فيديو الدرس: الدوال الأحادية | نجوى فيديو الدرس: الدوال الأحادية | نجوى

فيديو الدرس: الدوال الأحادية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة ما دالة أحادية (دالة واحد لواحد).

١٤:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة ما دالة أحادية أو دالة واحد لواحد. نتذكر أن تعريف الدالة يتطلب اقتران كل عنصر من عناصر مجالها بعنصر واحد فقط من مداها. ولكي تكون الدالة أحادية، يجب أن يتحقق هذا الشرط أيضًا لكن مع عكس أدوار عناصر المجال والمدى. وسنبدأ بتناول التعريف المنهجي لذلك.

تكون الدالة أحادية، أو دالة واحد لواحد، إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر مجالها. إذن، بالإضافة إلى شرط تعريف الدالة، يمكننا القول إنه لا بد أن توجد علاقة تناظر أحادي بين كل عنصر من عناصر المجال وعنصر واحد فقط من عناصر مدى الدالة الأحادية. ولهذا السبب، نشير إلى الدالة الأحادية أيضًا بدالة واحد لواحد. في الصورة الموضحة، لدينا دالتان ﺩ وﺭ يصفهما المخططان السهميان. الدالة ﺩ يتكون مداها من العنصرين أربعة وخمسة. في حين أن عنصر المدى أربعة يشير إليه سهم واحد فقط، حيث يناظر عنصر المجال ثلاثة، فإن عنصر المدى خمسة يشير إليه سهمان مختلفان، حيث يناظر عنصري المجال واحدًا واثنين.

بما أن كل عنصر من عناصر المدى يجب أن يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال في الدالة الأحادية، فيمكننا القول إن ﺩ ليست دالة أحادية. على الجانب الآخر، كل عنصر من عناصر مدى الدالة ﺭ يشير إليه سهم واحد فقط؛ أي إنه يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. ومن ثم، نستنتج أن الدالة ﺭ أحادية. سنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه المخططات السهمية لتحديد ما إذا كانت الدوال أحادية أم لا.

صواب أم خطأ: إذا كانت ﺩ وﺭ دالتين أحاديتين، فإن ﺩ زائد ﺭ يجب أن تكون دالة أحادية.

لكي نثبت أن هذه العبارة صحيحة، علينا إثبات أنها صحيحة لجميع الدوال الممكنة في هذه الحالة. ولكن، لإثبات أن العبارة خاطئة، يمكننا فعل ذلك من خلال مثال مضاد. نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. وعلى المخططات السهمية؛ يعني هذا أن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط.

دعونا ننظر إلى الدالتين ﺩ وﺭ الممثلتين بالمخططين السهميين الموضحين. نلاحظ أن الدالتين ﺩ وﺭ أحاديتان أو دالتا واحد لواحد؛ لأن كل عنصر من عناصر المدى يشير إليه سهم واحد فقط من عناصر المجال. وعند جمع ﺩ وﺭ كما هو مطلوب، نحصل على المخطط التالي. بملاحظة أن عناصر المدى الثلاثة تعطي العدد نفسه، يمكننا إعادة رسم المخطط السهمي للدالة. وبما أن عنصر المدى ١٠ يشير إليه ثلاثة أسهم، فإن عنصر المدى هذا يناظر أكثر من عنصر من عناصر المجال. ومن ثم، نستنتج أن الدالة ﺩ زائد ﺭ ليست أحادية. باستخدام المثال المضاد، نكون قد أوضحنا أن العبارة «إذا كانت ﺩ وﺭ دالتين أحاديتين، فإن ﺩ زائد ﺭ يجب أن تكون دالة أحادية» هي عبارة خاطئة.

