في حالة وجود خط أفقي يتقاطع مع منحنى الدالة أكثر من مرة.

يشبه هذا اختبار الخط الرأسي الذي يُستخدَم للتحقق من تعريف الدالة. ولكن بدلًا من الخطوط الرأسية، نستخدم الخطوط الأفقية للتأكد مما إذا كانت الدالة تحقق شرط تعريف الدالة الأحادية، أو دالة الواحد لواحد، أم لا.

ونلاحظ أننا لا نذكر مدى الدالة مطلقًا في اختبار الخط الأفقي. إذا كان الخط الأفقي المعطى لا ينتمي إلى عنصر من عناصر المدى، فإنه لن يتقاطع مع منحنى الدالة، ومن ثم فإن الخط الأفقي قد لا يتقاطع مطلقًا في أي مرة مع منحنى الدالة الأحادية. بعبارة أخرى، الشرط الذي يجعل الدالة أحادية هو أن يتقاطع منحنى الدالة مع كل خط أفقي «مرة واحدة على الأكثر».

هيا نلق نظرة على بعض الأمثلة التي نستخدم فيها اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كانت الدالة أحادية أم لا.

مثال ٢: تحديد الدوال الأحادية من خلال تمثيلها البياني

هل الدالة الموضَّحة في التمثيل البياني التالي دالة أحادية؟

الحل

نتذكر اختبار الخط الأفقي، الذي ينص على أن الدالة تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إذا كان منحناها يتقاطع مع كل خط أفقي مرة واحدة على الأكثر. هيا نطبق اختبار الخط الأفقي على التمثيل البياني المُعطى.

في الشكل أعلاه، رسمنا خطًا أفقيًا يتقاطع مع المنحنى عند ثلاث نقاط مختلفة، وهي عندما 𞸎٣، وعندما 𞸎 يقترب من ٠، وعندما 𞸎٣. وهذا يعني أن الدالة لا تحقق اختبار الخط الأفقي.

إذن، الدالة المعطاة ليست أحادية.

دعونا نتناول مثالًا آخر على تطبيق اختبار الخط الأفقي لنصبح على دراية أكثر بالسياقات المختلفة.

مثال ٣: تحديد الدوال الأحادية من خلال تمثيلها البياني

أيُّ المنحنيات الموضَّحة على التمثيل البياني التالي يُمثِّل دالة أحادية؟

الحل

نتذكر اختبار الخط الأفقي الذي ينص على أن الدالة لا تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إلا إذا تقاطع منحناها مع كل خط مستقيم أفقي مرة واحدة على الأكثر.

لنبدأ بالمنحنى الأحمر. هدفنا هنا رسم خط أفقي يقطع المنحنى أكثر من مرة، إن أمكن، كي نوضح بذلك أن الدالة ليست أحادية.

في الشكل أعلاه، رسمنا خطًا أفقيًا يقطع المنحنى الأحمر مرتين. إذن، الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأحمر ليست دالة أحادية.

وبالمثل، في الشكل الثاني، تمكننا من رسم خط أفقي يقطع المنحنى الأخضر ثلاث مرات. ومن ثم، فإن الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأخضر ليست دالة أحادية أيضًا.

في الشكل الثالث، رسمنا خطًا أفقيًا يقطع المنحنى الأصفر مرتين، إذن وفقًا لاختبار الخط الأفقي، الدالة المُمثَّلة بالمنحنى الأصفر ليست دالة أحادية.

وأخيرًا، في الشكل الرابع، رسمنا العديد من الخطوط الأفقية بحثًا عن خط يقطع المنحنى الأزرق أكثر من مرة، لكننا لم نتمكن من إيجاد أي خط يحقق ذلك. وبتحريك مسطرة أفقيًا أعلى المنحنى وأسفله، تأكدنا من عدم وجود مثل هذا الخط الأفقي. فكل خط أفقي يقطع المنحنى الأزرق مرة واحدة على الأكثر، إذن وفقًا لاختبار الخط الأفقي، فإن الدالة التي يُمثِّلها المنحنى الأزرق دالة أحادية.

ومن ثم، فإن المنحنى الأزرق فقط هو الذي يُمثِّل دالة أحادية.

