فيديو السؤال: إيجاد النهايات التي تتضمن دوال مثلثية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية جا ﺱ على جا ﺱ على اثنين عندما يقترب ﺱ من صفر.

لنلق نظرة على هذه النهاية. أول ما علينا تجربته هو التعويض المباشر. نعوض بالعدد الذي يقترب منه ﺱ، وهو الصفر، عن ﺱ، في هذا التعبير. وبإجراء ذلك، نحصل على جا صفر على جا صفر على اثنين. جا صفر يساوي صفرًا، إذن يكون لدينا صفر في البسط. وأيضًا جا صفر على اثنين يساوي جا صفر فقط، وهو ما يساوي صفرًا. وبذلك يصبح لدينا صفر في المقام أيضًا.

وصفر على صفر هي صيغة غير معينة. لذا ولسوء الحظ، لم يعطنا التعويض المباشر قيمة النهاية التي نبحث عنها. ولكن الأمر كان يستحق المحاولة. إذن، كيف نوجد قيمة هذه النهاية؟ حسنًا، سنوضح طريقتين في هذا الفيديو. تستخدم الطريقة الأولى متطابقة ضعف الزاوية لجيب الزاوية، والتي تخبرنا أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين في جا 𝜃 في جتا 𝜃 لأي زاوية 𝜃.

وإذا اخترنا التعويض بـ ﺱ على اثنين عن 𝜃، فسنجد أن جا اثنين في ﺱ على اثنين يساوي اثنين جا ﺱ على اثنين في جتا ﺱ على اثنين. في الطرف الأيمن، اثنان في ﺱ على اثنين يساوي ﺱ فقط. وبهذا، نجد أن جا ﺱ يساوي اثنين جا ﺱ على اثنين جتا ﺱ على اثنين. ولكن، كيف يساعدنا ذلك؟ إذا عوضنا بهذا التعبير في النهاية لدينا، فسنجد أن لدينا العامل جا ﺱ على اثنين في البسط، وهو ما سيحذف مع جا ﺱ على اثنين في المقام. علام سنحصل بعد الحذف؟

سنحصل على النهاية لاثنين جتا ﺱ على اثنين عندما يقترب ﺱ من الصفر. وهذه نهاية يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بصفر، نحصل على اثنين جتا صفر على اثنين. وجتا صفر على اثنين يساوي جتا صفر، أي واحدًا. إذن، الإجابة هي اثنان في واحد، أي اثنان. تتطلب هذه الطريقة استخدام التعويض المناسب عن جا ﺱ؛ وهو تعويض قد لا يكون واضحًا أهميته من البداية، ولكن بمجرد استخدامه، اتضح لنا ما الذي يجب فعله.

لكن يمكننا استخدام حيلة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية. تستخدم هذه الطريقة الحقيقة التي تفيد بأن نهاية جا ﺱ على ﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر تساوي واحدًا. هذه النهاية مهمة لأنها تمكننا من اشتقاق دالة الجيب. إذا لم تكن قد رأيت هذه النهاية من قبل، فربما يكون من الأفضل أن توقف الفيديو هنا وأن تكتفي بالطريقة الأولى. ولكن إذا كنت قد رأيت هذه النهاية من قبل، فربما تكون مهتمًّا بمعرفة كيف يمكن أن تساعدنا في حل المسألة. حسنًا، يمكننا كتابة جا ﺱ على جا ﺱ على اثنين على الصورة جا ﺱ على ﺱ في ﺱ على جا ﺱ على اثنين.

يمكنك التحقق من صحة ذلك عن طريق ضرب الكسرين في الطرف الأيسر ثم التبسيط. وما فعلناه بالأساس هو أننا قسمنا على ﺱ ثم ضربنا فيه. بعد ذلك، يمكننا استخدام الحقيقة التي تفيد بأن نهاية حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب نهايتيهما. وعليه، يمكننا كتابة هذه النهاية على صورة حاصل ضرب نهايتين. نحن نعرف قيمة إحدى هاتين النهايتين؛ وهي نهاية جا ﺱ على ﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر تساوي واحدًا. وهكذا يصبح لدينا فقط النهاية الأخرى التي نريد إيجاد قيمتها وهي: نهاية ﺱ على جا ﺱ على اثنين عندما يقترب ﺱ من الصفر.

كيف يمكننا إيجاد هذه النهاية؟ حسنًا، هذه النهاية هي تقريبًا مقلوب النهاية التي نعرفها. ونهاية مقلوب دالة هي ببساطة مقلوب نهاية تلك الدالة. وبذلك، نجد أن نهاية ﺱ على جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر تساوي واحدًا. وليس هناك أمر مميز حول استخدام الحرف ﺱ هنا. يمكننا استخدام أي حرف، ربما 𝜃. وبالنظر إلى النهاية التي لدينا، يمكننا جعل 𝜃 تساوي ﺱ على اثنين. إذن، نهاية ﺱ على اثنين على جا ﺱ على اثنين عندما يقترب ﺱ على اثنين من الصفر تساوي واحدًا.

قد تشعر بعدم الارتياح قليلًا بشأن التعويض عن 𝜃 بمقدار وليس مجرد حرف آخر، ولكن يمكن تبرير ذلك. ماذا يعني أن ﺱ على اثنين يقترب من صفر؟ هذا يعني أن ﺱ نفسه يقترب من صفر. وهكذا نجد أن نهاية ﺱ على اثنين على جا ﺱ على اثنين عندما يقترب ﺱ من الصفر تساوي واحدًا. وهذه النهاية قريبة للغاية من النهاية التي لدينا. الفرق الوحيد بينهما هو أن لدينا ﺱ في البسط وليس ﺱ على اثنين. ولكن يمكننا أن نكتب ﺱ في البسط على صورة اثنان في ﺱ على اثنين، ونحن نعلم أن نهاية اثنين مضروبًا في مقدار ما تساوي اثنين في نهاية ذلك المقدار.

والآن أصبح لدينا نهاية نعرف قيمتها. وقيمة هذه النهاية تساوي واحدًا. ومن ثم، فإن قيمة النهاية في السؤال هي اثنان في واحد، وهو ما يساوي اثنين. وهذه هي الإجابة النهائية. لم تتطلب هذه الطريقة استخدام متطابقة مناسبة لـ جا ﺱ. وبشكل عام، فإن استخدام نهاية جا ﺱ على ﺱ عندما يقترب ﺱ من صفر والنهايتين المناظرتين لجيب التمام والظل يتيح لنا إعادة كتابة أي نهاية لدالة مثلثية على صورة النهاية لدالة كسرية، وهو ما قد يسهل حلها.