يمكننا أن نحدد بسهولة ما إذا كانت الدوال أحادية أم لا من مخططاتها السهمية، ولكن كيف يمكننا تحديد ذلك من تمثيلاتها البيانية على المستوى ﺱﺹ؟

نعلم أن مدى الدالة هو القيم المقابلة لمنحنى الدالة على المحور الرأسي، بينما المجال هو القيم المقابلة للمنحنى على المحور الأفقي. بما أنه في الدالة الأحادية يجب أن يرتبط كل عنصر من عناصر المدى بعنصر واحد من عناصر المجال؛ إذن لا بد أن ترتبط كل نقطة من نقاط مجال الدالة على المحور الأفقي بنقطة واحدة فقط من نقاط مداها على المحور الرأسي. يمكننا اختبار هذا الشرط برسم خط مستقيم أفقي لكل عنصر من عناصر المدى وملاحظة عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع هذا الخط. فإذا تقاطع الخط المستقيم الأفقي مع منحنى الدالة أكثر من مرة، فإن عنصر المدى هذا يرتبط بأكثر من عنصر من عناصر المجال. وفي هذه الحالة، لن تكون الدالة أحادية. دعونا نتناول مثالين كما هو موضح أمامنا.

للدالة ﺩ في الشكل الأول، يمكننا رسم خط مستقيم أفقي لعنصر المدى اثنين، الذي يتقاطع مع التمثيل البياني لـ ﺩ أكثر من مرة. بتعبير أدق، عنصر المدى اثنان يناظر عناصر المجال الثلاثة المختلفة: سالب اثنين وصفر وثلاثة. توجد ثلاث نقاط لتقاطع الخط الأفقي مع الدالة عند سالب اثنين، اثنين؛ وصفر، اثنين؛ وثلاثة، اثنين. ومن ثم، نستنتج أن الدالة ﺩ ليست أحادية. من ناحية أخرى، يمكننا ملاحظة أن أي خط مستقيم أفقي مرسوم يمر بمنحنى الدالة ﺭ في الشكل الثاني يتقاطع مع المنحنى عند نقطة واحدة فقط. بتحريك مسطرة أفقيًّا لأعلى ولأسفل على التمثيل البياني، يمكننا التحقق من عدم وجود أي خط أفقي يتقاطع مع المنحنى أكثر من مرة. وهذا يعني أن كل عنصر من عناصر المدى للدالة ﺭ يناظر عنصرًا واحدًا فقط في مجالها. إذن، نستنتج أن الدالة ﺭ أحادية أو دالة واحد لواحد.

تسمى هذه العملية باسم اختبار الخط الأفقي. تكون الدالة أحادية أو دالة واحد لواحد إذا كان كل خط أفقي يتقاطع مع منحنى الدالة مرة واحدة على الأكثر. على النقيض، فإن الدالة لا تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إذا كان هناك خط أفقي يتقاطع مع منحناها أكثر من مرة. هذا يشبه اختبار الخط الرأسي الذي يستخدم للتحقق من تعريف الدالة. لكن بدلًا من الخطوط الرأسية، نستخدم الخطوط الأفقية للتأكد مما إذا كانت الدالة تحقق تعريف الدالة الأحادية أو دالة الواحد لواحد أم لا.

سنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كانت الدالة أحادية أم لا.

أي المنحنيات الموضحة على التمثيل البياني التالي يمثل دالة أحادية؟

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر اختبار الخط الأفقي، الذي ينص على أن الدالة لا تكون دالة واحد لواحد أو دالة أحادية إلا إذا كان منحناها يتقاطع مع كل خط أفقي مرة واحدة على الأكثر. هيا نبدأ بالمنحنى الأحمر. هدفنا هو رسم خط أفقي يقطع المنحنى أكثر من مرة، إن أمكن، للإشارة إلى أن الدالة غير أحادية. إحدى طرق إجراء ذلك هي رسم الخط المستقيم الأفقي الذي معادلته ﺹ يساوي سالب ١٠. ونرى أن هذا الخط الأفقي يقطع المنحنى الأحمر مرتين. إذن، نستنتج أن الدالة التي يمثلها المنحنى الأحمر ليست دالة واحد لواحد.