في المثالين السابقين، استخدمنا اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان المنحنى المُعطى يُمثِّل دالة أحادية أم لا. لكن إذا كان لدينا مقادير جبرية للدوال بدلًا من التمثيلات البيانية، فلن يكون اختبار الخط الأفقي الطريقة المثلى التي يمكننا تطبيقها لأنه يتطلب وجود تمثيل بياني دقيق.

لكن من ناحية أخرى، يمكننا تطبيق اختبار الخط الأفقي جبريًا بالطريقة التالية. في اختبار الخط الأفقي، نبحث عن خط أفقي يقطع منحنى الدالة عند أكثر من نقطة. انظر إلى تطبيق اختبار الخط الأفقي على الدالة 󰎨 في التمثيل البياني التالي.

بما أنه يوجد خط أفقي كهذا، أي خط يتقاطع مع المنحنى عند أكثر من نقطة، فإن هناك قيمتين على الأقل، نسميهما 𞸎١ و𞸎٢ على سبيل المثال، لقيمة واحدة وهي 𞸑٠، حيث 󰎨󰁓𞸎󰁒=𞸑󰎨󰁓𞸎󰁒=𞸑.١٠٢٠،

كما يتضح من التمثيل البياني أعلاه، قد توجد أكثر من قيمتين لـ 𞸎 تناظر قيمة 𞸑 واحدة، ومع ذلك، ليس علينا سوى إيجاد نقطتين فقط من هذه النقاط؛ حيث تكون قيمتا 𞸎 مناظرتين لقيمة 𞸑 نفسها، وذلك لنتأكد أن الدالة المُعطاة ليست دالة أحادية. ونوضح ذلك بالطريقة التالية.

كيفية تحديد الدوال الأحادية جبريًا

بمعلومية المقدار الجبري للدالة 󰎨،

  • إذا كان هناك قيمتا 𞸎 مختلفتين من المجال، 𞸎١، 𞸎٢، وتحققان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، فإن 󰎨 ليست دالة أحادية؛
  • تكون الدالة 󰎨 دالة أحادية إذا كان الشرطان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، وأن 𞸎١، 𞸎٢ ينتميان إلى المجال، يعنيان ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢.

هيا نتناول مثالًا نحدد فيه الدوال الأحادية من مقاديرها الجبرية.

مثال ٤: تحديد الدوال الأحادية

أيُّ ممَّا يلي دالة أحادية؟

  1. 󰎨(𞸎)=|𞸎|
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢
  3. 󰎨(𞸎)=٥
  4. 󰎨(𞸎)=𞸎+٢

الحل

نتذكر أن الدالة 󰎨 تكون غير أحادية إذا كان هناك قيمتا 𞸎 مختلفتين من قيم المجال، لنفترض أنهما 𞸎١، 𞸎٢، تحققان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒.١٢

هيا نطبق هذا الشرط على كل خيار من الخيارات الممكنة.

  1. 󰎨(𞸎)=|𞸎| هي دالة القيمة المطلقة. ونحن نعلم أن العددين المتساويين لكن لهما إشارتين مختلفتين يكون لهما القيمة المطلقة نفسها. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸎=١١، 𞸎=١٢، فإن 󰎨(١)=|١|=١،󰎨(١)=|١|=١. وبما أن 󰎨(١)=󰎨(١)، إذن 󰎨(𞸎)=|𞸎| ليست دالة أحادية.
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢ دالة مربعة. وكما هو الحال في دالة القيمة المطلقة، فإن العددين المتساويين لكن لهما إشارتين مختلفتين يكون مربعيهما متساويين. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸎=١١، 𞸎=١٢، فإن: 󰎨(١)=(١)=١،󰎨(١)=(١)=١.٢٢ وبما أن 󰎨(١)=󰎨(١)، إذن 󰎨(𞸎)=𞸎٢ ليست دالة أحادية.
  3. 󰎨(𞸎)=٥ دالة ثابتة. أيًا كان العدد الذي ندخله في الدالة الثابتة، فإن القيمة المخرجة تظل دائمًا كما هي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸎=١١، 𞸎=١٢، فإن: 󰎨(١)=٥،󰎨(١)=٥. وبما أن 󰎨(١)=󰎨(١)، إذن 󰎨(𞸎)=٥ ليست دالة أحادية.
  4. نتذكر أن الدالة 󰎨 تكون أحادية إذا كان الشرطان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، وأن 𞸎١، 𞸎٢ ينتميان إلى مجال 󰎨، يعنيان ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢.
    نفترض أن 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢ للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢.إذن، 𞸎+٢=𞸎+٢.١٢
    وبطرح ٢ من كلا طرفي المعادلة، نجد أن هذا الشرط يعني ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢.ويخبرنا هذا أن العلاقة 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢ غير ممكنة إلا عند 𞸎=𞸎١٢.إذن في هذه الحالة، 󰎨(𞸎)=𞸎+٢ هي دالة أحادية.