يمكننا تكرار هذه العملية مع المنحنى الأخضر برسم خط مستقيم أفقي معادلته ﺹ يساوي ١٠. هذا الخط الأفقي يقطع المنحنى الأخضر ثلاث مرات. ومن ثم، يمكننا أيضًا استنتاج أن الدالة الممثلة بالمنحنى الأخضر ليست دالة واحد لواحد. يمكننا أيضًا تكرار هذه العملية مع المنحنى الأصفر برسم خط مستقيم أفقي معادلته ﺹ يساوي اثنين. هذا الخط الأفقي يقطع المنحنى الأصفر مرتين. إذن، وفقًا لاختبار الخط الأفقي، فإن الدالة الممثلة بالمنحنى الأصفر ليست دالة واحد لواحد. وبما أننا أثبتنا أن المنحنيات باللون الأحمر والأخضر والأصفر لا تمثل دوال واحد لواحد؛ فهذا يعني أن المنحنى الأزرق يمثل دالة واحد لواحد. بعد مسح الخطوط الأفقية الأخرى التي رسمناها من قبل، هيا ننظر إلى هذه الدالة وحدها.

سنبدأ برسم عدة خطوط أفقية، لكن في هذه الحالة، عند ﺹ يساوي ٢٠ و٣٠ و٤٠ و٥٠. كل من هذه الخطوط الأفقية يتقاطع مع المنحنى الأزرق مرة واحدة فقط. يمكننا التحقق من صحة ذلك فيما يتعلق بالمنحنى بأكمله عن طريق تحريك مسطرة أفقيًّا عليه لأعلى ولأسفل. نجد أن كل خط أفقي يمكن رسمه على التمثيل البياني يقطع المنحنى الأزرق مرة واحدة على الأكثر. إذن، يمكننا عن طريق اختبار الخط الأفقي استنتاج أن الدالة الممثلة بالمنحنى الأزرق دالة واحد لواحد أو دالة أحادية. هذا هو المنحنى الوحيد من بين المنحنيات الأربعة الذي يمثل دالة واحد لواحد.

في هذا المثال، استخدمنا اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان المنحنى المعطى يمثل دالة أحادية أو دالة واحد لواحد أم لا. إذا كانت لدينا المقادير الجبرية للدوال بدلًا من تمثيلاتها البيانية، فإن اختبار الخط الأفقي ليس الطريقة المثلى التي يمكننا تطبيقها؛ لأنه يتطلب وجود تمثيل بياني دقيق. دعونا نفكر الآن فيما يمكننا فعله في مثل هذه الحالات. سنبدأ بالنظر في اختبار الخط الأفقي المستخدم في الدالة ﺩ على التمثيل البياني الموضح. بما أن الخط الأفقي يتقاطع مع المنحنى عند ثلاث نقاط مختلفة، فإنه توجد ثلاث قيم وهي ﺱ واحد وﺱ اثنان وﺱ ثلاثة لقيمة واحدة وهي ﺹ صفر؛ حيث ﺩﺱ واحد تساوي ﺹ صفر، وﺩﺱ اثنين تساوي ﺹ صفر، وﺩﺱ ثلاثة تساوي أيضًا ﺹ صفر.

بينما قد يكون صحيحًا، كما في هذا المثال، أن لدينا أكثر من قيمتين لـ ﺱ تناظر قيمة واحدة لـ ﺹ، علينا فقط إيجاد هاتين النقطتين؛ حيث إنه إذا كانت توجد قيمتان لـ ﺱ تناظران قيمة واحدة لـ ﺹ، فإن الدالة المعطاة لا تكون دالة واحد لواحد أو دالة أحادية. يمكن ذكر ذلك بطريقة منهجية على النحو التالي. بمعلومية المقدار الجبري للدالة ﺩ، إذا كانت توجد قيمتا ﺱ مختلفتان من المجال، وهما ﺱ واحد وﺱ اثنان، بحيث تكون ﺩﺱ واحد مساوية لـ ﺩﺱ اثنين، فإن الدالة ﺩ في هذه الحالة لا تكون أحادية. من ناحية أخرى، تكون ﺩ دالة أحادية إذا كان الشرطان ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، وﺱ واحد وﺱ اثنان ينتميان إلى المجال؛ يعنيان ضمنيًّا أن ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين.

في المثال الأخير، سنستخدم هذا التعريف لتحديد الدوال الأحادية من خلال مقاديرها الجبرية.