ومن ثم، الدالة الأحادية الوحيدة من بين الدوال المعطاة هي (د).

دعونا نتناول مثالًا نحدد فيه الدوال الأحادية ذات المجالات المحددة.

مثال ٥: تحديد الدوال الأحادية ذات المجالات المحددة

أيُّ الاختيارات الآتية لا يُعَدُّ دالة أحادية على الفترة [٠،[؟

  1. 󰎨(𞸎)=|𞸎|
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢
  3. 󰎨(𞸎)=٠١
  4. 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤
  5. 󰎨(𞸎)=١𞸎+١

الحل

نتذكر أن الدالة 󰎨 تكون دالة أحادية إذا كان الشرطان الآتيان:

  • 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢،
  • 𞸎١، 𞸎٢ ينتميان إلى مجال 󰎨

يعنيان ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢. من ناحية أخرى، يمكننا قول أن 󰎨 دالة غير أحادية إذا وجدنا قيمتي 𞸎١، 𞸎٢ مختلفتين في مجالها، حيث 𞸎𞸎١٢، تحققان: 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒.١٢

هيا نرى مدى تحقق هذا الشرط في الخيارات المعطاة.

  1. 󰎨(𞸎)=|𞸎| هي دالة القيمة المطلقة. لاحظ أن مجال الدالة محدد على الفترة [٠،[ في هذا المثال؛ حيث 𞸎٠.إذا كان 𞸎،𞸎[٠،[١٢ فسنلاحظ أن: 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰍸𞸎󰍸=𞸎،󰎨󰁓𞸎󰁒=󰍸𞸎󰍸=𞸎.١١١٢٢٢ ومن ثم إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، 𞸎،𞸎[٠،[١٢، فلا بد أن يكون 𞸎=𞸎١٢. وهذا يعني ضمنيًا أن 󰎨(𞸎)=|𞸎| دالة أحادية على الفترة [٠،[.
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢ دالة مربعة. إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، فإن: 𞸎=𞸎.٢١٢٢ يمكننا تحليل هذه المعادلة باستخدام صيغة الفرق بين مربعين، لأي ثابت 󰏡، 𞸁: 󰏡𞸁=(󰏡𞸁)(󰏡+𞸁).٢٢ إذن، المعادلة 𞸎=𞸎٢١٢٢ يمكن كتابتها على الصورة: 𞸎𞸎=٠󰁓𞸎𞸎󰁒󰁓𞸎+𞸎󰁒=٠.٢١٢٢١٢١٢ ولكي تكون المعادلة الأخيرة صحيحة، لا بد أن يكون: 𞸎𞸎=٠𞸎+𞸎=٠.١٢١٢أو وبما أن 𞸎١، 𞸎٢ يقعان ضمن الفترة [٠،[، وبالتالي فهما ليسا سالبين، تكون المعادلة الثانية 𞸎+𞸎=٠١٢ ممكنة فقط إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ يساويان صفرًا. من ناحية أخرى، المعادلة الأولى تعني ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢.وفي كلتا الحالتين، لا بد أن يكون 𞸎=𞸎١٢.ومن ثم، تكون 󰎨(𞸎)=𞸎٢ دالة أحادية على الفترة[٠،[.
  3. 󰎨(𞸎)=٠١ دالة ثابتة. وأيًا كان العدد الذي ندخله في دالة ثابتة، تظل القيمة المخرجة دائمًا كما هي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸎=٠١، 𞸎=١٢، فإن: 󰎨(٠)=٠١،󰎨(١)=٠١. وبما أن 󰎨(٠)=󰎨(١)، و٠،١[٠،[ فإن الدالة 󰎨(𞸎)=٠١ ليست دالة أحادية على الفترة [٠،[.
  4. افترض أن 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢ للدالة󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤.إذن، ٢𞸎+٤=٢𞸎+٤.١٢ بطرح ٤ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على: ٢𞸎=٢𞸎.١٢ بقسمة طرفي هذه المعادلة على ٢، نحصل على𞸎=𞸎١٢. وهذا صحيح لأي 𞸎١، 𞸎٢ في 𞹇، إذن، لا بد أن ينطبق ذلك على 𞸎،𞸎[٠،[١٢.وعليه، تكون الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤ دالة أحادية على الفترة [٠،[.
  5. افترض أن 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢ للدالة󰎨(𞸎)=١𞸎+١.إذن، ١𞸎+١=١𞸎+١.١٢ بما أن 𞸎،𞸎[٠،[١٢، إذن مقامي طرفي المعادلة موجبان. بضرب المعادلة تبادليًا نحصل على: 𞸎+١=𞸎+١.٢١ بطرح ١ من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا: 𞸎=𞸎.١٢ ومن ثم، فإن 󰎨(𞸎)=١𞸎+١ دالة أحادية على الفترة [٠،[.

وبذلك، تكون الدالة غير الأحادية على الفترة [٠،[ من ضمن الدوال المعطاة هي 󰎨(𞸎)=٠١؛ أي الاختيار (ج).

في المثال الأخير، سنحدد ما إذا كانت الدوال المثلثية أحادية أم لا باستخدام تمثيلاتها البيانية

مثال ٦: تحديد ما إذا كانت دالة مثلثية أحادية أم لا

حدِّد إذا ما كانت الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 أحادية في كلٍّ من الحالات الآتية.

  • 𞸎𞹇
  • 𞸎󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖

الحل

لعلنا نتذكر اختبار الخط الأفقي، الذي ينص على أن الدالة تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إذا تقاطع منحناها مع كل خط أفقي مرة واحدة على الأكثر.

نبدأ بتمثيل الدالة 𞸑=𞸎 بيانيًا بدقة. نعرف أن 𞸎 دالة دورية دورتها ٢𝜋. ونعرف أيضًا أن 𞸎=١ عند 𞸎=𝜋٢، 𞸎=١ عند 𞸎=𝜋٢. إذن، منحنى 𞸑=𞸎 سيكون بهذا الشكل.

هيا نطبق اختبار الخط الأفقي على هذا المنحنى.

بما أن الخط الأفقي المرسوم يقطع المنحنى أكثر من مرة في الفترة الموضحة، نستنتج أن الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 غير أحادية لكل 𞸎𞹇. في الحقيقة، نلاحظ أن الخط المستقيم على 𞹇 يقطع المنحنى عدد لا نهائي من المرات لأن 𞸎 دالة دورية.

من ناحية أخرى، إذا حددنا المجال ليكون 󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖، فسيكون لدينا المنحنى التالي.

نطبق اختبار الخط الأفقي على هذا المنحنى.

بتحريك مسطرة أفقيًا لأعلى المنحنى وأسفله، يمكننا ملاحظة أن أي خط أفقي يقطع المنحنى مرة واحدة على الأكثر. ومن ثم تكون الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 دالة أحادية لكل 𞸎󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖.

وعليه، تكون الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 غير أحادية لكل 𞸎𞹇 ولكنها أحادية لكل 𞸎󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖.

هيا نلخص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تكون الدالة أحادية، أو دالة واحد لواحد، إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال.
  • ينص اختبار الخط الأفقي على أن الدالة لا تكون أحادية، أو دالة واحد لواحد، إلا إذا تقاطع كل خط أفقي مع منحنى الدالة مرة واحدة على الأكثر.
  • تكون الدالة 󰎨 أحادية إذا كان الشرطان:
    • 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢.
    • 𞸎١، 𞸎٢ ينتميان إلى مجال 󰎨
    يعنيان ضمنيًا أن 𞸎=𞸎١٢.
  • تكون الدالة 󰎨 غير أحادية إذا تمكنا من إيجاد قيمتي 𞸎١، 𞸎٢ مختلفتين في مجالها وتحققان: 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒.١٢

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.