أي مما يلي دالة أحادية؟ هل هي (أ) ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، أم (ب) ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع، أم (ج) ﺩﺱ تساوي خمسة، أم (د) ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين؟

لنبدأ بتذكر أن الدالة ﺩﺱ لا تكون دالة واحد لواحد إذا كانت توجد قيمتا ﺱ مختلفتان من قيم المجال، وهما ﺱ واحد وﺱ اثنان، تحققان ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين. هيا نطبق هذا الشرط على كل خيار من الخيارات الممكنة. الخيار (أ) هو دالة القيمة المطلقة. نعلم أن العددين المتساويين في القيمة، ولكن بإشارتين مختلفتين، تكون لهما القيمة المطلقة نفسها. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن ﺱ واحد يساوي سالب اثنين وﺱ اثنين يساوي اثنين، فإن ﺩﺱ واحد تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين، وهي تساوي اثنين، وﺩﺱ اثنين تساوي القيمة المطلقة لاثنين، وهذا يعطينا اثنين أيضًا. وبما أن ﺩ لسالب اثنين تساوي ﺩ لاثنين، فإن الدالة التي لدينا هنا، وهي القيمة المطلقة لـ ﺱ، ليست أحادية.

يمكننا تكرار هذه العملية مع الخيار (ب)؛ حيث ﺩﺱ هي دالة المربع. كما هو الحال في دالة القيمة المطلقة، فإن العددين المتساويين في القيمة، ولكن بإشارتين مختلفتين يكون مربعاهما متساويين. إذا افترضنا مرة أخرى أن ﺱ واحد يساوي سالب اثنين وﺱ اثنين يساوي اثنين، فإن ﺩﺱ واحد وﺩﺱ اثنين كلتيهما تساويان أربعة. فكل من مربع سالب اثنين ومربع اثنين يساوي أربعة. ومرة أخرى، بما أن ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، فإن الدالة ليست أحادية.

دعونا ننتقل الآن إلى الخيار الثالث، وهو ﺩﺱ تساوي خمسة. هذه دالة ثابتة. وأيًّا كان العدد الذي ندخله في الدالة الثابتة، تظل القيمة المخرجة دائمًا هي نفسها. وفي هذه الحالة، لا تهمنا القيمتان اللتان نختارهما لـ ﺱ واحد وﺱ اثنين. ‏ﺩﺱ واحد وﺩﺱ اثنين تساويان دائمًا خمسة. وهذا يعني أن ﺩﺱ تساوي خمسة ليست دالة أحادية.

دعونا ننتقل الآن إلى الخيار (د)، وهو ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين. لكي نثبت أن هذه الدالة أحادية، فإننا نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان الشرطان ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، وﺱ واحد وﺱ اثنان ينتميان إلى مجال ﺩ، يعنيان ضمنيًّا أن ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. إذا كانت ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين، فإن ﺱ واحد زائد اثنين يجب أن يساوي ﺱ اثنين زائد اثنين. وبطرح اثنين من طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. يخبرنا هذا أن العلاقة ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين لا تكون ممكنة إلا إذا كان ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين.

إذن، نستنتج أن ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين هي دالة أحادية. ومن ثم، الدالة الأحادية أو دالة الواحد لواحد الوحيدة من بين الدوال المعطاة هي (د).

ومع أن ذلك خارج نطاق هذا الفيديو، فهذا يقودنا إلى حقيقة أن جميع الدوال الخطية تكون دوال أحادية إذا كان معامل المتغير لا يساوي صفرًا.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. تكون الدالة أحادية أو دالة واحد لواحد إذا كان كل عنصر من عناصر مدى الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال. ينص اختبار الخط الأفقي على أن الدالة لا تكون أحادية أو دالة واحد لواحد إلا إذا تقاطع كل خط أفقي مع منحنى الدالة مرة واحدة على الأكثر. تكون الدالة ﺩ أحادية إذا كان الشرطان ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، وﺱ واحد وﺱ اثنان ينتميان إلى مجال ﺩ، يعنيان ضمنيًّا أن ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. وأخيرًا، تكون الدالة ﺩ غير أحادية إذا تمكنا من إيجاد قيمتي ﺱ واحد وﺱ اثنين مختلفتين في مجالها، تحققان ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين.

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.